(2.3.10)--高数-第三章一元函数积分学._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

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第三章 一元函数积分学章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 25 分.
1.设F(x)dx G x  dx，则下列结论中错误的是（ ）
A.F(x)G  x  B.F(x)G  x C
C.F(x)G x  D.dF(x)dx dG x  dx
【答案】A
【解析】由不定积分的定义，F(x)dx F  x C,G(x)dx G  x C ，其中C ，
1 2 1
C 都是任意常数，所以有F  x C G  x C ，即F  x G  x C，所以B 选
2 1 2
项正确;而结论B，C，D是互相等价的，所以错误的是A选项.
 sinx      
2.设M  2 cos4xdx,N 2 sin3xcos4x dx,P 2 x2sin3xcos4x dx,
  1x2    
2 2 2
则（ ）
A.N  PM B.M  P N
C.N M  P D.PM  N
【答案】D
 
【解析】积分区间[ , ]关于x0对称，可利用奇偶函数在对称区间上定积分
2 2
性质确定M,P,N 的大小，因M 的被积函数为奇函数，故M 0.同样，N 和P的
积分式中的第一项均为零.
因为
2
cos4 xdx 0，所以N  
2
cos4dx  2
2
cos4xdx 0
0 2 0
2 2
又因为P  cos4xdx2 cos4xdx0 ，所以PM  N ，选D.
2 0
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2  x1  , x1,
3.已知 f  x  则 f  x 的一个原函数是（ ）
 lnx, x 1,
   x1 2 , x1    x1 2 , x1
A.F

x

B.F

x

 x  lnx1  , x1  x  lnx1 1, x1
   x1 2 , x1    x1 2 , x1
C.F

x

D.F

x

 x  lnx1 1, x1  x  lnx1 1, x1
【答案】D
【解析】由原函数F  x 的定义有F  x   f  x  dx.当x1时，
F  x  2  x1  dx   x1 2C ;当x1时，F  x  lnxdx  x  lnx1 C ;
1 2
又因 f  x 连续，故F  x 必可导，则F  x 在x1处必连续.因而
F  1  l
x
i

m
1
F  x  l
x
i

m
1
F  x  ,即
x
li

m
1


 x1 2 C
1



x
li

m
1


x  lnx1 C
2


，亦即
   x1 2 C , x1,
C C 1,故F  x  1 其中C R.取C 0，得到
1 2  x  lnx1 C 1, x1. 1 1
1
   x1 2 , x1
F  x  ，选 D.
 x  lnx1 1, x1
4.如图所示，连续函数y  f  x 在区间3,2 ， 2,3 上图形分别是直径为1的上.
下半圆周，在2,0  [0,2] 区间上的图形分别是直径为 2 的下.上半圆周.设
F  x   x f  t  dt ，则下列结论正确的是（ ）
0
3
A.F  3  F(2)
4
5
B.F  3  F(2)
4
3
C.F 3  F(2)
4
5
D.F 3  F(2)
4
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【答案】C
【解析】由定积分的几何意义得到F(2)  2 f  t  dt  12   ,
0 2 2
F  3   3 f  t  dt   2 f  t  dt 3 f  t  dt  12     1/2 2  3 ,
0 0 2 2  2  8
F 3  3 f  t  dt  0 f  t  dt    2 f  t  dt  0 f  t  dt 
0 3

3 2

 1/2 2  12    3
       .
 2  2  8 2  8
3 3  3
显然有F 3     F(2)，选C.
8 4 2 4
5.下列广义积分收敛的是（ ）
lnx  dx
A. dx B. 
e x e x lnx
 dx  dx
C. D. 
e xlnx e x ln3x
【答案】D
【解析】 lnx dx   lnxdlnx  1 ln2x  ，而 lim ln2 x存在，故选项 A 中积
e x e 2 e x
分发散.同样，由于 lim lnx, lim lnlnx均不存在，则B 和C 中的积分均发散.而
x x
.
  dx   d lnx 2  lnx  1 2  2
e
e x ln3x e ln3x
所以D中积分收敛，选D.
二．填空题，每题 5 分，共 25 分.
sinx
6.设 为 f  x 的原函数，则xf x  dx ________.
x
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xcosx2sinx
【答案】 C.
x

sinx sinx
【解析】xf x  dx xd   f  x   xf  x  f  x  dx x    C
 x  x
xcosx2sinx
 C.
x
7.  ecosx ecosx  dx _______.
0
【答案】0.
【解析】  ecosx ecosx  dx x  2t   2  esint esint  dt   2  esint esint  dt
 
0  
2 2
因y esint esint是奇函数，故原积分为零.
    
