(2.3.8)--高数-第二章一元函数微分学._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

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第二章 一元函数微分学章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 25 分.
1.设函数 f  u 可导， y  f  x2 ，当自变量x在x1处取得增量x0.1时，
相应的函数增量y的线性主部为0.1，则 f 1 （ ）
A.1 B.0.1 C.1 D.0.5
【答案】D.
【解析】因为dy  f
 x2
d
 x2
 2xf
 x2
dx ，
所以得0.12f
1
0.1 ，即 f
1
0.5.所以D是正确的.
x2f  x 2f  x3 
2.已知函数 f  x 在x0处可导，且 f  0 0，则lim （ ）
x0 x3
A.2f0 B.f 0  C. f 0  D.0
【答案】B.
【解析】
x2f x2f  x3  f x f  x3   f xf 0 f  0x3   f 0 
lim lim  2 lim  2 
x0 x3 x0  x x3  x0  x 0 x3 
   
f  x  f  0  f  0x3   f  0 
lim lim2
x0 x0 x0 x3

 f 0 2f 0 f 0 ，故本题应选B.
 1
x2sin ,x 0

 1x2
3.设 f  x  ，则 f  x 在x0处（ ）
1cosx
 ,x0
 x
A.极限不存在 B.极限存在但不连续
C.连续但不可导 D.可导
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【答案】D.
1
【解析】因为lim f  x  lim x2sin 0 ，
x0 x0 1x2
1
x2
1cosx
lim f  x  lim  lim 2 0 ，所以lim f  x 0 f  0 ，
x0 x0 x x0 x x0
故函数在x0处极限存在且连续.又因为
1
1cosx
1
x2sin x2
f  0  lim 1x2  lim xsin 1 0 ，f  0  lim x  lim 2 0.
 x0 x x0 1x2  x0 x x0 3
x2
即 f  0  f  0 0，所以函数在x0处可导，应选D.
 
4.设函数 f  x   ex 1  e2x 2    enx n  ，其中n为正整数，则 f 0 （ ）
A.1n1n1! B.1nn1!
C.1n1n! D.1nn!
【答案】A.
【解析】令 f  x   ex 1  e2x 2    enx n    ex 1  g  x ，
f 0  g  0 1 n1 n1  !.
f  x a f x 1
5.设函数 f  x 有二阶导数，且lim 0，lim 2026 ，则（ ）
x0 ln(1x) x0 ex2 1
A. f

0
是
f

x
的极大值
B. f

0
是
f

x
的极小值
C.  0, f  0  是曲线y  f  x 的拐点
D. f  0 不是 f  x 的极值，  0, f  0  也不是曲线y  f  x 的拐点
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【答案】B
f

x
a
【解析】由lim 0，limln  1x 0，得lim  f  x a  0.又由 f  x 二
x0 ln  1x  x0 x0
f

x
a
f

x

f

0

阶可导知 f  x 连续，所以lim f  x  f  0 a .lim lim 0 ，
x0 x0 ln  1x  x0 x
f  x  f  0  f x 1  
则lim  f 0 0.lim 2026，且lim ex2 1 0，
x0 x x0 ex2 1 x0
则lim

f x 1

lim f x 10 ，lim f x 1，
x0 x0 x0
f
x
 f
0
 f
x

f 0 lim lim 10 ，故x0为 f  x 的极小值点，选B.
x0 x x0 1
二．填空题，每题 5 分，共 25 分.
xarctant d2y
6.若 ，则 ________.
y 3tt3 dx2 t1
【答案】48
dy y t  33t2  2
【解析】    3 1t2 ，
dx x t  1
1t2
dy
d 
d2y  dx  1  6  1t2  2t 1 12  1t2 2，因此 d2y 48.
dx2 dt dx 1 dx2
t1
dt 1t2
7.设 f  t limt


xt

x
，则 f t ________.
x  xt
【答案】e2t 2t1 
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2t
【解析】f  t limt   xt  x tlim    1 2t   x 2  t t  xt
x
te2t ，故 f t e2t 2t1  .
x  xt x xt 
 
