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6.5 外接球与内切球（精练题组版）
题组一 汉堡模型
1．（2025·重庆·模拟预测）若高为1 的正三棱柱的顶点都在半径为1 的球面上，则该正三棱柱的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】由题意可知球的半径
，
因为正三棱柱的高为，则球心到三棱柱底面的距离
，
根据球的截面圆的性质，可得
，即
，解得
，
棱柱底面与球的截面圆的半径
，
三棱柱的底面三角形为截面圆内接正三角形，可得三角形的边长为
，
所以三角形的面积为
，
该棱柱的体积为
.
故选：B.
2．（25-26 高三上·河北·开学考试）在三棱锥
中，
平面
，
，
，
，则该三棱锥外接球的表面积为
【答案】
【解析】在底面
中，
，
，
由余弦定理，可得
，
设
的外接圆圆心为
，半径为
，三棱锥外接球的球心为
，半径为
，
在
中，由正弦定理可得
，解得
，
因为
平面
，
平面
，且球心
到点
的距离相等，
所以球心
到底面
的距离为
，
在
中，
，
故该三棱锥外接球的表面积为
，
故答案为：
3．（2025·安徽合肥·三模）在棱长为
的正方体
中，
是
的中点，则三棱锥
的
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图
为
的中点，
，
平面
，
平面
，
，
，
平面
，
平面
，
正方体
的棱长为
，
，
，
，
，
，
的外接圆半径为
，
所求问题等价于求以
为半径的底面圆，高为
的圆柱的外接球表面积，
设圆柱的外接球半径为
，则
，
三棱锥的外接球的表面积为
，
故选：C．
4．（2025·甘肃白银·三模）如图，在三棱锥
中，
平面ABC，
，
D，E，F 分别是棱PB，PC，BC 的中点，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
设棱
的中点分别为
，连接
，
构造长方体
，则长方体
外接球的表面积
即为三棱锥
外接球的表面积．依题意，
，
设长方体
外接球的半径为R，则
，
所以其外接球的表面积
．
故选：B
5．（2025·河南·模拟预测）如图，在四棱锥
中，
平面
，则四棱锥
外接球的表面积为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】方法一、连接
，设
的中点为
，
因为
平面
，
平面
，所以
，
，
因为
，所以
平面
，所以
平面
，故
，同理，
，又
，
所以
均以
为斜边的直角三角形，
，
故
为
的外接球的球心，
为外接球的直径，
由
，得
，
又
为四边形
外接圆的直径：
，
设四棱锥
的外接球的半径为
，
则
，解得
.
故四棱锥
外接球的表面积为
.
方法二、连接
，设
的中点为
，过
作直线
平面
，
，
是
的公共斜边，
即
是四边形
的外接圆圆心，
所以直线上的点到点
的距离相等，
故球心
一定在直线上，即
平面
，
现只要保证到点
的距离也相等即可，
即球心
也在
的垂直平分线上，设
中点为
，即
，
,
,
（为底面
外接圆半径），
平面
，
平面
，
，
又
，所以四边形
为矩形，
，
所以四棱锥外接球半径
即四棱锥
外接球的表面积为
.
故选：D.
6．（2025·江西·模拟预测）已知正六棱柱
的体积为
，
，则该正六棱柱外接球
的表面积为 .
【答案】
【解析】设正六边形
，
的中心分别为
，
，连接
，
则正六棱柱外接球的球心为
的中点，
该正六棱柱的外接球的半径为
，
因为正六棱柱
的体积为
，
，
所以
，解得
，又
，
所以
，从而
.
故答案为：
.
7．（23-24 天津·期末）所有棱长均为2 的正三棱柱
，它的顶点均在球
的表面上，则球
的表
面积为 .
【答案】
/
【解析】设正三棱柱
上、下底面的外接圆的圆心分别为
，
如图，连接
，则
为
的中点，连接
，
则
为球
的半径
，设圆
的半径为，
在
中，由正弦定理得
，解得
，
又
，所以
，
所以球
的表面积为
.
