(1.2.1.1)--高数基础习题集(解析)._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件

目录
第一章 函数、极限与连续......................................................................................................................................1
第一节 函数极限计算...........................................................................................................................................1
第二节 数列极限...................................................................................................................................................9
第三节 连续与间断.............................................................................................................................................14
第二章 一元函数微分学........................................................................................................................................16
第一节 导数与微分的定义.................................................................................................................................16
第二节 导数的计算.............................................................................................................................................24
第三节 导数的应用.............................................................................................................................................31
第三章 一元函数积分学........................................................................................................................................41
第一节 不定积分与原函数.................................................................................................................................41
第二节 不定积分的计算.....................................................................................................................................42
第三节 定积分定义.............................................................................................................................................48
第四节 定积分性质.............................................................................................................................................49
第五节 定积分计算.............................................................................................................................................52
第六节 定积分的几何应用.................................................................................................................................57
第七节 变限积分.................................................................................................................................................60
第八节 反常积分.................................................................................................................................................62
第四章 微分中值定理...........................................................................................................................................66
第五章 多元函数微分学........................................................................................................................................73
第一节 多元函数的基本概念.............................................................................................................................73
第二节 偏导数定义及其计算.............................................................................................................................77
第三节 偏导数计算.............................................................................................................................................78
第四节 全微分.....................................................................................................................................................81
第五节 隐函数的偏导计算.................................................................................................................................82
第六节 多元函数的极值与最值.........................................................................................................................84
第六章 二重积分...................................................................................................................................................87
第一节 二重积分的概念和性质.........................................................................................................................87
第二节 二重积分的计算.....................................................................................................................................90
第七章 微分方程...................................................................................................................................................95第一节 一阶微分方程求解.................................................................................................................................95
第二节 二阶微分方程求解.................................................................................................................................98
第三节 已知解反求微分方程...........................................................................................................................101
第四节 微分方程综合应用题...........................................................................................................................102
第八章 无穷级数.................................................................................................................................................105
第一节 常数项级数的概念和性质...................................................................................................................105
第二节 常数项级数的审敛法...........................................................................................................................107
第三节 幂级数...................................................................................................................................................109
第四节 幂级数运算...........................................................................................................................................112
第九章 数学一专题.............................................................................................................................................115
第一节 向量代数与空间解析几何...................................................................................................................115
第二节 三重积分...............................................................................................................................................118
第三节 多元函数与重积分的应用...................................................................................................................120
第四节 第一型曲线积分...................................................................................................................................123
第五节 第二型曲线积分...................................................................................................................................125
第六节 第一型曲面积分...................................................................................................................................127
第七节 第二型曲面积分...................................................................................................................................128
第八节 傅里叶级数...........................................................................................................................................130更懂考研,更懂你
第一章 函数、极限与连续
第一节 函数极限计算
考点一 无穷小
1．设x0时，excosx2 ex 与xn是同阶无穷小，则n为（ ）.
5
（A）5 （B）4 （C） （D）2
2
【答案】（A）
【解析】因为excosx2 ex ex  e x  cosx21  1  ，当x0时，e x  cosx21  1~ x  cosx2 1  ~ x   x4  ，
 
 2 
所以n5.故应选（A）.
1 cosx
2．求lim .
 
x0 x 1cos x
1
x2
1cosx 1
2
【解析】原式 lim  lim  .
x0 x  1cos x  1 cosx  x0 x 1 x  1 cosx  2
2
ex esinx
3．求lim .
x0  xx2  ln  1x  arcsinx
【解析】利用等价无穷小代换定理，并提出因子esinx，再应用洛必达法则得
ex esinx esinx exsinx 1 
lim lim
x0  xx2 ln  1x  arcsinx x0 x3 x4
xsinx 1cosx 1
limesinxlim lim  .
x0 x0 x3 x4 x0 3x2 4x3 6
点评 若lim x a，lim x a，则对下列形式的极限，宜提取公因子，然后利用运算法则与
xx xx
0 0
e
x
e
x
e
xx
1
等价无穷小代换定理计算，有lim  lime x lim ea
xx

x

x

xx xx

x

x

0 0 0
1考点二 泰勒公式
xln  1x 
1．lim .
x0 ex x1
【解析】因为ex 1x
x2
o  x2  ，且x0时，ln  1x  ~ x，所以
2!
x2 x2
原式lim lim 2 .
x0 ex x1 x0 x2  
o x2
2!
ex3 1x3
2．lim .
x0  sin2x 6
1 2   1
ex3 1x3
1x3 x3 o x6 1x3
1 1
2 2
【解析】lim lim    .
x0  sin2x 6 x0  2x 6 26 27 128
arcsinxsinx
3．lim .
x0 arctanxtanx
x 1 x3  x 1 x3   o  x3  1 x3 o  x3 
arcsinxsinx 6  6  3 1
【解析】lim lim lim  .
x0 arctanxtanx x0 x 1 x3  x 1 x3 

o  x3  x0  2 x3o  x3  2
3  3  3
   
x ex 1 2 ex 1
4．lim .
x0 x2sinx
   
x ex 1 2 ex 1 xex x2ex 2 ex x2 x2
【解析】lim lim lim
x0 x2sinx x0 x3 x0 x3


1x 1 x2 1 x3o  x3 

 x2 x2 

1  2  x3o  x3 
 2 3!  2 3! 1 2 1
lim lim    .
x0 x3 x0 x3 2 3! 6
2更懂考研,更懂你
ex3 1
5．lim .
x01cos xsinx
ex3 1 x3 1
【解析】lim  lim  12.
x01cos xsinx x0 1  xsinx  1  1
2 2 6
x2
1 1x2
2
6．lim .
 
x0 cosxex2 sinx2
x2 1 1 x2 x2 1   1 1 x2 1 x4o  x4 
2 2  2 8 
【解析】lim lim
   
x0 cosxex2 sinx2 x0 cosxex2 x2
1   1
x4 o x4
8 8 1
lim   .
x0

 1 1  x4o  x4   3 12
 2  2
 
1 1
7．lim  .
x01cos2x 2ln
 1x2

 
0
【解析】先通分将原极限化为 型未定式.
0
 
2ln 1x2 1cos2x
原极限lim
x0 2ln  1x2  1cos2x 
 x4
 
   2x 2  2x 4
 

  2x2  o x4  1 1  o x4 
ln 1x2 ~ x2  2   2 24 
lim
1cos2x~ 2x2 x0 4x4
2x4
 
x4  o x4
3 1
lim  .
x0 4x4 12
3考点三 洛必达法则
 1
ln1

 x
1． lim .
x arccotx
 1
ln  1 x   ln  1x lnx 1x2
【解析】由洛必达法则知 lim  lim  lim 1.
x arccotx x arccotx x x  1x 
 
ln tan7x
2．lim .
x0 ln  tan2x 
ln  tan7x  cot7xsec27x7 7sin2xcos2x
【解析】lim  lim  lim
x0 ln  tan2x  x0 cot2xsec22x2 x0 2sin7xcos7x
7sin4x 28cos4x
 lim  lim 1.
x0 2sin14x x0 28cos14x
 x 1 
3．lim  .
x1 x1 lnx
xlnxx1 xlnxx1 xlnxx1
【解析】原式lim lim lim
x1  x1  lnx x1  x1  ln  1 x1   x1  x1 2
0 0 1
0 lim lnx 0 lim x  1
x1 2  x1  x1 2 2
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考点四 极限四则运算
1
3sinxx2cos
x
1．lim .
x0  1cosx  ln  1x 
1 1 1
3sinxx2cos 3sinxx2cos 3sinxx2cos
x 1 x 1 x
【解析】lim  lim  lim
x0  1cosx  ln  1x  2 x0 ln  1x  2 x0 x
1  sinx 1 3
 lim3 xcos   .
2 x0 x x 2
ex2 cosx
2．lim .
x0 lncosx
 ex2 1 1cos x 
【解析】原式lim  
x0 ln  1 cosx1   ln  1 cosx1  
ex2 1 1cos x
lim lim
x0   1 cosx1   x0 ln  1 cosx1  
x2 1cosx
lim lim 3.
x0 cosx1 x0 cosx1
ex2 31sin2 x
3．lim
x0 x2
ex2 31sin2 x
【解析】lim
x0 x2
   
ex2 1  31sin2 x1
lim
x0 x2
1 2
1  .
3 3
5考点五 未定型求极限
x2 5x6
1．lim .
x3 x2 8x15
x2 5x6  x3  x2  x2 1
【解析】lim lim lim  .
x3 x2 8x15 x3  x3  x5  x3 x5 2
 2cosx x 
2．limx3

1.
x0   3  
 2cosx 2cosx  cosx1
expxln  1 ln  ln1 
 3   3   3 
【解析】原式lim lim lim
x0 x3 x0 x2 x0 x2
cosx1 1
lim  .
x0 3x2 6
3x2 5 2
3．lim sin .
x 5x3 x
2
 3x2 5  2 sin x 6 6
【解析】原式lim   .故应填 .
x  5x3  x 2 5 5
x
 1 2
4．limn3 2sin sin .
n  n n
 1 2  1 1 1  2 1 8   1 
【解析】limn3 2sin sin  limn3 2       o  1 .
n  n n n  n 6n3 n 6n3 n3
 
