文档内容
第三章 一元函数积分学
即刻题库 www.jike.vip
1 、 单选题
曲线r＝asin^3（θ/3）在0≤θ≤3π一段的弧长s＝（ ）。
A ： 2πa
B ： 2πa/3
C ： 3πa
D ： 3πa/2
正确答案： D
解析：
根据弧长公式 可得
2 、 单选题
摆线 的一拱（0≤t≤2π）与x轴所围成图形的面积为（ ）。
A ： 3πa^2
B ： 3πa
C ： 2πa^2
D ： 2πa
正确答案： A解析：
3 、 单选题
正确答案： B
解析：
。
4 、 单选题
设x≥0时，f（x）满足 ，则f（12）＝（ ）。
A ： 1/3
B ： 1/2
C ： 1/16
D ： 1/8
正确答案： C
解析：5 、 单选题
函数f（x）在[a，b]上连续是 存在的（ ）。
A ： 必要条件
B ： 充分条件
C ： 充要条件
D ： 以上均不对
正确答案： B
解析：
设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积，故B项正确。
6 、 单选题
A ： π/（4＋π）
B ： π/（π－4）
C ： π/（4＋π）
D ： π/（4－π）
正确答案： D
解析：
7 、 单选题已知 ，则k＝（ ）。
A ： 1
B ： 2
C ： 2
D ： 0
正确答案： B
解析：
8 、 单选题
下列反常（广义）积分收敛的是（ ）。
正确答案： C
解析：
9 、 单选题
若f（x）有原函数xlnx，则∫xf″（x）dx＝（ ）。
A ： lnx＋C
B ： xlnx＋C
C ： lnx＋C
D ： xlnx＋C
正确答案： A解析：
10 、 单选题
下列反常（广义）积分发散的是（ ）。
正确答案： A
解析：
11 、 单选题
正确答案： D
解析：12 、 单选题
正确答案： B
解析：
13 、 单选题
如图，连续函数y＝f（x）在区间[－3，－2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半
圆周，在区间[－2，O]，[0，2]上的图形分别是直径为2的下、上半圆周。设
则下列结论正确的是（ ）。
A ： F（3）＝－3F（－2）/4
B ： F（3）＝5F（2）/4
C ： F（－3）＝3F（2）/4
D ： F（－3）＝－5F（－2）/4
正确答案： C
解析：14 、 单选题
设f（π）＝2， ，则f（0）＝（ ）。
A ： 3
B ： 2
C ： 0
D ： 1
正确答案： A
解析：
所以f（0）＝3。
15 、 单选题
A ： 0
B ： π/4
C ： 是发散的反常（广义）积分
D ： 是收敛的反常（广义）积分
正确答案： C
解析：16 、 单选题
若f（x）是具有连续导数的函数，且f（0）＝0，设 ，
则ψ′（0）＝（ ）。
A ： f′（0）
B ： f′（0）/3
C ： 1
D ： 1/3
正确答案： B
解析：
17 、 单选题
正确答案： D
解析：
18 、 单选题正确答案： A
解析：
19 、 单选题
如图，曲线段的方程为y＝f（x），函数f（x）在区间[0，a]上有连续的导数，则定积分
等于（ ）。
A ： 曲边梯形ABOD的面积
B ： 梯形ABOD的面积
C ： 曲边三角形ACD的面积
D ： 三角形ACD的面积
正确答案： C
解析：
对该定积分进行化简得
可知，该定积分所表示的面积就是等式右边两项之差，第一项等于矩形OBAC的面积，
第二项等于曲边梯形OBAD的面积，故定积分 等于曲边三角形ACD的面积。20 、 单选题
曲线r＝ae^λθ（λ＞0），从θ＝0到θ＝a一段的弧长s＝（ ）。
正确答案： A
解析：
21 、 单选题
sin2x的一个原函数是（ ）。
A ： 2cos2x
B ： cos2x）/2
C ： cos^2x
D ： sin2x）/2
正确答案： C
解析：
（－cos^2x）′＝－2cosx（－sinx）＝sin2x。
22 、 单选题
若f′（x）为连续函数，则∫f′（2x）dx＝（ ）。
A ： f（2x）＋C
B ： f（x）＋C
C ： f（2x）/2＋C
D ： 2f（2x）＋C
正确答案： C
解析：由于∫f′（2x）dx＝[∫f′（2x）d（2x）]/2＝f（2x）/2＋C，故C项正确。
23 、 单选题