故答案为：
题组二 墙角模型
1．（2025 北京）球面上有
四个点，若
两两垂直，且
，则该球的
表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】由题意可知，该球是一个棱长为4 的正方体的外接球，
设球的半径为
，由题意可得：
,据此可得：
，外接球的表面积为：
.本题选择D 选项.
2．（2025 海南）棱长为
的正四面体的外接球体积为___________.
【答案】
【解析】如图，棱长为
的正四面体可以嵌入到棱长为的立方体中，所以正四面体的外接球与所嵌入的立
方体的外接球相同.
设立方体的外接球半径为
，则
，
所以立方体外接球的体积
.
故正四面体的外接球体积为
.
故答案为：
3．（2025 广东）在三棱锥
中，已知
，
，
两两垂直，且
，
，
，则
三棱锥
的外接球的表面积为
【答案】
【解析】以线段PA，PB，PC 为相邻三条棱的长方体
被平面ABC 所截的三棱锥
符合
要求，如图：
长方体
与三棱锥
有相同外接球，其外接球直径为长方体体对角线
长，
设外接球的半径为
，则
，
则所求表面积
.
4．（2025 安徽）已知正四棱柱(底面为正方形且侧棱与底面垂直的棱柱)的底面边长为3，侧棱长为4，则其外
接球的表面积为
【答案】
【解析】正四棱柱即长方体，其体对角线长为
，
因此其外接球的半径为
，则其表面积为
，故选:B.
题组三 斗笠模型
1．（2025·河南·三模）已知圆锥的母线长为
，侧面展开图的面积为
，则该圆锥的外接球的表面积为
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】若圆锥底面半径为，则
，可得
，故圆锥的高
，
若圆锥外接球的半径为
，则球心到圆锥底面距离
，
所以
，即
，可得
，
故外接球的表面积为
.
故选：A
2．（2025·重庆·三模）已知某圆锥的外接球的体积为
，若球心到该圆锥底面的距离为
，则该圆锥体积
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥
的外接球
半径为
，则
，解得
，
所以，圆锥
的底面半径为
，
所以，当圆锥的高为
时，圆锥的体积最大，
且其最大值为
.
故选：B.
3．（2025·江苏南通·模拟预测）已知正六棱锥的底面边长为2，且其侧面积是底面积的2 倍，则此正六棱锥的
外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】根据题意可得底面为正六边形的边长为
，
所以底面积为
,
设侧面积的三角形的高为
，则侧面积
，故
，
设正六棱锥的高为，则
，
设正六棱锥的外接球的半径为
,
则
,解得
,
所以正六棱锥的外接球的表面积
.
故答案为：
.
4．（2025 广西）已知圆锥的顶点和底面圆周都在球O 的球面上，圆锥的母线长为3，侧面展开图的面积为
，
则球O 的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】设底面半径为
，圆锥母线为
，所以
，所以
，
如图，
是圆锥轴截面，外接圆
是球的大圆，
是圆锥底面的圆心，
设球半径为
，则
，
，所以
，
如图1，
，即
，
解得
，不符合题意，
当为如图2 时，即
，
解得
，所以球表面积为
．
故选：A．
5．（2025 云南）已知一个圆锥的底面圆面积为
，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设圆锥的底面圆半径为
，高为
，母线长为，圆锥的外接球半径为
，
则
，可得
，
由于圆锥的侧面展开图是半圆，则
，可得
，
，
由圆锥的几何特征可知，圆锥的外接球心在圆锥的轴上，
所以，
，解得
,
因此，该圆锥的外接球的表面积为
.
故选：B.
6．（2025·宁夏银川·三模）一个圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，该圆锥的顶点和底
面圆周都在同一个球面上，则该球的表面积为 .
【答案】
/
【解析】由题意，圆锥的侧面展开图是一个半径为3，圆心角为
的扇形，如图1 所示，
则
，圆
的周长
，则
，
所以
，
又
，
，
，
所以
，即
，解得
，
即球体的半径为
，所以其表面积为
.