5．lim n3 n  n n .
n
 
【分析】本题是求形如lim a  b 的极限，一种常用的方法是将 a  b 有理化，将所给极限
n n n n
n
a b
化为lim n n ，从而求得所给极限.
n a  b
n n
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1
4n2 4
【解析】原式lim lim 2.故应填2.
n n3 n  n n n 3 1
1  1
n n
6．lim  secxtanx  .
π
x
2
0
1sinx 0 cosx
【解析】原式lim lim 0 .
π cosx π sinx
x x
2 2
1
 1 lnx
7．lim  .
x0e x 1
 
1 1 1 ln e x1
 1 lnx ln lim
【解析】指数化.lim   limelnx e x1 ex0 lnx .
x0e x 1 x0
1 e x
  
ln e x 1 洛必达 e x 1 2 x x 1  1
又因为lim lim lim  ，所以，原极限e 2 .
x0 lnx x0 1 x0 x2 x 2
x
1
 
8．（2018数二）若lim ex ax2 bx x2 1，则（ ）.
x0
1 1
（A）a  ，b1 （B）a  ，b1
2 2
1 1
（C）a  ，b1 （D）a  ，b1
2 2
【答案】（B）
【解析】lim  ex ax2 bx  x 1 2 1，左边ex li  m 0x 1 2 ln  exax2bx  ex li  m 0 exax x 2 2 bx1 1，
x0


1 a  x2 1b  xo  x2 
ex ax2 bx1 2 
lim 0上式lim 0 ，
x0 x2 x0 x2
1b0  1
 a
1  2，选（B）.
 2
a0
 b1
7考点六 左右分解求极限
   
ln 1ex ln 1ex
1．（1） lim ； （2） lim .
x x x x
ln  1ex ln  1ex ex 
【解析】（1） lim  lim   0；
x x x ex x 
 
ln  1ex  ln  ex 1 
（2） lim  lim 1 1.
x x x x 
 
1
x 1ax
2．求函数 f  x  ，g  x   a 1 当x0时的左、右极限，并说明x0时极限是否存
x 1
1ax
在.
x x
【解析】lim f  x  lim 1，lim f  x  lim 1.
x0 x0 x x0 x0 x
1 1 1

1ax a x 1 1ax
lim g  x  lim  lim 1，lim g  x  lim 1.
x0 x0 1 x0  1 x0 x0 1
1ax a x 1 1ax
所以lim f  x  ,limg  x 都不存在.
x0 x0
 2b 1
3．已知lima  x  arctan  1，其中  x  表示不超过x的最大整数，则ab______.
x0 π x
【答案】2
2 1
【解析】当x0时，lim  x 1，lim arctan 1
x0 x0 π x
2 1
当x0时，lim  x 0，lim arctan 1
x0 x0 π x
 2b  ab1 a 2
由lima  x  arctanx 1可得 解得
x0 π  b1 b1
所以ab2.
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第二节 数列极限
考点一 数列极限的定义与性质
1．“对任意给定的 0,1 ，总存在正整数N ，当n N 时，恒有 x a 2”是数列 a 收敛于a
n n
的（ ）.
（A）充分条件但非必要条件 （B）必要条件但非充分条件
（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件
【答案】（C）
【解析】考虑必要性.
若limx a，则对于任意给定的正数 ，总存在正整数N ，当n N 时，恒有 x a 
n n ，
n
从而 x a 2恒成立.
n
考虑充分性.
我们需要证明，任取 0，都存在正整数N ，当n N 时，恒有 x a .
1 n 1

任取 0，取 1 .由条件“对于任意给定的正数，总存在正整数N ，当n N 时，恒有 x a ，
1 2 n
从而 x a 2恒成立”可得，存在正整数N ，使得当n N 时，恒有 x a 2.
n n 1
因此，所证命题成立，所给条件是充分条件.
综上所述，所给条件是充分必要条件，应选C
2．设 a ， b ， c 均为非负数列，且lima 0，limb 1，limc ，则必有（ ）.
n n n n n n
n n n
（A）a b 对任意n成立 （B）b c 对任意n成立
n n n n
（C）极限lima c 不存在 （D）极限limb c 不存在
n n n n
n n
【答案】（D）
2 n
【解析】取a  ，b 1，c  ， n1,2, ，则选项（A）、（B）、（C）均可排除.
n n n n 2
1 1 1
对于选项（D），由limb 1，limc 知lim lim lim 0，从而limb c .即limb c
n n n n nb c nb nc n n n n n n
n n n n
9不存在.故应选（D）.
【点评】为了正确而迅速的解答选择题，首先要对题意和备选项进行整体的对比考查，弄清题目的考察
目标，从题干和备选项中获得解决问题的充分信息，其次选择适当的解题方法，下面归纳几种解题方法，
供读者参考.
直接法：直接从题目的已知条件出发，经过严密的推导、合理的运算从而得出结果和判断的方法，其选
择过程是先计算，然后将计算的结果与备选项对照，找到正确选项，当题目中给出已知条件，备选答案
列出所需求的结果时，一般首先考虑直接法.
验证法：把可供选择的各备选项带入题目中已知条件或将题干中的条件带入备选项进行验算，从而得到
正确选项的方法.
图象法：通过画出直观的几何图形，帮助分析，便于作出正确选择的方法.
每种方法都不是孤立的，有时同一试题可用多种方法求解，有时需借用几种方法综合求解.
3．关于数列极限下列叙述正确的是（ ）.
（A）lima a的充要条件是在a的任意小邻域内有 a 中的无限多个点.
n n
n
（B）若数列
a
存在极限，则数列
a
一定为一有界数列.
n n
（C）若数列 a ， b ， c 满足a b c ，且lim  c a 0，则数列 b 一定收敛.
n n n n n n n n n
n
（D）若数列 a 收敛于a，则必存在自然数N ，使得n N 时， a a 单调递减趋于零.
n n
【答案】（B）
【解析】（A）错误，反例a 1 n，a 在1的任意小邻域里有无穷多个点，但lima 不存在，如果改
n n n
n0
成“在a的任意小邻域之外只有
a
中有限多项”，则正确.
n
（B）正确，由数列极限存在性质，数列极限存在，则该数列一定有界.
1 1
（C）错误，反例a n，c n ，limc a lim 0，取b n，则 b 不一定收敛.
n n n n n n n0 n n n
1, n为偶

（D）错误，取a 
1
，lima 1a存在，
n 1 , n为奇 n0 n
 n
0, n为偶

但 a a  a 1  1 一定不单调.
n n  , n为奇
n
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考点二 无限项数列求和
1 1 1
1．设x    ，求limx .
n 3 15 4n2 1 n n
1 1 1 1 
【解析】   ，
 
4n2 1 22n1 2n1
1 1 1 1  1 1  1 1 
x  1           1  .
n 2 3 3 5 2n1 2n1 2 2n1
1
故limx  .
n n 2
 n n n 
2．利用极限存在准则证明：lim  

1.问：本题能否用求极限的四则运
nn2 π n2 2π n2 nπ
算法则求解？
n2 n n n n2 n2
【解析】     ，而lim 1，
n2 nπ n2 π n2  2π n2 nπ n2  π nn2 nπ
n2  n n n 
lim 1，所以由夹逼准则得lim    1.
nn2 π nn2 π n2 2π n2 nπ
本题不能使用求极限的四则运算法则求解，因为当n时，本题实际为无穷项相加求和.
 1 1 1 
3．lim   .
n n2 1 n2 2 n2 n 
1 1 1
【解析】由于对任意的i 1,2,,n，都有   ，所以
n2 n n2 i n2 1
n 1 1 1 n
    .
n2 n n2 1 n2 2 n2 n n2 1
n n
且lim lim 1，从而由夹逼准则可知
n n2 n n n2 1
 1 1 1 
lim   1.
n n2 1 n2 2 n2 n 
11考点三 单调有界准则
1 a 
1．设x  x  ，其中a0，x 0，求limx .
n1 2 n x  0 n n
n
1 a  a
【解析】因为x  x   x   a ，所以 x 下有界，
n1 2 n x  n x n
n n
 
