(2.3.4)--高数基础习题集._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

目录 第一章 函数、极限与连续.....................................................................................................................1 第一节 函数极限计算.....................................................................................................................1 第二节 数列极限.............................................................................................................................8 第三节 连续与间断.......................................................................................................................11 第二章 一元函数微分学.......................................................................................................................13 第一节 导数与微分的定义...........................................................................................................13 第二节 导数的计算.......................................................................................................................18 第三节 导数的应用.......................................................................................................................23 第三章 一元函数积分学.......................................................................................................................29 第一节 不定积分与原函数...........................................................................................................29 第二节 不定积分的计算...............................................................................................................30 第三节 定积分定义.......................................................................................................................35 第四节 定积分性质.......................................................................................................................36 第五节 定积分计算.......................................................................................................................38 第六节 定积分的几何应用...........................................................................................................43 第七节 变限积分...........................................................................................................................46 第八节 反常积分...........................................................................................................................48 第四章 微分中值定理...........................................................................................................................50 第五章 多元函数微分学.......................................................................................................................54 第一节 多元函数的基本概念.......................................................................................................54 第二节 偏导数定义及其计算.......................................................................................................58 第三节 偏导数计算.......................................................................................................................59 第四节 全微分...............................................................................................................................62 第五节 隐函数的偏导计算...........................................................................................................63 第六节 多元函数的极值与最值...................................................................................................64 第六章 二重积分...................................................................................................................................65 