(2.3.4)--高数基础习题集._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

目录
第一章 函数、极限与连续.....................................................................................................................1
第一节 函数极限计算.....................................................................................................................1
第二节 数列极限.............................................................................................................................8
第三节 连续与间断.......................................................................................................................11
第二章 一元函数微分学.......................................................................................................................13
第一节 导数与微分的定义...........................................................................................................13
第二节 导数的计算.......................................................................................................................18
第三节 导数的应用.......................................................................................................................23
第三章 一元函数积分学.......................................................................................................................29
第一节 不定积分与原函数...........................................................................................................29
第二节 不定积分的计算...............................................................................................................30
第三节 定积分定义.......................................................................................................................35
第四节 定积分性质.......................................................................................................................36
第五节 定积分计算.......................................................................................................................38
第六节 定积分的几何应用...........................................................................................................43
第七节 变限积分...........................................................................................................................46
第八节 反常积分...........................................................................................................................48
第四章 微分中值定理...........................................................................................................................50
第五章 多元函数微分学.......................................................................................................................54
第一节 多元函数的基本概念.......................................................................................................54
第二节 偏导数定义及其计算.......................................................................................................58
第三节 偏导数计算.......................................................................................................................59
第四节 全微分...............................................................................................................................62
第五节 隐函数的偏导计算...........................................................................................................63
第六节 多元函数的极值与最值...................................................................................................64
第六章 二重积分...................................................................................................................................65
第一节 二重积分的概念和性质...................................................................................................65
第二节 二重积分的计算...............................................................................................................67第七章 微分方程...................................................................................................................................70
第一节 一阶微分方程求解...........................................................................................................70
第二节 二阶微分方程求解...........................................................................................................73
第三节 已知解反求微分方程.......................................................................................................75
第四节 微分方程综合应用题.......................................................................................................76
第八章 无穷级数...................................................................................................................................78
第一节 常数项级数的概念和性质...............................................................................................78
第二节 常数项级数的审敛法.......................................................................................................79
第三节 幂级数...............................................................................................................................80
第四节 幂级数运算.......................................................................................................................81
第九章 数学一专题...............................................................................................................................82
第一节 向量代数与空间解析几何...............................................................................................82
第二节 三重积分...........................................................................................................................84
第三节 多元函数与重积分的应用...............................................................................................86
第四节 第一型曲线积分...............................................................................................................88
第五节 第二型曲线积分...............................................................................................................89
第六节 第一型曲面积分...............................................................................................................90
第七节 第二型曲面积分...............................................................................................................91
第八节 傅里叶级数.......................................................................................................................92更懂考研，更懂你
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数极限计算
考点一 无穷小
1．设x0时，excosx2 ex与xn是同阶无穷小，则n为（ ）.
5
（A）5 （B）4 （C） （D）2
2
1 cosx
2．求 lim .
 
x0 x 1cos x
ex esinx
3．求lim .
x0  xx2  ln  1x  arcsinx
1考点二 泰勒公式
xln  1x  ex3 1x3
1．lim . 2．lim .
x0 ex x1 x0  sin2x 6
   
arcsinxsinx x ex 1 2 ex 1
3．lim . 4．lim .
x0 arctanxtanx x0 x2sinx
x2
ex3 1
2
1 1x2
5．lim . 6．lim .
 
x01cos xsinx x0 cosxex2 sinx2
 
1 1
7．lim  .
x01cos2x 2ln
 1x2

 
2更懂考研，更懂你
考点三 洛必达法则
 1
ln1

 x
1． lim .
x arccotx
 
ln tan7x  x 1 
2．lim . 3．lim  .
x0 ln  tan2x  x1 x1 lnx
3考点四 极限四则运算
1
3sinxx2cos
x
1．lim .
x0  1cosx  ln  1x 
ex2 cosx
2．lim .
x0 lncosx
ex2  31sin2 x
3．lim .
x0 x2
4更懂考研，更懂你
考点五 未定型求极限
x2 5x6
1．lim .
x3 x2 8x15
 2cosx x 
2．limx3

1.
x0   3  
3x2 5 2
3．lim sin .
x 5x3 x
 1 2
4．limn3 2sin sin .
n  n n
5 
5．lim n3 n  n n .
n
6．lim  secxtanx  .
π
x
2
1
 1 lnx
7．lim  .
x0e x 1
1
 
8．（2018数二）若lim ex ax2 bx x2 1，则（ ）.
x0
1 1
（A）a  ，b1 （B）a  ，b1
2 2
1 1
（C）a  ，b1 （D）a  ，b1
2 2
6更懂考研，更懂你
考点六 左右分解求极限
   
ln 1ex ln 1ex
1．（1） lim ； （2） lim .
x x x x
1
x 1ax
2．求函数 f  x  ，g  x   a 1 当x0时的左、右极限，并说明x0时
x 1
1ax
极限是否存在.
 2b 1
3．已知lima  x  arctan  1，其中  x  表示不超过x的最大整数，则ab ______.
x0 π x
7第二节 数列极限
考点一 数列极限的定义与性质
1．“对任意给定的 0,1 ，总存在正整数N ，当n N 时，恒有 x a 2”是数列 a 
n n
收敛于a的（ ）.
（A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件
2．设 a ， b ， c 均为非负数列，且lima 0，limb 1，limc ，则必有
n n n n n n
n n n
（ ）.
（A）a b 对任意n成立 （B）b c 对任意n成立
n n n n
（C）极限lima c 不存在 （D）极限limb c 不存在
n n n n
n n
3．关于数列极限下列叙述正确的是（ ）.
（A）lima a的充要条件是在a的任意小邻域内有 a 中的无限多个点.
n n
n
（B）若数列
a
存在极限，则数列
a
一定为一有界数列.
n n
（C）若数列 a ， b ， c 满足a b c ，且lim  c a 0，则数列 b 一定
n n n n n n n n n
n
收敛.
（D）若数列 a 收敛于a，则必存在自然数N ，使得n N 时， a a 单调递减趋于零.
n n
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考点二 无限项数列求和
1 1 1
1．设x    ，求limx .
n 3 15 4n2 1 n n
 n n n 
2．利用极限存在准则证明：lim  