x 1 a  1 a 
又因为 n1  1  1 1 ，所以 x 单调减少.根据单调有界数列必有极限知
x n 2 x n 2  2    a 2  n
 
limx 存在.
n
n
1 a  1 a
令limx l，则limx lim x  ，即l  l  ，所以l  a ，
n n n n1 n2 n x  2 l 
n
也即limx  a .
n
n
2．设0 x 3，x  x  3x  n1,2, ，证明数列 x 的极限存在，并求此极限.
1 n1 n n n
【解析】由0 x 3，知x ，3x 均为正数，故
1 1 1
1 3
0 x  x  3x    x 3x  ，
2 1 1 2 1 1 2
3
设0 x   k 1 ，则
k 2
1 3
0 x  x  3x    x 3x  ，
k1 k k 2 k k 2
3
由数学归纳法知，对任意正整数n1均有0 x  ，因而数列 x 有界.
n 2 n
又当n1时，x x  x  3x x
n1 n n n n
  x  32x 
 x 3x  x  n n 0，
n n n 3x  x
n n
因而有x  x  n1 ，即数列 x 单调增加，由单调有界数列必有极限知limx 存在.
n1 n n n
n
3
设limx a，在x  x  3x 两边取极限，得a a  3a ，解之得a  ，a0（舍去），
n n n1 n n 2
3
故limx  .
n n 2
12更懂考研,更懂你
4
3．设数列 x 满足x 0且x  4，证明： x 收敛并求出limx .
n n n1 x n n n
n
【解析】由于x 0，所以由平均值不等式可知
n
4 4 4
x  2 x  4 x  .
n x n x n1 x
n n n
4
即x  x ，所以 x 单调递减，另外，由0 x  x  4可知 x 有界，从而 x 收敛，记
n n1 n n1 n1 x n n
n
4 4
limx  x，对x  4关于n取极限可得x 4.
n n n1 x x
n
即 x2 2 0，于是x2，即limx 2.
n
n
4．已知数列 a 满足a 1，a  2a ，求lima .
n 1 n1 n n
n
【解析】显然1a 2，若1a 2，则1a  2a  22 2 ，于是对任意正整数n，都有
1 n n1 n
1a 2.
n
a 2 2
同时，由 n1   1，可知 a 单调递增，于是 a 收敛，设其极限为a，对等式a  2a
a a 2 n n n1 n
n n
两边关于n取极限，有a  2a ，解得a2或a0（舍去），即lima 2.
n
n
13第三节 连续与间断
考点一 函数的连续与间断
 1
ex, x0

1．若 f  x 3x, 0 x1在x1处连续，求a的值.

e2ax eax 1, x1


【解析】lim f  x  lim3x3，lim f  x lim  e2axeax1  e2a ea 1 ，
x1 x1 x1 x1
要使 f  x 在x1处连续，则e2a ea 13.故aln2.
1x2n
2．讨论函数 f  x lim x 的连续性，若有间断点，判别其类型.
n1x2n
【解析】由题意知
x, x 1
1x2n 
f  x lim x  0, x 1，在x 1,1处， f  x 连续.
n1x2n

x, x 1

在x1处，lim f  x 1，lim f  x 1，因此x1为第一类间断点.
x1 x1
在x1处， lim f  x 1， lim f  x 1，因此x1为第一类间断点.
x1 x1
 
ln en xn
3．已知 f  x lim ,  x 0  .
n n
（1）求 f  x ；（2）函数 f  x 在定义域内是否连续.
  x n n
lnen ln1     x
 
 e   e
【解析】（1）当xe时， f  x lim 1lim 1；
n n n n
14更懂考研,更懂你
 e n n
lnxn ln1    e
 
  x   x
当xe时， f  x lim lnxlim lnx；
n n n n
ln2n
当xe时， f  e lim 1，
n n
1, 0 xe
所以 f  x 
lnx, x e
（2）由lim f  x  lim f  x  f  e ，知 f  x 在xe连续；又当0 xe时， f  x 1连续；当
xe xe
xe时， f  x lnx连续.故 f  x 在 0,内连续.
考点二 闭区间上连续函数的性质
1．证明方程x3 9x10恰有3个实根.
【解析】证 令 f  x  x39x1.因为
f
3 10，
f
2 90，
f

0
10，
f

4
270，
又 f  x 在3,4 上连续，所以 f  x 在3,2 ，2,0 ， 0,4 各区间内至少有一零点，又因为它
是一元三次方程，即x3 9x10至多有3个实根.所以方程恰有3个实根.
2．设 f  x 是 0,1 上的非负连续函数，且 f  0  f  1 0，证明：对任意的a 0,1 ，都存在 0,1 ，
使得 f  f a  .
【解析】证 构造函数F  x  f  x  f  xa ，a 0,1 ，x 0,1a  .
由题知，F  0  f(0) f(a)f(a)，F  1a  f(1a) f(1) f(1a).
则有，F  0  F  1a f(a)f(1a)0，由零点定理可得
存在 0,1a [0,1]，使得F  f  f a 0，原命题得证.
15第二章 一元函数微分学
第一节 导数与微分的定义
考点一 利用导数定义求极限
 
f cosx
1．设 f  x 在x1处可导且 f  1 0， f 1 π，则lim ______.
 
x0 ln 1x2
π
【答案】 .
2
f  cosx  f  cosx  f   1 cosx1    f  1  cosx1
【解析】lim lim lim 
x0 ln  1x2 x0 x2 x0 cosx1 x2
1 π
 f 1  .
2 2
f  32x  f 1sinx 
2．设 f  x 以2为周期且 f 1 π，则lim （ ）.
x0 x
（A）π （B）2π （C）3π （D）4π
【答案】（C）
【解析】由 f  32x  f  212x  f  12x ， f 1sinx  f 21sinx 
 f  1sinx 得
f  32x  f 1sinx  f  12x  f  1sinx 
lim lim
x0 x x0 x
f  12x  f  1  f  1sinx  f  1  sinx
2lim lim  3 f 1 3π，选（C）.
x0 2x x0 sinx x
16更懂考研,更懂你
1
f  
3．设可导函数 f  x 0，则limnln
n
______.
 
n f 0
f
0

【答案】
 
f 0
1
ln f  n   ln f  0  ln f  x ln f  0   f 0 
【解析】原式lim  lim    ln f  x    .
n 1 x0 x0 f  0 
x0
n
4．已知 f  x  x  x1    x100 ，求 f2  .
f（x） f（2）
【解析】 f ‘（2） lim ，而 f 2 0，则
x2 x（2）
f  x  x  x1  x2    x100 
f2  lim  lim
x2 x2  x2 x2
 lim x  x1  x3    x100 
x2
21 1298298!.
5．设 f  x  lnx1  ln2 x2    lnn xn  ,n2，则 f e ______.
1
【答案】 1 n1 n1  !
e
【解析】令g  x   ln2 x2    lnn xn  ，则 f  x  lnx1  g  x  .于是
1
f x  g  x  lnx1  g x  .
x
1 1
故 f e  g  e 0 1 n1 n1  !.
e e
6．下列函数中，在x0处不可导的是（ ）.
（A） f  x  x tan x （B） f  x  x tan x
（C） f  x  cos x （D） f  x cos x
【答案】（D）
17f  x  f  0  x tan x x2
【解析】（A）选项， f 0 lim lim lim 0 .
x0 x x0 x x0 x
f  x  f  0  x tan x  x 
（B）选项， f 0 lim lim lim tan x 0.
x0 x x0 x x0 x 
（C）选项，
f  x  f  0  cos x 1
f 0 lim lim
x0 x x0 x
1
 x2
cos x 1
2
lim lim 0.
 
x0 x cos x 1 x0 2x
1
f  x  f  0  cos x 1  x
（D）选项， f 0 lim lim lim 2 ，故 f 0 不存在.
x0 x x0 x x0 x
 
f x
7．设函数 f  x 在区间1,1 内有定义，且lim 1，则在下列结论中：
x01cosx
   
f x f x
① f  0 0；② f 0 0；③lim 0；④lim 2，正确的个数为（ ）.
x0 x x0 x2
（A）0 （B）1 （C）2 （D）3
【答案】（B）
     
f x f x f x 1
【解析】因为lim lim 1，所以lim  ，且
x01cosx x0 1
x2
x0 x2 2
2
f  x   f  x  
lim lim x0，
x0 x x0 x2 
 
f x 1
故④错误，③正确.又因为lim  ，所以lim f  x 0，但题中仅知 f  x 在x0处有定义，无
x0 x2 2 x0
法确定 f  x 在x0处是否连续，因此 f  0 的值未必为0，例如
1
 x2, x0,
f  x  2 显然满足题意，但 f  0 0，且 f 0 不存在，故①与②均错误.故选（B）.
 1, x0,
18更懂考研,更懂你
考点二 导数的性质
x2 2xa, x0
1．设 f  x  ,在x0处可导，则（ ）.
 ln  1bx  , x0
（A）a1，b1 （B）a1，b2
（C）a0，b1 （D）a0，b2
【答案】（D）
【解析】 f  00 a， f  0  f  00 0，因为 f  x 在x0处连续，所以a0；
f  x  f  0  x2 2x
f 0  lim  lim 2 ，
 x0 x x0 x
f  x  f  0  ln  1bx 
f 0  lim  lim b ，
 x0 x x0 x
因为 f  x 在x0处可导，所以 f 0  f 0 ，所以b2，选（D）.
 
