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专题12 机械能守恒定律的理解与应用、功能关系与能量守恒
目录
题型一 机械能守恒的判断...........................................................................................................................................1
题型二 单物体的机械能守恒问题..............................................................................................................................2
题型三 连接体的机械能守恒问题..............................................................................................................................8
类型1 链条类机械能守恒问题............................................................................................................................9
类型2 轻绳连接的物体系统................................................................................................................................9
类型3 轻杆连接的物体系统..............................................................................................................................15
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒.........................................................................................................18
题型四 功能关系的理解和应用................................................................................................................................21
类型1 功能关系的理解....................................................................................................................................25
类型2 功能关系与图像的结合........................................................................................................................29
类型3 功能关系的综合应用..............................................................................................................................35
题型五 能量守恒定律的理解和应用........................................................................................................................41
题型一 机械能守恒的判断
【解题指导】机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用机械能的定义判断：若物体动能、势能之和不变，则机械能守恒．
(2)利用做功判断：若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功，虽受其他力，但其他力不
做功(或做功代数和为0)，则机械能守恒．
(3)利用能量转化判断：若物体或系统与外界没有能量交换，物体或系统也没有机械能与其
他形式能的转化，则机械能守恒．
【例1】如图所示，物体以速度 冲向与竖直墙壁相连的轻质弹簧，压缩弹簧至最短的过
程中（ ）
A．弹簧弹力对物体做正功 B．弹簧的弹性势能增加
C．合外力对物体做正功 D．物体的机械能守恒
【变式演练1】(多选)如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左侧有一固定的竖直墙壁(不与槽粘连)．现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开
始下落，从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是( )
A．小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功
B．小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒
C．小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守
恒
D．小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒
【变式演练2】如图，斜面体A放在水平面上，球体B放在斜面体的斜面与竖直墙壁之间，
外力F作用在A上使A、B处于静止状态，不计一切摩擦，现撤去F，在球B向下运动的
过程中，下列说法正确的是（ ）
A．A对B不做功 B．B对A不做功
C．B的机械能守恒 D．A、B组成的系统机械能守恒
题型二 单物体的机械能守恒问题
【解题指导】1．表达式
2．选用技巧
在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势
能面。3．一般步骤
【例1】一个弹性很好的橡胶球从距离地面高为h处被竖直抛下，落到坚硬的水平地面上
被弹回，回跳的高度比抛出点高h，已知重力加速度为g，不计空气阻力和球与地面碰撞
0
时的能量损失，则在抛出点必须以多大的速度将球向下抛出（ ）
A． B． C． D．
【例2】如图1，在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道 ，半径为 ，小球以一定
的初速度从最低点A冲上轨道，图2是小球在半圆形轨道上从A运动到 的过程中，其速
度平方与其对应高度的关系图像。已知小球在最高点 受到轨道的作用力为 ，空气阻
力不计， 点为 轨道中点，重力加速度 取 ，下列说法错误的是（ ）
A．最高点时小球所受的合外力竖直向下
B．图2中
C．小球在B点受到轨道作用力为
D．小球质量为
【变式演练1】运动员某次投篮时，篮球的运动过程可简化为如图所示，已知篮球的质量
为m，投出时篮球的初速度为 ，距离篮框的竖直距离为h，忽略篮球运动过程中的空气阻力，取篮框所在的平面为零势能面，重力加速度为g，篮球可看成质点，则下列说法正
确的是（ ）
A．篮球抛出后在空中做平抛运动
B．篮球在投出点的重力势能为mgh
C．篮球刚进入篮框时的机械能为
D．从投出至进框的过程中，篮球重力势能的变化量为mgh
【变式演练2】从地面以 的速度竖直向上抛出一物体，不计空气阻力，重力加速度为g，
以地面为重力势能的零势能面。当物体的重力势能为动能的 时，物体离地面的高度为（
）
A． B． C． D．
【变式演练3】如图所示，质量为m的物体，以速度v离开高为H的桌子，当它落到距地
面高为h的A点时，在不计空气阻力的情况下，以地面为重力势能零，下列说法是正确的
是（ ）
A．物体在A点具有的机械能是
B．物体在A点具有的机械能是C．物体在A点具有的动能是
D．物体在A点具有的动能是mg（H-h）
【变式演练4】如图甲，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将
摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中
的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中 为摆球从
A点开始运动的时刻，g取10 ，则摆球的质量是（ ）
A．0.05kg B．0.10kg C．0.18kg D．0.21kg
题型三 连接体的机械能守恒问题