1.问：本题能否用求
nn2 π n2 2π n2 nπ
极限的四则运算法则求解？
 1 1 1 
3．lim   .
n n2 1 n2 2 n2 n 
9考点三 单调有界准则
1 a 
1．设x  x  ，其中a0，x 0，求limx .
n1 2 n x  0 n n
n
2．设0 x 3，x  x  3x  n1,2, ，证明数列 x 的极限存在，并求此极
1 n1 n n n
限.
4
3．设数列 x 满足x 0且x  4，证明： x 收敛并求出limx .
n n n1 x n n n
n
4．已知数列 a 满足a 1，a  2a ，求lima .
n 1 n1 n n
n
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第三节 连续与间断
考点一 函数的连续与间断
 1
ex, x0

1．若 f  x 3x, 0 x1在x1处连续，求a的值.

e2ax eax 1, x1


1x2n
2．讨论函数 f  x lim x 的连续性，若有间断点，判别其类型.
n1x2n
 
ln en xn
3．已知 f  x lim ,  x 0  .
n n
（1）求 f  x ；（2）函数 f  x 在定义域内是否连续.
11考点二 闭区间上连续函数的性质
1．证明方程x3 9x10恰有3个实根.
2．设 f  x 是  0,1  上的非负连续函数，且 f  0  f  1 0，证明：对任意的a 0,1 ，
都存在 0,1  ，使得 f  f a  .
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第二章 一元函数微分学
第一节 导数与微分的定义
考点一 利用导数定义求极限
 
f cosx
1．设 f  x 在x1处可导且 f  1 0， f 1 π，则lim  ______.
 
x0 ln 1x2
f  32x  f 1sinx 
2．设 f  x 以2为周期且 f 1 π，则lim （ ）.
x0 x
（A）π （B）2π （C）3π （D）4π
1
f  
3．设可导函数 f  x 0，则limnln
n
 ______.
 
n f 0
4．已知 f  x  x  x1    x100 ，求 f2  .
135．设 f  x  lnx1  ln2 x2    lnn xn  ,n2，则 f e  ______ .
6．下列函数中，在x0处不可导的是（ ）.
（A） f  x  x tan x （B） f  x  x tan x
（C） f  x  cos x （D） f  x cos x
 
f x
7．设函数 f  x 在区间1,1 内有定义，且lim 1，则在下列结论中：
x01cosx
   
f x f x
① f  0 0；② f 0 0；③lim 0；④lim 2，正确的个数为（ ）.
x0 x x0 x2
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
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考点二 导数的性质
x2 2xa, x0
1．设 f  x  ，在x0处可导，则（ ）.
 ln  1bx  , x0
（A）a1，b1 （B）a1，b2
（C）a0，b1 （D）a0，b2
 1
xarctan , x 0

2．设 f  x    x ，讨论 f  x 在点x0处的连续性和可导性；若可导，
π 
esinx 1 , x0
2
讨论其导函数 f x 在x0处的连续性.
3．已知函数 f  x esinx esinx，则 f 5 π  ______.
4．下列结论正确的是（ ）.
（A）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f  x  g  x 在xa处一定不可导
（B）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f 

g  x 

在xa处一定不可导
（C）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f  x g  x 在xa处一定不可导
（D）若 f  x 在xa处可导且 f  a 0，则 f  x  在xa处一定可导
15f

cosx
2
5．设 f  x 连续，则lim 存在是 f  x 在x1处可导的（ ）.
x0 x2
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
6．设 f  x 连续，且g  x  xa f  x  f  x ，则g  x 在xa处可导的充要条件
 
是（ ）.
（A） f  a 0 （B） f a 0
（C） f  a  f  a  （D） f  a  f  a 
1cosx
 , x0
7．设 f  x  x ，其中 x 是有界函数，则 f  x 在x0处（ ）.
 x2 x  , x0

（A）可导 （B）连续，但不可导
（C）极限存在，但不连续 （D）极限不存在
16更懂考研，更懂你
考点三 一元函数的微分
1．设函数 f  u 可导， y  f  x2  ，当自变量x在x1处取得增量x0.1时，相应
的函数增量y的线性主部为0.1，则 f 1 （ ）.
（A）1 （B）0.1 （C）1 （D）0.5
2．y f  x 在x 处可微，y f  x h  f  x ，当h0时，下列说法“①dy是h的
0 0 0
等价无穷小；② f x 0时，y与dy是等价无穷小；③ydy是h的同阶无穷小；
0
④ydy是h的高阶无穷小”中正确的是（ ）.
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）②④
17第二节 导数的计算
考点一 复合函数求导
 x1
1．设 y  f   ， f x arctanx2，求 y 0  .
 x1
2．设 y sinf  x2  ，其中 f 具有二阶导数，求
d2y
.
  dx2
3．设函数 f  x 可导，f  0 1，f 0 1，若 y  x  f  x1  ，则 y 1  ______.
18更懂考研，更懂你
考点二 分段函数求导
lncosx π
 ,   x0
1．设 f  x  x 2 ,在x0处可导，则a ____，b ____.
 ln  eax b, x0

x2enx1
axb
2．设 f  x lim ，求 f  x 并讨论 f  x 的连续性与可导性.
n
1enx1
 1
 x sin , x 0,
3．设函数 f  x  x2 则 f  x 在x0处（ ）.
 0, x0,
（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续
（C）连续但不可导 （D）可导
 f  x 
 , x0
4．设 f  x 二阶可导，且 f  0 0，令g  x  x .
 f 0  , x 0

