(2.3.14)--高数-第五章多元函数微分学._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

更懂考研，更懂你 第五章 多元函数微分学章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 25 分. f  x,y  f  x,y  1.设函数 f  x,y 可微，且对任意x,y都有 0, 0，则使不等式 x y f  x ,y  f  x ,y 成立的一个充分条件是（ ） 1 1 2 2 A.x  x ,y  y B.x  x ,y  y 1 2 1 2 1 2 1 2 C.x  x ,y  y D.x  x ,y  y . 1 2 1 2 1 2 1 2 【答案】D f  x,y  【解析】由于 0，故对于固定的 y， f  x,y 是关于x 单调增加的函数；同理， x f  x,y  由于 0，可知对于固定的x f  x,y 是关于y单调减少的函数. 因此，当x  x ， 1 2 x 且 y  y 时，就有 f  x ,y  f  x ,y ，故应选D. 1 2 1 1 2 2 2.设函数 f  x,y 在点  x , y  处的两个偏导数 f x ,y 和 f x ,y 都存在，则（ ） 0 0 x 0 0 y 0 0 A. lim f  x,y 存在 B.lim f  x,y 及 lim f  x ,y 都存在 x,yx 0 ,y 0  xx 0 0 yy 0 0 C. f  x,y 在点  x , y  处必连续. D. f  x,y 在点  x , y  处必可微. 0 0 0 0 【答案】B. 【解析】因为偏导数 f  x ,y 存在，所以 f  x,y 作为一元函数在x x 处可导， x 0 0 0 0 故必连续，从而lim f  x,y 存在，同理 lim f  x ,y 也存在，故选B. 0 0 xx yy 0 0 内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你 3.考虑二元函数 f  x,y 的下面4条性质: ① f  x,y 在点 x ,y 处连续;② f  x,y 在点 x ,y 处的两个偏导数连续; 0 0 0 0 ③ f  x,y 在点 x ,y 处可微;④ f  x,y 在点 x ,y 处的两个偏导数存在. 0 0 0 0 若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ） A.②③① B.③②① C.③④① D.③①④ 【答案】A. 【解析】这类题考过多次，考查的是对下面关系的认知: 只要记住这种因果关系，不难看出应选(A).有的考生选择(C)，错误地认为既然③可以推出④， ③又可以推出①，那么应是③④①.或者认为偏导数存在，函数必连续，从而有④①， 错误地将一元函数的情况搬到二元函数中来了. ex 4.已知函数 f  x,y  ，则（ ） x y A. f f0 B. f f0 x y x y C. f f f D. f f f x y x y 【答案】D ex x y1  ex 【解析】由题设知 f x,y  ， f x,y  ， x  x y 2 y  x y 2 ex x y  易知有 f x,y  f x,y   f  x,y ，故选（D） x y  x y 2 内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你 5.设函数z  f  x,y  的全微分为dz  xdx ydy,则点  0,0  （ ）     A.不是 f x,y 的连续点 B.不是 f x,y 的极值点     C.是 f x,y 的极大值点 D.是 f x,y 的极小值点 【答案】D z z 2z 2z 2z 【解析】由dz  xdx ydy,可得  x,  y, A 1,B  0,C  1. x y x2 xy y2 z z 在点  0,0  处，因为 0, 0,B2  AC 10,A0, x y 所以  0,0  为整数z  f  x,y  的极小值点，即选项D正确. 二．填空题，每题 5 分，共 25 分.   1cos x2 y2 6.求极限 lim _____. x,y0,0  x2  y2  ex2y2 【答案】0. 【解析】当 x,y  0,0 时，x2  y2 0，故1cos  x2 y2   1 x2 y2 2 ， 2   1cos x2 y2 x2  y2 则 lim  lim 0 . x,y0,0  x2  y2  ex2y2 x,y0,0 2ex2y2 x 7.设 f  x,y  x y1  arcsin ，求 f x,1  ____. x y 【答案】1. y1 1 1 【解析】 f  x,y 1   ， f  x,1 1. x x x y x 1 2 y y 内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你 dz 8.设z ex2y，而xsint,y t3，则  ____. dt 【答案】esint2t3  cost 6t2  . dz z dx z dy 【解析】     ex2ycostex2y2 3t2 dt x dt y dt ex2y  cost6t2  esint2t3  cost6t2  . 9.函数u=xyz的全微分_____. 【答案】du  yzxyz1dxzxyz lnxdy yxyz lnxdz . u u u 【解析】因为  yzxyz1，  zxyz lnx，  yxyz lnx， x y z u u u 所以du  dx dy dz  yzxyz1dxzxyz lnxdy yxyz lnxdz . x y z f  x,y 2x y2 10.函数z f  x,y 满足 lim 0 ，则dz  _____. x0 x2  y1 2 0,1 y1 【答案】2dxdy. 【解析】由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，   即 f  x,y 2xy2 x2 y1 2 ， z z 所以 2， 1，故dz 2dxdy . x y 0,1 0,1 0,1 内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你 三．解答题，每题 10 分，共 50 分. x y 11.z arctan ，求dz. x y z z ydxxdy 【答案】 dz  dx dy  . x y x2 y2 z 1 2y y z 1 2x x 【解析】  ·  ,  ·  , x x y (x y)2 x2 y2 y x y (x y)2 x2 y2 1( )2 1( )2 x y x y z z ydxxdy dz  dx dy  . x y x2 y2 12.设函数 f  u,v 具有2阶连续偏导数， y  f  ex,cosx  ，求 dy ， d2y . dx dx2 x0 x0 dy dy 【解析】由复合函数求导法则，可得  f  ex  f sinx ，故  f  1,1  . dx 1 2 dx 1 x0 d2y     exf ex f  ex  f  sinx cosxf sinx f  ex  f  sinx dx2 1 11 12 2 21 22 exf cosxf e2xf 2exsinxf sin2xf  . 1 2 11 21 22 d2y 故  f  1,1  f  1,1  f  1,1  . dx2 1 2 11 x0  x  y 2z 13.设z  f xy,  g ,其中 f 具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求 .  y  x xy z 1 y 【解析】  yf f g, x 1 y 2 x2 2z  x  1 1 x  1 y  f yxf f   f xf  f   g g xy 1  11 y2 12  y2 2 y 21 y2 22  x2 x3 内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你 1 x 1 y  f fxyf f  g g. 1 y2 2 11 y3 22 x2 x3 14.求函数 f  x，y  x38y3xy的极值．  1 【解析】    f x  x,y 3x2 y 0 ，所以   x 0 或    x  6 ，所以驻点为 0,0 或   1 , 1    f y  x,y 24y2x 0 y 0  y  1 6 12  12 A f x,y 6x，B f x,y 1，C  f x,y 48y． xx xy yy   代入 0,0 ，此时ACB2 0，所以不是极值点 1 1  1 1  1 代入 , ，ACB2 0且A0，所以 f   ,   为极小值. 6 12 6 12 216 15.求函数z  x33x2 3y2在闭区域D：x2  y2 16上的最大值. z' 3x2 6x 0 【解析】（I）在D：x2  y2 16内，由 x 得驻点 0,0  ,  2,0  .  z' 6y 0 y   （II）在D：x2  y2 16上，利用拉格朗日乘数法，L x33x2 3y2  x2  y2 16 ， L' 3x2 6x2x 0 x  则 L' 6y2y 0 ，解得 0,4  , 4,0  y  L'  x2  y2 160   （III）比较大小z  0,0 0,z  2,0 4,z  0,4 48 ， z  0,4 48,z  4,0 16,z 4,0 112 ，得最大值为z  4,0 16. 内部资料，翻印必究 6