第一节 二重积分的概念和性质...................................................................................................65 第二节 二重积分的计算...............................................................................................................67第七章 微分方程...................................................................................................................................70 第一节 一阶微分方程求解...........................................................................................................70 第二节 二阶微分方程求解...........................................................................................................73 第三节 已知解反求微分方程.......................................................................................................75 第四节 微分方程综合应用题.......................................................................................................76 第八章 无穷级数...................................................................................................................................78 第一节 常数项级数的概念和性质...............................................................................................78 第二节 常数项级数的审敛法.......................................................................................................79 第三节 幂级数...............................................................................................................................80 第四节 幂级数运算.......................................................................................................................81 第九章 数学一专题...............................................................................................................................82 第一节 向量代数与空间解析几何...............................................................................................82 第二节 三重积分...........................................................................................................................84 第三节 多元函数与重积分的应用...............................................................................................86 第四节 第一型曲线积分...............................................................................................................88 第五节 第二型曲线积分...............................................................................................................89 第六节 第一型曲面积分...............................................................................................................90 第七节 第二型曲面积分...............................................................................................................91 第八节 傅里叶级数.......................................................................................................................92更懂考研，更懂你 第一章 函数、极限与连续 第一节 函数极限计算 考点一 无穷小 1．设x0时，excosx2 ex与xn是同阶无穷小，则n为（ ）. 5 （A）5 （B）4 （C） （D）2 2 1 cosx 2．求 lim .   x0 x 1cos x ex esinx 3．求lim . x0  xx2  ln  1x  arcsinx 1考点二 泰勒公式 xln  1x  ex3 1x3 1．lim . 2．lim . x0 ex x1 x0  sin2x 6     arcsinxsinx x ex 1 2 ex 1 3．lim . 4．lim . x0 arctanxtanx x0 x2sinx x2 ex3 1 2 1 1x2 5．lim . 6．lim .   x01cos xsinx x0 cosxex2 sinx2   1 1 7．lim  . x01cos2x 2ln  1x2    2更懂考研，更懂你 考点三 洛必达法则  1 ln1   x 1． lim . x arccotx   ln tan7x  x 1  2．lim . 3．lim  . x0 ln  tan2x  x1 x1 lnx 3考点四 极限四则运算 1 3sinxx2cos x 1．lim . x0  1cosx  ln  1x  ex2 cosx 2．lim . x0 lncosx ex2  31sin2 x 3．lim . x0 x2 4更懂考研，更懂你 考点五 未定型求极限 x2 5x6 1．lim . x3 x2 8x15  2cosx x  2．limx3  1. x0   3   3x2 5 2 3．