(2.3.10)--高数-第三章一元函数积分学._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

更懂考研，更懂你 第三章 一元函数积分学章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 25 分. 1.设F(x)dx G x  dx，则下列结论中错误的是（ ） A.F(x)G  x  B.F(x)G  x C C.F(x)G x  D.dF(x)dx dG x  dx 【答案】A 【解析】由不定积分的定义，F(x)dx F  x C,G(x)dx G  x C ，其中C ， 1 2 1 C 都是任意常数，所以有F  x C G  x C ，即F  x G  x C，所以B 选 2 1 2 项正确;而结论B，C，D是互相等价的，所以错误的是A选项.  sinx       2.设M  2 cos4xdx,N 2 sin3xcos4x dx,P 2 x2sin3xcos4x dx,   1x2     2 2 2 则（ ） A.N  PM B.M  P N C.N M  P D.PM  N 【答案】D   【解析】积分区间[ , ]关于x0对称，可利用奇偶函数在对称区间上定积分 2 2 性质确定M,P,N 的大小，因M 的被积函数为奇函数，故M 0.同样，N 和P的 积分式中的第一项均为零. 因为 2 cos4 xdx 0，所以N   2 cos4dx  2 2 cos4xdx 0 0 2 0 2 2 又因为P  cos4xdx2 cos4xdx0 ，所以PM  N ，选D. 2 0 内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你 2  x1  , x1, 3.已知 f  x  则 f  x 的一个原函数是（ ）  lnx, x 1,    x1 2 , x1    x1 2 , x1 A.F  x  B.F  x   x  lnx1  , x1  x  lnx1 1, x1    x1 2 , x1    x1 2 , x1 C.F  x  D.F  x   x  lnx1 1, x1  x  lnx1 1, x1 【答案】D 【解析】由原函数F  x 的定义有F  x   f  x  dx.当x1时， F  x  2  x1  dx   x1 2C ;当x1时，F  x  lnxdx  x  lnx1 C ; 1 2 又因 f  x 连续，故F  x 必可导，则F  x 在x1处必连续.因而 F  1  l x i  m 1 F  x  l x i  m 1 F  x  ,即 x li  m 1    x1 2 C 1    x li  m 1   x  lnx1 C 2   ，亦即    x1 2 C , x1, C C 1,故F  x  1 其中C R.取C 0，得到 1 2  x  lnx1 C 1, x1. 1 1 1    x1 2 , x1 F  x  ，选 D.  x  lnx1 1, x1 4.如图所示，连续函数y  f  x 在区间3,2 ， 2,3 上图形分别是直径为1的上. 下半圆周，在2,0  [0,2] 区间上的图形分别是直径为 2 的下.上半圆周.设 F  x   x f  t  dt ，则下列结论正确的是（ ） 0 3 A.F  3  F(2) 4 5 B.F  3  F(2) 4 3 C.F 3  F(2) 4 5 D.F 3  F(2) 4 内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你 【答案】C 【解析】由定积分的几何意义得到F(2)  2 f  t  dt  12   , 0 2 2 F  3   3 f  t  dt   2 f  t  dt 3 f  t  dt  12     1/2 2  3 , 0 0 2 2  2  8 F 3  3 f  t  dt  0 f  t  dt    2 f  t  dt  0 f  t  dt  0 3  3 2   1/2 2  12    3        .  2  2  8 2  8 3 3  3 显然有F 3     F(2)，选C. 8 4 2 4 5.下列广义积分收敛的是（ ） lnx  dx A. dx B.  e x e x lnx  dx  dx C. D.  e xlnx e x ln3x 【答案】D 【解析】 lnx dx   lnxdlnx  1 ln2x  ，而 lim ln2 x存在，故选项 A 中积 e x e 2 e x 分发散.同样，由于 lim lnx, lim lnlnx均不存在，则B 和C 中的积分均发散.而 x x .   dx   d lnx 2  lnx  1 2  2 e e x ln3x e ln3x 所以D中积分收敛，选D. 二．填空题，每题 5 分，共 25 分. sinx 6.设 为 f  x 的原函数，则xf x  dx ________. x 内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你 xcosx2sinx 【答案】 C. x  sinx sinx 【解析】xf x  dx xd   f  x   xf  x  f  x  dx x    C  x  x xcosx2sinx  C. x 7.  ecosx ecosx  dx _______. 0 【答案】0. 