文档文本内容
第14 讲：第三章 一元函数的导数及其应用 章节总结
第一部分：典型例题讲解
题型一：求切线问题
1．（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知函数
，过点
作曲线
的切线，则此切线的方程为 ．
2．（2025·山东泰安·模拟预测）函数
在
处的切线方程为 .
3．（2025·海南三亚·一模）曲线
在点
处的切线方程为 .
4．（2025·山东泰安·模拟预测）曲线
在点
处的切线与两坐标轴所围成的三角
形的面积为 .
5．（24-25 高二下·福建漳州·期中）已知函数
在
及
处取得
极值．
(1)求a，b 的值；
(2)求函数
在
处的切线方程；
题型二：公切线问题
1．（24-25 高二下·云南·期中）若曲线
在点
处的切线也是曲线
的切线，则
.
2．（2025·河北·模拟预测）若函数
与
的图象有两条公切
线，则实数
的取值范围是 .
3．（24-25 高二下·广东·期中）若曲线
与曲线
有三条公切线，则
的
取值范围是 .
4．（2025·福建福州·三模）曲线
与
的一条公切线的方程为 .
（只需写出其中一条公切线的方程）
5．（2025·福建泉州·模拟预测）已知函数
，则与曲线
，
都相切的直线的方程是 ．
题型三：切线条数问题
1．（24-25 高二下·湖北·阶段练习）从点
可向曲线
引三条不同切线，则a
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·山东青岛·期中）过点
作曲线
的切线，不同的切线条数
为（ ）
A．0
B．1
C．2
D．3
3．（2025·全国·一模）函数
过原点的切线条数为（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
4．（24-25 高二下·山西·期中）已知函数
，过点
可向曲线
引3
条切线，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三下·上海青浦·阶段练习）若直线
上点P 可以作曲线
的两条切线，
则点P 横坐标的取值范围是 .
题型四：利用导数研究函数的单调性（小题）
1．（24-25 高二下·云南昭通·期中）若函数
在区间
上是减函
数，则a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·河南南阳·阶段练习）已知函数
在
上单调递减，则
实数a 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数
在
上单调递增，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二下·山东淄博·期中）已知函数
在其定义域内的一个子区
间
内不是单调函数，则实数a 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（2025·四川眉山·模拟预测）函数
在区间
上单调递
减的必要不充分条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高二下·四川广安·阶段练习）若函数
在
上单调递增，则
实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
，都有
成立，则实数
的取值范围是 .
8．（24-25 高二下·上海黄浦·阶段练习）若函数
存在单调递减区间 ，
则实数
的取值范围是 ．
9．（24-25 高二下·天津·期中）已知函数
在
上不单调，则t 的取值范围
是 .
10．（24-25 高二下·天津滨海新·期中）若函数
在
上不单调，则实数
的取值范围是
题型五：借助单调性构造函数解不等式
1．（24-25 高二下·山东日照·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·安徽·阶段练习）已知
，
，
，则
、
、的大小
关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（2025·重庆·三模）设
则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高二下·云南玉溪·阶段练习）已知函数
的定义域为R，其导函数
满足
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）函数
及其导函数
的定义域均为
．若
，
，则不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．（24-25 高二下·浙江宁波·开学考试）已知定义域为
的函数
，其导函数为
，且
,则（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（多选）（2025·安徽黄山·二模）已知
是定义在
上的奇函数，且
图象连续
不间断，函数
的导函数为
．当
时，
，其中
为自然对数的底数，则（ ）
A．
在
上有且只有1 个零点
B．
在区间
上单调递增
C．
D．
8．（24-25 高二下·江苏南京·开学考试）已知定义在
的函数
满足
，则不等式
的解集为 ．
题型六：利用导数研究函数单调性（含参讨论）
1．（24-25 高二下·云南·期中）已知函数
；
(1)当
时，求证
恒成立．
(2)讨论
的单调性．
2．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在
处的切线方程；
(2)当
时，讨论函数
的单调性.
3．（2025 高二·全国·专题练习）已知函数
.
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)设函数
，讨论
在区间
上的单调性.
4．（24-25 高二下·河北保定·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)求
的单调区间
5．（2025·江西南昌·模拟预测）已知函数
.