 1
xarctan , x 0

2．设 f  x    x ,讨论 f  x 在点x0处的连续性和可导性；若可导，讨论其导函
π 
esinx 1 , x0
2
数 f x 在x0处的连续性.
π
【解析】函数在x0处显然左连续，而 lim f  x  lim x0 f  0 ，故函数 f  x 在x0处连
x0 2 x0
续.注意到单侧导数
f  x  f  0  1 π f  x  f  0  π esinx 1 π
f 0  lim  limarctan  ， f 0  lim  lim  ，
 x0 x x0 x 2  x0 x 2x0 x 2
π
故 f  x 在x0处可导，且 f 0  .故导函数
2
 x 1
 arctan , x 0,
 2  x1  x

π
f x  , x 0,易验证 f x 在x0处也连续.
2

π
esinxcosx, x 0,

2

193．已知函数 f  x esinx esinx，则 f 5 π ______.
【答案】0
【解析】因为 f x esinx esinx，所以 f x  f  x ， f  x 为偶函数，从而 f x 为奇函数，
同理 f 5 x 为奇函数.
又因为 f  xπ  f  x ，所以 f  x 是以π为周期的周期函数，从而 f x ， f x ， f 3 x ，
f
4
x
，
f
5
x
均为以π为周期的周期函数，所以
f
5
π

f
5
0
0.
4．下列结论正确的是（ ）.
（A）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f  x  g  x 在xa处一定不可导
（B）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f 

g  x 

在xa处一定不可导
（C）若 f  x  ,g  x 在xa处不可导，则 f  x g  x 在xa处一定不可导
（D）若 f  x 在xa处可导且 f  a 0，则 f  x  在xa处一定可导
【答案】（D）
1 2
【解析】取 f  x  x3，g  x  x3，显然 f  x  ,g  x 在x0处不可导，但 f  x  g  x  x在x0处
可导；
1, xQ, 1, x0,
取 f  x  ， g  x  ， 显 然 f  x  ,g  x  在 x0 处 不 可 导 ， 但
0, xR\Q, 1, x0,
f g  x  1在x0处可导；
 
取 f  x  x x ，g  x  x x ，显然 f  x  ,g  x 在x0处不可导，但 f  x g  x  2x在x0
处可导.
事实上，设 f  a 0，因为lim f  x  f  a ，所以存在0，当x a,a时， f  x 0，
xa
f  x   f  a  f  x  f  a 
则lim lim  f a  ，即 f  x  在 xa 处可导.同理若 f  a 0 ，
xa xa xa xa
f  x  在xa处可导.选（D）.
20更懂考研,更懂你
f

cosx
2
5．设 f  x 连续，则lim 存在是 f  x 在x1处可导的（ ）.
x0 x2
（A）充分条件 （B）必要条件
（C）充要条件 （D）既非充分又非必要条件
【答案】（B）
f

cosx
2
f

cosx
2
【解析】由lim 得 f  1 2，令lim  A，且
x0 x2 x0 x2
cosx10  x0 ，则
f  cosx 2 f   1 cosx1    f  1  cosx1 1
Alim lim   f 1 ，
x0 x2 x0 cosx1 x2 2 
f

cosx
2
即若lim 存在，则 f  x 在x1处左可导，不一定可导；
x0 x2
f

cosx
2
反之，若 f  x 在x1处可导，则 f  x 在x1处左可导，即lim 存在，选（B）.
x0 x2
6．设 f  x 连续，且g  x  xa 

f  x  f  x 

，则g  x 在xa处可导的充要条件是（ ）.
（A） f  a 0 （B） f a 0
（C） f  a  f  a  （D） f  a  f  a 
【答案】（C）
g

x
g 
a

【解析】由lim lim f  x  f  x f  a  f  a  得
   
xa xa xa
g  a f  a  f  a  ，
  
g

x
g 
a

由 lim  lim f  x  f  x  f  a  f  a  得g  a  f  a  f  a  ，
xa xa xa       
g  x 在xa处可导的充要条件是 f  a  f  a  ，选（C）.
211cosx
 , x0
7．设 f  x  x ,其中 x 是有界函数，则 f  x 在x0处（ ）.
 x2 x  , x0

（A）可导 （B）连续，但不可导
（C）极限存在，但不连续 （D）极限不存在
【答案】（A）
1
x2
1cosx
【解析】 lim f  x  lim  lim 2 0 ，
x0 x0 x x0 x
lim f  x  lim x2 x 0 ，
x0 x0
而 f  0 0，故 f  x 在x0处连续.
1
f

x

f

0

1cosx
x2
f 0  lim  lim  lim 2 0，
 x0 x0 x0 x x x0 x x
f

x

f

0
 x2
x

f 0  lim  lim 0 ，
 x0 x0 x0 x
故 f 0  f 0 0，所以 f 0 0，A正确.
 
22更懂考研,更懂你
考点三 一元函数的微分
1．设函数 f  u 可导，y  f  x2  ，当自变量x在x1处取得增量x0.1时，相应的函数增量y
的线性主部为0.1，则 f 1 （ ）.
（A）1 （B）0.1 （C）1 （D）0.5
【答案】（D）
【解析】因为dy  f  x2  d  x2  2xf  x2  dx ，所以得0.12f 1 0.1 ，即 f 1 0.5.所以
（D）是正确的.
2． y f  x 在x 处可微，y f  x h  f  x ，当h0时，下列说法“①dy是h的等价无穷
0 0 0
小；② f x 0时，y与dy是等价无穷小；③ydy是h的同阶无穷小；④ydy是h的高阶
0
无穷小”中正确的是（ ）.
（A）①② （B）①③ （C）②③ （D）②④
【答案】（D）
【解析】由微分定义，知当h0时，dy f x  h，ydyo  h  f x  ho  h  .
0 0
dy
f
x

h
对①：lim lim 0  f x ，若 f x 1，则dy不是h的等价无穷小，故①错误.
h0 h h0 h 0 0
y f x  ho  h 
对②：由于 f x 0，故lim lim 0 1，y与dy是等价无穷小，故②正确.
0
h0 dy h0 f

x

h
0
ydy   f x  ho  h    f x  h o  h 
对③和④：lim lim 0 0 lim 0 ，故ydy是h的高阶无
h0 h h0 h h0 h
穷小，因此③错误，而④正确.
23第二节 导数的计算
考点一 复合函数求导
 x1
1．设 y  f  ， f x arctanx2，求 y 0  .
 x1
 x1  x1   x1 2 2 π
【解析】y 0  f      arctan   arctan12 .
 x1  x1  x1  x1 2 2
x0 x0
2．设 y sinf  x2  ，其中 f 具有二阶导数，求
d2y
.
  dx2
【解析】 dy 2xf  x2  cosf  x2 ，
 
dx
d2y
2f  x2 cosf  x24x2

f  x2 cosf  x2 f  x2  2 sinf  x2 

.
dx2        
3．设函数 f  x 可导， f  0 1， f 0 1，若y  x  f  x1  ，则 y 1 ______.
【答案】1
【解析】 f  x1   f 2 x1 ，故
 f  x1     f 2 x1    1 2f  x1  f  x1 
    2 f 2 x1 
f  x1  f  x1 
 ,
f  x1 
 f

0
 f
0

则 y 1  

f  x1 


 
1.
f 0
x1
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考点二 分段函数求导
lncosx π
 ,   x0,
1．设 f  x  x 2 在x0处可导，则a______，b______.
 ln  eax b, x0

e
【答案】 ，1.
2
【解析】 f  00  lim ln  1 cosx1    lim cosx1 0 ， f  0  f  00 b1，
x0 x x0 x
因为 f  x 在x0处连续，所以b10，即b1；
f  x  f  0  lncosx ln  1 cosx1  
f 0  lim  lim  lim
 x0 x x0 x2 x0 x2
cosx1 1
 lim  ,
x0 x2 2
 ax
f  x  f  0  ln  eax 1 ln  1 e   a
f 0  lim  lim  lim  ，
 x0 x x0 x x0 x e
a 1 e
因为 f  x 在x0处可导，所以  ，故a  ，b1.
e 2 2
x2enx1
axb
2．设 f  x lim ，求 f  x 并讨论 f  x 的连续性与可导性.
n
1enx1
x2, x 1

ab1
【解析】 f  x  , x 1.
2

axb, x1

仅当 f  1  f  1  f  1 时， f  x 在x1处连续，
 
1
即 ab1  ab1 
2
因此，当ab1时， f  x 在x1处连续，显然 f  x 在x1处连续，故当ab1时， f  x 在
,上连续.
当 f 1  f 1 时， f  x 在x1处可微，又注意到可微必连续，于是
 
25f  x  f  1 由③ axb ab 
f 1  lim lim a，
 x1 x1 x1 x1
f  x  f  1 由③ x2 1
f 1  lim lim 2.
 x1 x1 x1 x1
故仅当a 2,b1时， f 1  f 1 ，即 f  x 在x1处可导，显然在x1处， f  x 也可导.
 