（1）求g
x
；（2）讨论g
x
在x0处的连续性.
19考点三 反函数求导
1．设 f  x 为单调可微函数，g  x 与 f  x 互为反函数，且 f  2 4， f 2  5 ，
f 4 6，则g 4 （ ）.
1 1 1
（A） （B） （C） （D）4
4 5 6
d2x
2．设 y 2xsinx，求其反函数x x  y 的二阶导数 .
dy2
d2x
3．设 y  xex，则其反函数的二阶导数  ______.
dy2
4．设x y 是 y f  x 的反函数，f  x 可导，且 f x ex2x1，f  0 3，求 3  .
20更懂考研，更懂你
考点四 隐函数求导
1．设 y y  x 由exy sinxy4x y确定，则 y 0  ______.
2．设方程x yy确定 y是x的函数，则dy  ______ .
考点五 参数方程求导（数三不考）
x tt2, dy
1．设 则  ______.
tey  y10, dx
t0
 x2t t
dy
2．设 ，求当t 0时的导数 .
 y 5t2 4t t dx
21考点六 求高阶导
1．设 f  x 任意阶可导，且 f x e fx ， f  0 1.求 f n 0  .
2．设 f  x ln  2x2 x1  ，则 f n x  ______.
3．设 f lnx  xlnx，则 f n x  ______.
4．已知函数 f  x  x2ln  2x ，则当n3时， f n 0  ______.
22更懂考研，更懂你
第三节 导数的应用
考点一 函数的单调性
π
1．设 y  tann x在x 处的切线在x轴上的截距为x ，则limy  x  ______.
4 n n n
2．下列说法中正确的是（ ）.
（A）若 f x 0，则 f  x 在x 的邻域内单调递减
0 0
（B）若 f  x 在x 取极大值，则当x x ,x 时，f  x 单调递增，当x x ,x 
0 0 0 0 0
时， f  x 单调递减
（C） f  x 在x 取极值，则 f  x 在x 连续
0 0
（D） f  x 为偶函数， f 0 0，则 f  x 在x0处一定取到极值
23考点二 函数的凹凸性
1．y  f  x e x12 的凹区间为______ ，凸区间为______ .
2．已知函数 y y  x 由方程x2 xy y3  3确定，判断曲线 y y  x 在点 1,1 附近的凹
凸性.
24更懂考研，更懂你
考点三 函数的极值
1．设函数 f  x 在,内有定义，且x x  x 0 是 f  x 的极大值点，则（ ）.
0 0
（A）x 必是 f x 的极小值点 （B）x 必是f x 的极小值点
0 0
（C）x 必是f  x 的极小值点 （D）对一切x都有 f  x  f  x 
0 0
f

x
2
2．设 f  x 为连续函数，且lim 2，则（ ）.
x0 ex2 1
（A）x0为 f  x 的极小值点 （B）x0为 f  x 的极大值点
（C）x0不是 f  x 的极值点 （D） 0,2 为y f  x 的拐点
cos x 1, x0
3．设函数 f  x  ，则x0是 f  x 的（ ）.
xlnx, x0
（A）可导点，极值点 （B）不可导点，极值点
（C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
25考点四 函数的拐点
x2

1．曲线y  xe 2 的拐点个数为（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
2．设函数 f  x 具有连续的二阶导数，点  0, f  0  是曲线 y f  x 的拐点，则极限
f

x
2f 
0

f
x 
lim （ ）.
x0 x2
（A）0 （B）2 （C） f 0  （D）2f 0 
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考点五 函数的最值
1．设 f  x 在  a,b  上可导，且在点xa处取最小值，在点xb处取最大值，则（ ）.
（A） f a 0， f b 0 （B） f a 0， f b 0
   
（C） f a 0， f b 0 （D） f a 0， f b 0
   
 π
2．函数y  x2cosx在区间

0,

上的最大值为______.
 2
ex
3．函数y ex  的最小值为______.
2
4．函数y  x2x在区间 0,1  上的最小值为______.
27考点六 函数的渐近线
1．曲线y  x x2x1（ ）.
（A）没有渐近线 （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线
（C）有一条铅直渐近线 （D）有两条水平渐近线
2．曲线y 
1
ln
 1ex
的渐近线的条数为（ ）.
x  x1 
（A）1条. （B）2条. （C）3条. （D）4条.
2x3 3x2 1
3．设 y  f  x  ，则（ ）.
x2 1
（A）曲线有两条铅直渐近线
（B）曲线有一条水平渐近线，一条斜渐近线
（C）曲线有一条水平渐近线，一条铅直渐近线
（D）曲线有一条铅直渐近线，一条斜渐近线
x
4．曲线y  的渐近线条数为（ ）.
x2 1
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
 1 
5．曲线y  xln2

的斜渐近线方程为（ ）.
 x1
1
（A） y  xln21 （B）y  xln2
2
1
（C）y  xln21 （D） y  xln2
2
28更懂考研，更懂你
第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分与原函数
1.设函数 f  x 在,上连续，则d f  x  dx等于（ ）.
 
