文档内容
第三章 一元函数的导数及其应用（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
【答案】B
【解析】由题意知， ，则 .
所以 .
故选：B
2．曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 ，得 ，则 ， ，
所以曲线 在点 处的切线方程为 .
令 ，得 ，令 ，得 ，
故该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 .
故选：C
3．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】易知函数 在 上单调递增，又函数 在 上单调递减，所以 且 ，解得 ．
即实数a的取值范围为
故选：B
4．已知函数 .若 ，对 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】 ，由条件可知 在 有极小值点，根据零点存在定理可得：
且 ，即 且 ，所以 。
故选：B
5．已知函数 ，则函数 （ ）
A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值
C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值
【答案】B
【解析】函数 的定义域为 ，
且 ，
当 时 ，当 时 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 在 处取得极大值，无极小值.
故选：B
6．已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时， ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】不等式 等价于 ，即 ，
构造函数 ，所以 ，
因为 时， ，所以 对 恒成立，
所以 在 单调递减，
又因为 ，
所以不等式 等价于 ，所以 ，
即 的解集为 .
故选：A.
7．若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】函数 的定义域为 ，且 ，
因为函数 有极值，所以 在 上有变号零点，
即 在 上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数 的对称轴为 ，开口向上，
所以只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C
8．函数 ，若关于 的不等式 有且仅有三个整数解，则 的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对函数求导可得 ，令 ，解得 ，令 ，解得 ，又时， ，
所以 的递增区间为 ，递减区间为 和 ，
作出图象如图所示：
当 时，由 ，可得 ，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当 时，由 ，可得 ，
由图象可知，不存在整数点满足条件，
当 时，由 ，可得 ，
又 ， ， ，
由 的递增区间为 ，所以 ，
所以要使 有三个整数解，则 ，
所以关于 的不等式 有且仅有三个整数解，
则 的取值范围为 .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等
式方面留下了很多宝贵的成果，设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为
，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”，以下四个函数在 上
是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】对于A，由 ，得 ，则 ，因为
，所以 ，所以此函数是凸函数；对于B，由 ，得 ，则 ，因为 ，所以 ，所
以此函数是凸函数；
对于C，由 ，得 ，则 ，因为 ，所以 ，
所以此函数是凸函数；
对于D，由 ，得 ，则 ，因为 ，所以
，所以此函数不是凸函数，
故选：ABC
10．已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 的单调递增区间为
C． 的极小值为
D．若关于 的方程 恰有3个不等的实根，则 的取值范围为
【答案】ACD
【解析】由函数 ，可得 ，
对于A中，由 ，定义域为 关于原点对称，
且 ，所以函数 为奇函数，所以A正确；
对于B中，由 ，解得 或 ，
即函数 的递增区间为 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，解得 ，所以函数 的递减区间为 ，
所以，当 时，函数 取得极小值，极小值为 ，所以C正确；
对于D中，由函数 在 上单调递增，在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，所
以极大值为 ，极小值为 ，
且 时， ； 时， ；
又由关于 的方程 恰有3个不等的实根，
即函数 与 的图象有3个不同的交点，可得 ，
所以实数 的取值范围为 ，所以D正确.
故选：ACD.11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是奇函数，满足 ，且对任
意 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD
【解析】对于A中，令 ，可得 ，
因为 ，所以 ，所以A不正确；
对于B中，令 ，可得 ，
所以 ，
因为函数 为奇函数，则 为偶函数，
所以 ，
联立可得 ，
即 ，
所以 ，
所以函数 是周期为3的函数，所以 ，所以B正确；
对于C中，由 ，可得 ，
且 ，因为数 是周期为3的函数，
可得 ，所以C错误；
对于D中， 由 ，可得
令 ，可得 ，所以 ，
因为函数 周期为3的函数，即 ，可得
所以函数 是周期为3的函数，可得 ，所以 ，
令 ，可得 ，所以 ，
所以 ，可得
所以 ，所以D正确.
故选：BD.第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为 ，加热后的温度函数
（ 是常数， 表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
【答案】
【解析】因为水的初始温度为 ，所以 ，解得 ，所以 ，
则 ，所以加热到第 时，水温的瞬时变化率是 .
故答案为：
13．已知函数 ，若函数 恰有一个零点，则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】 ，
由于 为对勾函数，最小值为2，而 ，所以 在
单调递减，
故 ，作出 的大致图象如下：
故要使 恰有一个零点，只需要 只有一个交点，
故 ，即 ，
故答案为：
14．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为 .
【答案】【解析】由题意 ，不等式即 ，进而转化为 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增.