1．解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。
(3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔE＝－ΔE 或ΔE ＝－ΔE 的形式。
k p A B
2．常见的三种模型
(1)轻绳连接的物体系统模型
常见
情景
模型 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
提醒
③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系
统，机械能则可能守恒。
(2)轻杆连接的物体系统模型
常见
情景
①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。
②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能
模型
不守恒。
特点
③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做
功，则系统机械能守恒。
(3)轻弹簧连接的物体系统模型
模型
由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内
物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
特点
①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是
两点 压缩。
提醒 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速
度，弹性势能最大。
类型1 链条类机械能守恒问题
【例1】如图所示，长为L的均匀链条放在光滑水平桌面上，且使长度的 垂在桌边，松
手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为（重力加速度
为g）（ ）A． B． C． D．
【变式演练1】有一条均匀金属链条，一半长度在光滑的足够高斜面上，斜面顶端是一个
很小的圆弧，斜面倾角为 ，另一半长度竖直下垂，由静止释放后链条滑动，已知重力
加速度 ，链条刚好全部滑出斜面时的速度大小为 ，则金属链条的长度为
（ ）
A．0.6m B．1m C．2m D．2.6m
【变式演练2】如图（a）所示，一根质量为M、长度为L的均匀柔软细绳置于光滑水平桌
面上，绳子右端恰好处于桌子边缘，桌面离地面足够高。由于扰动，绳从静止开始沿桌边
下滑。当绳下落的长度为x时，加速度大小为a，绳转折处O点的张力大小为T，桌面剩余
绳的动能为 、动量为p，如图（b）所示。则从初态到绳全部离开桌面的过程中，下列说
法正确的是（ ）
A．当 时，张力T有最大值 B．当 时，动量P有最大值
C．当 时，加速度a有最大值 D．当 时，动能 有最大值
类型2 轻绳连接的物体系统
【例2】如图所示，一条不可伸长的轻绳跨过定滑轮，绳的两端各系一个小球A和B，已
知小球A的质量为m，用手托住B球，轻绳刚好被拉紧时，B球离地面的高度为h，A球
静止于水平地面上。现释放B球，落地时的速度为 。定滑轮的质量及轮与轴间的摩
擦均不计，重力加速度为g。下列说法正确的是（ ）A．B球的质量为4m
B．A球上升h的过程中，轻绳对A球的拉力做的功为mgh
C．B球从释放至落地，运动的时间为
D．A球从地面开始上升的最大高度为1.6h
【变式演练1】如图所示，物体Q锁定在水平地面上，不可伸长的轻质细线一端连接在Q
上，另一端绕过三个光滑轻质小滑轮后固定在地面上。物体P与滑轮2相连，系统静止，
四段细线都竖直，现解除对物体Q的锁定，物体P触地后静止不动，物体P触地瞬间连接
物体Q的绳子断开。已知物体P与地面间高度差为h，物体P、Q质量分别为3m、m，重
力加速度为g，天花板离滑轮1和3足够高，物体P、Q均可视为质点，不计空气阻力。下
列说法正确的是（ ）
A．物体Q上升过程中的最大速度为
B．物体Q上升过程中的最大速度为
C．物体Q上升的最大高度为D．物体Q上升的最大高度为
【变式演练2】如图，ab、cd为在同一竖直面内的两光滑水平轨道，两轨道间的竖直距离
为h。轨道上有两个可视为质点的物体A和B，质量均为m，它们通过一根绕过定滑轮的
不可伸长的轻绳相连接。现用水平向右的拉力拉着物块A，使A、B一起运动，当轻绳OB
与水平轨道的夹角 时，撤掉拉力，此时物体A在cd轨道运动的速率为v，设绳长