故答案为：
.
题组四 切瓜模型
1．（2025·河北秦皇岛·三模）如图，在四面体
中，平面
平面
，侧面
是等边三角形，
底面
是等腰直角三角形，
，则四面体
的外接球的体积是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
因为
是等腰直角三角形，
，
，
则
的外接圆半径
，
因为侧面
是等边三角形，设其外接圆半径为
，
由正弦定理可得
，解得
，
设
外接圆圆心为
，
外接圆的圆心为
，
因为平面
平面
，
过
作平面
的垂线，过
作平面
的垂线，
两垂线的交点
即为四面体
外接球的球心，
设球心
到平面
的距离为
，则
等于
的外接圆的圆心
到
的距离，
在等边三角形
中，
到
的距离为
，即
，
所以外接球的半径
，
所以
.
故选：C
2．（2025 甘肃）如图所示，在三棱锥
中，平面
平面
，
是以
为斜边的等
腰直角三角形，
，
，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】设
中点为
，连接
，
因为
是以
为斜边的等腰直角三角形，
所以
，
，
过点
作
，
因为平面
平面
，平面
平面
所以
平面
，
平面
，
所以三棱锥的外接球的球心在
上，设外接球的半径为
，
则由
得
，由
得
，
又因为
，
所以
为等腰直角三角形，
设球心为
，
中点为
，连接
，
则
，
所以
，
即
，解得
，
所以三棱锥的外接球的表面积为
.
故选：B
3.（2025 上海）已知三棱锥
的每个顶点都在球
的球面上，平面
平面
，
，
，
，
，则三棱锥
外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图所示：
取
的中点
，连接
，则
.
因为
为直角三角形，所以其外接圆圆心为
的中点
，
设四面体
的外接球球心为
，则
平面
，易知点
，点
位于平面
同侧，
又因为
平面
，所以
，连接
，
，
故四边形
为直角梯形，过
作
于点
，则四边形
为矩形，连接
，
设四面体
的外接球的半径为
，
.
在
中，
，
，
所以
，
.
在
中，
，
所以
，①
在
中，
，
在直角梯形
中，
，
，
.
在
中，
，即
.②
解①②组成的方程组，得
，
所以
，解得
(负值舍去).
所以四面体
的外接球的表面积
.
故选：C
题组五 怀表模型
1．（2025 江苏）四边形ABDC 是菱形，
，
，沿对角线BC 翻折后，二面角A-BD-C 的余弦
值为
，则三棱锥D-ABC 的外接球的体积为_____.
【答案】
【解析】如图，取
的中点为
，连接AM,DM,则
,
则二面角
的平面角为
，
，
由四边形ABDC 是菱形，
可知
为正三角形，
设球心
在平面
内的射影为
，在平面
内的射影为
，
则
为
的中心，
所以
，
，
，
由于二面角A-BD-C 的余弦值为
，
故设
，则
，
，
故
，则
，
，球
的半径
，
所求外接球的体积为
，
故答案为：
．
2．（2025 河北）如图，在三棱锥
中，
，
，二面角
的大
小为
，则三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】如图1，过
作
垂足为
，取
的中点
，连接
过
作
∥
,且
=
，连接
，则
∵△
为等边三角形，则
∴
，
，根据题意可得
∵
，则
由题意可得
，则
，则
如图2，∵
，则顶点
在平面
的投影为△
的外接圆圆心
，则三棱锥
的外接
球的球心
在直线
上，连接
，则
∴△
的外接圆半径
，则
设棱锥
的外接球的半径为
，则
即
，解得
三棱锥
的外接球的表面积为
故选：D．
3.（2025 湖北）在边长为6 的菱形ABCD 中，
，现将
沿BD 折起到
的位置，当三棱锥
的体积最大时，三棱锥
的外接球的表面积为（ ）
A．60π
B．45π
C．30π
D．20π
【答案】A
【解析】当三棱锥
的体积最大值时，平面
平面
，如图，
取
的中点为
，连接
，则
.
