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第三章 一元函数的导数及其应用（提高卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·广东·深圳中学高二期中）已知函数 满足 ，则曲线 在
点 处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
由 可知， ，而 ，所以 ，解得 ，即 ，
所以 ，因此曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ．
故选：A．
2．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（理））函数 在区间 上不单调，
则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
，
令 ，则 或 （舍），
因为 在区间 上不单调，故 即 ，
故选：A.
3．（2022·北京市第十二中学高二阶段练习）定义：如果函数 在 上存在 满足
，则称函数 是 上的“双中值函数”，已知函数
是区间 上“双中值函数”，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
是 上“双中值函数”，所以 ，故在 上有两个不同的实数根，令 ，对称轴为 ，
则满足 解得：
故选：C
4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（文））已知函数 ，则不等式
的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
的定义域为 ，
因为 ，所以 在 上单调递减，
所以不等式 等价于 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
故选：D
5．（2022·河南洛阳·高二阶段练习（理））若曲线 与曲线： = 有公切线，则实数 的最大
值为（ ）
A． + B． - C． + D．
【答案】C
设在曲线 上的切点为 ，则切线斜率为 ，
在曲线 上的切点为 ，切线斜率为 ，
所以切线方程分别为 、 ，
即 、 ，
有 ，整理得 ，设 ，则 ，
令 ，令 ，
故函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以在 上 ，如图，
由图可知 ，即k的最大值为 .
故选：C.
6．（2022·广西河池·高二阶段练习（理））一般地，对于一元三次函数 ，若 ，则
为三次函数 的对称中心，已知函数 图象的对称中心的横坐标为 （
），且 有三个零点，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
由函数 求导得： ，则 ，
由 解得 ，则有 ，
，当 或 时， ，当 时， ，
则 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
因此，当 时， 取得极大值 ，当 时， 取得极小值 ，
因函数 有三个零点，即函数 的图象与x轴有三个公共点，由三次函数图象与性质知，，
于是得 ，解得 ，
综上得： ，
实数a的取值范围是 .
故选：A.
7．（2022·河南安阳·模拟预测（文））已知 ，若不等式 恒成立，则m的取值
范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
解：因为 ，不等式 恒成立，等价于 恒成立，
令 ，则不等式转化为 恒成立，
令 ，则 ，显然 ，当且仅当 ，即
时取等号，
所以当 时 ，即 在 上单调递增，所以 ，符合题意；
当 时，令 ，则 ，
故 在 上单调递增，所以存在 满足 ，且当 时 ，当 时
，
所以 在 上单调递减，此时 ，与题意矛盾，综上可得 ；
故选：B
8．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高二期中）若关于x的不等式 （其中 ），
有且只有两个整数解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
由不等式 （ ），令 ， ，，当 时， ，当 时， ，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增， ，且当 时，恒
有 ，
函数 ， 表示恒过定点 ，斜率为 的直线，
在同一坐标系内作出函数 的图象和直线 ，如图，
因不等式 （ ）有且只有两个整数解，观察图象知，-1和0是不等式 解
集中的两个整数，
3
{ 2a>−
{g(−1)>f(−1) e
于是得 ，即 ，解得 ，
g(−2)≤f(−2) 5
3a≤−
e2
所以实数a的取值范围是 .
故选：D
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·山东淄博·高二期中）（多选）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 存在三个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．若 时， ，则t的最小值为2
D．当 时，方程 有且只有两个实根
【答案】BD
，令 ，解得 或 ，
当 或 时， ，故函数 在 ， 上单调递减，当 时， ，故函数在 上单调递增，
且函数 有极小值 ，有极大值 ，当 趋近负无穷大时， 趋近正无穷大，当
趋近正无穷大时， 趋近于零，故作函数草图如下，
由图可知，选项BD正确，选项C错误，t的最大值为2．
故选：BD．
10．（2022·广东·模拟预测）已知 ，若不等式 在 上恒成立，
则a的值可以为（ ）
A． B． C．1 D．
【答案】AD
设 ，则 ，
所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，∴ ，
∴ ．
又 在 上恒成立，
所以 在 上单调递增，
所以 对 恒成立，即 恒成立．
令 ，当 时， ，故 ，
∴ ，解得 或 ，所以a的值可以为 ， ，
故选：AD.
