更懂考研，更懂你
考研数学前置课
小琪
@更懂考研，更懂你
前言
考研数学前置课，主要就是在正式学习考研数学之前我们要先回顾一下
我们曾经学过的初高中数学知识点，大家千万不要小看这部分内容，考研数学
还是会围绕着他们经常会考查你的。
比如反三角函数的图像与性质；三角函数的相关公式，再比如参数方程、
极坐标这部分内容。甚至解方程、约分你都忘的差不多了，这样的你直接学习
高等数学，你会发现难上加难，中学数学与高等数学的内容的脱节， 极大地影
响了你学习高等数学。所以往届很多学生在做题过程中会犯的错误，其实都是
因为我们今天初等函数的底子没打扎实。所以我们就是在最开始就把这个初高
中知识学的细致一点，好的开端是成功的一半。
为了解决这些知识的漏洞，本课程要中学的数学内容统统找回来，因此
精心挑选了与高等数学息息相关的知识点，而且这部分知识同学们都是学过的，
没有必要以小白的方式重新学习，更多的是需要我们了解自己哪里不会，然后
再重点去记忆，所以本课程整体以知识填空及例题练习的形式帮助同学们查漏
补缺！更懂考研，更懂你
目录
第一讲：函数的概念及性质 ................................................................................................... 1
知识点1：函数的概念 1
知识点2：函数的基本性质 3
第二讲：常见的函数及函数图像 ........................................................................................... 7
知识点3：幂函数 7
知识点4：指数函数 8
知识点5：对数函数 9
知识点6：三角函数 10
知识点7：反三角函数 15
知识点8：极坐标下函数图像 17
知识点9：参数方程的函数图像 18
第三讲 代数与方程 ................................................................................................................ 19
知识点10：常见乘法公式及二项式定理 19
知识点11：整式除法 19
知识点12：真假分式 20
知识点13：一元二次方程 21
知识点14：一元二次不等式 22
知识点15：有理化 22
第四讲 数列 ............................................................................................................................ 23
知识点16：等差数列 23
知识点17：等比数列 23
知识点18：常用求和公式 23
第五讲 不等式 ........................................................................................................................ 24
知识点19：常见不等式 24
第六讲 希腊字母表 ................................................................................................................ 25
知识点20：常见希腊字母 25更懂考研，更懂你
第一讲：函数的概念及性质
知识点1：函数的概念
1、函数定义
设x与 y是两个变量，D是一个给定的数集，若对于D中每个值x∈D，按照一定的法则
f ，有唯一确定的值 y与之对应，则称变量 y为变量x的函数，记作 y = f (x)，称x为
自变量， y为因变量，数集D为函数的定义域，相应的函数值 y的全体称为函数的值域。
【例1】是否下列函数是否为同一个函数？
（1） f (x)=lgx2、g(x)=2lgx
（2） f(x)= x、g(x)= x2
2、复合函数定义
y = f (u)，u∈D 与u = g(x)， x∈D ，且其值域R ⊂ D ，则称 y= f g ( x ) 为
f g g f
函数 y = f (u)和u = g(x)的复合函数。
【例2】设 f (x+1)的定义域为[ 0,a ] ,a >0，则 f (x)的定义域为（ ）
（A）[−1,a−1 ] （B）[ 1,a+1 ]
（C）[ a,a+1 ] （D）[ a−1,a ]
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3、常见的分段函数
在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同的式子或取值来表达的函数称为分段函数。
几个常见的分段函数：
1）绝对值函数：y = f(x)
−1,x<0
2）符号函数：y =sgnx=0, x=0
1, x>0
3）取整函数：y =[ x ]，其中[ x ]表示不超过实数x的最大整数
常用结论：x−1<[
x
]≤
x
1, x ≤1,
【例3】设 f ( x )= ，则 f f ( x ) 等于（ ）
0， x >1,
1, x ≤1, 0, x ≤1,
（A）0 （B）1 （C） （D）
0， x >1, 1， x >1,
4、反函数定义
函数 y = f (x)的定义域为D，值域为R ，若对于任意 y∈D ，都可确定唯一的x∈D
f f
满足 y = f (x)，则称变量 x为变量 y 的函数，记作 y= f−1(x)，称其为 y = f (x)的反
函数。
【例4】求下列函数的反函数：
（1）y = 3 x+1
（2）y =1+ln(x+2)
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知识点2：函数的基本性质
1、单调性
函数y = f (x)，定义域D ，区间I∈D
f f
任意x ,x ∈I ，当x < x 时，恒有 f (x )< f (x ) ⇔ y = f (x)在I 上单调增加
1 2 1 2 1 2
任意x ,x ∈I ，当x < x 时，恒有 f (x )> f (x ) ⇔ y = f (x)在I 上单调减少
1 2 1 2 1 2
判定方法：
①定义法
②用导数
③常用结论 a.若 f (x)和g(x)均为区间I 上的增（减）函数，则 f (x)+g(x)为区间I
上的增（减）函数
b.若 y = f (u)和u = g(x)在区间I 上具有相同的增减性，则 y = f ( g(x))
在区间I 上为增函数，若 y = f (u)和u = g(x)在区间I 上具有相反的增
减性，则y = f ( g(x))在区间I 上为减函数.