8.求定积分2 ln x 1x2 sin2 x cos2 xdx _______.

 
2

【答案】 .
8
 
【解析】因为y ln x 1x2 为奇函数，y sin2 x，y cos2 x是偶函数，
     
所以2 ln x 1x2 sin2 x cos2 xdx2 sin2 xcos2 xdx

 


2 2
 
 
22 sin2 xsin4 x dx .
0 8
9.由曲线y lnx与两直线y e1x及y 0所围成的平面图形的面积是______.
3
【答案】 .
2
【解析】联立 y lnx 与 y e1x ，易求得两条线的交点为(e,1).此外，曲线
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y lnx与x轴的交点为 1,0 ，直线y e1x与x轴的交点为(e1,0)，于是
S  e lnxdx  e1 (e1x)dx 3 或S   1    e1 y ey  dy  3 .  
1 e 2 0 2
3 dx
10.计算  1 2  _______.
xx2
2

【答案】 ln(2 3).
2
 1
xx2,  x1

【解析】在积分区间内有 xx2  x  1x     2 ，
3
 x2 x,1 x
 2
3 dx 1 dx 3 dx
因此  1 2  1 2
2
xx2
2
xx2 1 x2 x
注意拆开得到的两个积分均以x1为瑕点，分别计算得
1
 1 dx  1 dx  1 d  2x1   arcsin  2x1  1  
1 1 1
2 xx2 2 1  1 2 2 1 2x1 2 2
 x

2
4  2
3 dx 3 d  2x1  t2x1 2 dt tsecu secu tanudu
2 2    3
1 x2 x 1  2x1 2 1 1 t2 1 0 tanu
    
 3secuduln secutanu 3ln 2 3 ，因此原积分= ln(2 3)
0
0 2
三．解答题，每题 10 分，共 50 分.
11.求圆x2  y2  2y 内位于抛物线y  x2上方部分的面积.
x2  y2  2y x1 x1
【解析】由 ，得 , ，
 y  x2  y 1 y 1
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1    4 
所求面积为A   1 1 x2  x2 dx  .
1
 
3 2
12.设 f  sin2x   x ，求 x f  x  dx.
sinx 1x
【解析】先通过变量代换求出 f  x 的表达式，再代入被积函数，求出不定积分.
令u sin2x，则sinx  u .由 x 0， 1x 0和sinx0得到x0,1x0和
x  k,  k1   k，即0 x1.所以sinx0，则
arcsin u arcsin x
sinx u, xarcsin u, f  u  ，即 f  x  .
u x
x arcsin x arcsin x
故原式  dx d  1 x 2arcsin xd 1 x
1x x 1x
2 1xarcsin x2 1xdarcsin x
1
2 1xarcsin x2 1x d x
1x
2 1xarcsin x2d x 2 1xarcsin x2 xC .
2  1 
13.求 minx2, dx.
2  x 
1
【解析】令x2  得到分界点x 1,x 1.
x 1 2
 1  1 1  1 
当2 x1时，minx2,   ；当1 x1时，minx2,  x2
 x  x x  x 
 1  1 1
当1 x2时，minx2,   .
 x  x x
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1/ x, 2 x1
 1  
综上所述，minx2,  x2, 1 x1
 x  
1/ x, 1 x2
显然该函数为[2,2]上的偶函数，故
2  1  2  1  1 2 dx 1 
 minx2, dx 2 minx2, dx 2  x2dx  2 ln2.
2  x  0  x  0 1 x   3 
 dx  dx
14.计算（1） ；（2）  .
1 x x2 1 3  x1 4 x22x
 dx xsect secttant  
【解析】（1）解一    2 dt 2 dt .
1 x x2 1 0 secttant 0 2
 dx x1t 1 dt 1 
解二     arcsint  .
1 x x2 1 0 1t2 0 2
 dx x1sect  secttant
（2）原式    2 dt
3  x1 4 (x1)21  sec4ttant
3

     sin3t 2 2 3 3
 2cos3tdt  2 1sin2t dsint  sint    .
   3   3 8
3 3
3
15.求曲线在 y  x 4xx2 在 0,4 上与x轴所围图形绕 y轴旋转一周所得到的旋
转体的体积.
【解析】V 2 4 xydx 2 4 x2 4xx2dx 2 4 x2  4x  xdx
y
0 0 0
令x=4sin2t 
 2216sin4t2cost2sint8sintcostdt
0

 
2102 sin6tsin8t dt
0
202.
内部资料，翻印必究 7