综上所述，当a 2,b1时， f  x 在,上可导.
 1
 x sin , x 0,
3．设函数 f  x  x2 则 f  x 在x0处（ ）.
 0, x0,
（A）极限不存在 （B）极限存在但不连续
（C）连续但不可导 （D）可导
【答案】（C）
1
【解析】由于当x0时，sin 为有界变量， x 为无穷小量，
x2
1
故lim f  x lim x sin 0，又 f  0 0，故 f  x 在x0处连续.
x0 x0 x2
1
但lim
f

x

f

0

lim
xsin
x2
lim
1
sin
1
不存在，故 f  x 在x0处不可导.
x0 x0 x0 x x0 x x2
 f  x 
 , x 0
4．设 f  x 二阶可导，且 f  0 0，令g  x  x .
 f 0  , x 0

（1）求g
x
；（2）讨论g
x
在x0处的连续性.
f

x

f

x

f

0

【解析】（1）因为limg  x lim lim  f  0  g  0 ，
x0 x0 x x0 x0
所以g  x 在x0处连续，
xf
x

f

x

当x0时，g x  ；
x2
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 
f x
g

x
g 
0
  f 0 
f

x

f

0

x
x
当x0时，由lim lim lim
x0 x x0 x x0 x2
1
f
x
 f
0

1
 lim  f 0 ，
2 x0 x 2
xf
x

f

x

 , x0,
得g 0 
1
f 0 ，即g x 


x2
2 1
f 0 ， x 0.
2
xf x  f  x  xf x  f 0  x f  x  f  0  x
（2）因为limg x lim lim lim
x0 x0 x2 x0 x2 x0 x2
f
x
 f
0

1
f
x
 f
0

1
lim  lim  f 0  g 0 ，
x0 x 2x0 x 2
所以g
x
在x0处连续.
考点三 反函数求导
1．设 f  x 为单调可微函数，g  x 与 f  x 互为反函数，且 f  2 4， f 2  5， f 4 6，
则g 4 （ ）.
1 1 1
（A） （B） （C） （D）4
4 5 6
【答案】（B）
【解析】由g  x 与 f  x 互为反函数，得g

f  x 

 x.
上式对x求导得g

f  x 

 f x 1.
1 1
由 f  2 4得g 4  f 2 1，即g 4   ，所以选（B）.
f
2

5
27d2x
2．设 y 2xsinx，求其反函数x x  y 的二阶导数 .
dy2
dx 1 d2x d dx dx sinx
【解析】  ，从而      .
dy 2cosx dy2 dxdy dy  2cosx 3
d2x
3．设 y  xex，则其反函数的二阶导数 ______.
dy2
ex
【答案】
 1ex3
d  1 
 
dx 1 d2x d  1  dx1ex  ex
【解析】  ，      .
dy 1ex dy2 dy1ex  dy  1ex 3
dx
4．设x y 是 y f  x 的反函数， f  x 可导，且 f x ex2x1， f  0 3，求 3  .
1 1
【解析】因为 3  ，而 f 0 e，所以 3  ，
f
0

e
f x  2x1  ex2x1， f 0 e，
 1   1  f x 
d  d  dx 
 f x    f x   f2 x  f x 
因为 y     ，
dy dy dx f

x

f
3
x

e 1
所以 3   .
e3 e2
考点四 隐函数求导
1．设 y y  x 由exy sinxy4x y确定，则 y 0 ______.
【答案】7.
【解析】x0代入exy sinxy4x y得y 1，exy sinxy4x y两边对x求导得
exy yxycosxy yxy4 y，将x0,y 1代入得 y 0 2；
28更懂考研,更懂你
exy yxycosxy yxy4 y两边对x求导得
exy yxy2exy  2yxysinxy yxy2cosxy 2yxy y ，代入得 y 0 7.
2．设方程x yy确定 y是x的函数，则dy ______.
1
【答案】 dx
x  1ln y 
1
【解析】方程 x yy 两边取对数得 lnx yln y ，上式两边求微分得 dx ln y1  dy ，则
x
1
dy  dx.
x  1ln y 
考点五 参数方程求导（数三不考）
x tt2, dy
1．设 则 ______.
tey  y10, dx
t0
1
【答案】
e
dy dy dt dx dy
【解析】当t 0时，x0,y 1.又  ，其中 12t，对于 ，有
dx dx dt dt dt
dy dy dy ey dy ey 1
ey tey  0，解得  ，于是   .
dt dt dt 1tey dx  1tey  12t  e
t0 t0
y1
 x2t t
dy
2．设 ，求当t 0时的导数 .
 y 5t2 4t t dx
x 3t xt
【解析】当t 0时， ，当t 0时， .
y 9t2 y t2
y 9 t 2 y t 2
f 0  lim  lim 0， f 0  lim  lim 0 ，
 t0 x t0 3 t   t0 x t0 t
dy
故 0.
dx
t0
29考点六 求高阶导
1．设 f  x 任意阶可导，且 f x e fx ， f  0 1.求 f n 0  .
【解析】 f x e fx f x e 2fx ， f x 2e 2fx f x 2e 3fx ，
f 4 x 32e 3fx  f x 32e 4fx ， f n x 1 n1 n1  !e nfx .
所以， f n 0 1 n1 n1  !e nf0  1 n1 n1  !en.
2．设 f  x ln  2x2x1  ，则 f n x ______.
 2n 1 
【答案】1 n1 n1  !  .
  12x n  x1 n 
 
2 1
【解析】 f  x ln   2x1  x1   ln  2x1 ln  x1 ， f x   ，
12x x1
1 n1 2n n1  ! 1 n1 n1  !  2n 1 
故 f n x   1 n1 n1  !  .
 12x n  x1 n   12x n  x1 n 
 
3．设 f lnx  xlnx，则 f n x ______.
【答案】ex xn1 
【解析】由 f lnx  xlnx，则 f x  xex .由莱布尼茨公式，有
f n x   xex n1 exxC1 ex  x  0ex  xn1  .
n1
4．已知函数 f  x  x2ln  2x ，则当n3时， f n 0 ______.
n!
【答案】
2n2 n2 
n
 x
 
  x  x  x  2
【解析】 f  x  x2 ln2ln1   x2ln2x2ln1  ，其中ln1   ，故
  2  2  2 n
n1
 1  1 n!
f  x  x2ln2 xn2  x2ln2 xn ，故 f n 0   n3  .
2nn 2n2 n 2  2n2 n2 
n1 n2
30更懂考研,更懂你
第三节 导数的应用
考点一 函数的单调性
π
1．设 ytann x在x  处的切线在x轴上的截距为x ，则lim y  x ______.
4 n n n
【答案】e1
π 
【解析】先求 ytann x在M  ,1处的切线方程，由
4 
π
y
 
ntann1xsec2x 2n，
4 x π
4
得切线方程
 π
y12nx .
 4
π 1
在x轴上的截距为x   ，故
n 4 2n
π 1 
1
lim y  x limtann    eA，
n n n 4 2n
π 1  π
tan   tan
 π 1   4 2n 4
其中 Alimntan 

1 lim
n  4 2n  n 1
n
 1  tanx   1  1 1.
2 x π 2 cos2 x x π
4 4
故原极限e1.
2．下列说法中正确的是（ ）.
（A）若 f x 0，则 f  x 在x 的邻域内单调递减
0 0
（B）若 f  x 在x 取极大值，则当x x ,x 时， f  x 单调递增，当x x ,x 时， f  x 
0 0 0 0 0
单调递减
31（C） f  x 在x 取极值，则 f  x 在x 连续
0 0
（D） f  x 为偶函数， f 0 0，则 f  x 在x0处一定取到极值
【答案】（D）
 x 1
 x2cos , x0, f  x  f  0  1
【解析】设 f  x  2 x 则有 f 0 lim  0，
 0, x0, x0 x 2
 1
 , x0,

 2
f
x

1 1 1

 2xcos sin , x0.
 2 x x
1 1
当x 0  n时， f x  0，则 f  x 在x0的任意邻域内都不单调递减，（A）
π 2
2nπ
2
不正确；
  1
2x2 2sin , x0,
设 f  x   x 则 f  x 在x0处取得极大值，但其在x0的任意邻域内皆

2, x0,
不单调，（B）不正确；
x, 0x 1,

设 f  x 2, x 1, 则 f  x 在x1处取得极大值，但 f  x 在x1处不连续，（C）不正确；

2x, 1 x2,
由 f 0 存在，得 f 0 存在，又因为 f  x 为偶函数，所以 f 0 0，则x0一定为 f  x 的极值
点，选（D）.
考点二 函数的凹凸性
1． y  f  x  e x12 的凹区间为______，凸区间为______.
 1   1   1 1 
【答案】  ,1  ，  1 ,  ；  1 ,1  .
 2  2   2 2
32更懂考研,更懂你
【解析】 f x 2  x1  e x12 ， f x 4   x1 2 1 e x12 ，令 f x 0得
 