【例 5】已知 f(x)是定义在(−1,1)上的减函数，且不等式 f(1−a)< f(a2 −1)，求a的取
值范围。
3更懂考研，更懂你
2、奇偶性
奇函数 偶函数
定义域
定义式
图像对称性
常见函数
a.定义法
b.常用结论
①奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇×奇=偶；偶×偶=偶；
奇×偶=奇；
②复合函数奇偶性：“内偶则偶，内奇同外”
判定方法
③ f (x)是可导的奇（偶）函数，则 f′(x)是偶（奇）函数， f ′′(x)
是奇（偶）函数；
④ f (x)是连续的奇函数，则原函数是偶函数； f (x)是连续的偶函
数，则原函数不一定为奇函数；
【例6】判断下列函数的奇偶性
( )
（1）ln sinx+ 1+sin2 x
ex +e−x
（2）
2
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3、周期性
设函数y = f (x)的定义域D，如果存在一个正数T ，使得对于每个x∈D，有x+T∈D
且 f (x+T)=f (x)，则称 f (x)为周期函数，T 为 f (x)的周期。
重要结论：
T
（1）若函数 f (x)的周期为T ，则 f (ax+b)(a≠0)的周期为 .
a
（2）若函数 f (x),g(x)的周期为T ，则 f (x)±g(x)的周期为T .
（3）若函数 f (x),g(x)的周期为T,T ，则 f (x)±g(x), f (x)g(x)都是的以T与T
1 2 1 2
的最小公倍数T 为周期的周期函数.
（4）若函数 f (x)的周期为T ，并且 f (x)可导，则其导函数 f′(x)的周期为T .
常见函数的周期：sinx，cosx其周期T = 2π
tanx，cotx， sinx ， cosx 其周期T =π
【例7】设 f (x)为定义在(−∞，+∞)上的偶函数，且其图形关于x = 2对称，则函数
f (x)必为周期函数，且周期为 。
【例8】下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数，指出其周期：
（1）y =cos(x−2) （2）y =cos4x
（3）y =1+sinπx （4）y = xcosx
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4、有界性
设函数 y = f (x)的定义域D，若存在正数M ，使得对于每个x∈D都有 f ( x ) ≤ M 成
立，则称 f (x)在I 上有界。如果这样的M 不存在，就称 f (x)在I 上无界
π π
常见的有界函数： sinx ≤1, cosx ≤1, arcsinx ≤ , arccosx ≤π，arctanx <
2 2
【例9】讨论下列函数在其定义域内的有界性
x ex
（1） ，（2）sin
1+x2 x+1
6更懂考研，更懂你
第二讲：常见的函数及函数图像
知识点3：幂函数
y = xα（其中x为自变量，α是常数）
y = x y = x2 y= x3
y = x
1
2
y = x−1
定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
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知识点4：指数函数
指数函数：y =ax( a>0且a≠1 )
a>1 0<a<1
定义域
值域
图像
公共点
奇偶性
性
单调性
质
极限
指数幂的运算法则：
（1）aα⋅aβ=
aα
（2）
=
aβ
（3）( aα)β
=
（4）( ab )α =
α
−
（5）a β =
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知识点5：对数函数
对数函数：y =log x ( a是常数且a >0,a ≠1 )
a
a>1 0<a<1
定义域
值域
图像
公共点
性
奇偶性
质
单调性
对数的运算法则：
log (MN)=
a
M
log =
a
N
log Mb =
a
log n M =
a
log 1=
a
log a=
a
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知识点6：三角函数
y =sinx,y =cosx,y =tanx,y =cotx.y =secx,y =cscx
正弦函数 余弦函数