lim sin . x 5x3 x  1 2 4．limn3 2sin sin . n  n n 5  5．lim n3 n  n n . n 6．lim  secxtanx  . π x 2 1  1 lnx 7．lim  . x0e x 1 1   8．（2018数二）若lim ex ax2 bx x2 1，则（ ）. x0 1 1 （A）a  ，b1 （B）a  ，b1 2 2 1 1 （C）a  ，b1 （D）a  ，b1 2 2 6更懂考研，更懂你 考点六 左右分解求极限     ln 1ex ln 1ex 1．（1） lim ； （2） lim . x x x x 1 x 1ax 2．求函数 f  x  ，g  x   a 1 当x0时的左、右极限，并说明x0时 x 1 1ax 极限是否存在.  2b 1 3．已知lima  x  arctan  1，其中  x  表示不超过x的最大整数，则ab ______. x0 π x 7第二节 数列极限 考点一 数列极限的定义与性质 1．“对任意给定的 0,1 ，总存在正整数N ，当n N 时，恒有 x a 2”是数列 a  n n 收敛于a的（ ）. （A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件 2．设 a ， b ， c 均为非负数列，且lima 0，limb 1，limc ，则必有 n n n n n n n n n （ ）. （A）a b 对任意n成立 （B）b c 对任意n成立 n n n n （C）极限lima c 不存在 （D）极限limb c 不存在 n n n n n n 3．关于数列极限下列叙述正确的是（ ）. （A）lima a的充要条件是在a的任意小邻域内有 a 中的无限多个点. n n n （B）若数列 a 存在极限，则数列 a 一定为一有界数列. n n （C）若数列 a ， b ， c 满足a b c ，且lim  c a 0，则数列 b 一定 n n n n n n n n n n 收敛. （D）若数列 a 收敛于a，则必存在自然数N ，使得n N 时， a a 单调递减趋于零. n n 8更懂考研，更懂你 考点二 无限项数列求和 1 1 1 1．设x    ，求limx . n 3 15 4n2 1 n n  n n n  2．利用极限存在准则证明：lim    1.问：本题能否用求 nn2 π n2 2π n2 nπ 极限的四则运算法则求解？  1 1 1  3．lim   . n n2 1 n2 2 n2 n  9考点三 单调有界准则 1 a  1．设x  x  ，其中a0，x 0，求limx . n1 2 n x  0 n n n 2．设0 x 3，x  x  3x  n1,2, ，证明数列 x 的极限存在，并求此极 1 n1 n n n 限. 4 3．设数列 x 满足x 0且x  4，证明： x 收敛并求出limx . n n n1 x n n n n 4．已知数列 a 满足a 1，a  2a ，求lima . n 1 n1 n n n 10更懂考研，更懂你 第三节 连续与间断 考点一 函数的连续与间断  1 ex, x0  1．若 f  x 3x, 0 x1在x1处连续，求a的值.  e2ax eax 1, x1   1x2n 2．讨论函数 f  x lim x 的连续性，若有间断点，判别其类型. n1x2n   ln en xn 3．已知 f  x lim ,  x 0  . n n （1）求 f  x ；（2）函数 f  x 在定义域内是否连续. 11考点二 闭区间上连续函数的性质 1．证明方程x3 9x10恰有3个实根. 2．设 f  x 是  0,1  上的非负连续函数，且 f  0  f  1 0，证明：对任意的a 0,1 ， 都存在 0,1  ，使得 f  f a  . 12更懂考研，更懂你 第二章 一元函数微分学 第一节 导数与微分的定义 考点一 利用导数定义求极限   f cosx 1．设 f  x 在x1处可导且 f  1 0， f 1 π，则lim  ______.   x0 ln 1x2 f  32x  f 1sinx  2．设 f  x 以2为周期且 f 1 π，则lim （ ）. x0 x （A）π （B）2π （C）3π （D）4π 1 f   3．设可导函数 f  x 0，则limnln n  ______.   n f 0 4．已知 f  x  x  x1    x100 ，求 f2  . 135．设 f  x  lnx1  ln2 x2    lnn xn  ,n2，则 f e  ______ . 6．下列函数中，在x0处不可导的是（ ）. （A） f  x  x tan x （B） f  x  x tan x （C） f  x  cos x （D） f  x cos x   f x 7．设函数 f  x 在区间1,1 内有定义，且lim 1，则在下列结论中： x01cosx     f x f x ① f  0 0；② f 0 0；③lim 0；④lim 2，正确的个数为（ ）. x0 x x0 x2 （A）0 （B）1 （C）2 （D）3 14更懂考研，更懂你 考点二 导数的性质 x2 2xa, x0 1．设 f  x  ，在x0处可导，则（ ）.  ln  1bx  , x0 （A）a1，b1 （B）a1，b2 （C）a0，b1 （D）a0，b2  1 xarctan , x 0  2．设 f  x    x ，讨论 f  x 在点x0处的连续性和可导性；若可导， π  esinx 1 , x0 2 讨论其导函数 f x 在x0处的连续性. 3．已知函数 f  x esinx esinx，则 f 5 π  ______. 4．下列结论正确的是（ ）. （A）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f  x  g  x 在xa处一定不可导 （B）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f   g  x   在xa处一定不可导 （C）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f  x g  x 在xa处一定不可导 （D）若 f  x 在xa处可导且 f  a 0，则 f  x  在xa处一定可导 15f  cosx 2 5．设 f  x 连续，则lim 存在是 f  x 在x1处可导的（ ）. x0 x2 （A）充分条件 （B）必要条件 （C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件 6．设 f  x 连续，且g  x  xa f  x  f  x ，则g  x 在xa处可导的充要条件   是（ ）. （A） f  a 0 （B） f a 0 （C） f  a  f  a  （D） f  a  f  a  1cosx  , x0 7．设 f  x  x ，其中 x 是有界函数，则 f  x 在x0处（ ）.  x2 x  , x0  （A）可导 （B）连续，但不可导 （C）极限存在，但不连续 （D）极限不存在 16更懂考研，更懂你 考点三 一元函数的微分 1．设函数 f  u 可导， y  f  x2  ，当自变量x在x1处取得增量x0.1时，相应 的函数增量y的线性主部为0.1，则 f 1 （ ）. （A）1 （B）0.1 （C）1 （D）0.5 2．y f  x 在x 处可微，y f  x h  f  x ，当h0时，下列说法“①dy是h的 0 0 0 等价无穷小；② f x 0时，y与dy是等价无穷小；③ydy是h的同阶无穷小； 0 ④ydy是h的高阶无穷小”中正确的是（ ）. （A）①② （B）①③ （C）②③ （D）②④ 17第二节 导数的计算 考点一 复合函数求导  x1 1．