2024年高考数学一轮复习（新高考版）第7章　§7.2　球的切、接问题[培优课]_2.2025数学总复习_2024年新高考资料_1.2024一轮复习_2024年高考数学一轮复习讲义（新高考版）

§7.2 球的切、接问题 球的切、接问题，是历年高考的热点内容，经常以客观题出现．一般围绕球与其他几何 体的内切、外接命题，考查球的体积与表面积，其关键点是确定球心． 题型一 定义法 例1 (1)(2023·宣城模拟)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝2，AB＝2，AC＝4， ∠BAC＝45°，则三棱锥P－ABC外接球的表面积是( ) A．14π B．16π C．18π D．20π 答案 D 解析 在△BAC中，∠BAC＝45°，AB＝2，AC＝4， 由余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 45°＝8＋16－2×4×2×＝8， 则BC2＋AB2＝AC2，所以BC⊥AB， 由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB⊂平面PAB， 所以BC⊥平面PAB， 所以BC⊥PB， 所以△PBC为直角三角形， 又△PAC为直角三角形， 所以PC是三棱锥P－ABC外接球直径，设O是PC的中点，即为球心， 又AC＝4，PA＝2， 所以PC＝＝＝2， 所以外接球半径为， 所以所求外接球的表面积S＝4π×()2＝20π. (2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为3和4，其顶点都在 同一球面上，则该球的表面积为( ) A．100π B．128π C．144π D．192π 答案 A解析 由题意，得正三棱台上、下底面的外接圆的半径分别为××3＝3，××4＝4. 设该棱台上、下底面的外接圆的圆心分别为O ，O ，连接OO(图略)，则OO ＝1，其外接 1 2 1 2 1 2 球的球心O在直线OO 上． 1 2 设球O的半径为R，当球心O在线段OO 上时，R2＝32＋OO＝42＋(1－OO )2，解得OO ＝ 1 2 1 1 4(舍去)； 当球心O不在线段OO 上时，R2＝42＋OO＝32＋(1＋OO )2，解得OO ＝3， 1 2 2 2 所以R2＝25， 所以该球的表面积为4πR2＝100π. 综上，该球的表面积为100π. 思维升华 到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心， 找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据到其他顶点距离也是半径，列关系式求解即可． 跟踪训练1 已知直三棱柱ABC－ABC 的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝ 1 1 1 4，AB⊥AC，AA＝12，则球O的半径为( ) 1 A. B．2 C. D．3 答案 C 解析 由题意作图如图，过球心O作平面ABC的垂线，则垂足为BC的中点M. ∵AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，∴BC＝5，又AM＝BC＝，OM＝AA＝6， 1 ∴球O的半径R＝OA＝＝. 题型二 补形法 例2 (1)(2023·大庆模拟)在正方形ABCD中，E，F分别为线段AB，BC的中点，连接DE， DF，EF，将△ADE，△CDF，△BEF分别沿DE，DF，EF折起，使A，B，C三点重合， 得到三棱锥O－DEF，则该三棱锥的外接球半径R与内切球半径r的比值为( ) A.2 B．4 C．2 D. 答案 C 解析 因为在正方形ABCD中，AD⊥AE，CD⊥CF，BE⊥BF， 所以折起后OD，OE，OF两两互相垂直，故该三棱锥的外接球，即以OD，OE，OF为棱的长方体的外接球． 设正方形ABCD的边长为2，则OD＝2，OE＝1，OF＝1， 故2R＝＝，则R＝. 设内切球球心为I，由V ＝·S ·OD＝，三棱锥O－DEF的表面积S＝4， O－DEF △OEF V ＝V ＋V ＋V ＋V ＝Sr， O－DEF I－ODE I－ODF I－OEF I－DEF 所以r＝，则有＝2. (2)如图，在多面体中，四边形ABCD为矩形，CE⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝CE＝1，通 过添加一个三棱锥可以将该多面体补成一个直三棱柱，那么添加的三棱锥的体积为________， 补形后的直三棱柱的外接球的表面积为________． 答案 6π 解析 如图，添加的三棱锥为直三棱锥E－ADF， 可以将该多面体补成一个直三棱柱ADF－BCE， 因为CE⊥平面ABCD，AB＝2， BC＝CE＝1， 所以S ＝CE×BC＝×1×1＝， △BCE 直三棱柱ADF－BCE的体积 V＝S ·AB＝×2＝1， △BCE 添加的三棱锥的体积为V＝. 方法一 如图，分别取AF，BE的中点M，N，连接MN，与AE交于点O， 因为四边形AFEB为矩形，所以O为AE，MN的中点，在直三棱柱ADF－BCE中，CE⊥平面ABCD， 所以FD⊥平面ABCD，即∠ECB＝∠FDA＝90°，所以上、下底面为等腰直角三角形，直三棱 柱的外接球的球心即为点O，AO即为球的半径， 因为AM＝AF＝，MO＝1， 所以AO2＝AM2＋MO2＝＋1＝， 所以外接球的表面积为4π·AO2＝6π. 