定义 y =sinx y =cosx
定义域
值域
图像
奇偶性
性
周期性
质
有界性
sin0= cos0=
π π
sin = cos =
6 6
π π
sin = cos =
特殊函数值
4 4
π π
sin = cos =
3 3
π π
sin = cos =
2 2
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正切函数 余切函数
定义 y =tanx y =cotx
定义域
值域
图像
奇偶性
性
质
周期性
tan0= limcotx=
x→0
π π
tan = cot =
6 6
π π
tan = cot =
特殊函数值
4 4
π π
tan = cot =
3 3
limtanx= π
π cot =
x→
2 2
11更懂考研，更懂你
正割函数 余割函数
函数 y =secx y =cscx
定义域
值域
图像
奇偶性
性
质
周期性
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三角函数的运算性质
（一）三角函数之间的转化（六边形记忆法）
sinx cosx
tanx cotx
secx cscx
（二）诱导公式
sin(π+x)= ，cos(π+x)= ，
tan(π+x)= ；
sin(π−x)= ，cos(π−x)= ，
tan(π−x)= ；
π π
sin +x = ，cos +x = ，
2 2
π
tan +x = ；
2
π π
sin −x = ，cos −x = ，
2 2
π
tan −x = ；
2
（三）两角和差公式
sin(x+ y)= ， sin(x− y)= ；
cos(x+ y)= ， cos(x− y)= ；
13更懂考研，更懂你
（四）二倍角公式
sin2x=
cos2x= = =
sin2 x= cos2 x=
x
（五）万能公式 令u = tan
2
sinx= ，cosx = ，tanx =
（六）三角函数的积化和差公式
sinxcosy =
cosxsin y =
cosxcosy =
sinxsin y =
（七）三角函数的和差化积公式
sinx+sin y =
sinx−sin y =
cosx+cosy =
cosx−cosy =
（八）辅助角公式
asinx+bcosx= a2 +b2 sin(x+ϕ)，其中角ϕ的终边所在象限与点(a,b)所在象限相
同
sinϕ= ，cosϕ= ，tanϕ=
14更懂考研，更懂你
知识点7：反三角函数
反正弦函数 反余弦函数
定义 y =arcsinx y =arccosx
定义域
值域
图像
奇偶性
性
单调性
质
等式
arcsin0= a rccos0=
arcsin1= a rccos1=
1 1
arcsin = arccos =
2 2
特殊值 2 2
arcsin = arccos =
2 2
3 3
arcsin = arccos =
2 2
arcsin(−1)= arccos(−1)=
15更懂考研，更懂你
反正切函数 反余切函数
函数 y =arctanx y =arccotx
定义域
值域
图像
奇偶性
单调性
有界性
性
质
常用极限
等式
arctan0= arccot0=
arctan1= a r ccot1=
arctan 3 = arccot 3 =
特殊值 3 3
arctan = arccot =
3 3
arctan(−1)= arccot(−1)=
( ) ( )
arctan − 3 = arccot − 3 =
16更懂考研，更懂你
知识点8：极坐标下函数图像
1、极坐标系的概念：
在平面内取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度
单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐
标系。
2、极坐标与直角坐标的互化：
点P 直角坐标P(x,y) 极坐标P(r,θ)
x=rcosθ
y
互化公式 r = x2 + y2，tanθ=
y =rsinθ x
3、常见的极坐标形式下的函数图像
曲线 极坐标方程 图形
圆心在极点，半
径为a的圆
圆点在(a,0)，半
径为a的圆
心形线
阿基米德螺线
双纽线
17更懂考研，更懂你
知识点9：参数方程的函数图像
参数方程的概念：
x= f(t)
在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数
y = g(t)