 2
1 1
x 1 ，x 1 .
1 2
2 2
 1   1   1 1 
当x

,1

， 1 ,

时， f x 0；当x 1 ,1

时，
 2  2   2 2
 1   1   1 1 
f x 0，则曲线的凹区间为  ,1  ，  1 ,  ，凸区间为  1 ,1  .
 2  2   2 2
2．已知函数 y y  x 由方程x2 xy y3 3确定，判断曲线 y y  x 在点 1,1 附近的凹凸性.
【解析】对题干方程关于x求导，得2xxy y3y2y0， （*）
3
将x1代入x2 xy y3 3，得y 1，将x 1,y 1代入（*）式，得 y .
4
（*）式两边关于x求导，得2 yxy y6y y23y2y0 ，
3 31
代入x1，y 1，y ，解得 y 0，因为函数 y y  x 在x1处二阶导连续，故曲线
4 32
y y  x 在点 1,1 附近为凸的.
考点三 函数的极值
1．设函数 f  x 在,内有定义，且x x  x 0 是 f  x 的极大值点，则（ ）.
0 0
（A）x 必是 f x 的极小值点 （B）x 必是f x 的极小值点
0 0
（C）x 必是f  x 的极小值点 （D）对一切x都有 f  x  f  x 
0 0
【答案】（B）
【解析】根据极值定义，可知对于x 的某邻域内任意一点x均有 f  x  f  x ，不是“一切x”，故排
0 0
除（D）.
33因为 y f x 与 y f  x 关于原点对称，关于原点对称的函数性质，显然x 必是f x 的极
0
小值点，故应选（B）.
f

x
2
2．设 f  x 为连续函数，且lim 2，则（ ）.
x0 ex2 1
（A）x0为 f  x 的极小值点 （B）x0为 f  x 的极大值点
（C）x0不是 f  x 的极值点 （D） 0,2 为y f  x 的拐点
【答案】（A）
f

x
2
f

x
2
【解析】因为 f  x 连续，所以由lim lim 2 得 f  0 2，且存在
x0 ex2 1 x0 x2
f

x
2
0，当0 x 时， 0，即 f  x 2 f  0 ，故x0为 f  x 的极小值点，选（A）.
x2
cos x 1, x0,
3．设函数 f  x  则x0是 f  x 的（ ）.
xlnx, x 0,
（A）可导点，极值点 （B）不可导点，极值点
（C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
【答案】（B）
【解析】当x0时， f  x cos x 1cosx1，所以有
1
f

x

f

0

cosx1
 x2
2
lim  lim  lim 0 ，
x0 x x0 x x0 x
f

x

f

0

xlnx
lim  lim ，
x0 x x0 x
故 f  x 在x0处的右导数不存在，从而 f  x 在x0处不可导.
π
当  x0时， f x sinx0，当0 xe1时， f x lnx10，且 f  x 在x0处
2
连续，所以x0是 f  x 的极大值点.
34更懂考研,更懂你
考点四 函数的拐点
x2

1．曲线 y  xe 2 的拐点个数为（ ）.
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】（C）
【解析】曲线方程的一阶导和二阶导分别为
x2 x2
 
ye 2 x2e 2 ，
x2 x2
 
y3xe 2 x3e 2 ，
令y0，得x0，x 3，x 3.列表如下.
       
x , 3  3,0 0, 3 3,
y    
又y   3   3e  3 2 ，y  0 0， y  3   3e  3 2，所以曲线 y  xe  x 2 2 的拐点为
 3   3
 3, 3e  2 ， 0,0 ， 3, 3e  2，故拐点个数为3.
   
2．设函数 f  x 具有连续的二阶导数，点  0, f  0  是曲线 y f  x 的拐点，则极限
f

x
2f 
0

f
x 
lim （ ）.
x0 x2
（A）0 （B）2 （C） f 0  （D）2f 0 
【答案】（A）
【解析】因为  0, f  0  是曲线 y f  x 的拐点，且 f 0 存在，所以 f 0 0，故
f

x
2f 
0

f
x 
f

x

f
x 
lim lim
x0 x2 x0 2x
f
x
 fx 
1
lim  f 0  f 0  f 0 0,
 
x0 2 2
应选（A）.
35考点五 函数的最值
1．设 f  x 在  a,b  上可导，且在点xa处取最小值，在点xb处取最大值，则（ ）.
（A） f a 0， f b 0 （B） f a 0， f b 0
   
（C） f a 0， f b 0 （D） f a 0， f b 0
   
【答案】（D）
【解析】因为 f  a 是最小值，所以 f  x  f  a ，x a,b  ，又 f a 存在，故

f

x

f

a

f a  lim 0.
 xa xa
因为 f  b 是最大值，所以 f  x  f  b ，x a,b ，又 f b 存在，故

f

x

f

b

f b  lim 0.
 xb xb
 π
2．函数 y  x2cosx在区间

0,

上的最大值为______.
 2
π
【答案】 3
6
【解析】y12sinx， y2cosx.
π π π  π
令y0得x  ，y    30，则 y  x2cosx在x  处取得极大值，又该函数在0, 
6 6 6  2
π π
上极值点唯一，则该极大值点为最大值点，最大值为 y   3 .
6 6
ex
3．函数 y ex  的最小值为______.
2
【答案】 2
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ex ex 1 1
【解析】方法一 ex  2 ex  2 ，当且仅当x ln 时，等号成立，故 y的最小值为 2.
2 2 2 2
1 2e2x 1 1
方法二 yex  ex  ， yex  0.
2 2ex 2ex
1 1 1 1
令y0，解得x ln ，且 y为增函数，故当x ln 时，y取到最小值，最小值为
2 2 2 2
1 1
 ln
1 ln 1 e 2 2 1 1 1
y e2 2      2 .
x 1 ln 1 2 2 2 1
2 2
2
4．函数 y x2x在区间 0,1  上的最小值为______.
2
1e
【答案】 
e
1
【解析】因为 y2x2x lnx1 ，令y0，解得x  .
e
2
又lim y  lim x2x  lime2xlnx e0 1， y   1     1  e ，y  1 1，
x0 x0 x0 e e
2
1 1e
比较知y     为最小值.
e e
考点六 函数的渐近线
1．曲线 y  x x2 x1（ ）
（A）没有渐近线 （B）有一条水平渐近线和一条斜渐近线
（C）有一条铅直渐近线 （D）有两条水平渐近线
【答案】（B）
x x2 x1  1 1 
【解析】a  lim  lim 1 1  2.
x x x   x x2  
37 
b lim f  x 2x lim x2x1x
 
x x
x2 x1x2 1
 lim  .
x x2 x1x 2
1   x2 x2 x1 1
所以 y 2x 为右侧斜渐近线. lim x x2 x1  lim  .
2 x x x x2 x1 2
1
所以 y  为左侧水平渐近线，故选择（B）.
2
2．曲线 y 
1
ln
 1ex
的渐近线的条数为（ ）
x  x1 
（A）1条. （B）2条. （C）3条. （D）4条.
【答案】（D）
【解析】先看铅直渐近线.因limy ，limy ，所以x 0,x 1分别是该曲线的铅直渐近线.
x0 x1
再看水平渐近线.
 1   
lim  ln 1ex  ，所以沿x方向无水平渐近线.
x x  x1  
 1   
lim  ln 1ex  0，所以沿x方向有水平渐近线 y 0.
x x  x1  
再看斜渐近线.
y  1 1   
lim  lim   ln 1ex 
x x x x2 x1  x 
0 lim 1 ln ex  ex1 
 
x x
 lim  1 1 ln  ex1  1,
 
x x 
lim  yx  lim   1 ln  1ex  x  
x x x  x1  
1ex
0 lim ln 0,
x ex
所以沿x方向有一条斜渐近线 y  x.因沿x方向有水平渐近线，当然就没有斜渐近线.所
以共有4条，选（D）.
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2x3 3x2 1
3．设 y  f  x  ，则（ ）.
x2 1
（A）曲线有两条铅直渐近线
（B）曲线有一条水平渐近线，一条斜渐近线
（C）曲线有一条水平渐近线，一条铅直渐近线
（D）曲线有一条铅直渐近线，一条斜渐近线
【答案】（D）
【解析】由lim f  x 得曲线没有水平渐近线；
x
2x3 3x2 1 6x2 6x
由lim f  x  lim  lim 0 得x1不是曲线的铅直渐近线；
x1 x1 x2 1 x1 2x
2x3 3x2 1
由lim f  x lim 得x1为曲线的铅直渐近线；
x1 x1 x2 1
f  x  2x3 3x2 1  3x2 2x1
由lim 2，lim

f  x 2x

lim 2xlim 3 得
x x x x x2 1  x x2 1
y 2x3为曲线的斜渐近线，选（D）.
x
4．曲线 y  的渐近线条数为（ ）.
x2 1
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】D
x
【解析】函数 y  的定义域为,1    1, .因为
x2 1
x x
lim y  lim ，lim y lim ，
x1 x1 x2 1 x1 x1 x2 1
x
所以直线x1与x1是曲线 y  的铅直渐近线.
x2 1
x 1 x 1
因为 lim y  lim  lim 1， lim y  lim  lim 1，
x x x2 1 x 1 x x x2 1 x 1
 1 1
x2 x2
39x
所以直线 y 1与 y 1是曲线 y  的水平渐近线.
x2 1
x
故曲线 y  共有4条渐近线.
x2 1
 1 
5．曲线 y  xln2 的斜渐近线方程为（ ）.
 x1
1
（A） y  xln21 （B）y  xln2
2
1
（C） y  xln21 （D） y  xln2
2
【答案】（B）
y  1 
【解析】lim limln2  ln2，
x x x  x1
  1     1  
lim  yxln2 limxln2  xln2 limxln2  ln2
x x  x1  x   x1 
 1  1 1
lim xln 1 lim x  .
x  2  x1   x 2  x1  2
1
故曲线的斜渐近线方程为 y  xln2 .
2
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第三章 一元函数积分学
第一节 不定积分与原函数
1.设函数 f  x 在,上连续,则d f  x  dx等于（ ）.
 
（A） f  x  （B） f  x  dx
（C） f  x C （D） f '  x  dx
【答案】B.
【解析】d  f xdx   f xdx ' dx  f xdx.
   