方法二 因为CE，CB，CD两两垂直，故将直三棱柱ADF－BCE补成长方体，设外接球的 半径为R，则4R2＝12＋12＋22＝6，所以外接球的表面积S＝4πR2＝6π. 思维升华 (1)补形法的解题策略 ①侧面为直角三角形，或对棱均相等的模型和正四面体，可以还原到正方体或长方体中去求 解；②直三棱锥补成三棱柱求解． (2)正方体与球的切、接问题的常用结论 正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (3)若长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. 跟踪训练2 (1)在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，△ABC，△ACD， △ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为( ) A.π B．2π C．3π D．4π 答案 A 解析 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，将其补成长方体，两者的外接 球是同一个，长方体的体对角线就是球的直径． 设长方体同一顶点处的三条棱长分别为a，b，c，由题意得ab＝，ac＝，bc＝， 解得a＝，b＝，c＝1，所以球的直径为＝，它的半径为，球的体积为×3＝π. (2)(2023·焦作模拟)已知三棱锥P－ABC的每条侧棱与它所对的底面边长相等，且PA＝3， PB＝PC＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为________． 答案 34π 解析 根据题意，三棱锥P－ABC可以嵌入一个长方体内，且三棱锥的每条棱均是长方体的 面对角线，设长方体交于一个顶点的三条棱长分别为a，b，c，如图所示，则a2＋b2＝PA2＝18，a2＋c2＝PB2＝25，b2＋c2＝PC2＝25，解得a＝3，b＝3，c＝4.所以该三 棱锥的外接球的半径R＝＝＝，所以该三棱锥的外接球的表面积S＝4πR2＝4π×2＝34π. 题型三 截面法 例3 (1)四棱锥P－ABCD的顶点都在球O的表面上，△PAD是等边三角形，底面ABCD是 矩形，平面PAD⊥平面ABCD，若AB＝2，BC＝3，则球O的表面积为( ) A．12π B．16π C．20π D．32π 答案 B 解析 如图，连接AC，BD，AC∩BD＝G，取AD的中点E，连接PE. ∵四边形ABCD为矩形，∴G为四边形ABCD的外接圆圆心； 在线段PE上取ME＝PE， ∵△PAD为等边三角形，∴M为△PAD外接圆圆心， 过G，M分别作平面ABCD和平面PAD的垂线，则两垂线的交点即为球O的球心O，连接 OP， ∵△PAD为等边三角形，∴PE⊥AD， ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE⊂平面PAD， ∴PE⊥平面ABCD，∴PE∥OG； 同理可得，OM∥EG，∴四边形OMEG为矩形； ∴OM＝EG＝AB＝1，PM＝PE＝×＝， ∴OP＝＝2，即球O的半径R＝2， ∴球O的表面积S＝4πR2＝16π. (2)如图所示，直三棱柱ABC－ABC 是一块石材，测量得∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8， 1 1 1 AA ＝13.若将该石材切削、打磨，加工成几个大小相同的健身手球，则一个加工所得的健身 1 手球的最大体积及此时加工成的健身手球的个数分别为( ) A.，4 B.，3 C．6π，4 D.，3 答案 D解析 依题意知，当健身手球与直三棱柱的三个侧面均相切时，健身手球的体积最大．易知 AC＝＝10，设健身手球的半径为R，则×(6＋8＋10)×R＝×6×8，解得R＝2. 则健身手球的最大直径为4. 因为AA＝13，所以最多可加工3个健身手球． 1 于是一个健身手球的最大体积V＝πR3＝π×23＝. 思维升华 (1)与球截面有关的解题策略 ①定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的 距离相等且为半径； ②作截面：选准最佳角度作出截面，达到空间问题平面化的目的． (2)正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a，其半径之比R∶r＝3∶1(a为该正四 面体的棱长)． 跟踪训练3 (1)(2022·淮北模拟)半球内放三个半径为的小球，三小球两两相切，并且与球面 及半球底面的大圆面也相切，则该半球的半径是( ) A．1＋ B.＋ C.＋ D.＋ 答案 D 解析 三个小球的球心O ，O ，O 构成边长为2的正三角形，则其外接圆半径为2.设半球 1 2 3 的球心为O，小球O 与半球底面切于点A. 1 如图，经过点O，O ，A作半球的截面，则半圆⊙O的半径为OC，OC⊥OA，作OB⊥OC 1 1 于点B. 则OA＝OB＝2.设该半球的半径是R，在Rt△OAO 中，由(R－)2＝22＋()2可得R＝＋. 