(2.3.8)--高数-第二章一元函数微分学._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

更懂考研，更懂你 第二章 一元函数微分学章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 25 分. 1.设函数 f  u 可导， y  f  x2 ，当自变量x在x1处取得增量x0.1时， 相应的函数增量y的线性主部为0.1，则 f 1 （ ） A.1 B.0.1 C.1 D.0.5 【答案】D. 【解析】因为dy  f  x2 d  x2  2xf  x2 dx ， 所以得0.12f 1 0.1 ，即 f 1 0.5.所以D是正确的. x2f  x 2f  x3  2.已知函数 f  x 在x0处可导，且 f  0 0，则lim （ ） x0 x3 A.2f0 B.f 0  C. f 0  D.0 【答案】B. 【解析】 x2f x2f  x3  f x f  x3   f xf 0 f  0x3   f 0  lim lim  2 lim  2  x0 x3 x0  x x3  x0  x 0 x3      f  x  f  0  f  0x3   f  0  lim lim2 x0 x0 x0 x3   f 0 2f 0 f 0 ，故本题应选B.  1 x2sin ,x 0   1x2 3.设 f  x  ，则 f  x 在x0处（ ） 1cosx  ,x0  x A.极限不存在 B.极限存在但不连续 C.连续但不可导 D.可导 内部资料，翻印必究 1更懂考研，更懂你 【答案】D. 1 【解析】因为lim f  x  lim x2sin 0 ， x0 x0 1x2 1 x2 1cosx lim f  x  lim  lim 2 0 ，所以lim f  x 0 f  0 ， x0 x0 x x0 x x0 故函数在x0处极限存在且连续.又因为 1 1cosx 1 x2sin x2 f  0  lim 1x2  lim xsin 1 0 ，f  0  lim x  lim 2 0.  x0 x x0 1x2  x0 x x0 3 x2 即 f  0  f  0 0，所以函数在x0处可导，应选D.   4.设函数 f  x   ex 1  e2x 2    enx n  ，其中n为正整数，则 f 0 （ ） A.1n1n1! B.1nn1! C.1n1n! D.1nn! 【答案】A. 【解析】令 f  x   ex 1  e2x 2    enx n    ex 1  g  x ， f 0  g  0 1 n1 n1  !. f  x a f x 1 5.设函数 f  x 有二阶导数，且lim 0，lim 2026 ，则（ ） x0 ln(1x) x0 ex2 1 A. f  0 是 f  x 的极大值 B. f  0 是 f  x 的极小值 C.  0, f  0  是曲线y  f  x 的拐点 D. f  0 不是 f  x 的极值，  0, f  0  也不是曲线y  f  x 的拐点 内部资料，翻印必究 2更懂考研，更懂你 【答案】B f  x a 【解析】由lim 0，limln  1x 0，得lim  f  x a  0.又由 f  x 二 x0 ln  1x  x0 x0 f  x a f  x  f  0  阶可导知 f  x 连续，所以lim f  x  f  0 a .lim lim 0 ， x0 x0 ln  1x  x0 x f  x  f  0  f x 1   则lim  f 0 0.lim 2026，且lim ex2 1 0， x0 x x0 ex2 1 x0 则lim  f x 1  lim f x 10 ，lim f x 1， x0 x0 x0 f x  f 0  f x  f 0 lim lim 10 ，故x0为 f  x 的极小值点，选B. x0 x x0 1 二．填空题，每题 5 分，共 25 分. xarctant d2y 6.若 ，则 ________. y 3tt3 dx2 t1 【答案】48 dy y t  33t2  2 【解析】    3 1t2 ， dx x t  1 1t2 dy d  d2y  dx  1  6  1t2  2t 1 12  1t2 2，因此 d2y 48. dx2 dt dx 1 dx2 t1 dt 1t2 7.