   
2.若 f x 的导函数是sinx,则 f x 有一个原函数为（ ）.
（A）1sinx （B）1sinx
（C）1cosx （D）1cosx
【答案】B
【解析】由题设可知 f x sinx ,于是 f  x  f x  dxcosxC .从而 f  x  的原函数
1
F

x

f

x
 dxcosxC 
dx
1 sinxC xC ,其中C ,C 为任意常数.令C 0,C 1,
1 2 1 2 1 2
 
f x
即得 的一个原函数为1sinx.
41第二节 不定积分的计算
考点一 公式题
1.设 f  x2 1  ln
x2
,且 f    x   lnx,求 x  dx.
x2 2
 
x2 1 1 x1
【解析】因为 f  x2 1  ln ,所以 f  x ln .
 x2 1  1 x1
 x 1  x 1 x1
又 f    x   ln  x 1 lnx,从而  x 1  x, x  x1 .
x1
于是 x  dx dx2ln  x1 xC,其中C为任意常数 .
x1
2.设 f(x)是周期为4的可导奇函数,且 f(x) 2(x1), x[0,2],则 f(7) __________.
【答案】1
【解析】 f ' x 2  x1 ，x 0,2  且为偶函数，则 f ' x 2 x1 ，x2,0 
又 f  x x22xc 且为奇函数,故c=0 ，  f  x x22x，x2,0 
又 f  x  的周期为4,  f  7  f 1 1.
考点二 凑微分
 
ln tanx
1.求不定积分 dx.
sinxcosx
 
ln tanx 1
【解析】 dx  ln  tanx  d

ln  tanx 

 ln2 tanx C
sinxcosx 2
42更懂考研,更懂你
cos2x
2.求不定积分 dx.
 3sinxcosx 2
cos2x d  3sinxcosx  1
【解析】 dx     C
 3sinxcosx 2  3sinxcosx 2 3sinxcosx
1 1 x
3.求不定积分 arctan dx
.
1 x2 1 x
2
1 1 x 1 x  1 x  1 1 x
【解析】 arctan dx arctan d arctan   arctan   C
1 x2 1 x 1 x  1 x  2 1 x
x1
4.求不定积分 dx.
 
x 1 xex
 
x1  x1  ex d xex xex
【解析】 dx   dx   ln C
x  1 xex  xex  1 xex  xex  1 xex  1 xex
dx
5.求不定积分
.
sin2x2sinx
 x  x
d  dtan 
dx 1 2 1  2
【解析】原式    
2sinx  cosx1  4 x x 4 x x
tan cos2 tan cos2
2 2 2 2
x
1tan2
1  x 1 x 1 x
  2 dtan   tan2  ln tan C,其中C 为任意常数.
4 x  2 8 2 4 2
tan
2
43考点三 分部积分法
xsinx
1.求不定积分 dx.
cos3 x
xsinx 1  1  x 1
【解析】 dx  xd    tanxC
cos3 x 2 cos2 x  2cos2 x 2
2.求不定积分xtanxsec4 xdx.
【解析】xtanxsec4 xdx xsec3xd  secx  1 xd  sec4 x 
4
1  1 1 1
 xsec4 xsec4 xdx  xsec4 x tanx tan3 xC
4 4 4 12
1ln  1x 
3.求不定积分 dx.
x2
1ln  1 x  1
【解析】 dx    1ln  1 x   d 
x2  x
1ln  1 x  1 1ln  1 x  x1
    dx    ln  C
x x  x1  x x
  
ln sin x
4.求不定积分 dx.
sin2
x

dx
【解析】直接令u ln  sin  x  ,dv ,vcot  x  ,便得
sin2
x

  
ln sin x
 dxcot  x ln  sin  x  cot2 x  dx
sin2
x

cot  x  ln  sin  x    csc2 x 1  dx
44更懂考研,更懂你
cot  x  ln  sin  x  cot  x xC,其中C为任意常数.
5.设 f  sin2 x   x ,求 x f  x  dx.
sinx 1x
arcsin u
【解析】令u sin2 x,则有sinx u,xarcsin u, f  x  ,
x
于是
x arcsin x arcsin x
 f  x  dx dx d  1x 
1x 1x 1x
2arcsin xd 1x
1 1
2 1 xarcsin x2 1 x dx
1x 2 x
2 1xarcsin x 2 x C .其中C为任意常数.
考点四 综合题
sin4 x
1.求不定积分 dx.
1cosx
sin4 x sin4 x  1cosx 
【解析】 dx  dx sin2x  1 cosx  dx
1cosx 1cos2x
x 1 1
  sin2x sin3x C
2 4 3
x1arctan x1
2.求不定积分 dx.
x
45x1arctan x1 x1arctan x1
【解析】  dx   dx
x  2
1 x1
t2arctant
x1t2 dt
1t2
1
 2arctantdt 2 arctantdt
1t2
 2 x1arctan x1lnxarctan2 x1C
 
3.求不定积分arctan 1 x dx.
  xt t2
【解析】arctan 1 x dx t2arctan  1t  dt
1 1t 2
 2t 2 
t2arctan  1t   1 dt
 t2 2t 2
   
 xarctan 1 x  x ln x2 x 2 C
sinx
4.求不定积分 dx.
sinxcosx
  
sin x   
sinx 1  4  4
【解析】 dx   dx
sinxcosx 2  
sinx

 4 
   
sinx

cosx

1  4   4 
  dx
2  
sinx

 4 
x 1  
  ln sinx  C
2 2  4 
46更懂考研,更懂你
arctanx
5.求不定积分 dx.
 
x2 1x2
arctanx arctanx arctanx dx 1
【解析】原式= dx dx     arc tanx 2
x2 1x2 x x  1x2  2
arctanx 1 1 x2
   arctanx 2 ln C ,其中C为任意常数.
x 2 2 1x2
dx
6.求不定积分 .
 
2x2 1 x2 1
【解析】设xtan  u  ,则dxsec2 u  du.
 
du cos u du
原式 
cos  u   2tan2 u 1  2sin2 u cos2 u 
 
dsin u
  arctan  sin  u  C
1sin2
u

 x 
arctan C,其中C为任意常数.
 1x2 
arcsin x lnx
7.求不定积分 dx.
x
【解析】直接用分部积分法：
arcsin x lnx  
 dx 2 arcsin xlnx d x..
x
  dx dx
2 x arcsin xlnx  2
1x x
  d  1x 
2 x arcsin x lnx  4 x
1x
 
2 x arcsin x lnx 2 1x 4 x C
其中C为任意常数.
47第三节 定积分定义
1 π 2π n
1.lim  1cos  1cos  1cos =______.
 
nn n n n 
2 2
【答案】
π
1 π 2π n
【解析】lim  1cos  1cos  1cos 
 
nn n n n 
lim 1  n 1cos kπ  π  1  π 1cos xdx  2  π cos x dx 2 2 .
n π n n π 0 π 0 2 π
k1
n
2 2 2
 1  2  n
2.limln 1  1  1  等于（ ）.
n  n  n  n
2 2
（A） ln2 xdx （B）2 lnxdx
1 1
（C）2 2 ln  1x  dx （D） 2 ln2 1x  dx
1 1
【答案】（B）
2 2 2
 1  2  n
【解析】limlnn 1

1

1

n  n  n  n
1  1  2  n 2
2lim ln1  ln1  ln1  2 ln xdx
nn  n  n  n 1
1  1 2 n
3.极限lim sin 2sin nsin   ___________.
nn2  n n n
【答案】sin1cos1.
【解析】由定积分的定义不难知道,
1  1 2 n n  i i 1 1
lim sin 2sin nsin   lim  sin    xsinxdxsin1cos1.
nn2  n n n n n nn 0
i1
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第四节 定积分性质
考点一 定积分定义求积分
1.设在区间  a,b  上函数 f  x 0, f x 0, f x 0.令S  b f  x  dx,S  f  b  ba  ,
1 2
a
1
S  

f  a  f  b 

 ba  ,则（ ）.
3 2
（A）S  S  S （B）S  S  S
1 2 3 2 1 3
（C）S  S  S （D）S  S  S
3 1 2 2 3 1
【答案】（B）
【解析】由题目对函数 f  x 图形性态的描述,易知 f  x 单调减少、图形在x轴上方、且是凹的,如图所
示,
S ,S 和S 分别为图中所示区域的面积,显然S S S .
1 2 3 2 1 3
1
2. 2xx2dx_________.
0
π
【答案】 .
4
【解析】这是一道计算定积分的基础题,用定积分换元法可以算得
 1 2xx2dx 1 1 x1 2 dx x1  sint  0 cos2  t  dt  π .
π
0 0  4
2
注：因为这是一道填空题,不必列出计算过程,所以也可以由定积分的几何意义来得出结果.此定积分表示
1 π
圆x2  y2 2x0面积的 .该圆半径为1,故得 .
4 4
49考点二 对称区间偶倍奇零
  sinx 
1.2   x dx__________.
  1cosx 
2
2
【答案】 .
4
sinx
【解析】因为 是奇函数, x 是偶函数,
1cosx
 sinx   2   sinx  2
所以2 dx0,2 x dx22 xdx ,故2   x dx .
  1cosx   0 4   1cosx  4
2 2 2