∫[f（x）＋xf′（x）]dx＝（ ）。
A ： xf′（x）＋C
B ： xf（x）＋C
C ： f（x）＋C
D ： x2f（x）＋C
正确答案： B
解析：
24 、 单选题
A ： 2
B ： 3
C ： 0
D ： 1
正确答案： C
解析：
采用分部积分法25 、 单选题
一弹簧压缩xcm需力4x牛顿，将它从原长压缩5cm外力所作的功为（ ）焦耳。
A ： 5
B ： 2
C ： 0.5
D ： 0.2
正确答案： C
解析：
26 、 单选题
已知f（x）是微分方程 满足f（1）＝0的特解，则
（ ）。
A ： π/4
B ： π/4
C ： π/8
D ： π/8
正确答案： C
解析：
27 、 单选题正确答案： C
解析：
28 、 单选题
设f（x）在（－∞，＋∞）内连续，则（ ）为正确的。
正确答案： D
解析：29 、 单选题
下列式中正确的是（ ），其中 。
正确答案： D
解析：
30 、 单选题正确答案： D
解析：
31 、 单选题
曲线y＝x^3，x＝2，y＝0所围成的平面图形绕y轴旋转所得旋转体的体积等于（ ）。
A ： 32/5
B ： 32π/5
C ： 64π/5
D ： 64/5
正确答案： C
解析：
32 、 单选题
正确答案： B
解析：33 、 单选题
若f（x）在[0，1]上连续可导，f（1）－f（0）＝1， ，则有（
）。
A ： I＝1
B ： I＜1
C ： I≥1
D ： I＝0
正确答案： C
解析：
34 、 单选题
设f（x）连续，且 ，则f（7）＝（ ）。
A ： 1/4
B ： 1/12
C ： 1/3
D ： 1/7
正确答案： D
解析：
35 、 单选题设 ， ，则（ ）。
A ： F（x）在x＝0点不连续
B ： F（x）在（－∞，＋∞）内连续，在x＝0点不可导
C ： F（x）在（－∞，＋∞）内可导，且满足F′（x）＝f（x）
D ： F（x）在（－∞，＋∞）内可导，但不一定满足F′（x）＝f（x）
正确答案： B
解析：
36 、 单选题
A ： π
B ： π/4
C ： π/2
D ： π/3
正确答案： C
解析：37 、 单选题
设F（x）是连续函数f（x）的一个原函数， 表示“M的充分必要条件是N”，则
必有（ ）。
A ： F（x）是偶函数f（x）是奇函数
B ： F（x）是奇函数f（x）是偶函数
C ： F（x）是周期函数f（x）是周期函数
D ： F（x）是单调函数f（x）是单调函数
正确答案： A
解析：
38 、 单选题
正确答案： B解析：
39 、 单选题
若在[0，1]上有f（0）＝g（0）＝0，f（1）＝g（1）＝a＞0，且f″（x）＞0，g″（x）
＜0，则 ，的大小关系是（ ）。
A ： I1≥I2≥I3
B ： I3≥I2≥I1
C ： I2≥I3≥I1
D ： I2≥I1≥I3
正确答案： C
解析：
因为f″（x）＞0，故曲线y＝f（x）是凹的，g″（x）＜0，故曲线y＝g（x）是凸的，由
图形可知 ，即I2≥I3≥I1。故应选（C）。
40 、 单选题
若已知f（0）＝1，f（2）＝3，f′（2）＝5，则 （ ）。
A ： 0
B ： 1
C ： 2
D ： 2
正确答案： C
解析：41 、 单选题
设函数f（x）与g（x）在[0，1]上连续，且f（x）≤g（x），且对任何的c∈（0，1）
（ ）。
正确答案： D
解析：
因为c＜1，则根据积分比较定理有 ，故应选（D）。
42 、 单选题
正确答案： D
解析：43 、 单选题
正确答案： C
解析：
44 、 单选题
由曲线y＝x＋1/x，x＝2及y＝2所围成的面积A＝（ ）。A ： ln2
B ： 1/2－ln2
C ： ln2
D ： ln2－1/2
正确答案： D
解析：
45 、 单选题
曲线y＝lnx，y＝lna，y＝lnb（0＜a＜b）及y轴所围图形的面积为（ ）。
正确答案： D
解析：
由y＝lnx，y＝lna，y＝lnb（0＜a＜b）及y轴所围图形的面积为 。
46 、 单选题
正确答案： C解析：
47 、 单选题
设f（x）在[－a，a]上连续且为偶函数， ，则（ ）。
A ： Φ（x）是奇函数
B ： Φ（x）是偶函数
C ： Φ（x）是非奇非偶函数
D ： Φ（x）是奇偶性不确定
正确答案： A
解析：