设 y  f   ， f x arctanx2，求 y 0  .  x1 2．设 y sinf  x2  ，其中 f 具有二阶导数，求 d2y .   dx2 3．设函数 f  x 可导，f  0 1，f 0 1，若 y  x  f  x1  ，则 y 1  ______. 18更懂考研，更懂你 考点二 分段函数求导 lncosx π  ,   x0 1．设 f  x  x 2 ,在x0处可导，则a ____，b ____.  ln  eax b, x0  x2enx1 axb 2．设 f  x lim ，求 f  x 并讨论 f  x 的连续性与可导性. n 1enx1  1  x sin , x 0, 3．设函数 f  x  x2 则 f  x 在x0处（ ）.  0, x0, （A）极限不存在 （B）极限存在但不连续 （C）连续但不可导 （D）可导  f  x   , x0 4．设 f  x 二阶可导，且 f  0 0，令g  x  x .  f 0  , x 0  （1）求g x ；（2）讨论g x 在x0处的连续性. 19考点三 反函数求导 1．设 f  x 为单调可微函数，g  x 与 f  x 互为反函数，且 f  2 4， f 2  5 ， f 4 6，则g 4 （ ）. 1 1 1 （A） （B） （C） （D）4 4 5 6 d2x 2．设 y 2xsinx，求其反函数x x  y 的二阶导数 . dy2 d2x 3．设 y  xex，则其反函数的二阶导数  ______. dy2 4．设x y 是 y f  x 的反函数，f  x 可导，且 f x ex2x1，f  0 3，求 3  . 20更懂考研，更懂你 考点四 隐函数求导 1．设 y y  x 由exy sinxy4x y确定，则 y 0  ______. 2．设方程x yy确定 y是x的函数，则dy  ______ . 考点五 参数方程求导（数三不考） x tt2, dy 1．设 则  ______. tey  y10, dx t0  x2t t dy 2．设 ，求当t 0时的导数 .  y 5t2 4t t dx 21考点六 求高阶导 1．设 f  x 任意阶可导，且 f x e fx ， f  0 1.求 f n 0  . 2．设 f  x ln  2x2 x1  ，则 f n x  ______. 3．设 f lnx  xlnx，则 f n x  ______. 4．已知函数 f  x  x2ln  2x ，则当n3时， f n 0  ______. 22更懂考研，更懂你 第三节 导数的应用 考点一 函数的单调性 π 1．设 y  tann x在x 处的切线在x轴上的截距为x ，则limy  x  ______. 4 n n n 2．下列说法中正确的是（ ）. （A）若 f x 0，则 f  x 在x 的邻域内单调递减 0 0 （B）若 f  x 在x 取极大值，则当x x ,x 时，f  x 单调递增，当x x ,x  0 0 0 0 0 时， f  x 单调递减 （C） f  x 在x 取极值，则 f  x 在x 连续 0 0 （D） f  x 为偶函数， f 0 0，则 f  x 在x0处一定取到极值 23考点二 函数的凹凸性 1．y  f  x e x12 的凹区间为______ ，凸区间为______ . 2．已知函数 y y  x 由方程x2 xy y3  3确定，判断曲线 y y  x 在点 1,1 附近的凹 凸性. 24更懂考研，更懂你 考点三 函数的极值 1．设函数 f  x 在,内有定义，且x x  x 0 是 f  x 的极大值点，则（ ）. 0 0 （A）x 必是 f x 的极小值点 （B）x 必是f x 的极小值点 0 0 （C）x 必是f  x 的极小值点 （D）对一切x都有 f  x  f  x  0 0 f  x 2 2．设 f  x 为连续函数，且lim 2，则（ ）. x0 ex2 1 （A）x0为 f  x 的极小值点 （B）x0为 f  x 的极大值点 （C）x0不是 f  x 的极值点 （D） 0,2 为y f  x 的拐点 cos x 1, x0 3．设函数 f  x  ，则x0是 f  x 的（ ）. xlnx, x0 （A）可导点，极值点 （B）不可导点，极值点 （C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点 25考点四 函数的拐点 x2  1．曲线y  xe 2 的拐点个数为（ ）. （A）1 （B）2 （C）3 （D）4 2．设函数 f  x 具有连续的二阶导数，点  0, f  0  是曲线 y f  x 的拐点，则极限 f  x 2f  0  f x  lim （ ）. x0 x2 （A）0 （B）2 （C） f 0  （D）2f 0  26更懂考研，更懂你 考点五 函数的最值 1．设 f  x 在  a,b  上可导，且在点xa处取最小值，在点xb处取最大值，则（ ）. （A） f a 0， f b 0 （B） f a 0， f b 0     （C） f a 0， f b 0 （D） f a 0， f b 0      π 2．函数y  x2cosx在区间  0,  上的最大值为______.  2 ex 3．函数y ex  的最小值为______. 2 4．函数y  x2x在区间 0,1  上的最小值为______. 27考点六 函数的渐近线 1．曲线y  x x2x1（ ）. （A）没有渐近线 （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线 （C）有一条铅直渐近线 （D）有两条水平渐近线 2．曲线y  1 ln  1ex 的渐近线的条数为（ ）. x  x1  （A）1条. （B）2条. （C）3条. （D）4条. 2x3 3x2 1 3．设 y  f  x  ，则（ ）. x2 1 （A）曲线有两条铅直渐近线 （B）曲线有一条水平渐近线，一条斜渐近线 （C）曲线有一条水平渐近线，一条铅直渐近线 （D）曲线有一条铅直渐近线，一条斜渐近线 x 4．曲线y  的渐近线条数为（ ）. x2 1 （A）1 （B）2 （C）3 （D）4  1  5．曲线y  xln2  的斜渐近线方程为（ ）.  x1 1 （A） y  xln21 （B）y  xln2 2 1 （C）y  xln21 （D） y  xln2 2 28更懂考研，更懂你 第三章 一元函数积分学 第一节 不定积分与原函数 1.设函数 f  x 在,上连续，则d f  x  dx等于（ ）.   （A） f  x  （B） f  x  dx （C） f  x C （D） f '  x  dx     2.若 f x 的导函数是sinx，则 f x 有一个原函数为（ ）. （A）1sinx （B）1sinx （C）1cosx （D）1cosx 29第二节 不定积分的计算 考点一 公式题 1.设 f  x2 1  ln x2 ，且 f    x   lnx，求 x  dx. x2 2 2.设 f (x)是周期为4的可导奇函数，且 f(x) 2(x1), x[0,2]，则 f(7) ______. 30更懂考研，更懂你 考点二 凑微分   ln tanx 1.求不定积分 dx. sinxcosx cos2x 2.求不定积分 dx.  3sinxcosx 2 1 1x 3.求不定积分 arctan dx. 1x2 1x x1 4.求不定积分 dx.   x 1xex dx 5.求不定积分 . sin2x2sinx 31考点三 分部积分法 xsinx 1.求不定积分 dx. cos3 x 2.求不定积分xtanxsec4 xdx. 1ln  1x  3.求不定积分 dx. x2    ln sin x 4.求不定积分 dx. sin2 x  5.设 f  sin2 x   x ，求 x f  x  dx. sinx 1x 32更懂考研，更懂你 考点四 综合题 sin4 x 1.