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第三章 一元函数的导数及其应用（章节验收卷）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．若函数
满足
，
，则
（ ）
A．
B．
C．2
D．8
【答案】A
【分析】由导数的定义及极限的运算即可求解.
【详解】∵
，∴
，
，
故选：A.
2．已知函数
，则
（ ）
A．
B．2
C．
D．
【答案】A
【分析】求导得
，令
即可求解.
【详解】对
求导得，
，
令
，得
，解得
.
故选：A.
3．函数
的单调递减区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】对函数
求导，令
，结合函数
的定义域即可求解函数
的单调递减区间.
【详解】
的定义域为
，且
.
令
得
，解得
，
所以函数
的单调递减区间是
.
故选：A.
4．已知函数
的导函数
为偶函数，
图象如图所示，则函数
的图象可能是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数确定函数的单调性，即可得解.
【详解】当
时，
，所以
在
上单调递增，故排除BCD，
故选：A
5．函数
的极小值点为（ ）
A．-1
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】求出函数的导数，进而求出极小值点.
【详解】函数
，求导得
，
当
或
时，
；当
时，
，
所以
是函数
的极小值点.
故选：C
6．已知
，
，若
，
，
使得
成立，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】只需
，根据导数求出
的最小值，由二次函数单调性求
出
的最小值，即可求解.
【详解】
，
，使得
成立，
则
，
函数
，
，
令
得
，当
时
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
在
处取极小值，也是最小值，
函数
的最小值为
，
，
则
，
所以
.
故选：A.
7．已知函数
，若函数
恰有2 个零点，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问
题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得.
【详解】解：由题意知，要使得
恰有2 个零点，即
有两个
实数根．
当
时，
，令
，可得
；
当
时，
，令
，可得
．
在同一坐标系下，作出函数
，
和
的图象，
如图所示，
由函数
，可得
，可得
时，
，
，
故函数
在
处的切线方程为
，
又由函数
，可得
，可得
时，
，
故函数
在
的切线方程为
，
所以函数
与
只有一个公共点，
结合图象得：当
时，
恰有3 个零点；
当
时，
恰有2 个零点；
当
时，
恰有3 个零点，
要使得
恰有2 个零点，则满足
，
所以实数
的取值范围为
．
故选：C.
8．若
，则
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】构造函数
，
，求证
，
即可赋值判断.
【详解】①令
，则
，
当
时，
，所以
，当
时，
，所以
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
，所以
，即
，等号成立时
，
所以
，即
；
②令
，则
，
当
时，
，当
1 时，
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
所以
，所以
0，即
，等号成立时
，
所以
，即
．
综上，
．
故选：C．
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列选项正确的是（ ）
A．
，则
B．
，则
C．
，则
D．
，则
【答案】CD
【分析】利用求导公式求导，逐项判断即可.
【详解】对于A，由
，得
，A 错误；
对于B，
，则
，B 错误；
对于C，由
，得
，C 正确；
对于D，由
，得
，D 正确.
故选：CD
10．已知函数
，且图象的对称中心为点
，则（ ）
A．函数
在
处取得极小值1
B．当
时，
C．当
时，
的取值范围是
D．
只有一个零点
【答案】AD
【分析】根据对称中心求和
，再逐项计算后可得正确的选项.
【详解】因为函数
，
所以
，
即
的图象恒关于点
对称，
故有
，故
，故
.
对于A，由
，可得
，
，即
，化简得
，
即
，解得
或
，
当
时，
，
在
上单调递增；
当
时，
，
在
单调递减；
当
时，
，
在
上单调递增.
所以
是极大值点，
是极小值点，
且有
，故选项A 正确.
对于B，当
时，
，
，
即
，
在同一个区间
内.
又
在
上单调递减，所以当
，
即
时，
；当
，即
时，
；
当
即
时，
，故选项B 错误.
对于C，令
，当
时，
，
由A 知当
时，
单调递减，又
，
，
所以当
时，
，即当
时，
，故选项C 错误.
对于D，由A 可知，当
时，
，
，
，
，即
只有一个零点，其在
上，故选项D 正确.
故选：AD.