（A） f  x  （B） f  x  dx
（C） f  x C （D） f '  x  dx
   
2.若 f x 的导函数是sinx，则 f x 有一个原函数为（ ）.
（A）1sinx （B）1sinx
（C）1cosx （D）1cosx
29第二节 不定积分的计算
考点一 公式题
1.设 f  x2 1  ln
x2
，且 f    x   lnx，求 x  dx.
x2 2
2.设 f (x)是周期为4的可导奇函数，且 f(x) 2(x1), x[0,2]，则 f(7) ______.
30更懂考研，更懂你
考点二 凑微分
 
ln tanx
1.求不定积分 dx.
sinxcosx
cos2x
2.求不定积分 dx.
 3sinxcosx 2
1 1x
3.求不定积分 arctan dx.
1x2 1x
x1
4.求不定积分 dx.
 
x 1xex
dx
5.求不定积分 .
sin2x2sinx
31考点三 分部积分法
xsinx
1.求不定积分 dx.
cos3 x
2.求不定积分xtanxsec4 xdx.
1ln  1x 
3.求不定积分 dx.
x2
  
ln sin x
4.求不定积分 dx.
sin2
x

5.设 f  sin2 x   x ，求 x f  x  dx.
sinx 1x
32更懂考研，更懂你
考点四 综合题
sin4 x
1.求不定积分 dx.
1cosx
x1arctan x1
2.求不定积分 dx.
x
 
3.求不定积分arctan 1 x dx.
sinx
4.求不定积分 dx.
sinxcosx
33arctanx
5.求不定积分 dx.
 
x2 1x2
dx
6.求不定积分 .
 
2x2 1 x2 1
arcsin x lnx
7.求不定积分 dx.
x
34更懂考研，更懂你
第三节 定积分定义
1 π 2π n
1.lim  1cos  1cos  1cos  =______ .
 
nn n n n 
n
2 2 2
 1  2  n
2.limln 1  1  1  等于（ ）.
n  n  n  n
2 2
（A） ln2 xdx （B）2 lnxdx
1 1
（C）2 2 ln  1x  dx （D） 2 ln2 1x  dx
1 1
1  1 2 n
3.极限lim sin 2sin nsin   ______ .
nn2  n n n
35第四节 定积分性质
考点一 定积分定义求积分
1.设在区间  a,b  上函数 f  x 0, f x 0, f x 0.令S   b f  x  dx,
1
a
1
S  f  b  ba  , S  

f  a  f  b 

 ba  ,则（ ）.
2 3 2
（A）S S S （B）S S S
1 2 3 2 1 3
（C）S S S （D）S S S
3 1 2 2 3 1
1
2. 2xx2dx ______.
0
考点二 对称区间偶倍奇零
  sinx 
1.2   x dx ______.
  1cosx 
2

2. (sin3 x 2 x2)dx ______．

36更懂考研，更懂你
考点三 定积分比大小
1.设 f  x 与g  x 在,上皆可导，且 f  x  g  x  ,则必有（ ）.
（A） f x  g x  （B） f '  x  g'  x 
（C）lim f  x  lim g  x  （D） x f  t  dt  x g  t  dt
xx xx 0 0
0 0
2.设M  π 2 sinx cos4xdx ，N  π 2  sin3xcos4 x  dx，P π 2  x2sin3xcos4 x  dx ，
 π1x2  π  π
2 2 2
则有（ ）.
（A）N  P  M （B）M  P  N
（C）N  M  P （D）P  M  N
  
3.设函数I  4ln  sinx  dx,J  4ln  cotx  dx,K  4ln  cosx  dx ，则I,J,K的大小关
0 0 0
系为（ ）.
（A）I  J  K （B）I  K  J
（C）J  I  K （D）K  J  I
37第五节 定积分计算
考点一 基本公式

1.求定积分 1sin2xdx.
0
sinxcosx
2.求定积分2 dx.
0 1sin2x
 1
3.求定积分2 dx.
0  cosx2sinx 2
4.若函数 f  x  1  1x2 1 f  x  dx ，则 1 f  x  dx ______.
1x2 0 0
38更懂考研，更懂你
考点二 积分法求积分
1 dx
1.求定积分 .
0 1 x  1 x2
2.设 f

x
 x cost
dt，求

2
f x 
dx.
0 1sin2t 0 1 f 2 x 
  
 
3.求定积分2 ln x 1 x2 sin2 x cos2 xdx.

 
2
lnx
e
4.求定积分 dx.
1
x
e
391 2x3
5.求定积分 dx.
0 x2 x1
2
6.求定积分 x 2xx2dx.
0
xsint2
1
7.已知函数 f(x) x dt ，则 f(x)dx  ______．
1 t 0
40更懂考研，更懂你
考点三 分段函数定积分
1.求定积分 2  3x1  max  2,x2  dx .
2
2
 xx2n1
2.求定积分 lim dx.
0
n1x2n1

π
3.求定积分 1sinxdx.
0
 1 1
xex,   x

4.设 f  x    2 2 ，则  2
1
f  x1  dx ______.
1
 1, x 2
 2
41考点四 原函数不易求
1.设 f  x 为连续函数，证明：  xf  sinx  dx     f  sinx  dx   2 f  sinx  dx .
0 2 0 0
x sinxcosx
2.求定积分 dx.
0 1sin4 x
3.设 f  x 满足等式xf x  f  x  2xx2 ，且 f  1 4，则 1 f  x  dx  ______.
0
4.设 f  x   x et2 dt ，求 1 x2f  x  dx.
1 0
42更懂考研，更懂你
第六节 定积分的几何应用
考点一 求面积
1.由曲线 y  xex与直线yex所围成图形的面积S  ______.
1
2.由曲线 y  x ,x 2及 y 2所围图形的面积S  ______.
x
3.位于曲线 y  xex 0 x下方、x轴上方的无界图形的面积是______.
4
4.由曲线 y  和直线yx及y4x在第一象限中围成的平面图形的面积为______.
x
 