BO远大于滑轮直径，不计轻绳与滑轮间的摩擦，不计空气阻力。下列说法正确的是
（ ）
A．当轻绳OB与水平轨道夹角为30°时，物体B的速度大小为
B．当轻绳OB与水平轨道夹角为90°时，物体B的速度大小为
C．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
D．轻绳OB与水平轨道夹角从30°到90°的过程中，轻绳对B做的功为
类型3 轻杆连接的物体系统
【例3】如图，一长为L的轻杆一端固定在光滑铰链上，另一端固定质量为m的小球。开
始时，轻杆位于竖直方向，之后受轻微扰动后向左自由转动。某时刻轻杆与竖直方向的夹
角记为 ，取重力加速度为g，关于转动过程中小球的以下说法正确的是（ ）A．竖直速度先增大后减小 B．重力的最大功率为
C．当 时，小球只受重力作用 D．水平方向上速度最大值为
【变式演练1】如图所示，O点为足够长的光滑水平面与光滑竖直墙面的交点，长为3l的
轻直刚性杆两端分别用光滑铰链连接一可视为质点且完全相同的小球甲和乙。现让小球乙
静止于O点，使小球甲从墙面上距水平面高度为3l的a点由静止开始无初速度下滑。已知
墙面上沿竖直方向的各点间距ab=bc=cO=l，重力加速度为g，不计空气阻力，则在小球甲
从a点运动到O点过程中，下列说法正确的是（ ）
A．小球甲的最大速度为
B．小球甲的最大速度为
C．小球甲运动到b点时，小球乙的速度为
D．小球甲运动到c点时，小球乙的速度为
【变式演练2】如图所示，有一光滑轨道 ， 部分竖直， 部分水平， 部分
是半径为 的四分之一圆弧，其中 与 、 相切。质量均为 的小球 、 （可视
为质点）固定在长为 的竖直轻杆两端，开始时 球与 点接触且轻杆竖直，由静止释放
两球使其沿轨道下滑，重力加速度为 。下列说法正确的是（ ）A． 球下滑过程中机械能减小
B． 球下滑过程中机械能增加
C． 球滑到水平轨道上时速度大小为
D．从释放 、 球到两球均滑到水平轨道的过程中，轻杆对 球做功为
【变式演练3】如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球A和B之间用一根长为L的
轻杆连接，轻杆可绕中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在
杆转至竖直的过程中（轻杆质量不计）（ ）
A．A球机械能减小
B．杆对B球不做功，B球机械能守恒
C．A球和B球总机械能守恒
D．A球和B球总机械能不守恒
类型4 含“弹簧类”系统的机械能守恒
1．通过其他能量求弹性势能
根据机械能守恒，列出方程，代入其他能量的数值求解．
2．对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，弹簧伸长量和压缩量相等时，弹簧
弹性势能相等．
3．物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关．
【例4】（2023春·河北·高三校联考期中）如图所示，轻质弹簧下端与光滑固定斜面底端
栓接，上端连接物块B，物块A通过细线跨过光滑定滑轮与物块B连接，已知斜面倾角为
，物块B的质量为 不变，物块A的质量可以改变，弹簧的原长为 ，物块
A、B以及滑轮大小忽略不计。初始时在外力作用下，弹簧处于原长，细线刚好绷紧，物
块A、B处于等高位置。挂不同质量的物块A，撤去外力，让物块A、B自由运动；当时，物块A能够上升的最大高度为 ；当 时，物块A能够下降的最大高
度为 ：当 时，物块A下降 时速度可能为（ ）
A． B． C． D．
【变式演练1】如图所示，一轻质弹簧置于固定光滑斜面上的O点，下端与固定在斜面底
端的挡板连接，弹簧处于原长时上端位于A点。一物块由斜面上A点上方某位置由静止释
放，将弹簧压缩至最低点B，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（ ）
A．物块运动到A点时的动能最大
B．物块从A点运动到B点过程中机械能守恒
C．物块运动到B点后将在B点保持静止状态
D．弹簧弹性势能的最大值等于物块从O点到B点重力势能的减少量
【变式演练2】如图所示，质量均为m的物体A、B用跨过滑轮O的轻绳连接，A穿在固
定的竖直光滑杆上，B置于倾角 的光滑固定斜面上。一劲度系数 的轻质弹簧
的一端固定在斜面底端的挡板上，另一端连接B。初始时，施加外力将A置于N点，轻绳
恰好伸直但无拉力， 段长为 ，与杆垂直， 段与斜面平行。现将A由静止释放，沿
杆下滑到最低点 ， 为 中的一点，且 。A、B均可视为质点，运动过程中B