(1)已知
在
取得极值，求a 的值，
(2)当
时，讨论
的单调性；
6．（24-25 高二下·广东·期中）已知函数
．
(1)若
，求
在点
处的切线方程；
(2)讨论
的单调性．
7．（24-25 高二下·河北·期中）已知函数
，其导函数为
．
(1)设
．
①求
的值；
②求
在
上的最大值．
(2)讨论
的单调性．
题型七：利用导数研究函数的极值
1．（24-25 高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）函数
的极小值点是
（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·河南新乡·阶段练习）若
是函数
的极小值点，则实数
（ ）
A．6
B．3
C．2
D．4
3．（24-25 高二下·福建漳州·期中）函数
在
处有极小值5，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或3
4．（24-25 高二下·天津西青·阶段练习）函数
在
时有极值10，
则
的值为（ ）
A．
B．
C．
或
D．
或
5．（2025·辽宁盘锦·三模）已知函数
在
处的切线与直线
垂
直，则
的极小值为 ．
6．（24-25 高二下·江苏·阶段练习）若函数
在
上有极值，则实数
的
取值范围是
7．（24-25 高二下·广东揭阳·阶段练习）已知函数
，若2 是
的
极小值点，则
.
8．（24-25 高二下·河北衡水·期末）已知函数
．
(1)若
，求
在
处的切线方程；
(2)若
，求
的单调区间；
(3)求
的极大值．
9．（2025·广东佛山·三模）已知函数
．
(1)若曲线
在点
处的切线经过坐标原点，求
的值；
(2)若
存在两个极值点，求
的取值范围．
10．（2025·安徽马鞍山·模拟预测）已知函数
．
(1)讨论
的单调性；
(2)若
有极小值，且极小值大于
，求
的取值范围．
题型八：利用导数研究函数的最值
1．（24-25 高二下·河南·期末）设函数
，若
恒成
立，则
的最小值为 ．
2．（24-25 高三上·福建漳州·期中）已知曲线C：
(1)若曲线C 过点
，求曲线C 在点P 处的切线方程；
(2)当
时，求
在
上的值域；
3．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知
是函数
的极
值点.
(1)求
满足的等量关系式；
(2)若
，求
在
上最值.
4．（24-25 高二下·陕西咸阳·期中）已知函数
(1)若函数
在区间
上单调递增，求
的取值范围.
(2)若函数
在
时取得极值
①求函数
的单调区间；
②求函数
在区间
上的最小值.
5．（24-25 高二下·广东中山·阶段练习）已知函数
（
），曲线
在
处与直线
相切
(1)求a，b 的值
(2)求
在
上的最大值和最小值（其中
为自然对数的底数）
6．（2025·福建·模拟预测）已知函数
.
(1)求函数
的极值点；
(2)若函数
在区间
上的最小值为0，求实数
的值.
7．（24-25 高二下·河南·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的值；
(2)讨论
的单调性；
(3)若
存在最小值，且最小值不小于
，求
的值．
8．（2025·内蒙古包头·二模）已知函数
．
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
(2)若函数
在
有最小值4，求
的值．
题型九：利用导数解决恒成立问题
1．（2025·湖北·模拟预测）已知函数
(1)求
在
处的切线方程；
(2)若关于
的不等式
恒成立，求实数
的取值范围．
2．（24-25 高二下·河北邢台·阶段练习）已知函数
．
(1)当
时，求函数
的最小值；
(2)若
时，都有
成立，求实数
的取值范围．
3．（24-25 高二下·福建漳州·期中）已知函数
在
处取
得极值，其图象在点
处的切线与直线
平行．
(1)求
的值；
(2)若对任意
，都有
恒成立，求的取值范围．
4．（2025·海南·模拟预测）已知函数
．
(1)若曲线
与
在
处相交，且曲线
在
处的切线与直线
平行，求
的值；
(2)若
，对于任意
，都有
，求实数
的取值范
围；
(3)若
，不等式
恒成立，求
的最大值．
5．（24-25 高一下·浙江衢州·期末）已知函数
．
(1)当
时，求
的单调递增区间；
(2)若
在
上恒成立，求实数
的取值范围．
题型十：利用导数解决有解问题
1．（24-25 高二下·上海·期末）已知函数
.