3x2 dy
8.已知y  f  ， f x arctanx2，则 _________.
3x2 dx x0
3
【答案】 
4
dy 3x23x2  12 3x2 2 dy 3
【解析】  f     arctan  ，  .
dx 3x23x2  3x2 2 3x2 dx 4
x0
9.设曲线 y  f  x  与 y  x2 x 在点 A  1,0  ( A 为切点)处有公共切线，则
 n 
limnf   ________.
n n2
【答案】2
【解析】由公切线可知， f  1 0， f 1 2x1 1.
x1
 2   2 
f 1  0 f 1   f  1 
 n   n2 2  n2
limnf   lim limn lim
n n2 n 2 n2 n n2n 2

n2 2 n2
2f
1
2.
2x2
10.曲线y  的拐点为________.
 1x 2
 1 2
【答案】  , 
 2 9
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4x  1x 2 2x22  1x  4x  1x 4x2 4x
【解析】y   ，
 1x 4  1x 3  1x 3
4  1x 34x3  1x 2 4  1x 12x 48x
y   ，
 1x 6  1x 4  1x 4
1 1 1
令y0得x .当x 时，y0;当x 时， y0，
2 2 2
 1 2
故曲线的拐点为  , .
 2 9
三．解答题，每题 10 分，共 50 分.
arcsinx 1 1x
11.计算函数y   ln 的导数.
1x2 2 1x
xarcsinx
【答案】
3
 
1x2 2

arcsinx 1 1x
【解析】 y  ln 
 1x2 2 1x
1 xarcsin x
1x2 
1x2 1x2 1 1 1  1 xarcsin x 1 xarcsin x
       
 
1x2 2 1x 1x  1x2   3 1x2   3
1x2 2 1x2 2
 1
xarctan ,x 0
12.设 f  x  x2 ，试讨论 f x 在x0处的连续性.
 0,x0
【答案】 f x 在x0处连续
1 2x2
【解析】当x0时， f x arctan  .
x2 1x4
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f

x

f

0

1 
当x0时， f 0 lim limarctan  ，
x0 x0 x0 x2 2
 1 2x2   
由于lim f x limarctan   0  f 0 ，故 f x 在x0处连
x0 x0 x2 1x4  2 2
续.
 1
13.求曲线y  xlne   x0 的渐近线方程.
 x
1
【答案】y  x .
e
【解析】计算可得曲线不存在水平渐近线和铅直渐近线.
 1
xlne

 x  1
a  lim  lim lne  1,
x x x  x
 1
lne

1
  1   x 1 1
b lim  yax  lim xlne  1  lim  lim  ,
x x   x  x 1 x 1 e
e
x x
1
故此曲线的渐近线方程为y  x .
e
14.已知方程3x4 8x3 6x2 24xa 0 有四个不相同的实根，求a的取值范围.
【答案】13 a8
【解析】令 f  x 3x4 8x36x2 24xa ，
则 f x 12x324x212x2412  x1  x2  x1  .
令 f x 0，得x1,x1,x2. f  x 在,1 上单调减，在1,1 上单调增，
在
1,2
上单调减，在 2,上单调增，f 1 a19，f 
1
13a，f 
2
8a，
由题设知 f 1 0, f  1 0, f  2 0，则13a8.
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15.设函数y y  x 由方程ylnyx y0确定，试判断曲线y y  x 在点 1,1 附
近的凹凸性.
【解析】方程ylnyx y0两边均对x求导，得ylny y1 y0，
1
1
化简整理，得y ，再对x进行求导，得y ，
2ln y y  2ln y 3
1
由二阶导数y
的连续性，得
y2ln y3
1 1
y lim ylim   0，
x1 x1 y1 y2ln y3 8
由函数极限的局部保号性，知曲线y y  x 在点 1,1 附近为凸函数.
内部资料，翻印必究 7