5.（数一、二）已知曲线L的极坐标方程为r sin3 0 ,则L围成有界区域的
 3
面积为______ .
43考点二 求旋转体体积
1.设D是由曲线 y sinx1与三条直线x 0,x  π,y 0围成的曲边梯形，求D绕x轴旋
转一周所生成的旋转体的体积.
2.在曲线 y x2 x0 上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形(如图)的面积为
1
试求：
,
12
（1）切点A的坐标;
（2）过切点A的切线方程;
（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
44更懂考研，更懂你
3.设平面区域D由曲线段 y  xsinx(0 x1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转
体的体积为______ .
4.曲线 y x1  x2 和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转
体的体积.
1
5.设D是由曲线 y  x3，直线xa  a0 及x轴所围成的平面图形，V ,V 分别是D绕x
x y
轴， y轴旋转一周所得旋转体的体积.若V 10V ，求a的值.
y x
45第七节 变限积分
考点一 求变限积分表达式
x  
1.设x1,求 1 t dt.
1
 3
2x x2, 1 x0

2

2.设 f  x  xex ，求函数F  x  x f  t  dt的表达式.
 , 0 x1 1
 2
 ex 1

46更懂考研，更懂你
考点二 变限积分求导
1.设 f  x 为连续函数，且F  x   lnx f  t  dt ，则F x 等于（ ）.
1
x
1 1 1  1
（A） f

lnx

f   （B） f

lnx

f  
x x2 x   x
1 1 1  1
（C） f

lnx

f   （D） f

lnx

f  
x x2 x   x
d 0
2.  xcost2dt  ______.
dx x2
3.设 f  x  连续，则 d  x tf  x2 t2  dt （ ）.
dx 0
   
（A）xf x2 （B）xf x2
   
（C）2xf x2 （D）2xf x2
4. d  x sin  xt 2 dt  ______.
dx 0
47第八节 反常积分
考点一 反常积分判敛
1.下列反常积分中收敛的是（ ）.
 1 lnx
（A） dx （B） dx.
2 x 2 x
 1  x
（C） dx. （D） dx.
2 xlnx 2 ex
0 1 1  1 1
2.反常积分① exdx，② exdx的敛散性为（ ）.
 x2 0 x2
（A）①收敛，②收敛. （B）①收敛，②发散.
（C）①发散，②收敛. （D）①发散，②发散.
3.下列反常积分发散的是（ ）.
（A）  xexdx （B）  xex2 dx
0 0
arctanx  x
（C） dx （D） dx
0 1x2 0 1x2
48更懂考研，更懂你
考点二 反常积分计算
 1
1.求 dx.
3  x1 4 x22x
 x
2.求 dx.
0  1x 3
 dx
3.求
.
2  x7  x2

4.已知 ekxdx 1，则k  ______.

 lnx
5.求 dx.
1  1x 2
 1
6.求 dx.
5 x2 4x3
49第四章 微分中值定理
考点一 闭区间连续函数性质
1
1．设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1 0， f   1.
2
1 
试证：存在  ,1 ，使 f .
2 
2．设 f  x 在区间 a,b 上具有二阶导数，且 f  a  f  b 0， f a  f b 0，证明
存在
a,b
和
a,b
，使
f
0.
3．设函数 f  x 在[0,)上可导， f  0 0且 lim f  x 2，证明：存在a0，使得
x
f

a
1.
npsinx
4．证明：等式lim dx0.
n n x
50更懂考研，更懂你
考点二 中值定理
1．若函数 f  x 在 a,b 内具有二阶导数，且 f  x  f  x  f  x ，其中
1 2 3
a x  x  x b，证明：在 x ,x 内至少有一点，使 f0.
1 2 3 1 3
2．设 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导， f  a b， f  b a，a与b同号.求证：
f 
存在
a,b
使 f
.

3．设函数 f  x 在 0,1 上连续， 0,1 内可导，且3 1 f  x  dx f  0 ，证明在 0,1 内存
2
3
在一点c，使 f c 0.
514．设函数 f  x 在 0,3 上连续，在 0,3 内可导，且 f  0  f  1  f  2 3， f  3 1.
试证：必存在
0,3
，使 f0.
5．设a,b0， f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 上可导，证明存在 a,b ，使得
2  f  b  f  a     b2 a2  f .
6．设函数 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且 f x 0.试证存在, a,b ，
f eb ea
使得  e .
f ba
52更懂考研，更懂你
考点三 不等式的证明
1．证明下列不等式：
（1）当x0时，ex 1x；
x2
（2）当x0时，x ln  1x  x；
2
 x3
（3）当0 x 时，tanx x .
2 3
1 
2．证明：当x0时，有不等式arctanx  .
x 2
1x arcsinx
3．证明：
1x

ln  1x 
，0 x1
.
53第五章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念
考点一 二元函数的极限
x y
1.lim .
x x2 xy y2
y
x2  y2
2.lim .
x x4  y4
y
3.求下列函数的极限
 
sin xy
（1）limarcsin x2  y2; （2）lim .
x0 x0 y
y1 y0
54更懂考研，更懂你
1 xy1
4.lim .
x0 xy
y0
 
1cos x2 y2
5.lim .
 
x0 x2  y2 exy
y0
2
6.lim  1xy  y .
x2
y0
x
1 ysin
y y
7.设 f  x,y   ,x 0,y 0 .求
1xy arctanx
（1）g  x  lim f  x,y ；
y
（2） lim g  x  .
x0
55考点二 二元函数连续性
x2  y2
 ,(x,y)(0,0)
1. f  x,y x2  y2 ，判断 f  x,y 的连续性.

 0,(x,y) (0,0)
 xy2
 ,(x,y)(0,0)
2. f  x,y x2  y2 ，判断 f  x,y 的连续性.

 0,(x,y) (0,0)
x2  y2

,x2  y2 0
3.讨论函数 f  x,y  x  y ，在 0,0 点的连续性.