设
分别为
，
外接圆的圆心，
为三棱锥
的外接球的球心，
则
在
上，
在
上，且
,
且
平面
，
平面
.
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
，同理
四边形
为平行四边形
平面
，
平面
，即四边形
为矩形.
外接球半径
外接球的表面积为
故选：A.
题组六 矩形模型
1．（24-25 陕西宝鸡）将边长为
的正方形
沿对角线
折成一个直二面角
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．4π
B．6π
C．8π
D．12π
【答案】A
【解析】令正方形
对角线交点为
，在四面体
中，
，
因此四面体
的外接球的球心点为
，半径为1，
所以四面体
的外接球的表面积为
.
故选：A
2．（2025.江西）在矩形
中
，
，沿对角线
进行翻折，则三棱锥
外接球
的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为在翻折过程中，
始终不变，
所以
的中点到
，
，
，
四点的距离始终相等，三棱锥
外接球的直径为
，
所以外接球的表面积为
，故选：D
3．（2025·天津河）将长、宽分别为
和
的长方形
沿对角线
折成直二面角，得到四面体
，则四面体
的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】取
的中点，连接
、
，如下图所示：
由题意
，
因为
，
为
的中点，所以，
，
所以，
为四面体
的外接球的球心，且球
的半径为
，
因此，四面体
的外接球的表面积为
.故选：A.
4．（2025·四川）中国古代数学家刘徽所注释的《九章算术》中，称四个面均为直角三角形的四面体为“鳖
臑”.如图所示的鳖臑
中，
面
，
，若
，
，且顶点
均
在球
上，则球
的表面积为______.
【答案】
【解析】由题意可知：球
为鳖臑
的外接球，
面
，
面
，
，
，
又
，
面
，
，
面
，
又
面
，
；
取
中点
，连接
，
，
，同理可知：
，
点
与球
的球心
重合，球
的半径
，
球
的表面积
.故答案为：
.
5．（24-25 高二下·广东广州·期末）将边长为4 的正方形
沿对角线
进行翻折，使得二面角
的大小为120°，连接
，得到三棱锥
，则此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】设正方形
的对角线交点为
，
则
，
，
翻折后所得图形如下图所示，
则
的中点
为球心，
故该四面体的外接球体积
，
由于二面角
的大小为120°，
，则
，且，
所以四面体
的体积
，
故此三棱锥的体积与它的外接球体积之比为
．
故选：D．
题组七 折叠模型
1．（2025 高三·全国·专题练习）在边长为4 的等边三角形
中，
是
的中点，将
沿中线
折
起，得到三棱锥
，若二面角
的大小为120°，则三棱锥
外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】如图，设
的中点分别为
，连接
，
则
，
，因为等边三角形
中，
是
的中点，将
沿中线
折起，
所以
，进而
，所以
为二面角
的平面角，故
．
因为
，
都是直角三角形，记三棱锥
外接球的球心为
，连接
，
因为
为
的中点，则
，
又
，
，所以
平面
，所以
，
又
，
，所以
平面
，所以
，
同理得
，
由
，可知
，且
，所以
平分
，
因为
，
，所以
，在
中，
，
，
所以
，即三棱锥
外接球半径为
．
所以所求体积为
．
故选：C.
2．（25-26 高三上·湖南永州·开学考试）已知
是边长为8 的正三角形，
是
的中点，沿
将
折起使得二面角
为
，则三棱锥
外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】在三棱锥
中，
平面
，
所以
即为二面角
的平面角，
由二面角
为
，可知
；
又
，所以
是边长为4 的正三角形，
令其外接圆圆心为
，则
，
令三棱锥
外接球的球心为
，球半径为
，如下图所示：
则
平面
，即有
，显然球心
在线段
的中垂面上，
令线段
的中垂面交
于
，
则
，显然
，于是
，四边形
是平行四边形，且是矩形，
而
，因此
，
所以三棱锥
外接球的表面积
.