并且对于t的每一个允许值，由这个方程所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么这个
方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x,y的变数t叫做参变数，简称参数。
常见的参数方程
类型 参数方程 图形
圆
(x−a)2 +(y−b)2 =r2
星形线
2 2 2
x3 + y3 =a3
摆线
18更懂考研，更懂你
第三讲 代数与方程
知识点10：常见乘法公式及二项式定理
（1） ( a±b )2 =
（2） ( a±b )3 =
（3）( a+b )n =
（4） a2 −b2 =
（5）a3±b3 =
（6）an −bn =
（7）( a+b+c )2 =
知识点11：整式除法
1、多项式的定义：
对于只含有一个变量的多项式 f(x)=a xn +a xn−1+a x+a ，若a ≠0，则称 f(x)
n n−1 1 0 n
为n次多项式。只含常数项的单项式为零次多项式。
2、多项式的除法
【例1】设P(x)= x4 +3x2 +x−3,Q(x)= x2 +x−1，则P除以Q的带余除法运算。
19更懂考研，更懂你
知识点12：真假分式
（1）真假分式定义
真分式：在分子分母都是多项式时，分子的最高次数小于分母的最高次数称为真分式。
假分式：在分子分母都是多项式时，分子的最高次数大于分母的最高次数称为假分式。
（2）假分式化真分式
x3+x2 +1
【例】 =
x2 +1
2x3+4x+1
【例】 =
x2 +x+1
x3−1
【例】 =
x2 +x
（3）真分式裂项
1
【例】 =
x2 −x−2
1
【例】 =
x2 +x4
1
【例】 =
x3 +x2 −x−1
20更懂考研，更懂你
知识点13：一元二次方程
（1）万能方法：求根公式法
求解ax2 +bx+c =0首先我们要判定∆= 的具体值的正负.
判别式的正负 根的情况 具体根的取值
∆>0
∆=0
∆<0
（2）十字相乘法（形如x2 +(p+q)x+ pq）
【例】（1）x2 −7x+6=0 （2）2x2 +3x+1=0
（3）配方法（加上一次项系数一半的平方，同时减去）
【例】（1）−x2 −6x+7=0（2）2x2 +8x−5=0
21更懂考研，更懂你
知识点14：一元二次不等式
a>0 ∆>0 ∆=0 ∆<0
y =ax2 +bx+c
图像
ax2 +bx+c=0的
根
ax2 +bx+c>0的
解集
ax2 +bx+c<0的
解集
知识点15：有理化
3−x − 1+x
【例】
x2 +x−2
2+tanx − 2+sinx
【例】
x3
22更懂考研，更懂你
第四讲 数列
知识点16：等差数列
（1）定义：
（2）通项公式：
（3）前n项和公式：
知识点17：等比数列
（1）定义：
（2）通项公式：
（2）前n项和公式：
知识点18：常用求和公式
（1）1+2+3++n=
（2）12 +22 +32 ++n2 =
（3）13+23+33++n3 =
1 1 1 1
（4） + + ++ =
1×2 2×3 3×4 n×( n+1 )
23更懂考研，更懂你
第五讲 不等式
知识点19：常见不等式
① a − b ≤ a±b ≤ a + b
②a2 +b2 ≥2ab(∀a，b∈R)
③a+b≥2 ab(a>0.b>0)
2 a+b a2 +b2
④ ≤ ab ≤ ≤ ( a >0,b>0 )
1 1 2 2
+
a b
⑤a3 +b3 +c3 ≥3abc(a >0.b>0,c>0)
a+b+c
⑥ ≥ 3 abc(a >0.b>0,c>0)
3
⑦ex −1≥ x,x∈R
⑧x≥ln(1+x),x>−1
⑨x>sinx,x>0，
π
⑩sinx< x<tanx,0< x<
2
24更懂考研，更懂你
第六讲 希腊字母表
知识点20：常见希腊字母
希腊字
读音 读法 手写
母
α /alfa/ 阿尔法
β /beite/ 贝塔
Γ,γ /gama/ 伽玛
∆,δ /delta/ 德尔塔
ε /ep'silon/ 一普西龙
ζ /zi:ta/ 泽塔
η /i:te/ 伊塔
θ /0i:te/ 西塔
ξ /ksail 克西
Λ,λ /lamde/ 拉姆达
µ /mju:/ 缪
τ /tau/ 涛
Σ,σ /sigma/ 西格玛
Ο,ο /oumaik'ran/ 奥密克戎
Π,π /pail 派
ρ /rou/ 柔
Φ,ϕ
/fai/ Fai
Ψ,ψ /psail 普赛
Ω,ω /oumiga/ 欧米伽
25