不会与滑轮相碰，弹簧始终在弹性限度内，重力加速度为g，不计一切阻力。则A从N点
下滑到M点的过程中（ ）A．B沿斜面运动的距离为 B．A、B组成的系统机械能守恒
C．经过M点时A的速度大小为 D．轻绳对A做的功为
【变式演练3】如图所示，轻弹簧一端固定在O点，另一端与一质量为m的小球相连，小
球套在固定的竖直光滑杆上，P点到O点的距离为L， 与杆垂直，杆上M、N两点与O
点的距离均为 。已知弹簧的劲度系数为k，原长为L，重力加速度为g，现让小球从M
处由静止释放，下列说法正确的是（ ）
A．小球从M运动到N的过程中，小球的机械能守恒
B．小球通过N点时速率为
C．小球从M运动到N的过程中，弹簧弹性势能先减小后增大
D．小球从M运动到N的过程中，小球的动能和弹簧的弹性势能之和先减小后增大
【变式演练4】如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上的光滑转轴O上，另一端与套在
光滑固定直杆A处质量为m的小球（可视为质点）相连。A点距水平面的高度为h，直杆
与水平面的夹角为30°，OA＝OC，B为AC的中点，OB等于弹簧原长。小球从A处由静止
开始下滑，经过B处的速度为v。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（ ）A．小球在C点时的动能 B．小球通过B点时的加速度为
C．弹簧具有的最大弹性势能为 D．小球下滑过程机械能守恒
题型四 功能关系的理解和应用
1．做功的过程就是能量转化的过程．功是能量转化的量度.
2．功与能量的变化是“一一对应”的，如重力做功对应重力势能的变化，合外力做功对应
动能的变化等.
3．分析机械能的变化，既可以用定义法也可以根据除重力(弹簧弹力)以外的其他力做功来
分析．
类型1 功能关系的理解
常见的功能关系
能量 功能关系 表达式
重力做功等于重力势能减少量
弹力做功等于弹性势能减少量
势能 W＝E －E ＝－ΔE
p1 p2 p
静电力做功等于电势能减少量
分子力做功等于分子势能减少量
动能 合外力做功等于物体动能变化量 W＝E －E ＝mv2－mv2
k2 k1 0
除重力和弹力之外的其他力做功等于机械
机械能 W ＝E－E＝ΔE
其他 2 1
能变化量
摩擦
一对相互作用的滑动摩擦力做功之和的绝
产生 Q＝F·x
f 相对
对值等于产生的内能
的内能
电能 克服安培力做功等于电能增加量 W ＝E－E＝ΔE
电能 2 1
【例1】翼装飞行是一项极具刺激的娱乐项目，亚洲翼装飞行第一人张树鹏的飞行梦始于
张家界天门山。如图所示为张树鹏完成比赛时的情景，张树鹏由高空静止跳下，在空中滑
行一段距离后安全地着陆在山脚下。则张树鹏在空中下落的过程中（ ）。A．机械能守恒 B．重力势能的减少大于动能的增加
C．合力做的功等于重力势能的减少量 D．重力做的功等于机械能的减少量
【变式演练1】如图所示为低空跳伞极限运动表演，运动员从离地350m高的桥面一跃而下，
实现了自然奇观与极限运动的完美结合。假设质量为m的跳伞运动员，由静止开始下落，
在打开伞之前受恒定阻力作用，下落的加速度 ，在运动员下落h的过程中，下列说法
正确的是（ ）
A．运动员重力做功为 B．运动员克服阻力做功为
C．运动员的动能增加了 D．运动员的机械能减少了
【变式演练2】在实际情况中，物体做抛体运动时总会受到空气阻力的影响。如图所示，
虚线是炮弹在忽略空气阻力情况下计算出的飞行轨迹；实线是炮弹以相同的初速度和抛射
角射出在空气中实际的飞行轨迹，这种曲线叫作弹道曲线。由于空气阻力的影响，弹道曲
线的升弧和降弧不再对称，升弧长而平伸，降弧短而弯曲。炮车的大小可以忽略。当炮弹
做弹道运动时，结合学过的力学知识，分析判断下列说法正确的是（ ）
A．炮弹上升的时间一定等于下降的时间
B．炮弹在最高点时的加速度等于重力加速度
C．炮弹在上升阶段损失的机械能等于在下降阶段损失的机械能
D．炮弹在上升阶段重力势能的增加量等于在下降阶段重力势能的减少量【变式演练3】一个物块从斜面底端冲上足够长的斜面后，返回到斜面底端。已知小物块
的初动能为E，它返回斜面底端的速度大小为v，克服摩擦阻力做功为 。若小物块冲上
斜面的初动能变为2E，则有（ ）
A．返回斜面底端时的动能为 B．返回斜面底端时的动能为E
C．返回斜面底端时的速度大小为2v D．克服摩擦阻力做的功仍为
类型2 功能关系与图像的结合
【例2】从地面竖直向上抛出一物体，取地面为零势能参考面，该物体的 和 随上升高
度h的变化如图所示。重力加速度取 ，由图中数据可得（ ）
A．物体的质量为2.5 kg
B．h＝2 m时，物体的动能