故答案为：
3．（24-25 河南信阳·期末）在四棱锥
中，平面
平面
，
，
，
，
，
，若二面角
为
，则四棱锥
外接球的表面积为 ．
【答案】
/
【解析】分别取
，
的中点
，
，连接
，
，
，
，
，因为平面
平面
，
平面
平面
，
平面
，所以
平面
，
因为
平面
，
．在
中，
，
，
，
，所以，
，
．
因为点
，
分别为
，
的中点，所以
，
．
平面
，
，
平面
，又
平面
，
，所以
为二面角
的平面角，
，
．因为
为直角三角形
的外接圆的圆心，
所以，三棱锥
的外接球的球心
在直线
上，
由于
，所以
在线段
的延长线上，
设外接球的半径为
，则
，
．
所以三棱锥
的外接球的表面积
．
在四边形
中，由于
，
四点共圆，
所以三棱锥
的外接球即为四棱锥
的外接球，
故四棱锥
的外接球的表面积为
．
故答案为：
.
4．（24-25 湖南郴州·期末）在三棱锥
中，
和
均为边长为
的等边三角形，二面角
的大小为60°，则三棱锥
的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】设
的外心为
，过
分别作平面
和平面
的垂线，
则垂线交点即为三棱锥
的外接球的球心
，设
中点为
，
，则
就是二面角
的平面角，
，
又
和
均为边长为
的等边三角形，所以
，
又
，所以
为等边三角形，则四边形
外接圆直径
，
所以三棱锥
的外接球半径
，
则外接球的表面积
.
故答案为：
.
5．（2025 山东）已知菱形
的边长为4，对角线
，将
沿着
折叠，使得二面角
为
，则三棱锥
的外接球的表面积为___________.
【答案】
【解析】如图所示：
将
沿
折起后，取
中点为
，连接
，
，则
，
，
所以
即为二面角
的平面角，所以
；
与
是边长为4 的等边三角形.
分别记三角形
与
的重心为
、
，
则
，
；即
；
因为
与
都是边长为4 的等边三角形，
所以点
是
的外心，点
是
的外心；
记该几何体
的外接球球心为
，连接
，
，
根据球的性质，可得
平面
，
平面
，
所以
与
都是直角三角形，且
为公共边，
所以
与
全等，因此
，
所以
；
因为
，
，
，且
平面
，
平面
，
所以
平面
；
又
平面
，所以
，
连接
，则外接球半径
，
所以外接球表面积为
.故答案为：
.
题组八 台体的外接球
1．（2025·河北·二模）已知圆台的母线长为4，下底面的半径是上底面半径的3 倍，母线与底面所成的角为
60°，那么圆台的外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】因为母线与底面所成的角为60°，则圆台的高
，上底面半径
，下底面半径
，
设外接球的半径为
，球心到上底面的距离为，则
，解得
，
所以
，所以
.
故选：D．
2．（2025·福建莆田·三模）已知某圆台下底面半径为2，高与上底面半径均为1，则该圆台外接球的表面积是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】由题意分析可得球心应该在线段
的延长线上，如图，设
为圆台外接球的球心，
，
分别为
上、下底面圆的圆心，
为外接球半径，
则
，解得
，所以外接球的表面积为
．
故选：C．
3．（2025·福建龙岩·二模）已知正四棱台
的上，下底面边长分别为
和
．若该棱台的体
积为
，则该棱台的外接球表面积为（ ）.
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】在正四棱台
中，
，
，体积为
，高为，
故
，
则
，
，
连接
、
相交于点
，
、
相交于点
，
设外接球的球心为
，若
在台体外，
设
到底面
的距离为
，
则半径为
，
即
，解得
，所以球心
与点
重合，
若
在台体内，
到底面
的距离为
，
则半径为
，
即
，解得
， 所以球心
与点
重合，
综上所述，
，故
，所以
.
故选：C.
4．（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台的上、下底面半径分别为3 和4，母线与高的夹角为
，则此圆台的
高为 ，圆台的外接球的体积为 .
