(2.3.14)--高数-第五章多元函数微分学._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

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第五章 多元函数微分学章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 25 分.
f  x,y  f  x,y 
1.设函数 f  x,y 可微，且对任意x,y都有 0, 0，则使不等式
x y
f  x ,y  f  x ,y 成立的一个充分条件是（ ）
1 1 2 2
A.x  x ,y  y B.x  x ,y  y
1 2 1 2 1 2 1 2
C.x  x ,y  y D.x  x ,y  y .
1 2 1 2 1 2 1 2
【答案】D
f  x,y 
【解析】由于 0，故对于固定的 y， f  x,y 是关于x 单调增加的函数；同理，
x
f  x,y 
由于 0，可知对于固定的x f  x,y 是关于y单调减少的函数. 因此，当x  x ，
1 2
x
且 y  y 时，就有 f  x ,y  f  x ,y ，故应选D.
1 2 1 1 2 2
2.设函数 f  x,y 在点  x , y  处的两个偏导数 f x ,y 和 f x ,y 都存在，则（ ）
0 0 x 0 0 y 0 0
A. lim f  x,y 存在 B.lim f  x,y 及 lim f  x ,y 都存在
x,yx
0
,y
0
 xx
0
0 yy
0
0
C. f  x,y 在点  x , y  处必连续. D. f  x,y 在点  x , y  处必可微.
0 0 0 0
【答案】B.
【解析】因为偏导数 f  x ,y 存在，所以 f  x,y 作为一元函数在x x 处可导，
x 0 0 0 0
故必连续，从而lim f  x,y 存在，同理 lim f  x ,y 也存在，故选B.
0 0
xx yy
0 0
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3.考虑二元函数 f  x,y 的下面4条性质:
① f  x,y 在点 x ,y 处连续;② f  x,y 在点 x ,y 处的两个偏导数连续;
0 0 0 0
③ f  x,y 在点 x ,y 处可微;④ f  x,y 在点 x ,y 处的两个偏导数存在.
0 0 0 0
若用“PQ”表示可由性质P推出性质Q，则有（ ）
A.②③① B.③②①
C.③④① D.③①④
【答案】A.
【解析】这类题考过多次，考查的是对下面关系的认知:
只要记住这种因果关系，不难看出应选(A).有的考生选择(C)，错误地认为既然③可以推出④，
③又可以推出①，那么应是③④①.或者认为偏导数存在，函数必连续，从而有④①，
错误地将一元函数的情况搬到二元函数中来了.
ex
4.已知函数 f  x,y  ，则（ ）
x y
A. f f0 B. f f0
x y x y
C. f f f D. f f f
x y x y
【答案】D
ex x y1  ex
【解析】由题设知 f x,y  ， f x,y  ，
x  x y 2 y  x y 2
ex x y 
易知有 f x,y  f x,y   f  x,y ，故选（D）
x y  x y 2
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5.设函数z  f  x,y  的全微分为dz  xdx ydy,则点  0,0  （ ）
   
A.不是 f x,y 的连续点 B.不是 f x,y 的极值点
   
C.是 f x,y 的极大值点 D.是 f x,y 的极小值点
【答案】D
z z 2z 2z 2z
【解析】由dz  xdx ydy,可得  x,  y, A 1,B  0,C  1.
x y x2 xy y2
z z
在点  0,0  处，因为 0, 0,B2  AC 10,A0,
x y
所以  0,0  为整数z  f  x,y  的极小值点，即选项D正确.
二．填空题，每题 5 分，共 25 分.
 