0,x2  y2 0
56更懂考研，更懂你
 1
x2sin y2

4.讨论 f  x,y    x2  y2 ,  x,y  0,0  ，在 0,0 点的连续性.
x2  y2

0,  x, y  0,0 

   x2  y2  ln  x2  y2  ,x2  y2 0
5.讨论 f  x,y  ，在 0,0 点的连续性.
0, x2  y2 0
57第二节 偏导数定义及其计算
考点一 偏导数定义
 xy
 ,

x,y

0,0

1.二元函数 f  x,y x2  y2 在点 0,0 处（ ）.

0,

x,y

0,0


（A）连续，偏导数存在
（B）连续，偏导数不存在
（C）不连续，偏导数存在
（D）不连续，偏导数不存在
2.二元函数 f  x,y 在点 x ,y 处两个偏导数 f  x ,y  , f  x ,y 存在是 f  x,y 在
0 0 x 0 0 y 0 0
该点连续的（ ）.
（A）充分条件而非必要条件
（B）必要条件而非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
58更懂考研，更懂你
第三节 偏导数计算
考点一 多元函数求偏导
1.求z  x3y y2sinx1在点,1 处的偏导数.
2.求z exysinxy的偏导数.
2z 2z 2z 2z
3.设z  x3y2 2xy3xy3，求二阶偏导数 、 、 及 .
x2 yx xy y2
x 2u 2u 2u
4.设u  ，求 ， ， .
x2  y2 x2 xy y2
59  2u 2u 2u 2
5.设u ln x2 y2z2 ，求证    .
x2 y2 z2 x2  y2 z2
6.已知函数 f  x,y esinx cosy ，则（ ）.
f f
（A） 不存在， 存在
x y
0,0 0,0
f f
（B） 存在， 不存在
x y
0,0 0,0
f f
（C） ， 均存在
x y
0,0 0,0
f f
（D） ， 均不存在
x y
0,0 0,0
7.设 f  x,y  xyex，则 f  1,x （ ）.
x
（A）0； （B）e （C）e  x1  （D）1ex
60更懂考研，更懂你
8.设 f  x,y excos  yx2  ，则 f  x,x2  （ ）.
1
（A）0； （B）ex （C）ex （D）ex
9.设 f  x,y   xy sint dt ，则 2f  ______.
0 1t2 x2
0,2
10.设 f  u,v 有二阶连续偏导数，y  f  ex,cosx  ，则
d2y
 ______.
dx2
x0
61第四节 全微分
1.u  xmyn，求du.
2.u  x2 y2 ，求du.
x y
3.z arctan ，求dz
.
x y
4.设二元函数z  xexy  x1  ln  1 y ，则dz  ______.
1,0
62更懂考研，更懂你
第五节 隐函数的偏导计算
考点一 求多元隐函数的偏导数
z z
1.设函数z  z  x,y 由方程z e2x3z 2y确定，则3   ______.
x y
z z
2.设xcosy ycoszzcosx1，求 , .
x y
x z z
3.设z  z  x,y 是由方程 ln 所确定的函数，则  ______.
z y y
7
4.设z  z  x,y 是由方程e2yz x y2 z  确定的函数，则dz
1 1
 ______.
4  , 
2 2
5.若函数z  z  x,y 由方程ex2y3z xyz 1确定，则dz  ______ .
0,0
63第六节 多元函数的极值与最值
1.设函数z  f  x,y 的全微分为dz  xdx ydy，则点 0,0 （ ）.
（A）不是 f  x,y 的连续点 （B）不是 f  x,y 的极值点
（C）是 f  x,y 的极大值点 （D）是 f  x,y 的极小值点
2.二元函数z  xy  3x y 的极值点是（ ）.
（A）
0,0
 （B）
0,3

（C）
3,0
 （D）
1,1

3.求函数 f  x,y  x3y33x2 3y2 9x 的极值.
4.设u  xy2z3，求在x2y3z a  x0,y 0,z 0,a 0 条件下的极值.
5.求 f  x,y  x2  y2 12x16y 在条件D:x2  y2 25下的最值.
64更懂考研，更懂你
第六章 二重积分
第一节 二重积分的概念和性质
考点一 二重积分的概念
n n n
1. l n i  m    ni  n2 j2  （ ）.
i1 j1
1 x 1 1 x 1
（A）  0 dx 0  1x  1 y2  dy （B） 0 dx 0  1x  1 y  dy
1 1 1 1 1 1
（C） 0 dx 0  1x  1 y  dy （D）  0 dx 0  1x  1 y2  dy
j
isin2
n 2n
2.lim n （ ）.
n n3
i1 j1
1  1 
（A） （B） （C） （D）
4 4 2 2
65考点二 二重积分的性质
 
1.利用二重积分的性质估计积分  4x2  y2 7 dxdy 的值.
x2y22
1
2.设积分区域D是以原点为中心，半径为r的圆域，则lim ex2y2 cosxydxdy____.
r0r2
D
 1 
3.设积分区域为D   x,y   x y 1,x0,y 0 ，I  ln  x y  dxdy ，
 2 
D
J 2sinxcosydxdy ，K    exy 1  dxdy ，则( ).
D D
（A）K  I  J （B）J  I  K
（C）I  K  J （D）I  J  K
66更懂考研，更懂你
第二节 二重积分的计算
考点一 直角坐标法计算二重积分
1
1.设积分区域D是由曲线 y  x ，直线 y 1及 y轴围成，则 ey2 dxdy =（ ）.
x
D
2 2 1 1
（A）1 （B）1 （C）1 （D）1
e e e e
2 x x 4 2 x
2.计算二次积分 dx sin dy dx sin dy .
1 x 2y 2 x 2y
3.积分 2 dx 2 ey2 dy的值等于_______.
0 x
67考点二 二重积分的技巧性计算
 x2 y2 
1.设D:x2  y2 1，则I     dxdy ________.
 4 9 
D
 x 
2.设积分区域D是圆环1 x2  y2 4，则 2x3 3sin 7dxdy _________.
 y 
D
 
3.已知平面域D   x,y  x  y  .记I    2x2 tanxy2  dxdy ，
 2 1
D
I
2
   x2y2tany2  dxdy ， I
3
   xy  y2  dxdy .则（ ）.
D D
（A）I  I  I （B）I  I  I
3 2 1 1 2 3
（C）I  I  I （D）I  I  I
2 1 3 3 1 2
 1 x2y2
4.求二重积分 y1xe2 dxdy的值，其中D是由直线 y  x,y 1及x1围成的
 
D
平面区域.
68更懂考研，更懂你
考点三 综合类
1
1.设 f  x,y 连续， f  x,y  xxyf  u,v  dudv ，其中D由y  ,x1,x2与x轴
x
D
围成，求 f  x,y  .
2.计算二次积分I      min  x,y  e   x2y`2 dxdy .
 