11．若函数
在区间D 上的导函数为增函数，则称
在区间D 上为凹函数．已
知函数
的定义域均为
为奇函数，当
时，
，则（ ）
A．
B．函数
在
上为凹函数
C．当
时，函数
在
上为凹函数
D．当
在
上为凹函数时，a 的取值范围是
【答案】ACD
【分析】利用赋值法可判断A；设
，利用导数判断当
时
单调性可判断B；求出
可判断C；当
在
上为凹函数时，设
，利用
，转化为
对
恒成立可判断D．
【详解】对于A，令
，得
，
因为
，所以
，即
．令
，
得
，由
，得
，
又
，所以
．令
，得
，
即
，所以
，所以
，故A 正确；
对于B，设
，则
，
设
，则
，
当
时，
，则
为减函数，即为凹函数，故B 错误；
对于C，当
时，
，则
为增函数，故C 正确；
对于D，当
时，
，则
，
当
在
上为凹函数时，设
，则
，
即
对
恒成立，则
对
恒成立，
所以
，故D 正确．
故选：ACD.
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分．
12．过原点引
的切线，若切线斜率为
，则
．
【答案】
【分析】由题可知切线方程为
，再利用导数的几何意义可得切点，再把切点代
入曲线即可求.
【详解】因为切线过原点且切线斜率为
，所以切线方程为
，
又
，所以
，
令
，
切点为
，
切点
一定在
上，所以
.
故答案为：
.
13．已知
，若函数
既有极大值又有极小值，则
的取值范围是
.
【答案】
【分析】求导后，将问题转化为
在
上有两个不同零点的问
题，根据二次函数零点分布可构造不等式组求得结果.
【详解】函数
的定义域为
，
，
函数
既有极大值又有极小值，
在
上有两个不同零点，
，解得：
，即
的取值范围为
.
故答案为：
.
14．已知函数
在
上单调递增，则
的最大值为
．
【答案】
【分析】利用导数分析函数
的单调性，结合题意得出
，进而可得出
，令
，
，利用导数求出函数
的最大
值，即可得解.
【详解】因为
，
则
，
（i）若
，则
对任意的
恒成立，
由
可得
，由
可得
，
此时函数
的减区间为
，增区间为
，不合乎题意；
（ii）若
，由
可得
或
，
①若
，由
可得
或
，由
可得
，
此时函数
的增区间为
、
，减区间为
，不
合乎题意；
②若
，由
可得
或
，由
可得
，
此时函数
的增区间为
、
，减区间为
，不
合乎题意；
③当
时，对任意的
，
恒成立，当且仅当
时，等号
成立，
此时函数
在
上为增函数，合乎题意，所以
，故
，
所以
，令
，
，则
，
由
可得
，由
可得
，
所以函数
的增区间为
，减区间为
，
故
.
综上所述，
的最大值为.
故答案为：.
四、解答题：本题共5 小题，其中第15 题13 分，第16,17 题15 分，第18,19 题17 分，共
77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．设
(1)当
时，求函数
的单调区间；
(2)若曲线
在点
处的切线与曲线
也相切，求
的值；
【答案】(1)递减区间为(0,2)，递增区间为
；
(2)
；
【分析】（1）对
求导，根据导数在区间内的符号判断单调区间；
（2）利用导数的几何意义求切线方程，再由切线重合得到相关方程求参数值.
【详解】（1）当
时，
，定义域为
，
所以
，令
，
所以函数
递减区间为(0,2)，递增区间为
．
（2）由
，则曲线
在点
处的切线的方程为
，
设直线与曲线
相切于点
，且
，结合切点在
上，
所以
，且
.
16．已知函数
，且曲线
在点
处的切线与x 轴
平行．
(1)求a，b；
(2)求
的极值点个数．
【答案】(1)
，
(2)两个
【分析】（1）由题意知，
，
，求导数，代入计算，即可得解；
（2）
，令
，则问题转化为函数
的变号零点
的个数，对函数
求导，判断
的正负，得到函数
的单调性，进而判断变号零
点个数，从而得解.
【详解】（1）由题得
，解得
，
又
，则
，解得
，
故
，
（2）由（1）可知
，
令
，则
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增；
又
，
，
，
，使得
，故
，
所以当
时，
，函数
在
上单调递增，
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
则
在
内单调递增，在
单调递减，在
递增，
所以
有两个极值点．
17．已知函数
，
.
(1)当
时，讨论函数
的单调性；
(2)已知
的导函数在
上存在零点，求证：当
时，
.
【答案】(1)
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
(2)证明见解析
【分析】（1）求导后，结合参数的范围讨论导数的正负即可；
（2）先由（1）的单调性得到
的最小值，再构造函数
，求导分析单调性和
最值可得.