求不定积分 dx. 1cosx x1arctan x1 2.求不定积分 dx. x   3.求不定积分arctan 1 x dx. sinx 4.求不定积分 dx. sinxcosx 33arctanx 5.求不定积分 dx.   x2 1x2 dx 6.求不定积分 .   2x2 1 x2 1 arcsin x lnx 7.求不定积分 dx. x 34更懂考研，更懂你 第三节 定积分定义 1 π 2π n 1.lim  1cos  1cos  1cos  =______ .   nn n n n  n 2 2 2  1  2  n 2.limln 1  1  1  等于（ ）. n  n  n  n 2 2 （A） ln2 xdx （B）2 lnxdx 1 1 （C）2 2 ln  1x  dx （D） 2 ln2 1x  dx 1 1 1  1 2 n 3.极限lim sin 2sin nsin   ______ . nn2  n n n 35第四节 定积分性质 考点一 定积分定义求积分 1.设在区间  a,b  上函数 f  x 0, f x 0, f x 0.令S   b f  x  dx, 1 a 1 S  f  b  ba  , S    f  a  f  b    ba  ,则（ ）. 2 3 2 （A）S S S （B）S S S 1 2 3 2 1 3 （C）S S S （D）S S S 3 1 2 2 3 1 1 2. 2xx2dx ______. 0 考点二 对称区间偶倍奇零   sinx  1.2   x dx ______.   1cosx  2  2. (sin3 x 2 x2)dx ______．  36更懂考研，更懂你 考点三 定积分比大小 1.设 f  x 与g  x 在,上皆可导，且 f  x  g  x  ,则必有（ ）. （A） f x  g x  （B） f '  x  g'  x  （C）lim f  x  lim g  x  （D） x f  t  dt  x g  t  dt xx xx 0 0 0 0 2.设M  π 2 sinx cos4xdx ，N  π 2  sin3xcos4 x  dx，P π 2  x2sin3xcos4 x  dx ，  π1x2  π  π 2 2 2 则有（ ）. （A）N  P  M （B）M  P  N （C）N  M  P （D）P  M  N    3.设函数I  4ln  sinx  dx,J  4ln  cotx  dx,K  4ln  cosx  dx ，则I,J,K的大小关 0 0 0 系为（ ）. （A）I  J  K （B）I  K  J （C）J  I  K （D）K  J  I 37第五节 定积分计算 考点一 基本公式  1.求定积分 1sin2xdx. 0 sinxcosx 2.求定积分2 dx. 0 1sin2x  1 3.求定积分2 dx. 0  cosx2sinx 2 4.若函数 f  x  1  1x2 1 f  x  dx ，则 1 f  x  dx ______. 1x2 0 0 38更懂考研，更懂你 考点二 积分法求积分 1 dx 1.求定积分 . 0 1 x  1 x2 2.设 f  x  x cost dt，求  2 f x  dx. 0 1sin2t 0 1 f 2 x       3.求定积分2 ln x 1 x2 sin2 x cos2 xdx.    2 lnx e 4.求定积分 dx. 1 x e 391 2x3 5.求定积分 dx. 0 x2 x1 2 6.求定积分 x 2xx2dx. 0 xsint2 1 7.已知函数 f(x) x dt ，则 f(x)dx  ______． 1 t 0 40更懂考研，更懂你 考点三 分段函数定积分 1.求定积分 2  3x1  max  2,x2  dx . 2 2  xx2n1 2.求定积分 lim dx. 0 n1x2n1  π 3.求定积分 1sinxdx. 0  1 1 xex,   x  4.设 f  x    2 2 ，则  2 1 f  x1  dx ______. 1  1, x 2  2 41考点四 原函数不易求 1.设 f  x 为连续函数，证明：  xf  sinx  dx     f  sinx  dx   2 f  sinx  dx . 0 2 0 0 x sinxcosx 2.求定积分 dx. 0 1sin4 x 3.设 f  x 满足等式xf x  f  x  2xx2 ，且 f  1 4，则 1 f  x  dx  ______. 0 4.设 f  x   x et2 dt ，求 1 x2f  x  dx. 1 0 42更懂考研，更懂你 第六节 定积分的几何应用 考点一 求面积 1.由曲线 y  xex与直线yex所围成图形的面积S  ______. 1 2.由曲线 y  x ,x 2及 y 2所围图形的面积S  ______. x 3.位于曲线 y  xex 0 x下方、x轴上方的无界图形的面积是______. 4 4.由曲线 y  和直线yx及y4x在第一象限中围成的平面图形的面积为______. x   5.（数一、二）已知曲线L的极坐标方程为r sin3 0 ,则L围成有界区域的  3 面积为______ . 43考点二 求旋转体体积 1.设D是由曲线 y sinx1与三条直线x 0,x  π,y 0围成的曲边梯形，求D绕x轴旋 转一周所生成的旋转体的体积. 2.在曲线 y x2 x0 上某点A处作一切线，使之与曲线以及x轴所围图形(如图)的面积为 1 试求： , 12 （1）切点A的坐标; （2）过切点A的切线方程; （3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积. 44更懂考研，更懂你 3.设平面区域D由曲线段 y  xsinx(0 x1)与x轴围成，则D绕x轴旋转所成旋转 体的体积为______ . 4.曲线 y x1  x2 和x轴围成一平面图形，求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转 体的体积. 1 5.设D是由曲线 y  x3，直线xa  a0 及x轴所围成的平面图形，V ,V 分别是D绕x x y 轴， y轴旋转一周所得旋转体的体积.若V 10V ，求a的值. y x 45第七节 变限积分 考点一 求变限积分表达式 x   1.设x1,求 1 t dt. 1  3 2x x2, 1 x0  2  2.设 f  x  xex ，求函数F  x  x f  t  dt的表达式.  , 0 x1 1  2  ex 1  46更懂考研，更懂你 考点二 变限积分求导 1.设 f  x 为连续函数，且F  x   lnx f  t  dt ，则F x 等于（ ）. 1 x 1 1 1  1 （A） f  lnx  f   （B） f  lnx  f   x x2 x   x 1 1 1  1 （C） f  lnx  f   （D） f  lnx  f   x x2 x   x d 0 2.  xcost2dt  ______. dx x2 3.设 f  x  连续，则 d  x tf  x2 t2  dt （ ）. dx 0     （A）xf x2 （B）xf x2     （C）2xf x2 （D）2xf x2 4. d  x sin  xt 2 dt  ______. dx 0 47第八节 反常积分 考点一 反常积分判敛 1.下列反常积分中收敛的是（ ）.  1 lnx （A） dx （B） dx. 2 x 2 x  1  x （C） dx. （D） dx. 2 xlnx 2 ex 0 1 1  1 1 2.反常积分① exdx，② exdx的敛散性为（ ）.  x2 0 x2 （A）①收敛，②收敛. （B）①收敛，②发散. （C）①发散，②收敛. （D）①发散，②发散. 3.