3.计算I   x y  sgn  x y  dxdy ，其中D   x,y  0 x1,0 y1  .
D
4.设 f  x 为连续函数，F  t   t dy t f  x  dx ，则F 2 等于（ ）.
1 y
（A）2f  2  （B） f  2  （C）f  2  （D）0
69第七章 微分方程
第一节 一阶微分方程求解
考点一 可分离变量型
1.微分方程 ydx  x2 4x  dy 0的通解为______.
2.微分方程xy' y 0满足初始条件 y  1 2的特解为______.
3.微分方程2yyy2 20满足条件 y(0)1的特解为 y  ______．
70更懂考研，更懂你
考点二 齐次型
dy
1.求微分方程xy  x2  y2满足 y 2e的特解.
dx xe
2.求微分方程x2yxy  y2满足初始条件 y  1 1的特解.
   
3.求微分方程 3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0的通解.
   y x2 y2  dxxdy  0  x  0  ,
4.求初值问题 的解.
y 0,

x1
71考点三 一阶线性微分方程
1 1
1.求微分方程 y' y  的通解(一般解).
x x  x2 1 
2.求微分方程xy' 1x  ye2x 0 x满足 y  1 0的特解.
3.求微分方程xln  x  dy  yln  x  dx0满足条件 y| 1的特解.
xe
72更懂考研，更懂你
第二节 二阶微分方程求解
考点一 二阶可降阶型微分方程（仅数一、二）
1.微分方程xy3y0的通解为__________.
2.求微分方程 y''  x y' 2 y'满足初始条件 y  1  y'  1 1的特解.
 
1
3.微分方程 yy y2 0满足初始条件 y 1,y  的特解是_________.
x0 x0 2
73考点二 二阶常系数型微分方程
1.设函数y y  x 是微分方程y y2y 0的解，且在x0处y  x 取得极值3，则
y

x

______.
2.微分方程 y2y3y 0的通解为 y  ______.
3.求微分方程 y2y y  xex的通解.
4.若函数 f  x 满足方程 f x  f x 2f  x 0及 f x  f x  2ex，则
f  x  ______.
74更懂考研，更懂你
第三节 已知解反求微分方程
考点一 已知解，反求高阶微分方程
1.设 y ex C sin  x C cos  x  （C ,C 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方
1 2 1 2
程的通解，则该方程为______.
2.函数 yCex C e2x xex满足的一个微分方程是（ ）.
1 2
（A）y'' y'2y 3xex （B）y'' y'2y 3xex
（C）y'' y'2y 3xex （D）y'' y'2y3ex
75第四节 微分方程综合应用题
考点一 用导数定义构建微分方程
yx
1.已知函数 y y  x 在任意点x处的增量y  ，且当x0时，是x的高
1x2
阶无穷小， y  0 π，则y  1 等于（ ）.
（A）2π （B）π
π π
（C）e4 （D）πe4
考点二 用积分方程构建微分方程
1.设 f  x 为连续函数，且满足 1 f  xt  dt  f  x  xsinx，求 f  x  .
0
2.设 f  x sin  x  x xt  f  t  dt，其中 f  x 为连续函数，求 f  x  .
0
3.已知连续函数 f  x 满足条件 f  x  3x f   t  dte2x，求 f  x  .
0 3
76更懂考研，更懂你
考点三 用几何关系构建微分方程
1.设对任意x0，曲线 y  f  x 上点  x, f  x  处的切线在 y 轴上的截距等于
1  x f  t  dt求 f  x 的一般表达式.
x 0
2.设L是一条平面曲线，其上任意一点P  x,y  x0 到坐标原点的距离，恒等于该点处的
1 
切线在y轴上的截矩，且L经过点

,0.试求曲线L的方程.
2 
77第八章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
1 1 1
1.讨论级数   的收敛性.
12 23 n  n1 
 11 n
2.判定级数 的敛散性.
2n
n1
 n
3.判定级数nln 的敛散性.
n1
n1
4.根据级数收敛性定义，判定下列级数的敛散性.
  1  1  1
（1）ln1
;
（2）
;
（3）
.
 n  2n1  2n1  n1 n
n1 n1 n1
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第二节 常数项级数的审敛法
 1

1.判别 的敛散性.
n
n1  1x3dx
0
1 1 1 1
2.判别1    的敛散性.
3 5 7 2n1
1 1 1
3.判别   的敛散性.
13 35  2n1  2n1 
4.讨论下面级数的敛散性.
 1  2
（1）
;
（2）
.
3n n lnn
n1 n2
 1 n1
5.判别 的敛散性.
np
n1
79第三节 幂级数
 n
1.求 的收敛域.
xn
n1
 
2.已知幂级数a  x1 n在点x1处收敛，x3处发散，则a  x6 n的收敛域为
n n
n0 n0
______.
 3n 2 n
3.求  x1 n的收敛域.
n
n1
 