(1)求
的导函数
；
(2)求
在
上的单调区间；
(3)存在
，使得
成立，求实数
的取值范围；
2．（24-25 高二下·江苏无锡·阶段练习）已知函数
为偶函数，其中e 是自
然对数的底数.
(1)求m 的值及
最小值；
(2)关于x 的不等式
在
上恒成立，求实数b 取值范围；
(3)存在
，使得
成立，其中
，求实数a 的取值范围.
3．（2026 高三·全国·专题练习）设函数
，
．
(1)求证：当
时，
；
(2)若存在
，使得
成立，求
的取值范围．
4．（2025·辽宁·模拟预测）已知函数
(1)求出函数
在
上的最值
(2)若关于
的不等式
存在唯一的整数解，求实数
的取值范围．
5．（2025·河北保定·一模）已知函数
.
(1)当
时，求
的极值；
(2)若关于
的不等式
有实数解，求
的取值范围.
题型十一：利用导数解决函数零点（方程根）问题
1．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
.
(1)
时，求
在点
处的切线方程；
(2)
有3 个零点，求a 的取值范围.
2．（24-25 高二下·北京·阶段练习）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
的在点
处的切线方程；
(2)若函数
在定义域上恰有一个零点，求a 的取值范围.
3．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，证明：函数
在
上单调递增；
(2)若函数
有三个零点，求
的取值范围．
4．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知函数
．
(1)当
时，求
在点
处的切线方程；
(2)若
在区间
上有零点，求实数
的取值范围．
5．（24-25 高二下·天津滨海新·期中）已知函数
，满足
.
(1)求实数
的值；
(2)求
的单调区间和极值.
(3)方程
无实数根， 求实数
的范围.
6．（24-25 高二下·四川绵阳·期中）已知函数
.
(1)过点
作曲线
的切线，求此切线的方程；
(2)若关于
的方程
有三个不同的实根，求的取值范围.
7．（2025·江西萍乡·二模）已知函数
．
(1)证明：函数
有且只有一个极值点；
(2)若关于
的方程
在区间
上恰有两个实数根，求实数
的取值范围．
第二部分：新定义题
1．（上海市进才中学和曹杨二中2024-2025 学年高二下学期5 月联考数学试卷）函数
满足：对任意
，
恒成立（或
恒成立），则称直线
是函数
在
上的支撑线．
(1)指出下列哪些函数在定义域上存在支撑线：①
；②
；
(2)已知直线
是函数
在其定义域上的支撑线，求实数a 的
值；
(3)直线
是函数
在
上的支撑线，求实数a 的取值范围．
2．（24-25 高二下·江苏南通·阶段练习）已知
是函数
的导函数，
是
的零
点，若在
上，
恒成立，则称
是
上的“优函数”.
(1)试判断函数
是否是
上的“优函数”，请说明理由；
(2)已知函数
，
.
①证明：
只有一个零点；
②已知
是
的零点，证明：
是
上的“优函数”.
3．（24-25 高二下·上海·阶段练习）若函数
在
处取得极值，且
，
（常数
），则称
是函数
的“
相关点”．
(1)若函数
存在“
相关点”，求
的值；
(2)若函数
（常数
）存在“1 相关点”，求k 的值；
(3)设函数
的表达式为
（常数a、b、
且
），若函数
有两个不相等且均不为零的“2 相关点”，过点
存在3 条直线与曲线
相切，求实数a 的取值范围．
4．（24-25 高二下·江苏·期末）已知函数
，若其定义域为
，且满足
对一切
恒成立，则称
为一个“反比函数”．
(1)设
，判断
是否为“反比函数”，并说明理由；
(2)若
，求证：函数
是“反比函数”；
(3)已知“反比函数”
满足对任意的
，都有
，且
，求证：对任意的
，关于
的方程
无解．
5．（2025·四川泸州·模拟预测）如果函数
满足条件：①
；②
，则称
是次可加函数.次可加函数在数学的多个
领域中都有重要应用，如概率论､数论､组合数学､经济学､计算机科学､统计力学､优化理论､
控制理论等.
(1)判断
是否是次可加函数，并说明理由；若
，试判断
与
的大小关系；
(2)设函数
，若
在
上单调递减，证明：
是次可加
函数；
(3)判断
是否是次可加函数，并证明：当
时，
.