1 1 (2)(2021·天津)两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两 个圆锥的高之比为1∶3，则这两个圆锥的体积之和为( ) A．3π B．4π C．9π D．12π 答案 B 解析 如图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D， 设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3∶1，即AD＝3BD， 设球的半径为R，则＝，可得R＝2， 所以AB＝AD＋BD＝4BD＝4， 所以BD＝1，AD＝3， 因为CD⊥AB，AB为球的直径， 所以△ACD∽△CBD， 所以＝，所以CD＝＝， 因此，这两个圆锥的体积之和为 π×CD2·(AD＋BD)＝π×3×4＝4π. 课时精练 1．(2023·岳阳模拟)已知一个棱长为2的正方体的顶点都在某球面上，则该球体的体积为( ) A.π B．4π C．8π D．12π 答案 B 解析 因为正方体的体对角线等于外接球的直径，且正方体的棱长为2， 故该球的直径2R＝＝2.所以R＝.故该球的体积V＝πR3＝4π. 2．已知在三棱锥P－ABC中，AC＝，BC＝1，AC⊥BC且PA＝2PB，PB⊥平面ABC，则其 外接球体积为( ) A. B．4π C. D．4π 答案 A 解析 AB＝＝，设PB＝h，则由PA＝2PB，可得＝2h，解得h＝1，可将三棱锥P－ABC还 原成如图所示的长方体，则三棱锥P－ABC的外接球即为长方体的外接球，设外接球的半径 为R，则2R＝＝2，R＝1， 所以其外接球的体积V＝R3＝. 3．(多选)已知三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的表面上，PA⊥平面ABC，PA＝6， AB⊥AC，AB＝2，AC＝2，点D为AB的中点，过点D作球O的截面，则截面的面积可以是 ( ) A. B．π C．9π D．13π答案 BCD 解析 三棱锥P－ABC的外接球即为以AB，AC，AP为邻边的长方体的外接球， ∴2R＝＝2， ∴R＝， 取BC的中点O， 1 ∴O 为△ABC的外接圆圆心， 1 ∴OO ⊥平面ABC，如图． 1 当OD⊥截面时，截面的面积最小， ∵OD＝ ＝＝2， 此时截面圆的半径为r＝＝1， ∴截面面积为πr2＝π， 当截面过球心时，截面圆的面积最大为πR2＝13π， 故截面面积的取值范围是[π，13π]． 4．若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为( ) A．π B．2π C．3π D．4π 答案 C 解析 过圆锥的旋转轴作轴截面，得△ABC及其内切圆⊙O 和外接圆⊙O， 1 2 且两圆同圆心，即△ABC的内心与外心重合，易得△ABC为正三角形， 由题意得⊙O 的半径为r＝1,∴△ABC的边长为2， 1 ∴圆锥的底面半径为，高为3， ∴V＝×π×3×3＝3π. 5．已知一个三棱柱，其底面是正三角形，且侧棱与底面垂直，一个体积为的球体与棱柱的 所有面均相切，那么这个三棱柱的表面积是( ) A．6 B．12 C．18 D．24 答案 C 解析 根据已知可得球的半径等于1，故三棱柱的高等于2，底面三角形内切圆的半径等于 1，即底面三角形的高等于 3，边长等于 2，所以这个三棱柱的表面积等于 3×2×2＋ 2××2×3＝18.6．(多选)已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M，N，若线段MN的最小值为－ 1，则下列说法中正确的是( ) A．正方体的外接球的表面积为12π B．正方体的内切球的体积为 C．正方体的棱长为2 D．线段MN的最大值为2 答案 ABC 解析 设正方体的棱长为a， 则正方体外接球的半径为体对角线长的一半， 即a；内切球的半径为棱长的一半，即. ∵M，N分别为外接球和内切球上的动点， ∴MN ＝a－＝a＝－1， min 解得a＝2，即正方体的棱长为2， ∴正方体外接球的表面积为4π×()2＝12π，内切球的体积为，则A，B，C正确； 线段MN的最大值为＋1，则D错误． 7.(2022·聊城模拟)“阿基米德多面体”也称半正多面体，是由边数不全相同的正多边形围成 的多面体，它体现了数学的对称美．如图是以一正方体的各条棱的中点为顶点的多面体，这 是一个有八个面为正三角形，六个面为正方形的“阿基米德多面体”，若该多面体的棱长为 1，则该多面体外接球的体积为( ) A.π B.π C．4π D．8π 答案 A 解析 将该多面体放入正方体中，如图所示． 由于多面体的棱长为1，所以正方体的棱长为， 因为该多面体是由棱长为的正方体连接各棱中点所得， 所以该多面体外接球的球心为正方体体对角线的中点，其外接球直径等于正方体的面对角线 长，即2R＝，所以R＝1，所以该多面体外接球的体积V＝πR3＝. 8．(2022·全国乙卷)已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的 球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为( ) A. B. C. D. 答案 C 解析 该四棱锥的体积最大即以底面截球的圆面和顶点O组成的圆锥体积最大． 设圆锥的高为h(0