4.设幂级数na  x1 n的收敛区间为3,1 ，则a  x1 2n的收敛区间为______.
n n
n1 n1
  
5.若级数a 条件收敛，则x 与x4依次为幂级数na  x2 n 的（ ）.
n 2 n
n1 n1
（A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点
（C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点
80更懂考研，更懂你
第四节 幂级数运算
x3 x5
1.求x  的和函数.
3 5
x x2 x3
2.求   的和函数.
12 23 34
3.求x2x2 3x3的和函数.
 xn1
4.求幂级数 的收敛域及和函数.
n2n
n1
1
5.将函数
 1x 2
展开成x的幂级数.
x
6.将函数
 1x  1x2 
展开成x的幂级数.
81第九章 数学一专题
第一节 向量代数与空间解析几何
考点一 向量代数
         
1.已知a,b,c互相垂直，且 a 1,b 2, c 3，求sabc的模.
2.已知平面 :x2yz20, :2x yz190 求这两平面的夹角.
1 2
x1 y5 z8 x y 6
3.设有直线L :   与L : ，求L 与L 的夹角.
1 1 2 1 2 2yz 3 1 2
82更懂考研，更懂你
考点二 空间解析几何
x y1 z
1.求点P  1,4,5 到直线   的距离.
1 2 1 1
x y z
2.求过点(1，2，3)且垂直于直线   且平行于平面7x8y9z100 的直线方
4 5 6
程.
x3y2z10
3.设有直线L: 及平面:4x2yz20，判断直线L与平面的
2x y10z30
位置关系.
4.V 是由平面x1,x2,z 0,y  x,z  y 所围成区域，求其在xOy上的投影D.
x2  y2 z2  6,
5.求曲线Г : 在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.
x yz 0,
83第二节 三重积分
考点一 三重积分的定义
 y2 z2 
1.几何体  x,y,z  x2  1 的体积为（ ）.
 4 9 
（A）16 （B）8 （C）4 （D）2
考点二 三重积分的性质
1.设 f(x,y,z)是连续函数，I  R   f  x,y,z  dv，则当R0时，下面说法正
x2y2z2R2
确的是（ ）.
（A）I  R 是R的一阶无穷小
（B）I  R 是R的二阶无穷小
（C）I  R 是R的三阶无穷小
（D）I  R 至少是R的三阶无穷小
84更懂考研，更懂你
考点三 三重积分的计算
1.设:x2 y2z2 1,z0 ，则  ex ey ez dv （ ）.

（A）3exdv （B）  2ex ez dv
 
（C）  2ex ey dv （D）3ezdv
 
2.设有空间区域 :x2 y2z2  R2,z0， :x2 y2z2  R2,x0,y0,z0，
1 2
则（ ）.
（A）xdv 4xdv （B） ydv 4 ydv
   
1 2 1 2
（C）zdv 4zdv （D）xyzdv 4xyzdv
   
1 2 1 2
3.是由平面x yz 1与三个坐标平面围成的空间区域，则(x2y3z)dxdydz 

______.
4.计算三重积分 xz  dv，其中是由曲面z  x2 y2 与z  1x2 y2 所围成的

区域.
85第三节 多元函数与重积分的应用
考点一 方向导数与梯度
 
1.函数u ln x y2z2 在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为
______.
2.函数u ln(x2 y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度grad u ______.
M
考点二 求曲面的面积
a a
1.求球面x2  y2 z2 a2(a  0)被平面z  与z  所夹部分的面积.
4 2
86更懂考研，更懂你
考点三 求质心(形心)
1.求位于两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心如图.
考点四 转动惯量
1.求密度为的均匀球对于过球心的一条轴l的转动惯量.
87第四节 第一型曲线积分
1.设平面曲线L为下半圆 y  1x2 ，则曲线积分  x2  y2 ds  ______.
L
2.设l为椭圆
x2

y2
1，其周长为a，则  2xy3x2 4y2 ds ______.
4 3 l
3.已知曲线L:y  x2(0 x 2)，则 xds ______.
L
88更懂考研，更懂你
第五节 第二型曲线积分
考点一 平面第二型曲线积分
1.设曲线积分 xy2dx y x  dy与路径无关，其中 x 具有连续的导数，且 0 0.
C
计算
1,1
xy2dx y x  dy 的值.
0,0
2.设L为正向（逆时针）圆周x2  y2  2在第一象限中的部分，则曲线积分 xdy2ydx的
L
值为______.
3.计算曲线积分 sin2xdx2  x2 1  ydy，其中L是曲线 y sinx上从点 0,0 到点
L
,0 的一段.
考点二 空间第二型曲线积分
1.设L是柱面x2  y2 1与平面z  x y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，
y2
则曲线积分 xzdxxdy dz  ______.
L 2
89第六节 第一型曲面积分
1.设S:x2  y2 z2 a2(z 0)，S 为S在第一卦限中的部分，则有（ ）.
1
（A）xdS 4xdS （B） ydS 4xdS
S S S S
1 1
（C）zdS 4xdS （D）xyzdS 4xyzdS
S S S S
1 1
2.设  x,y,z  x y z1,x0,y0,z0  ，则y2dS  ______.

90更懂考研，更懂你
第七节 第二型曲面积分
1.计算曲面积分 xzdxdyxydydz yzdzdx ，其中是平面x0,y 0,z 0，

x yz 1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
2.设是圆柱面x2  y2 1与平面z 0,z 3所围成的封闭曲面的外侧，则曲面积分
 x y  dxdyx  yz  dydz  ______.

3.计算曲面积分 x1  dydz2cosydzdx3dxdy ，其中S由曲面z  x2 y2 与
S
z 3围成的封闭曲面的外侧.
91第八节 傅里叶级数
 1
1.将 f  x  x2在(0,)上展为余弦级数，并求级数 的和.
 2n1 2
n1

2.设x2 a cosnx  x，则a  ______.
n 2
n0
92