设 f  t limt   xt  x ，则 f t ________. x  xt 【答案】e2t 2t1  内部资料，翻印必究 3更懂考研，更懂你 2t 【解析】f  t limt   xt  x tlim    1 2t   x 2  t t  xt x te2t ，故 f t e2t 2t1  . x  xt x xt    3x2 dy 8.已知y  f  ， f x arctanx2，则 _________. 3x2 dx x0 3 【答案】  4 dy 3x23x2  12 3x2 2 dy 3 【解析】  f     arctan  ，  . dx 3x23x2  3x2 2 3x2 dx 4 x0 9.设曲线 y  f  x  与 y  x2 x 在点 A  1,0  ( A 为切点)处有公共切线，则  n  limnf   ________. n n2 【答案】2 【解析】由公切线可知， f  1 0， f 1 2x1 1. x1  2   2  f 1  0 f 1   f  1   n   n2 2  n2 limnf   lim limn lim n n2 n 2 n2 n n2n 2  n2 2 n2 2f 1 2. 2x2 10.曲线y  的拐点为________.  1x 2  1 2 【答案】  ,   2 9 内部资料，翻印必究 4更懂考研，更懂你 4x  1x 2 2x22  1x  4x  1x 4x2 4x 【解析】y   ，  1x 4  1x 3  1x 3 4  1x 34x3  1x 2 4  1x 12x 48x y   ，  1x 6  1x 4  1x 4 1 1 1 令y0得x .当x 时，y0;当x 时， y0， 2 2 2  1 2 故曲线的拐点为  , .  2 9 三．解答题，每题 10 分，共 50 分. arcsinx 1 1x 11.计算函数y   ln 的导数. 1x2 2 1x xarcsinx 【答案】 3   1x2 2  arcsinx 1 1x 【解析】 y  ln   1x2 2 1x 1 xarcsin x 1x2  1x2 1x2 1 1 1  1 xarcsin x 1 xarcsin x           1x2 2 1x 1x  1x2   3 1x2   3 1x2 2 1x2 2  1 xarctan ,x 0 12.设 f  x  x2 ，试讨论 f x 在x0处的连续性.  0,x0 【答案】 f x 在x0处连续 1 2x2 【解析】当x0时， f x arctan  . x2 1x4 内部资料，翻印必究 5更懂考研，更懂你 f  x  f  0  1  当x0时， f 0 lim limarctan  ， x0 x0 x0 x2 2  1 2x2    由于lim f x limarctan   0  f 0 ，故 f x 在x0处连 x0 x0 x2 1x4  2 2 续.  1 13.求曲线y  xlne   x0 的渐近线方程.  x 1 【答案】y  x . e 【解析】计算可得曲线不存在水平渐近线和铅直渐近线.  1 xlne   x  1 a  lim  lim lne  1, x x x  x  1 lne  1   1   x 1 1 b lim  yax  lim xlne  1  lim  lim  , x x   x  x 1 x 1 e e x x 1 故此曲线的渐近线方程为y  x . e 14.已知方程3x4 8x3 6x2 24xa 0 有四个不相同的实根，求a的取值范围. 【答案】13 a8 【解析】令 f  x 3x4 8x36x2 24xa ， 则 f x 12x324x212x2412  x1  x2  x1  . 令 f x 0，得x1,x1,x2. f  x 在,1 上单调减，在1,1 上单调增， 在 1,2 上单调减，在 2,上单调增，f 1 a19，f  1 13a，f  2 8a， 由题设知 f 1 0, f  1 0, f  2 0，则13a8. 内部资料，翻印必究 6更懂考研，更懂你 15.设函数y y  x 由方程ylnyx y0确定，试判断曲线y y  x 在点 1,1 附 近的凹凸性. 【解析】方程ylnyx y0两边均对x求导，得ylny y1 y0， 1 1 化简整理，得y ，再对x进行求导，得y ， 2ln y y  2ln y 3 1 由二阶导数y 的连续性，得 y2ln y3 1 1 y lim ylim   0， x1 x1 y1 y2ln y3 8 由函数极限的局部保号性，知曲线y y  x 在点 1,1 附近为凸函数. 内部资料，翻印必究 7