下列反常积分发散的是（ ）. （A）  xexdx （B）  xex2 dx 0 0 arctanx  x （C） dx （D） dx 0 1x2 0 1x2 48更懂考研，更懂你 考点二 反常积分计算  1 1.求 dx. 3  x1 4 x22x  x 2.求 dx. 0  1x 3  dx 3.求 . 2  x7  x2  4.已知 ekxdx 1，则k  ______.   lnx 5.求 dx. 1  1x 2  1 6.求 dx. 5 x2 4x3 49第四章 微分中值定理 考点一 闭区间连续函数性质 1 1．设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1 0， f   1. 2 1  试证：存在  ,1 ，使 f . 2  2．设 f  x 在区间 a,b 上具有二阶导数，且 f  a  f  b 0， f a  f b 0，证明 存在 a,b 和 a,b ，使 f 0. 3．设函数 f  x 在[0,)上可导， f  0 0且 lim f  x 2，证明：存在a0，使得 x f  a 1. npsinx 4．证明：等式lim dx0. n n x 50更懂考研，更懂你 考点二 中值定理 1．若函数 f  x 在 a,b 内具有二阶导数，且 f  x  f  x  f  x ，其中 1 2 3 a x  x  x b，证明：在 x ,x 内至少有一点，使 f0. 1 2 3 1 3 2．设 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导， f  a b， f  b a，a与b同号.求证： f  存在 a,b 使 f .  3．设函数 f  x 在 0,1 上连续， 0,1 内可导，且3 1 f  x  dx f  0 ，证明在 0,1 内存 2 3 在一点c，使 f c 0. 514．设函数 f  x 在 0,3 上连续，在 0,3 内可导，且 f  0  f  1  f  2 3， f  3 1. 试证：必存在 0,3 ，使 f0. 5．设a,b0， f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 上可导，证明存在 a,b ，使得 2  f  b  f  a     b2 a2  f . 6．设函数 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且 f x 0.试证存在, a,b ， f eb ea 使得  e . f ba 52更懂考研，更懂你 考点三 不等式的证明 1．证明下列不等式： （1）当x0时，ex 1x； x2 （2）当x0时，x ln  1x  x； 2  x3 （3）当0 x 时，tanx x . 2 3 1  2．证明：当x0时，有不等式arctanx  . x 2 1x arcsinx 3．证明： 1x  ln  1x  ，0 x1 . 53第五章 多元函数微分学 第一节 多元函数的基本概念 考点一 二元函数的极限 x y 1.lim . x x2 xy y2 y x2  y2 2.lim . x x4  y4 y 3.求下列函数的极限   sin xy （1）limarcsin x2  y2; （2）lim . x0 x0 y y1 y0 54更懂考研，更懂你 1 xy1 4.lim . x0 xy y0   1cos x2 y2 5.lim .   x0 x2  y2 exy y0 2 6.lim  1xy  y . x2 y0 x 1 ysin y y 7.设 f  x,y   ,x 0,y 0 .求 1xy arctanx （1）g  x  lim f  x,y ； y （2） lim g  x  . x0 55考点二 二元函数连续性 x2  y2  ,(x,y)(0,0) 1. f  x,y x2  y2 ，判断 f  x,y 的连续性.   0,(x,y) (0,0)  xy2  ,(x,y)(0,0) 2. f  x,y x2  y2 ，判断 f  x,y 的连续性.   0,(x,y) (0,0) x2  y2  ,x2  y2 0 3.讨论函数 f  x,y  x  y ，在 0,0 点的连续性.  0,x2  y2 0 56更懂考研，更懂你  1 x2sin y2  4.讨论 f  x,y    x2  y2 ,  x,y  0,0  ，在 0,0 点的连续性. x2  y2  0,  x, y  0,0      x2  y2  ln  x2  y2  ,x2  y2 0 5.讨论 f  x,y  ，在 0,0 点的连续性. 0, x2  y2 0 57第二节 偏导数定义及其计算 考点一 偏导数定义  xy  ,  x,y  0,0  1.二元函数 f  x,y x2  y2 在点 0,0 处（ ）.  0,  x,y  0,0   （A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在 （C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在 2.二元函数 f  x,y 在点 x ,y 处两个偏导数 f  x ,y  , f  x ,y 存在是 f  x,y 在 0 0 x 0 0 y 0 0 该点连续的（ ）. （A）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件 （C）充分必要条件 （D）既非充分也非必要条件 58更懂考研，更懂你 第三节 偏导数计算 考点一 多元函数求偏导 1.求z  x3y y2sinx1在点,1 处的偏导数. 2.求z exysinxy的偏导数. 2z 2z 2z 2z 3.设z  x3y2 2xy3xy3，求二阶偏导数 、 、 及 . x2 yx xy y2 x 2u 2u 2u 4.设u  ，求 ， ， . x2  y2 x2 xy y2 59  2u 2u 2u 2 5.设u ln x2 y2z2 ，求证    . x2 y2 z2 x2  y2 z2 6.已知函数 f  x,y esinx cosy ，则（ ）. f f （A） 不存在， 存在 x y 0,0 0,0 f f （B） 存在， 不存在 x y 0,0 0,0 f f （C） ， 均存在 x y 0,0 0,0 f f （D） ， 均不存在 x y 0,0 0,0 7.设 f  x,y  xyex，则 f  1,x （ ）. x （A）0； （B）e （C）e  x1  （D）1ex 60更懂考研，更懂你 8.设 f  x,y excos  yx2  ，则 f  x,x2  （ ）. 1 （A）0； （B）ex （C）ex （D）ex 9.设 f  x,y   xy sint dt ，则 2f  ______. 0 1t2 x2 0,2 10.设 f  u,v 有二阶连续偏导数，y  f  ex,cosx  ，则 d2y  ______. dx2 x0 61第四节 全微分 1.u  xmyn，求du. 2.u  x2 y2 ，求du. x y 3.z arctan ，求dz . x y 4.设二元函数z  xexy  x1  ln  1 y ，则dz  ______. 1,0 62更懂考研，更懂你 第五节 隐函数的偏导计算 考点一 求多元隐函数的偏导数 z z 1.设函数z  z  x,y 由方程z e2x3z 2y确定，则3   ______. x y z z 2.设xcosy ycoszzcosx1，求 , . x y x z z 3.设z  z  x,y 是由方程 ln 所确定的函数，则  ______. z y y 7 4.设z  z  x,y 是由方程e2yz x y2 z  确定的函数，则dz 1 1  ______. 4  ,  2 2 5.