11．（2022·辽宁·辽师大附中高二阶段练习）我们常用以下方法求形如 的函数的导数：先两边
同取自然对数得： ，再两边同时求导得到： ，于是
得到： ，运用此方法能使函数 单调递增的区间可以是
（ ）
A．（ ，4） B．（1，3） C．（ ， ） D．（ ，1）
【答案】CD
由题意可得函数 的导数为 ，
令 ，即 ，解得 ，即函数的单调增区间为 ，
由此可得到选项中的CD符合题意，
故选：CD
12．（2022·江苏·南京市天印高级中学模拟预测）已知函数 ， ， ，
则下列结论正确的是（ ）
A． 在 上单调递增
B．当 时，方程 有且只有2个不同实根
C． 的值域为
D．若对于任意的 ，都有 成立，则
【答案】BD
对于A，当 时， ；
当 时， ，此时 递增，
故可作出函数的图象如图示：由此可知， 在 上单调递增，故A错误；
对于B, 当 时， ，当 时， ，
令 ，解得 ，即 此时有一解；
当 时， ，故 是 的一个解；
当 时，令 ， ，
即 ，即 ，此时 无解；
故综合上述，当 时，方程 有且只有2个不同实根，B正确；
由函数 的图象可知，其值域为R,故C错误；
对于D, 对于任意的 ，都有 成立,
则当 时， ，即 恒成立，
即 ，令 ，
当 时， ，当 时， ，
故 ，故 ；
当 时， 恒成立，
当 时， ，即 恒成立，
令 ，注意到
当 时， ，不合题意；
当 时，令 ， ，当 时， ，
故 ，不符合题意
当 时， ，此时 ，
故 递减，则 ，
即 恒成立，
综合上述，可知当 时，对于任意的 ，都有 成立，
故D正确，
故选：BD
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·四川省成都市新都一中高二期中（文））已知 对任意不相等的正数 都有
恒成立，则实数 的取值范围为______．
【答案】
由 ，不妨设 ，
由 可得 ，
即 ，
根据单调性的定义可得 在 为增函数，
所以 在 恒成立，
所以 在 恒成立，
所以 ， .
故答案为： .
14．（2022·河北衡水·高三阶段练习）已知函数 的导函数为 ，定义域为 ，且满足
，则不等式 恒成立时m的取值范围为__________.
【答案】
由题意，函数 的定义域为 ，
因为 ，可得 ，设 ，可得 ，所以函数 在 上单调递减，
又由 ，所以 ，且 ，
则 ，解得 ，即m的取值范围为 .
故答案为： .
15．（2022·天津·崇化中学高二期中）已知函数 ， ， ，
，使不等式 成立，则 的取值范围是______.
【答案】
因为对 ， ，使不等式 成立，所以 ，
当 时， ，由 ，得 ，由 ，得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
因为 在 上单调递减，所以 ，
所以 ，即 .
故答案为： .
16．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）已知函数 ，（e为自然
对数的底数， …），当 时，函数 在点 处的切线方程为____________；若
对 ）成立，则实数a的最大值为____________.
【答案】
由题意当 时， ， ，
则 ， ，
所以函数 在点 处的切线方程为 ，即
.
因为 ， ，即 ，则 ，令 ， ， 在 上恒成立，
故 在 上单调递减，故 ，得 ，即 ，
记 ，则 ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，故 的最小值
是 ，故 ，即实数a的最大值是 .
故答案为： ； .
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·山西太原·三模（文））已知函数
(1)若 在 时取得极小值，求实数k的值；
(2)若过点 可以作出函数 的两条切线，求证：
【答案】(1) (2)证明见解析
(1)解：
∴ ，
∴
当 时，令 ，得
∴ 在 单调递减， 在 单调递增，
所以 在 时取得极小值，
∴
(2)证明：设切点为 ，
∴切线为 ，
又切线过点 ，
∴
∴ ，(*)
设
则
∴ 在 单词递减，在 单调递增.∵过点 可作 的两条切线，
∴方程(*)有两解
∴ ，
由 ，得
∴ ，即 .