【答案】 1
/
【解析】设此圆台上底面圆心为
，下底面圆心为
，其外接球的球心为
，半径为
，作圆台轴截面如图
所示：
则
，设圆台的高
为，
根据轴截面及母线与高的夹角为
，可知
，
所以
，所以
.
设
（若球心在圆台内，则求得
），
则
，解得
，
所以圆台的外接球的体积为
.
故答案为：1；
5．（2025·甘肃白银·三模）已知正三棱台
的侧棱长为
，上、下底面的边长分别为
，
，
则三棱台
的外接球的表面积为 ．
【答案】
【解析】如图，设正三棱台上、下底面所在圆面的半径分别为
，则
，
所以
，
．
设球心到正三棱台上、下底面的距离分别为
，球的半径为
，
则
．
设正三棱台的高为，由棱台的侧棱长为
，得
，
所以
或
，
即
或
，
解得
，所以三棱台
的外接球的表面积为
．
故答案为：
6．（2025·陕西西安·模拟预测）已知圆台的高为3，上、下底面圆的半径分别为1 和2，它的两个底面的圆周
在同一个球的球面上，则该球的表面积为 ．
【答案】
【解析】作出圆台及外接球的轴截面图，如图．
易得球心
在圆台内部，设球心到上底面圆的距离为
，
则球心到下底面圆的距离为
，
由勾股定理得
，解得
，
则外接球的半径
，表面积为
．
故答案为：
7．（2025·江西新余·模拟预测）已知圆台
的上、下底面积分别为
，
，侧面积为
，则圆台
的外接球的表面积为 .
【答案】
【解析】依题意，
，
，则
，
，
则
，解得
，则圆锥
的高
，
设圆台
的外接球球心为
，根据圆台和球的对称性可知球心
在
上，
因为
，所以球心
不在圆台的上下底面之间，
由题意
，即
，解得
，
故
，故所求外接球表面积
.
故答案为：
题组九 向量法求外接球
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知四面体
的顶点坐标为
、
、
、
，
则该四面体外接球的表面积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】设球心为
，则满足：
，
即
，
解得：
，所以半径
，
因此该四面体外接球的表面积为
.
故选：C.
2．（2025·四川攀枝花·三模）如图，在四面体
中，D 为棱
上一点，
，
，
，且
，
，二面角
的大小为
．
(1)证明：
平面
；
(2)求四面体
外接球的体积；
(3)求
的长．
【答案】(1)证明见解析；
(2)
；
(3)
.
【解析】（1）由
，
，
，可得：
，
则由勾股定理得：
，又
，
，
平面
，
所以
平面
；
（2）由
平面
，
平面
，所以
，
又
，
平面
，所以
平面
，
则四面体
满足
平面
，
，
因此这个四面体
可以放在一个长方体里，
所以外接球的直径就是该长方体的体对角线
，
因为
，所以外接球的半径
，
即该外接球的体积
，
（3）把这个三棱锥换成以
作底面，因为
，所以以
为坐标原点，如图建立空间直角坐标系，
由于
平面
，
，
，
,
设
，则
，
即
，
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
，
所以
，
设平面
的法向量为
，
则
，令
，则
，
，
所以
，
因为二面角
的大小为
，
所以
，解得
故
题组十 内切球
1．（2025·浙江嘉兴·三模）若某正四面体的内切球的表面积为
，则该正四面体的外接球的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】正四面体的内切球与其外接球球心重合，
如图，正四面体
内切球与外接球球心
在其高
上，
则
是正四面体
内切球半径，
是正四面体
外接球半径，
由正四面体
的内切球的表面积为
，得
，令
，
，
，
，
在
中，
，解得
，
，
所以该正四面体的外接球的体积
.