C．h＝0时，物体的速度大小为
D．物体的速度大小为20 m/s时，距地面的高度h=2 m
【变式演练1】一质量为1kg的物体在水平拉力的作用下，由静止开始在水平地面上沿x轴
运动，出发点为x轴零点，拉力做的功W与物体坐标x的关系如图所示。物体与水平地面
间的动摩擦因数为0.4，重力加速度大小取10m/s2。下列说法正确的是（ ）A．从x=0运动到x=2m过程中拉力的大小为12N
B．在x=3m时，物体的动能为15J
C．从x=0运动到x=2m，物体机械能增加了4J
D．从x=0运动到x=4m的过程中，物体的最大速度为2m/s
【变式演练2】如图甲所示，将物块从倾角为θ=30°的斜面顶端由静止释放，取地面为零势
能面，物块在下滑过程中的动能E、重力势能E 与下滑位移x间的关系如图乙所示，取
k p
g=10m/s2，下列说法正确的是（ ）
A．物块的质量是0.1kg
B．物块与斜面间的动摩擦因数为
C．当下滑的距离为4.8m时，物块动能与势能相等
D．当物体的势能为8J时，动能为 J
【变式演练3】从地面竖直向上抛出一物体，其机械能 等于动能 与重力势能 之和。
取地面为重力势能零点，该物体的 和 随它离开地面的高度h的变化如图所示。重力
加速度取 。由图中数据可得（ ）
A．物体的质量为1kgB．h＝0时，物体的速率为20m/s
C．物体上升4m过程中，物体的动能减少了80J
D．物体上升2m过程中，克服阻力做功10J
【变式演练4】滑草是一项使用滑草车沿倾斜草地滑行的运动，深受青年人喜爱，甲图为
滑草运动场地鸟瞰图。某滑草运动场地由倾斜滑道AB和水平滑道BC两部分组成，B点处
平滑连接，如图乙所示。倾斜滑道AB长100m，与水平面夹角为18°。某游客乘坐滑草车
从A点由静止开始沿滑道下滑，滑草车在AB段做匀加速直线运动。取倾斜滑道底端为零
势能面，游客与滑草车在AB上运动的机械能、重力势能随着位移x的变化情况如图丙所示。
重力加速度大小取 ， ，下列说法正确的是（ ）
A．游客和滑草车总质量为186kg
B．游客到达B点时的速度为10m/s
C．滑草车与倾斜滑道间的动摩擦因数为0.26
D．游客在倾斜滑道上的加速度为
类型3 功能关系的综合应用
【例3】（2024·山东·高考真题）如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放
置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d
（d<l）。两木板与地面间动摩擦因数均为μ，弹性绳劲度系数为k，被拉伸时弹性势能E=
kx2（x为绳的伸长量）。现用水平力F缓慢拉动乙所坐木板，直至甲所坐木板刚要离开
原位置，此过程中两人与所坐木板保持相对静止，k保持不变，最大静摩擦力等于滑动摩
擦力，重力加速度大小为g，则F所做的功等于（ ）
A． B．C． D．
【变式演练1】如图所示，质量为m的物体A下端连接着固定在地面上的竖直轻质弹簧，
上端通过绕过定滑轮的轻质细绳连接着质量为2m的物体B，整个系统处于静止状态。已知
轻质弹簧的劲度系数为k，重力加速度为g，不计空气阻力及一切摩擦。现将细绳从P处剪
断，下列说法正确的是（ ）
A．剪断绳的瞬间，A的加速度大小为g
B．剪断绳后，A做简谐运动的振幅为
C．剪断绳后，A从图示位置运动到最低点的过程中，重力的瞬时功率一直增加
D．剪断绳后，A从图示位置运动到最低点的过程中，机械能先增加后减小
【变式演练2】一质量为m的小球，从地面附近的某高度处以初速度 v水平抛出，除重力
外小球还受一水平恒力作用，经过一段时间，小球的速度大小变为2v，方向竖直向下，小
球还未到达地面。在此过程中( )
A．小球的动能增加了mv2
B．小球的重力势能减少了2mv2
C．小球的机械能增加了2mv2
D．水平恒力做功的大小大于重力做功的大小
【变式演练3】如图，在倾角为 的光滑斜坡上有20个均匀分布的减速带，减速带之间的
距离均为d，每个减速带的宽度远小于d。质量为m的无动力小车（可视为质点）从距第一
个减速带L处由静止下滑。小车通过减速带所损失的机械能与到达减速带时的速度有关。
某同学观察发现，小车通过第17个减速带后，在相邻减速带间的平均速度不再增加。小车
通过最后一个减速带后立刻进入与斜面平滑连接的水平地面继续滑行距离s后停下，小车
与地面间的动摩擦因数为 ，重力加速度为g。（1）小车进入水平地面时速度 的大小；
（2）小车通过20个减速带共损失的机械能 ；
（3）小车通过第17个减速带后，每经过一个减速带损失的机械能 。
【变式演练4】如图所示，一倾角为30°的光滑斜面固定在水平面上，斜面的底端固定一垂