若函数z  z  x,y 由方程ex2y3z xyz 1确定，则dz  ______ . 0,0 63第六节 多元函数的极值与最值 1.设函数z  f  x,y 的全微分为dz  xdx ydy，则点 0,0 （ ）. （A）不是 f  x,y 的连续点 （B）不是 f  x,y 的极值点 （C）是 f  x,y 的极大值点 （D）是 f  x,y 的极小值点 2.二元函数z  xy  3x y 的极值点是（ ）. （A） 0,0  （B） 0,3  （C） 3,0  （D） 1,1  3.求函数 f  x,y  x3y33x2 3y2 9x 的极值. 4.设u  xy2z3，求在x2y3z a  x0,y 0,z 0,a 0 条件下的极值. 5.求 f  x,y  x2  y2 12x16y 在条件D:x2  y2 25下的最值. 64更懂考研，更懂你 第六章 二重积分 第一节 二重积分的概念和性质 考点一 二重积分的概念 n n n 1. l n i  m    ni  n2 j2  （ ）. i1 j1 1 x 1 1 x 1 （A）  0 dx 0  1x  1 y2  dy （B） 0 dx 0  1x  1 y  dy 1 1 1 1 1 1 （C） 0 dx 0  1x  1 y  dy （D）  0 dx 0  1x  1 y2  dy j isin2 n 2n 2.lim n （ ）. n n3 i1 j1 1  1  （A） （B） （C） （D） 4 4 2 2 65考点二 二重积分的性质   1.利用二重积分的性质估计积分  4x2  y2 7 dxdy 的值. x2y22 1 2.设积分区域D是以原点为中心，半径为r的圆域，则lim ex2y2 cosxydxdy____. r0r2 D  1  3.设积分区域为D   x,y   x y 1,x0,y 0 ，I  ln  x y  dxdy ，  2  D J 2sinxcosydxdy ，K    exy 1  dxdy ，则( ). D D （A）K  I  J （B）J  I  K （C）I  K  J （D）I  J  K 66更懂考研，更懂你 第二节 二重积分的计算 考点一 直角坐标法计算二重积分 1 1.设积分区域D是由曲线 y  x ，直线 y 1及 y轴围成，则 ey2 dxdy =（ ）. x D 2 2 1 1 （A）1 （B）1 （C）1 （D）1 e e e e 2 x x 4 2 x 2.计算二次积分 dx sin dy dx sin dy . 1 x 2y 2 x 2y 3.积分 2 dx 2 ey2 dy的值等于_______. 0 x 67考点二 二重积分的技巧性计算  x2 y2  1.设D:x2  y2 1，则I     dxdy ________.  4 9  D  x  2.设积分区域D是圆环1 x2  y2 4，则 2x3 3sin 7dxdy _________.  y  D   3.已知平面域D   x,y  x  y  .记I    2x2 tanxy2  dxdy ，  2 1 D I 2    x2y2tany2  dxdy ， I 3    xy  y2  dxdy .则（ ）. D D （A）I  I  I （B）I  I  I 3 2 1 1 2 3 （C）I  I  I （D）I  I  I 2 1 3 3 1 2  1 x2y2 4.求二重积分 y1xe2 dxdy的值，其中D是由直线 y  x,y 1及x1围成的   D 平面区域. 68更懂考研，更懂你 考点三 综合类 1 1.设 f  x,y 连续， f  x,y  xxyf  u,v  dudv ，其中D由y  ,x1,x2与x轴 x D 围成，求 f  x,y  . 2.计算二次积分I      min  x,y  e   x2y`2 dxdy .   3.计算I   x y  sgn  x y  dxdy ，其中D   x,y  0 x1,0 y1  . D 4.设 f  x 为连续函数，F  t   t dy t f  x  dx ，则F 2 等于（ ）. 1 y （A）2f  2  （B） f  2  （C）f  2  （D）0 69第七章 微分方程 第一节 一阶微分方程求解 考点一 可分离变量型 1.微分方程 ydx  x2 4x  dy 0的通解为______. 2.微分方程xy' y 0满足初始条件 y  1 2的特解为______. 3.微分方程2yyy2 20满足条件 y(0)1的特解为 y  ______． 70更懂考研，更懂你 考点二 齐次型 dy 1.求微分方程xy  x2  y2满足 y 2e的特解. dx xe 2.求微分方程x2yxy  y2满足初始条件 y  1 1的特解.     3.求微分方程 3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0的通解.    y x2 y2  dxxdy  0  x  0  , 4.求初值问题 的解. y 0,  x1 71考点三 一阶线性微分方程 1 1 1.求微分方程 y' y  的通解(一般解). x x  x2 1  2.求微分方程xy' 1x  ye2x 0 x满足 y  1 0的特解. 3.求微分方程xln  x  dy  yln  x  dx0满足条件 y| 1的特解. xe 72更懂考研，更懂你 第二节 二阶微分方程求解 考点一 二阶可降阶型微分方程（仅数一、二） 1.微分方程xy3y0的通解为__________. 2.求微分方程 y''  x y' 2 y'满足初始条件 y  1  y'  1 1的特解.   1 3.微分方程 yy y2 0满足初始条件 y 1,y  的特解是_________. x0 x0 2 73考点二 二阶常系数型微分方程 1.设函数y y  x 是微分方程y y2y 0的解，且在x0处y  x 取得极值3，则 y  x  ______. 2.微分方程 y2y3y 0的通解为 y  ______. 3.求微分方程 y2y y  xex的通解. 4.若函数 f  x 满足方程 f x  f x 2f  x 0及 f x  f x  2ex，则 f  x  ______. 74更懂考研，更懂你 第三节 已知解反求微分方程 考点一 已知解，反求高阶微分方程 1.设 y ex C sin  x C cos  x  （C ,C 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方 1 2 1 2 程的通解，则该方程为______. 2.函数 yCex C e2x xex满足的一个微分方程是（ ）. 1 2 （A）y'' y'2y 3xex （B）y'' y'2y 3xex （C）y'' y'2y 3xex （D）y'' y'2y3ex 75第四节 微分方程综合应用题 考点一 用导数定义构建微分方程 yx 1.已知函数 y y  x 在任意点x处的增量y  ，且当x0时，是x的高 1x2 阶无穷小， y  0 π，则y  1 等于（ ）. （A）2π （B）π π π （C）e4 （D）πe4 考点二 用积分方程构建微分方程 1.设 f  x 为连续函数，且满足 1 f  xt  dt  f  x  xsinx，求 f  x  . 0 2.设 f  x sin  x  x xt  f  t  dt，其中 f  x 为连续函数，求 f  x  . 0 3.已知连续函数 f  x 满足条件 f  x  3x f   t  dte2x，求 f  x  . 0 3 76更懂考研，更懂你 考点三 用几何关系构建微分方程 1.设对任意x0，曲线 y  f  x 上点  x, f  x  处的切线在 y 轴上的截距等于 1  x f  t  dt求 f  x 的一般表达式. x 0 2.设L是一条平面曲线，其上任意一点P  x,y  x0 到坐标原点的距离，恒等于该点处的 1  切线在y轴上的截矩，且L经过点  ,0.