由于f（x）为偶函数，即f（x）＝f（－x），则
故Φ（x）为奇函数。
48 、 单选题
正确答案： D解析：
49 、 单选题
曲线r＝aeθ及直线θ＝－π，θ＝π所围图形的面积为（ ）。
正确答案： D
解析：
50 、 单选题
设函数f（x）在区间[－1，1]上连续，则x＝0是函数 的（ ）。
A ： 跳跃间断点
B ： 可去间断点
C ： 无穷间断点
D ： 振荡间断点
正确答案： B
解析：
由函数 可知，g（x）在x＝0处无定义，即x＝0是g（x）的间断点。
又 ，故x＝0是g（x）的可去间断点。51 、 单选题
正确答案： D
解析：
52 、 单选题
正确答案： D
解析：53 、 单选题
正确答案： D
解析：
54 、 单选题
A ： ln3）/2
B ： ln3
C ： ln3）/4
D ： 2ln3
正确答案： A
解析：
55 、 单选题正确答案： C
解析：
56 、 单选题
设f（x）是以T为周期的可微函数，则下列函数中以T为周期的函数是（ ）。
正确答案： D
解析：
四个选项中，只有D项满足 ，
故只有 是以T为周期的函数。
57 、 单选题A ： 0
B ： f（x＋b）
C ： f（x＋b）－f（x＋a）
D ： f（b＋t）－f（a＋t）
正确答案： C
解析：
58 、 单选题
若 ，则A＝（ ），B＝（ ）。
A ： 1/3；1/3
B ： 2/3；－1/3
C ： 2/3；1/3
D ： 1/3；－1/3
正确答案： B
解析：
由 ，两边对x求导，得
等式两边必须相等，则由 ，解得A＝2/3，B＝－1/3。
59 、 单选题A ： tan（π/2）
B ： tan（π/4）
C ： arctan（π/4）
D ： arctan（π/2）
正确答案： C
解析：
60 、 单选题
曲线y＝ln（1－x^2）上0≤x≤0.5一段的弧长等于（ ）。
正确答案： B
解析：
y＝ln（1－x2）， 。
61 、 单选题曲线y＝e^x（x＜0），x＝0，y＝0所围成图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为（
）。
A ： π/2
B ： π/3
C ： π/4
D ： π
正确答案： A
解析：
曲线绕x轴旋转一周所得旋转体的图像如下图所示。
旋转体的体积为 。
62 、 单选题
设 ，则f（x）＝（ ）。
A ： 正常数
B ： 负常数
C ： 恒为0
D ： 不是常数
正确答案： A
解析：63 、 单选题
设f（x），g（x）在区间[a，b]上连续，且g（x）＜f（x）＜m（m为常数），则曲线y
＝g（x），y＝f（x），x＝a及x＝b所围平面图形绕直线y＝m旋转而成的旋转体体积为
（ ）。
正确答案： B
解析：
该旋转体的体积公式为
64 、 单选题
设 ，其中 ，则g（x）在区间（0，
2）内（ ）。
A ： 无界B ： 单调减少
C ： 不连续
D ： 连续
正确答案： D
解析：
65 、 单选题
设f（x）在[0，4]上连续，且 ，则f（2）＝（ ）。
A ： 1/4
B ： 1/3
C ： 1
D ： 1/2
正确答案： A
解析：
66 、 单选题正确答案： B
解析：
67 、 单选题
曲线y＝sin^3/2x（0≤x≤π）与x轴围成的图形绕x轴旋转所成的旋转体的体积为（ ）。
A ： 4/3
B ： 4π/3
C ： 2π2/3
D ： 2π/3
正确答案： B
解析：
68 、 单选题
A ： 1/2
B ： 1/6
C ： 1/3
D ： 1
正确答案： B解析：
69 、 单选题
∫[（4sinx＋3cosx）/（sinx＋2cosx）]dx＝（ ）。
A ： 2^x－ln｜sinx＋cosx｜＋C
B ： x^2－ln｜sinx＋cosx｜＋C
C ： x^2－ln｜sinx＋2cosx｜＋C
D ： 2^x－ln｜sinx＋2cosx｜＋C
正确答案： D
解析：
70 、 单选题
把x→0＋时的无穷小量 ， ，排
列起来，使排在后面的是前一个的高阶无穷小，则正确的是排列次序是（ ）。
A ： α，β，γ
B ： α，γ，βC ： β，α，γ
D ： β，γ，α
正确答案： B
解析：
71 、 单选题
曲线 从t＝0到t＝π一段弧长s＝（ ）。
A ： 2aπ
B ： aπ
C ： aπ^2