则不等式等价于 恒成立.
因为 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，即 恒成立.
设 ，可得 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减．
所以 时， 有最大值 ，于是 ，解得 ．
故答案为： .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知 .
(1)求 并写出 的表达式；
(2)证明： .
【解析】（1）由 有 ，取 得到
，解得 .
将 代入 可得 .（6分）
（2）设 ，则 ，故当 时 ，当 时 .
所以 在 上递减，在 上递增，故 .
从而 .（13分）
16．（15分）
某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的
盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形 ，
其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设 的长为 毫米．(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米） 关于 的函数关系式；
(2)如何设计 与 的长度，使得 最大？
【解析】（1）由 得 ，
由 且 得 ，
所以防蚊液的体积 ， .（6分）
（2）由 ， .
所以 ，
令 得 ；令 得 ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，（9分）
所以当 时， 有最大值，此时 ， ，
所以当 为 毫米， 为 毫米时，防蚊液的体积有最大值.（13分）
17．（15分）
已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．
【解析】（1）当 时， ，则 ，
令 ，得 或 ，
由于 ，
所以当 ， ， 在 单调递减，
所以当 ， ， 在 单调递增，
所以 在 时取到极小值，且 ，（3分）又因为 ， ，
综上，函数 在 上的最大值为 ，最小值为 .（6分）
（2）因为 ，所以 ，
当 ，即 时， ，
在 单调递增，
当 ，即 时，
令 ，则 ，（9分）
所以当 ， ， 在 单调递增，
当 ， ， 在 单调递减，（12分）
当 ， ， 在 单调递增.
综上所述，当 时， 在 单调递增，
当 时， 在 ， 单调递增，在 单调递减.（15分）
18．（17分）
已知 ， ， 是自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若关于 的方程 有两个不等实根，求 的取值范围；
(3)当 时，若满足 ，求证： .
【解析】（1）当 时， ，定义域为 ，求导可得 ，
令 ，得 ，
当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
当 时， ，函数 在区间 上单调递增，
所以 在 处取到极小值为0，无极大值.（4分）
（2）方程 ，
当 时，显然方程不成立，
所以 ，则 ，
方程有两个不等实根，即 与 有2个交点，，
当 或 时， ，
在区间 和 上单调递减，
并且 时， ，当 时， ，
当 时， ， 在区间 上单调递增，
时，当 时， 取得最小值， ，（8分）
作出函数 的图象，如图所示：
因此 与 有2个交点时， ，
故 的取值范围为 .（10分）
（3）证明： ，由 ，得 ，
所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增.
由题意 ，且 ，则 ， .
要证 ，只需证 ，
而 ，且函数 在 上单调递减，
故只需证 ，
又 ，所以只需证 ，（12分）
即证 ，
令 ，
即 ，
，由均值不等式可得 ，
当且仅当 ，即 时，等号成立.
所以函数 在 上单调递增.（15分）
由 ，可得 ，即 ，
所以 ，
又函数 在 上单调递减，
所以 ，即 得证.（17分）
19．（17分）
对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数 ，若对在 定义域内的给定常数 ，存在数列
满足 在 的定义域内且 ，且对 在区间 的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于 和 的连线，则称数列 为函数 的“ 关联切线
伴随数列”.
(1)若函数 ，证明： 都存在“ 关联切线伴随数列”；
(2)若函数 ，数列 为函数 的“1关联切线伴随数列”，且 ，求 的
通项公式；
(3)若函数 ，数列 为函数 的“ 关联切线伴随数列”，记数列 的前 项
和为 ，证明：当 时， .
【解析】（1）因为 ，则 ，
由题意可得： ，
则 ，即 ，且 ，
可知数列 为以 为首项， 为公比的等比数列，（34分）
显然这样的数列对于给定的 是存在的，
所以 都存在“ 关联切线伴随数列”.（4分）
（2）因为 ，则 ，
设 ，即 ，
由题意可知： ，则 ，可得 ，且 ，（6分）
可知数列 为以 为首项， 为公比的等比数列，
可得 ，所以数列通项公式为 .（9分）
（3）先证明 ，
设函数 ，
则 ， ，则 ，
定义 的导函数为 的导函数为 ，
则 ，（11分）
且 ， ，
令 ，则 ，
，
因为 ，
可知 在 内单调递增，则 ，
同理得 ， ，（13分）
故 ，
又 在 内单调递增，
在 有 有
因此取 ，有 ，
又 在 单调递减，在 单调递增，
故 ，（15分）
当 时， ，符合题意；
当 时， ，
累加可得 ，
整理得 ，
所以 ；综上所述： .（17分）