试求曲线L的方程. 2  77第八章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念和性质 1 1 1 1.讨论级数   的收敛性. 12 23 n  n1   11 n 2.判定级数 的敛散性. 2n n1  n 3.判定级数nln 的敛散性. n1 n1 4.根据级数收敛性定义，判定下列级数的敛散性.   1  1  1 （1）ln1 ; （2） ; （3） .  n  2n1  2n1  n1 n n1 n1 n1 78更懂考研，更懂你 第二节 常数项级数的审敛法  1  1.判别 的敛散性. n n1  1x3dx 0 1 1 1 1 2.判别1    的敛散性. 3 5 7 2n1 1 1 1 3.判别   的敛散性. 13 35  2n1  2n1  4.讨论下面级数的敛散性.  1  2 （1） ; （2） . 3n n lnn n1 n2  1 n1 5.判别 的敛散性. np n1 79第三节 幂级数  n 1.求 的收敛域. xn n1   2.已知幂级数a  x1 n在点x1处收敛，x3处发散，则a  x6 n的收敛域为 n n n0 n0 ______.  3n 2 n 3.求  x1 n的收敛域. n n1   4.设幂级数na  x1 n的收敛区间为3,1 ，则a  x1 2n的收敛区间为______. n n n1 n1    5.若级数a 条件收敛，则x 与x4依次为幂级数na  x2 n 的（ ）. n 2 n n1 n1 （A）收敛点，收敛点 （B）收敛点，发散点 （C）发散点，收敛点 （D）发散点，发散点 80更懂考研，更懂你 第四节 幂级数运算 x3 x5 1.求x  的和函数. 3 5 x x2 x3 2.求   的和函数. 12 23 34 3.求x2x2 3x3的和函数.  xn1 4.求幂级数 的收敛域及和函数. n2n n1 1 5.将函数  1x 2 展开成x的幂级数. x 6.将函数  1x  1x2  展开成x的幂级数. 81第九章 数学一专题 第一节 向量代数与空间解析几何 考点一 向量代数           1.已知a,b,c互相垂直，且 a 1,b 2, c 3，求sabc的模. 2.已知平面 :x2yz20, :2x yz190 求这两平面的夹角. 1 2 x1 y5 z8 x y 6 3.设有直线L :   与L : ，求L 与L 的夹角. 1 1 2 1 2 2yz 3 1 2 82更懂考研，更懂你 考点二 空间解析几何 x y1 z 1.求点P  1,4,5 到直线   的距离. 1 2 1 1 x y z 2.求过点(1，2，3)且垂直于直线   且平行于平面7x8y9z100 的直线方 4 5 6 程. x3y2z10 3.设有直线L: 及平面:4x2yz20，判断直线L与平面的 2x y10z30 位置关系. 4.V 是由平面x1,x2,z 0,y  x,z  y 所围成区域，求其在xOy上的投影D. x2  y2 z2  6, 5.求曲线Г : 在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程. x yz 0, 83第二节 三重积分 考点一 三重积分的定义  y2 z2  1.几何体  x,y,z  x2  1 的体积为（ ）.  4 9  （A）16 （B）8 （C）4 （D）2 考点二 三重积分的性质 1.设 f(x,y,z)是连续函数，I  R   f  x,y,z  dv，则当R0时，下面说法正 x2y2z2R2 确的是（ ）. （A）I  R 是R的一阶无穷小 （B）I  R 是R的二阶无穷小 （C）I  R 是R的三阶无穷小 （D）I  R 至少是R的三阶无穷小 84更懂考研，更懂你 考点三 三重积分的计算 1.设:x2 y2z2 1,z0 ，则  ex ey ez dv （ ）.  （A）3exdv （B）  2ex ez dv   （C）  2ex ey dv （D）3ezdv   2.设有空间区域 :x2 y2z2  R2,z0， :x2 y2z2  R2,x0,y0,z0， 1 2 则（ ）. （A）xdv 4xdv （B） ydv 4 ydv     1 2 1 2 （C）zdv 4zdv （D）xyzdv 4xyzdv     1 2 1 2 3.是由平面x yz 1与三个坐标平面围成的空间区域，则(x2y3z)dxdydz   ______. 4.计算三重积分 xz  dv，其中是由曲面z  x2 y2 与z  1x2 y2 所围成的  区域. 85第三节 多元函数与重积分的应用 考点一 方向导数与梯度   1.函数u ln x y2z2 在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为 ______. 2.函数u ln(x2 y2z2)在点M(1,2,2)处的梯度grad u ______. M 考点二 求曲面的面积 a a 1.求球面x2  y2 z2 a2(a  0)被平面z  与z  所夹部分的面积. 4 2 86更懂考研，更懂你 考点三 求质心(形心) 1.求位于两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心如图. 考点四 转动惯量 1.求密度为的均匀球对于过球心的一条轴l的转动惯量. 87第四节 第一型曲线积分 1.设平面曲线L为下半圆 y  1x2 ，则曲线积分  x2  y2 ds  ______. L 2.设l为椭圆 x2  y2 1，其周长为a，则  2xy3x2 4y2 ds ______. 4 3 l 3.已知曲线L:y  x2(0 x 2)，则 xds ______. L 88更懂考研，更懂你 第五节 第二型曲线积分 考点一 平面第二型曲线积分 1.设曲线积分 xy2dx y x  dy与路径无关，其中 x 具有连续的导数，且 0 0. C 计算 1,1 xy2dx y x  dy 的值. 0,0 2.设L为正向（逆时针）圆周x2  y2  2在第一象限中的部分，则曲线积分 xdy2ydx的 L 值为______. 3.计算曲线积分 sin2xdx2  x2 1  ydy，其中L是曲线 y sinx上从点 0,0 到点 L ,0 的一段. 考点二 空间第二型曲线积分 1.设L是柱面x2  y2 1与平面z  x y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向， y2 则曲线积分 xzdxxdy dz  ______. L 2 89第六节 第一型曲面积分 1.设S:x2  y2 z2 a2(z 0)，S 为S在第一卦限中的部分，则有（ ）. 1 （A）xdS 4xdS （B） ydS 4xdS S S S S 1 1 （C）zdS 4xdS （D）xyzdS 4xyzdS S S S S 1 1 2.设  x,y,z  x y z1,x0,y0,z0  ，则y2dS  ______.  90更懂考研，更懂你 第七节 第二型曲面积分 1.计算曲面积分 xzdxdyxydydz yzdzdx ，其中是平面x0,y 0,z 0，  x yz 1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧. 2.设是圆柱面x2  y2 1与平面z 0,z 3所围成的封闭曲面的外侧，则曲面积分  x y  dxdyx  yz  dydz  ______.  3.计算曲面积分 x1  dydz2cosydzdx3dxdy ，其中S由曲面z  x2 y2 与 S z 3围成的封闭曲面的外侧. 91第八节 傅里叶级数  1 1.将 f  x  x2在(0,)上展为余弦级数，并求级数 的和.  2n1 2 n1  2.设x2 a cosnx  x，则a  ______. n 2 n0 92