故选：C
2．（2025·江西·模拟预测）（多选）已知多面体
的底面
为正方形，
，
，
，
均垂直于底面
，
，且
，
，
，
四点共面．下列说法正确的是（ ）
A．
B．若多面体
存在外接球，则该外接球的表面积为
C．
D．若
，
，则三棱锥
的内切球半径为
【答案】ACD
【解析】如图1-4，在正方形
中，
．
由题意
平面
，
平面
，所以
，
由
，
，则四边形
为平行四边形，所以
，
所以
，又
都在平面
内，所以
平面
．
又
平面
，所以
，故A 正确．
如图1-5，当多面体为正方体时，才有外接球，外接球的半径等于体对角线的一半，为
，所以外接球的表面
积
，故B 错误．
如图1-6，
，
，故C 正确．
如图1-7，若
，
，
，解得
，故D 正确．
故选：
3．（24-25 浙江温州·期末）已知一底面边长为
的正三棱柱有内切球，则该正三棱柱外接球的表面积为
.
【答案】
【解析】在正三棱柱
中，分别取三条侧棱的中点
、
、
，如图所示：
易知
是边长为
的等边三角形，则该三棱柱内切球球心
为
的中心，
连接
、
、
，
设球
的半径为，则
，
即
，解得
，
由正棱柱的几何性质可知
，
易知该正三棱柱的外接球球心也为
，设正三角形
的中心为
，连接
、
、
，
则
平面
，
，
，
故
，即该三棱柱外接球半径为
，
因此，该三棱柱外接球表面积为
.
故答案为：
.
4．（2025·山西·三模）一边长为2 的正方体
，如图所示，则两个三棱锥
，
的公共部分的内切球的表面积为 ．
【答案】
【解析】连接起交线后如下图所示，即两个三棱锥
，
的公共部分为一个边长为
的正八
面体，
作
，
的中点
，
，设内切球的半径，
所以
，所以
，
，
，又
，所以
，
即表面积为
．
故答案为：
5．（2025·辽宁鞍山·一模）正四面体内切球与其外接球表面积之比为 ．
【答案】
【解析】如图1，过点A 作
底面
于点F，则F 为正三角形
的中心，连接
并延长，交
于点
E，则E 为
中点，且
，在
上取点O，此点为正四面体
的外接球球心，则
，
设正四面体棱长为a，则
，故
，由勾股定理得：
，设
，由
得：
，解得：
，
如图2，作出正四面体的截面
，则正四面体的内切球与
，
相切，设内切球球心为
，半径为r，则
作
于点G，则
，
，其中
，
，由
得：
，即
，
解得：
，则
，
所以内切球的表面积与外接球表面积之比为
，
故答案为：
．
题组十一 有关球的最值
1．（2025·福建福州·模拟预测）在平面四边形
中，
是边长为
的等边三角形，
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形，将该四边形沿对角线
折成四面体
，在折起的过程中，四面体的外
接球体积最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】
如图，设三棱锥
的外接球球心为
，取
的中点
,连接
，
因为
是以点
为直角顶点的直角三角形，所以
的外接圆圆心是点
，
则由球的性质可知，
平面
，
设外接球半径为
,
是边长为
的等边三角形,
是以点
为直角顶点的等腰直角三角形,
,
在
中勾股定理可知
,
则在
中利用余弦定理可得，
,
，则
，得
，
所以
的最小值为1，外接球体积最小值为
.
故选：C.
2．（2025·山东·模拟预测）一个轴截面是边长为
的正三角形的圆锥形封闭容器，放入一个小球
后，还
可以放入一个半径为1 的小球
，则小球
的体积与容器体积之比的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意，得圆锥形容器的底面半径
，高
.
因为边长为
的正三角形的内切圆半径
，所以轴截面是边长为
的正三角形的圆锥的
内切球半径为1，
所以小球
与容器的侧面，底面均相切.
要使小球
的体积与容器体积之比最大，则小球
的半径
最大，所以只需小球
与小球
，
圆锥形容器的侧面都相切，其轴截面如图.此时
，
所以小球
的体积与容器体积之比的最大值为
.
故选：A.