D ： aπ^2/2
正确答案： D
解析：
72 、 单选题
曲线 的全长为（ ）。
A ： 2π
B ： 2
C ： 3
D ： 4
正确答案： D
解析：73 、 单选题
正确答案： B
解析：
74 、 单选题
A ： πab/2
B ： πab/3
C ： πabh/3
D ： πabh/2
正确答案： C
解析：
正椭圆锥的图如下图所示。
由图可知（h－z）/h＝b1/b，b1＝（h－z）b/h，同理，a1＝（h－z）a/h，故平行截面面积为
体积为
75 、 单选题
设y＝y（x）满足∫ydx·∫（1/y）dx＝－1，且当x→＋∞时y→0，y（0）＝1，则y＝（
）。
A ： e^x/2
B ： e^－x
C ： e^x
D ： e^－x/2
正确答案： B
解析：
76 、 单选题
下列积分中可表示单位圆面积的四分之一的是（ ）。
正确答案： C
解析：
单位圆面积的四分之一表示为 。77 、 单选题
设V（a）是由曲线y＝xe^－x（x≥0），y＝0，x＝a所围图形绕x轴旋转一周的立体的体
积，则 （ ）。
A ： 2π
B ： π
C ： π/4
D ： π/2
正确答案： C
解析：
78 、 单选题
若函数 在x＝0处连续，则a等于（ ）。
A ： 1/3
B ： 3C ： 1
D ： 0
正确答案： A
解析：
由题意可知
79 、 单选题
A ： N＜P＜M
B ： M＜P＜N
C ： N＜M＜P
D ： P＜M＜N
正确答案： D
解析：
80 、 单选题正确答案： B
解析：
81 、 单选题
若 ，且设 ，则必有（ ）。
A ： k＝0
B ： k＝1
C ： k＝－1
D ： k＝2
正确答案： C
解析：
由于
故
82 、 单选题
在（－∞，＋∞）内，设f（－x）＝－f（x），φ（－x）＝φ（x），则
（ ），其中φ（x）可导，f（x）连续。
A ： 0
B ： 1
C ： 2f（x）D ： f（x）/2
正确答案： A
解析：
根据题意可知，f（x）为奇函数，φ（x）为偶函数，则φ′（x）为奇函数，故f[φ′
（－x）]＝f[－φ′（x）]＝－f[φ′（x）]，即f[φ′（x）]为奇函数，故
。
83 、 单选题
曲线y＝－x^3＋x^2＋2x与x轴所围成的图形的面积A＝（ ）。
A ： 67/12
B ： 47/12
C ： 57/12
D ： 37/12
正确答案： D
解析：
84 、 单选题
正确答案： C解析：
85 、 单选题
x轴上有一根密度为常数μ、长度为l的细杆，有一质量为m的质点到杆右端（原点处）的
距离为a，若引力系数为k，则质点和细杆之间引力的大小为（ ）。
正确答案： A
解析：
根据题意可知，杆左端的坐标为x＝－l，质点所在处坐标为x＝a。在区间[－l，0]上，取
杆上任一小段[x，x＋dx]，其质量为μdx，其与质点的距离为（a－x），则其与质点间的
引力近似为kmμdx/（a－x）^2。故质点与细杆之间引力大小为 。
86 、 单选题
曲线y＝x^2/2在[0，1]之间是一段绕x轴旋转一周所得旋转曲面的面积为（ ）。
正确答案： D
解析：
根据旋转曲面的面积计算公式得87 、 单选题
A ： 2
B ： 2/3
C ： 3/2
D ： 1
正确答案： D
解析：
88 、 单选题
正确答案： B
解析：
89 、 单选题正确答案： B
解析：
90 、 单选题
已知f（t）是（－∞，＋∞）内的连续函数，则 恒成立时，必
有ψ（t）＝（ ）。
正确答案： D
解析：
91 、 单选题
设I1＝∫[（1＋x）/（x（1＋xe^x））]dx，I2＝∫[1/（u（1＋u））]du，则存在函数u＝u
（x），使（ ）。
A ： I1＝I2＋x
B ： I1＝I2－x
C ： I2＝－I1
D ： I2＝I1正确答案： D
解析：
92 、 单选题
∫[（x＋sinx）/（1＋cosx）]dx＝（ ）。
A ： xcot（x/2）＋C
B ： xtan（x/2）＋C
C ： xcotx）/2＋C
D ： [xtan（x/2）]/2＋C
正确答案： B
解析：
93 、 单选题
设n和k为正整数，则 （ ）。
A ： sin2n/2
B ： 2/n
C ： sin2n
D ： 2n
正确答案： B
解析：
采用换元法，令t＝nx，由于周期函数在每一个周期的定积分相等，则