1cos x2 y2
6.求极限 lim _____.
x,y0,0  x2  y2  ex2y2
【答案】0.
【解析】当 x,y  0,0 时，x2  y2 0，故1cos  x2 y2   1 x2 y2 2 ，
2
 
1cos x2 y2 x2  y2
则 lim  lim 0 .
x,y0,0  x2  y2  ex2y2 x,y0,0 2ex2y2
x
7.设 f  x,y  x y1  arcsin ，求 f x,1  ____.
x
y
【答案】1.
y1 1 1
【解析】 f  x,y 1   ， f  x,1 1.
x x x y x
1 2
y y
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dz
8.设z ex2y，而xsint,y t3，则  ____.
dt
【答案】esint2t3  cost 6t2  .
dz z dx z dy
【解析】     ex2ycostex2y2 3t2
dt x dt y dt
ex2y  cost6t2  esint2t3  cost6t2  .
9.函数u=xyz的全微分_____.
【答案】du  yzxyz1dxzxyz lnxdy yxyz lnxdz .
u u u
【解析】因为  yzxyz1，  zxyz lnx，  yxyz lnx，
x y z
u u u
所以du  dx dy dz  yzxyz1dxzxyz lnxdy yxyz lnxdz .
x y z
f  x,y 2x y2
10.函数z f  x,y 满足 lim 0 ，则dz  _____.
x0 x2  y1 2 0,1
y1
【答案】2dxdy.
【解析】由题意可知分子应为分母的高阶无穷小，
 
即 f  x,y 2xy2 x2 y1 2 ，
z z
所以 2， 1，故dz 2dxdy .
x y 0,1
0,1 0,1
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三．解答题，每题 10 分，共 50 分.
x y
11.z arctan ，求dz.
x y
z z ydxxdy
【答案】 dz  dx dy  .
x y x2 y2
z 1 2y y z 1 2x x
【解析】  ·  ,  ·  ,
x x y (x y)2 x2 y2 y x y (x y)2 x2 y2
1( )2 1( )2
x y x y
z z ydxxdy
dz  dx dy  .
x y x2 y2
12.设函数 f  u,v 具有2阶连续偏导数， y  f  ex,cosx  ，求
dy
，
d2y
.
dx dx2
x0 x0
dy dy
【解析】由复合函数求导法则，可得  f  ex  f sinx ，故  f  1,1  .
dx 1 2 dx 1
x0
d2y    
exf ex f  ex  f  sinx cosxf sinx f  ex  f  sinx
dx2 1 11 12 2 21 22
exf cosxf e2xf 2exsinxf sin2xf  .
1 2 11 21 22
d2y
故  f  1,1  f  1,1  f  1,1  .
dx2 1 2 11
x0
 x  y 2z
13.设z  f xy,  g ,其中 f 具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求 .
 y  x xy
z 1 y
【解析】  yf f g,
x 1 y 2 x2
2z  x  1 1 x  1 y
 f yxf f

 f xf  f

 g g
xy 1  11 y2 12  y2 2 y 21 y2 22  x2 x3
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1 x 1 y
 f fxyf f  g g.
1 y2 2 11 y3 22 x2 x3
14.求函数 f  x，y  x38y3xy的极值．
 1
【解析】    f x  x,y 3x2 y 0 ，所以   x 0 或    x  6 ，所以驻点为 0,0 或   1 , 1  
 f
y
 x,y 24y2x 0 y 0 
y 
1 6 12
 12
A f x,y 6x，B f x,y 1，C  f x,y 48y．
xx xy yy
 
代入 0,0 ，此时ACB2 0，所以不是极值点
1 1  1 1  1
代入 , ，ACB2 0且A0，所以 f   ,   为极小值.
6 12 6 12 216
15.求函数z  x33x2 3y2在闭区域D：x2  y2 16上的最大值.
z' 3x2 6x 0
【解析】（I）在D：x2  y2 16内，由 x 得驻点 0,0  ,  2,0  .
 z' 6y 0
y
 
（II）在D：x2  y2 16上，利用拉格朗日乘数法，L x33x2 3y2  x2  y2 16 ，
L' 3x2 6x2x 0
x

则 L' 6y2y 0 ，解得 0,4  , 4,0 
y

L'  x2  y2 160
 
（III）比较大小z  0,0 0,z  2,0 4,z  0,4 48 ，
z  0,4 48,z  4,0 16,z 4,0 112 ，得最大值为z  4,0 16.
内部资料，翻印必究 6