3．（2025·广西·模拟预测）设正四面体ABCD 的内切球表面积为
，则能装下该正四面体的最小正方体不
计厚度的体积为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】】设正四面体ABCD 的内切球球心为O，半径为r，
则
，
设正四面体边长为a，则
，
又由题可得
，解得
，则
.
又如图所示，取三角形BCD 中心为
， 则
为四面体底面BCD 对应的高，连接
，
则
为三角形BCD 外接圆半径，等于
，则
，
则
将正四面体按照如图所示的方式放入正方体中，即正四面体的每条边均为正方体的面对角线，此时为能装下该
正四面体的最小正方体，
设正方体的棱长为t，则
，解得
，
故此正方体的体积为
故选：
4．（2025·四川成都·模拟预测）已知
平面
，
，
，
于
，
于
，
在
上，且满足
，则四面体
与
的外接球的体积比的取值范围为 ．
【答案】
【解析】设
，则
，
，
，
因为
平面
，
平面
，所以
,
且
，
，
平面
，
所以
平面
，
平面
，所以
，
所以四面体
的外接球的直径为
，所以半径
，
对四面体
，
，
因为
，所以
，
则
是四面体
的外接球的直径，
所以四面体
的外接球半径为
，
所以
，只求
的范围，设
，则
，
，
，则
，
令
，则
，且
，
在
中，由余弦定理可知，
，则
，
所以
，则外接球的体积比的取值范围是
．
故答案为：
5．（2025·上海浦东新·模拟预测）将一个圆心角为
、面积为
的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大
的球的表面积为 ．
【答案】
【解析】设圆锥底面半径为
，母线长为
，则
，解得
，
，
易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中
，
，且点
为
边上的中点，
设内切圆的圆心为
，由于
，
故
，
设内切圆半径为，则
，
解得
，其表面积为
.
故答案为：
.
6．（2025·宁夏银川·二模）已知正四棱锥
的一个侧面的周长为
，则该四棱锥体积的最大值时，其
外接球表面积为 .
【答案】
【解析】 如图，设正四棱锥
的底面边长为
，侧棱长为
，高为，
因为正四棱锥的底面
为正方形，顶点
在底面的射影为底面的中心
，
侧棱长相等，侧面为等腰三角形，所以
，所以
，得
，
又
，所以正四棱锥
的体积
.
设
，
则
，
当
时，
，即
在
单调递增，
当
时，
，即
在
上单调递减，
所以
，所以
.
此时，
，
，
设该正四棱锥外接球的半径为
，则
，
解得
，故其外接球表面积
.
故答案为：
.
7．（2025·山东枣庄·二模）在三棱锥
中，
是边长为
的等边三角形，侧面
底面
，
.若三棱锥
的四个顶点均在同一球面上，则该球的表面积为 ，三棱锥
体积的最大值为 .
【答案】
【解析】如图①，设
的外接圆的圆心分别为
，半径为
，三棱锥
的外接球的球心
为O，半径为
，取AB 的中点为E，连接
，
.
在
中，由正弦定理，得
，即
，同理可得
.
因为侧面
底面
，侧面
底面
，
面
，所以
底面
，
所以
.
由外接球的性质可得
底面
侧面
，所以四边形
为矩形.
在
中，
，
因为
，所以
，所以球
的表面积为
.
设三棱锥
的高为h，过
作
于点H，
由面面垂直的性质可得，
底面
，即
为三棱锥
的高.
及其外接圆如图②所示，由图可知，当
位于劣弧
的中点时，最大，最大值为
，
所以三棱锥
体积的最大值为
.
故答案为：
，
.
8．（2025·浙江·三模）圆台内有一个球，与圆台的上下底面及所有母线均相切，则圆台与球的体积比的取值范
围为 .
【答案】
【解析】设圆台轴截面如图，等腰梯形底角为
，上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，球的半径为
，
则圆台体积
，球体积
，已知
，
.
由
，得
，把
代入，
，所以
.
则
.
.
则
，化简得
.
令
，
.当
，
；靠近
时，变得很大，
趋近正无穷，所以
范围
是
，即
.
故答案为：
.