【详解】（1）
，
当
时，令
，解得
或
，
①当
，即
时，令
，解得
或
；令
，解得
；
故
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
②当
，即
时，则
恒成立，故
在
上单调递
增；
③当
，即
时，令
，解得
或
；
令
，解得
；
故
在
，
上单调递增，在
上单调递减；
（2）由（1）知：若
在区间
上存在零点，则
，解得
.
在
上单调递增，在
上单调递减，
则
，
令
，
，则
，
令
，则
在
时恒成立，
故
在
上单调递减，则
，即
在
时恒成
立，
则
在
上单调递减，则
，故
.
18．已知
，函数
在
处取得极值．
(1)求a；
(2)证明：对任意的m，
，都有
；
(3)若存在实数
，使得
成立，求k 的最小整数值．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)5．
【分析】（1）先求导
，由
在
处取得极值，得
解出验
证即可；
（2）设
，验证
的单调递增，即有
，即可得
证；
（3）存在实数
，使得
成立，即
成
立．构造函数
，即求
即可.
【详解】（1）
，
因为
在
处取得极值，
所以
，所以
，
解得
．
经验证当
时，
在
处取得极小值，符合题意，
故
．
（2）对任意的m，
，设
，则
，
由（1）知
，则
在
上单调递增，
所以当
时，
，即
，所以
在
上单调递
增，
因为
，所以
，即
，
故
．
（3）存在实数
，使得
成立，即
成
立．
令
，
，则
，
，
令
，则
在
上恒成立，
故
在
上单调递增．
又
，
，
故存在唯一的
，使得
，即
．
当
时，
，即
，当
时，
，即
，
所以
在
上单调递减，在
上单调递增，
故
，
故
，结合
，得
，
故k 的最小整数值为5．
19．对于函数
，若存在正整数a，使得
在
上恰有a 个零点，则称
为理想零点函数，a 为
的理想零点系数．
(1)求函数
的理想零点系数．
(2)若函数
是理想零点系数不大于2 的理想零点函数，求m 的取值
范围.
(3)设函数
的图象是连续不断的曲线，
为理想零点函数，且
的所有理想零
点系数为1，2，3，4，当
时，
，当
时，
，且
．
①证明：
的极小值小于0，极大值大于0．
②若
，试问函数
的理想零点系数是否唯一？若是，求
出该理想零点系数；若不是，请说明理由．
【答案】(1)1 和2
(2)
(3)①证明见解析；②是，12
【分析】（1）根据理想零点系数的定义即可求解；
（2）求导得
，利用单调求得极大值，由
是理想零点系数不大于
2 的理想零点函数即可求解；
（3）①由题意可得
的单调性，又1 为
的一个理想零点系数得
，由2
为
的一个理想零点系数得
，即
的极大值大于0，同理得
即可得
证；
②作出
在
上的大致图象，设
的零点为
，由
及
，得
或
或
或
，利用数形结合即可求解.
【详解】（1）令
，
得
，
则
在
上恰有1 个零点，在
上恰有2 个零点，
所以
的理想零点系数为1 和2．
（2）
，
当
时，
单调递增，当
时，
单调递减，
所以
在
处取得极大值，所以
在
上至多有1 个零点，
所以
的理想零点系数不可能为2，则
的理想零点系数为1，
则
在
上恰有1 个零点，所以
，解得
．
（3）①证明：依题意可得
的单调递减区间为
，单调递增区间为
．
因为1 为
的一个理想零点系数，所以
在
上恰有1 个零点，又
，
所以
．
因为2 为
的一个理想零点系数，所以
在
上恰有2 个零点，所以
在
上恰有1 个零点，所以
，所以
的极大值大于0．
同理可得
，所以
的极小值小于0．
②根据题意，作出
在
上的大致图象，如图所示．
设
的零点为
，
由
及
，得
或
或
或
，
由图可知方程
的正根有4 个，设这4 个根为
，
同理可得方程
的正根为
，
方程
的正根为
，
方程
的正根为
．
可知
在
上的零点有4 个，在
上的零点有2 个，在
上的零点有2 个，
在
上的零点有1 个，在
上的零点有3 个，
可知
的正零点有12 个，且这12 个零点都小于5，
所以当
或
时，
在
上都不会恰有n 个零点，
在
上恰有12 个零点，所以
的理想零点系数唯一，且该理想零点系数为
12．