【解析】  ecosx ecosx  dx x  2t   2  esint esint  dt   2  esint esint  dt   0   2 2 因y esint esint是奇函数，故原积分为零.      8.求定积分2 ln x 1x2 sin2 x cos2 xdx _______.    2  【答案】 . 8   【解析】因为y ln x 1x2 为奇函数，y sin2 x，y cos2 x是偶函数，       所以2 ln x 1x2 sin2 x cos2 xdx2 sin2 xcos2 xdx      2 2     22 sin2 xsin4 x dx . 0 8 9.由曲线y lnx与两直线y e1x及y 0所围成的平面图形的面积是______. 3 【答案】 . 2 【解析】联立 y lnx 与 y e1x ，易求得两条线的交点为(e,1).此外，曲线 内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你 y lnx与x轴的交点为 1,0 ，直线y e1x与x轴的交点为(e1,0)，于是 S  e lnxdx  e1 (e1x)dx 3 或S   1    e1 y ey  dy  3 .   1 e 2 0 2 3 dx 10.计算  1 2  _______. xx2 2  【答案】 ln(2 3). 2  1 xx2,  x1  【解析】在积分区间内有 xx2  x  1x     2 ， 3  x2 x,1 x  2 3 dx 1 dx 3 dx 因此  1 2  1 2 2 xx2 2 xx2 1 x2 x 注意拆开得到的两个积分均以x1为瑕点，分别计算得 1  1 dx  1 dx  1 d  2x1   arcsin  2x1  1   1 1 1 2 xx2 2 1  1 2 2 1 2x1 2 2  x  2 4  2 3 dx 3 d  2x1  t2x1 2 dt tsecu secu tanudu 2 2    3 1 x2 x 1  2x1 2 1 1 t2 1 0 tanu       3secuduln secutanu 3ln 2 3 ，因此原积分= ln(2 3) 0 0 2 三．解答题，每题 10 分，共 50 分. 11.求圆x2  y2  2y 内位于抛物线y  x2上方部分的面积. x2  y2  2y x1 x1 【解析】由 ，得 , ，  y  x2  y 1 y 1 内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你 1    4  所求面积为A   1 1 x2  x2 dx  . 1   3 2 12.设 f  sin2x   x ，求 x f  x  dx. sinx 1x 【解析】先通过变量代换求出 f  x 的表达式，再代入被积函数，求出不定积分. 令u sin2x，则sinx  u .由 x 0， 1x 0和sinx0得到x0,1x0和 x  k,  k1   k，即0 x1.所以sinx0，则 arcsin u arcsin x sinx u, xarcsin u, f  u  ，即 f  x  . u x x arcsin x arcsin x 故原式  dx d  1 x 2arcsin xd 1 x 1x x 1x 2 1xarcsin x2 1xdarcsin x 1 2 1xarcsin x2 1x d x 1x 2 1xarcsin x2d x 2 1xarcsin x2 xC . 2  1  13.求 minx2, dx. 2  x  1 【解析】令x2  得到分界点x 1,x 1. x 1 2  1  1 1  1  当2 x1时，minx2,   ；当1 x1时，minx2,  x2  x  x x  x   1  1 1 当1 x2时，minx2,   .  x  x x 内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你 1/ x, 2 x1  1   综上所述，minx2,  x2, 1 x1  x   1/ x, 1 x2 显然该函数为[2,2]上的偶函数，故 2  1  2  1  1 2 dx 1   minx2, dx 2 minx2, dx 2  x2dx  2 ln2. 2  x  0  x  0 1 x   3   dx  dx 14.计算（1） ；（2）  . 1 x x2 1 3  x1 4 x22x  dx xsect secttant   【解析】（1）解一    2 dt 2 dt . 1 x x2 1 0 secttant 0 2  dx x1t 1 dt 1  解二     arcsint  . 1 x x2 1 0 1t2 0 2  dx x1sect  secttant （2）原式    2 dt 3  x1 4 (x1)21  sec4ttant 3       sin3t 2 2 3 3  2cos3tdt  2 1sin2t dsint  sint    .    3   3 8 3 3 3 15.求曲线在 y  x 4xx2 在 0,4 上与x轴所围图形绕 y轴旋转一周所得到的旋 转体的体积. 【解析】V 2 4 xydx 2 4 x2 4xx2dx 2 4 x2  4x  xdx y 0 0 0 令x=4sin2t   2216sin4t2cost2sint8sintcostdt 0    2102 sin6tsin8t dt 0 202. 内部资料，翻印必究 7