直斜面的挡板，上端固定一定滑轮O。劲度系数为 的轻弹簧下端固定在挡板上，
上端与质量为2m的物块Q连接。一跨过定滑轮O的轻绳一端与物块Q连接，另一端与套
在水平固定的光滑直杆上质量为m的物块P连接。初始时物块P在水平外力F作用下静止
在直杆的A点，且恰好与直杆没有相互作用，轻绳与水平直杆的夹角为30°。去掉水平外
力F，物块P由静止运动到B点时轻绳与直杆间的夹角37°。已知滑轮到水平直杆的垂直距
离为d，重力加速度大小为g，弹簧轴线、物块Q与定滑轮之间的轻绳与斜面平行，不计滑
轮大小及摩擦， ， 。则下列说法正确的是（ ）
A．物块P在A点时弹簧的伸长量为
B．物块P从A点到B点时，物块Q的势能减少量等于P、Q两物块增加的总动能
C．物块P运动到B点时，物块Q的速度为
D．物块P从A点运动到B点的过程中，轻绳拉力对物块P做的功为
【变式演练5】如图所示，木块放在光滑水平面上，一颗子弹水平射入木块。若子弹受到
的平均阻力为f，射入深度为d，在此过程中木块的位移为s，则（ ）A．子弹的动能减少了 B．木块的动能增加了
C．系统产生的热量为 D．子弹克服阻力做功为
题型五 能量守恒定律的理解和应用
1．内容
能量既不会凭空产生，也不会凭空消失，它只能从一种形式转化为其他形式，或者从一个
物体转移到别的物体，在转化或转移的过程中，能量的总量保持不变．
2．表达式
ΔE ＝ΔE
减 增．
3．应用能量守恒定律解题的步骤
(1)首先确定初、末状态，分清有几种形式的能在变化，如动能、势能(包括重力势能、弹性
势能、电势能)、内能等．
(2)明确哪种形式的能量增加，哪种形式的能量减少，并且列出减少的能量 ΔE 和增加的能
减
量ΔE 的表达式．
增
【例题】如图为某研究小组设计的一种节能运输系统。木箱在倾角为30°的斜面轨道顶端
时，自动装货装置将货物装入质量为M的木箱内，然后木箱载着货物沿轨道无初速度滑下
（货物与木箱之间无相对滑动），当斜面底端的轻弹簧被压缩至最短时，系统将木箱锁定，
自动卸货装置将货物卸下，此后解除对木箱的锁定，木箱恰好被轻弹簧弹回到轨道顶端。
已知木箱下滑的最大距离为L，轻弹簧的弹性势能 ，x为弹簧的形变量，轻弹簧的
劲度系数 ，轻弹簧始终在弹性限度内，木箱与轨道间的动摩擦因数为 ，重力
加速度大小为g。 ， ，求：
（1）弹簧被压缩后的最大弹性势能；
（2）运送的货物的质量；
（3）木箱与货物在向下运动过程中的最大动能。【变式演练1】如图所示，质量为 的三轮车静止在水平地面上。此车通过钢丝（绕过光
滑定滑轮）将质量为 的石头从洞中拉到洞口，地面上方部分钢丝水平。三轮车以额定
功率 从静止开始启动，经过时间 三轮车达到行驶的最大速度，立刻关闭发动机，又经
过一段时间，三轮车停止运动，此时石头刚好到达洞口。若钢丝不计质量，石头可视为质
点，三轮车行驶过程中所受地面的阻力为其重力的 ，不计空气阻力，重力加速度为 ，
求：
（1）石头从开始运动到洞口上升的高度是多少；
（2）关闭发动机后瞬间钢丝对石头拉力的功率。
【变式演练2】某商家为了促销推出图甲所示的弹珠抽奖游戏，图乙为游戏的模型示意图，
平面游戏面板与水平面成 角固定放置，面板右侧的直管道与半径为 的 细
圆管轨道平滑连接，两者固定在面板上。圆管轨道的圆心为O，顶端水平。顾客游戏时，
用外力压缩面板底部连接的小弹簧将弹簧顶端的小弹珠（可视为质点）弹出，若弹珠直接
打中面板底部的中奖区域，则获得相应奖励，若弹珠打中侧面挡板，则抽奖无效。已知弹
珠质量 ，直管道长度 ，中奖区域AB长度 ，其等分为如图所示的
五个中奖区域，不计所有摩擦和阻力，弹簧的长度忽略不计，重力加速度g取 ，求：
（1）弹珠从圆管轨道顶端以 的速度飞出时，弹珠对轨道的压力以及此时顾客的
中奖情况；
（2）顾客获得一等奖时，弹簧初始弹性势能的取值范围。【变式演练3】如图所示，倾角为 的斜面与圆心为O、半径 的光滑圆弧轨
道在B点平滑连接，且固定于竖直平面内。斜面上固定一平行于斜面的轻质弹簧，现沿斜
面缓慢推动质量为 的滑块a使其压缩弹簧至A处，将滑块a由静止释放，通过D
点时轨道对滑块a的弹力为零。已知A、B之间的距离为 ，滑块a与斜面间动摩
擦因数 ，C为圆弧轨道的最低点，CE为圆弧轨道的直径，OD水平，滑块a可视
为质点，忽略空气阻力，取 ， ， ， 。
（1）求滑块a在C点对轨道压力的大小。
（2）求滑块a整个运动过程中系统因摩擦而产生的热量。
（3）若仅将滑块a换为质量为 的滑块b，滑块b由A点弹出后立即撤去弹簧，
求滑块b第一次落在斜面上的位置至B点的距离（结果保留2位有效数字）。