18．（2022·江西·南城县第二中学高二阶段练习（理））已知函数 ，当 时，
的极小值为 ，当 时， 有极大值．
(1)求函数 ；
(2)存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ;(2) .
(1)∵ ，
由 ，得 且 ，解得 ， ，
又 ，∴ ，
经检验 ， 时， 满足题意,
∴ ；
(2)存在 ，使得 ，等价于 ，
∵ ，
当 时， ，当 时， ，
∴ 在 上递减，在 上递增，
又 ， ，
∴ 在 上的最小值为 ，
∴ ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 ．
19．（2022·山东师范大学附中高三期中）设函数
(1)当 时，求 的单调区间；(2)任意正实数 ，当 时，试判断 与 的大小关系并证明
【答案】(1)增区间为 ，减区间为 ，
(2) ，证明见解析
(1) 时， ， ，
令 得 ；令 得 或
故 的单增区间为 ，单减区间为 ，
(2)结论： ，证明如下：
设 ，由 均为正数且 得
设 ，则
①当 时，由 得 即
故 单调递减，从而
而 ，此时 成立
②当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增
故 的最小值为
此时只需证 ，化简后即证
设 ，
故 单调递增，从而有 ，即证
综上：不等式得证．20．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室三模（理））已知函数 ．
(1)若 在 上仅有一个零点，求实数a的取值范围；
(2)若对任意的 ， 恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】(1) 或 (2)
(1)解： ， ，
当 时， 恒成立，所以 在 上单调递增．
又 ， ，
所以此时 在 上仅有一个零点，符合题意；
当 时，令 ，解得 ；令 ，解得 ，
所以 在 上单调递增，所以 在 上单调递减．
要使 在 上仅有一个零点，则必有 ，解得 ．
综上，当 或 时， 在 上仅有一个零点．
(2)因为 ，所以对任意的 ， 恒成立，
等价于 在 上恒成立．
令 ，则只需 即可，
则 ，
再令 ，则 ，
所以 在 上单调递增．
因为 ， ，所以 有唯一的零点 ，且 ，
所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
因为 ，所以 ，
设 ，则 ，
所以函数 在 上单调递增．因为 ，所以 ，即 ．
所以 ，
则有 ．
所以实数a的取值范围为 ．
21．（2022·陕西·西安市阎良区关山中学高二期中（理））已知函数 ．
(1)证明：函数 的图象与直线 只有一个公共点．
(2)证明：对任意的 ， ．
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析
(1)要证函数 的图象与直线 只有一个交点，只需证方程 只有一个根，
即证 只有一个根，即 只有一个根．
令 ， ，则 ．
当 时， ；当 时， ；
在 上单调递增，在 上单调递减， ．
恒成立，当且仅当 时， ， 方程 只有一个根，
即函数 的图象与直线 只有一个公共点．
(2)由（1）知： 恒成立，
即 恒成立（在 时等号成立）．
， ，即 ，
， ， ，…，
， ，
，即 ．
22．（2022·山东威海·三模）已知函数 ．
(1)当 时，求 的单调区间；(2)若 有两个极值点 ，且 ，从下面两个结论中选一个证明．
① ；
② ．
【答案】(1) 的单增区间为 ；单减区间为 ，
(2)证明见解析
(1) ，
当 时， ，
令 ，解得 ；令 ，解得 或 ，
所以 的单增区间为 ；单减区间为 ， ．
(2)证明①：由题意知， 是 的两根，则 ，
，
将 代入得， ，
要证明 ，
只需证明 ，
即 ，
因为 ，所以 ，
只需证明 ，
令 ，则 ，只需证明 ，即 ，令 ，
，
所以 在 上单调递减，可得 ，
所以 ，
综上可知， ．
证明②：
设 ，
因为 有两个极值点，所以 ，
解得 ，
因为 ，
所以 ，
，
由题意可知 ，
可得 代入得， ，
令 ，
，
当 ，所以 在 上单调递减，
当 ，所以 在 上单调速增，
因为 ，所以 ，
由 ，
可得 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ．