2. (sin3 x 2 x2)dx ．

 
3
【解析】由对称性知 (sin3 x 2 x2)dx2 2 x2dx ．
 0 2
考点三 定积分比大小
1.设 f  x 与g  x 在,上皆可导,且 f  x  g  x  ,则必有（ ）
（A） f x  g x  （B） f '  x  g'  x 
（C）lim f  x  lim g  x  （D） x f  t  dt  x g  t  dt
xx xx 0 0
0 0
【答案】C.
【解析】由于 f  x 与g  x 在,上皆可导,则必在,上连续,则
lim f  x  f  x  ,lim g  x  g  x  .又 f  x  g  x  ,从而 f  x  g  x  ,即
0 0 0 0
xx xx
0 0
lim f

x

lim g

x

.
xx xx
0 0
注 选项(D)中上限x有可能是负数,故错误.
50更懂考研,更懂你
π sinx π   π  
2.设M  2 cos4xdx ,N 2 sin3xcos4 x dx,P  2 x2sin3xcos4 x dx ,则有（ ）
 π 1x2  π  π
2 2 2
（A）N  P  M （B）M  P  N
（C）N  M  P （D）P  M  N
【答案】D
【解析】由被积函数的奇偶性可知M 0
π π π
N  2 sin3xdx2 cos4xdx 22cos4xdx 0 ,
π π
  0
2 2
π π π
P  2 x2sin3xdx2 cos4 xdx22cos4 xdx0 ,因此P  M  N ,故应选（D）
π π
  0
2 2
  
3.设函数I  4ln  sinx  dx,J  4ln  cotx  dx,K  4ln  cosx  dx,则I,J,K的大小关
0 0 0
系为（ ）
（A）I  J  K （B）I  K  J
（C）J  I  K （D）K  J  I
【答案】（B）
 cosx
【解析】对于0 x ,0sinxcosx1cotx ,
4 sinx
且lnx在 0,内单调增加,
 
于是有ln  sinx ln  cosx ln  cotx  ,x 0, ,
 4
  
则4ln  sinx  dx 4ln  cosx  dx 4ln  cotx  dx,所以选B.
0 0 0
51第五节 定积分计算
考点一 基本公式

1.求定积分 1sin2xdx.
0
    
【解析】 1sin2xdx   sinxcosx dx  2 sinx  dx
0 0 0  4 
3
 2 4 sinx dx 2 2


4
sinxcosx
2.求定积分2 dx.
0 1sin2x
 sinxcosx d  sinxcosx 
【解析】2 dx  2 0
0 1sin2x 0  sinxcosx 2
 1
3.求定积分2 dx.
0  cosx2sinx 2

 1  sec2 x 1 2 1
【解析】2 dx  2 dx  
0  cosx2sinx 2 0  12tanx 2 2  12tanx  2
0
4.若函数 f  x  1  1x2 1 f  x  dx,则 1 f  x  dx ________.
1x2 0 0
π
【答案】 .
4π
【解析】定积分 1 f  x  dx是一常数,设为A,则
0
A 1 f  x  dx 1 dx  A· 1 1x2dxarctan  x 1  A 1 π π  π A
0 01x2 0 0 4 4 4
π
故A .
4π
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考点二 积分法求积分
1 dx
1.求定积分 .
0 1 x  1 x2
1 dx  sec2tdt
【解析】 x  tant 4
0 1 x  1 x2 0  1tant  sect
1      1  
 4sect  dt    ln 1 2
2 0  4   4  2
2.设 f

x
 x cost
dt，求

2
f x 
dx.
0 1sin2t 0 1 f 2 x 
 f x   1  
【解析】2 dx2 df  x arctan f   arctan
0 1 f 2 x  0 1 f 2 x   2  4
  
 
3.求定积分2 ln x 1 x2 sin2 x cos2 xdx.

 
2
   
 
【解析】2 ln x 1 x2 sin2 x cos2 xdx  2 sin2 xcos2 xdx
  
 
2 2
 
 
 22 sin2 xsin4 x dx 
0 8
lnx
e
4.求定积分 dx.
1
x
e
lnx
【解析】 e dx   e lnx d  lnx    1 t dt 1
1 1
x 1
e e
531
2x3
5.求定积分 dx.
0 x2 x1
【解析】
1 2x3 1 2x14 1 1   1 4
 dx dx d x2 x1  dx
0 x2 x1 0 x2 x1 0 x2 x1 0 x2 x1
  1 1
ln x2 x1 |1 4 dx
0 0 x2 x1
1
x
4 1 1 d  x 1  4 1 arctan 2 |1 8 3 π
0  1 2  3 2  2 3 3 0 9
x   
2 2
 2  2 
2
6.求定积分 x 2xx2dx.
0
【解析】 2 x 2xx2dx  2 x 1 x1 2 dx  2 x1  1 x1 2 dx
0 0 0
 2 1 x1 2 dx 令t  x1  1 t 1t2dt 1 1t2dt 0    .
0 1 1 2 2
xsint2
1
7.已知函数 f(x) x dt ,则 f(x)dx __________．
1 t 0
1
【答案】 (cos11)．
4
xsint2
【解析】设F(x)  dt ,则
1 t
1 1 1 1 1 1 1 1
 f (x)dx  xF(x)dx   F(x)dx2 [x2F(x)]   x2dF(x)
0 0 2 0 2 0 2 0
1 1 1 1 sinx2 1 1 1 1 1
  x2F(x)dx  x2 dx  xsinx2dx cosx2  (cos11).
2 0 2 0 x 2 0 4 0 4
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考点三 分段函数定积分
1.求定积分 2  3x1  max  2,x2  dx .
2
 
8 2 2
【解析】 2  3x1  max  2,x2  dx2 2 max  2,x2  dx 2 2 2dx2 2 x2dx 
2 0 0 2 3
2
 xx2n1
2.求定积分 lim dx.
0
n1x2n1

x x2n1  x, 0 x1 2  x x2n1 17
【解析】lim  ，所以 lim dx
n1 x2n1 x2, 1 x 2 0n1 x2n1  6
π
3.求定积分 1sinxdx.
0
π π x x
【解析】 1sinxdx sin cos dx
0 0 2 2
π x x π x x  
 2cos sin dx sin cos dx 4 21 .
π
0 2 2  2 2
2
2
 x x x x
对于定积分,在不确定正负的情况下开平方,要加绝对值符号,本题中 sin cos   sin cos .
 2 2 2 2
 1 1
xex,   x

4.设 f  x    2 2 ,则 2 1 f  x1  dx ____.
1
 1, x 2
 2
【答案】
3  1 1 1 1
e 2  e2 
2 2 2
1 1
【解析】设t  x1,dx dt.当x 时,t  ;当x2时,t 1,
2 2
则 2 f  x1  dx  1 f  t  dt  1 2tetdt 1 1  dt   1 2 tdet t 1 tet 1 2  1 2 etdt 1
1 1 1 1 1 1 1 1
     2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 1  1 1  1 1 3  1 1 1 1
 e2  e 2 e2 e 2   e 2  e2 
2 2 2 2 2 2
55考点四 原函数不易求
1.设 f  x  为连续函数，证明：  xf  sinx  dx     f  sinx  dx   2 f  sinx  dx .
0 2 0 0
【解析】令I    xf  sinx  dx，则   xf  sinx  dx x t 0t  f  sint dt 
0 0 
 
  t  f  sint  dt  f  sinx  dx I
0 0
   
所以I   xf  sinx  dx   f  sinx  dx 2 f  sinx  dx
0 2 0 0
x sinxcosx
2.求定积分 dx.
0 1sin4 x
【解析】
 
x sinxcosx   sinxcosx  sinxcosx  d sin2 x 2
 dx   dx 2 dx  2 
0 1sin4 x 2 0 1sin4 x 0 1sin4 x 2 0 1sin4 x 8
3.设 f  x  满足等式xf x  f  x  2xx2 ，且 f  1 4，则 1 f  x  dx  ______.
0

【答案】填2
，
8
【解析】 1 f  x  dx  xf  x 1  1 xf x  dx  f  1  1 f  x  2x x2 dx
 
0 0 0 0
 
 4  1 f  x  dx  1 1 1 x 2 d  1 x   4  1 f  x  dx .所以  1 f  x  dx  2
0 0 0 4 0 8
4.设 f  x   x et2 dt ，求 1 x2f  x  dx.
1 0
【解析】 1 x2 f  x  dx  1  1 f  x  d  x3   1 x3f  x 1  1  1 x3f  x  dx
0 3 0 3 0 3 0
  1  1 x3ex2 dx  1 2e1 1 
3 0 6
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第六节 定积分的几何应用
考点一 求面积
1.由曲线 y  xex与直线yex所围成图形的面积S ____.
1
【答案】 e1
2
【解析】由xex ex可知x  ex e  0,则x 0或x1.故S  1 exxex  dx 1 e1.
0 2
1
2.由曲线 y  x ,x 2及 y 2所围图形的面积S  ______.
x
1
【答案】ln2
2
2
2 1  1  1
【解析】如图所示,可知所求面积为S   x 2dx  x2lnx2x  ln2 .
1 x   2  2
1
3.位于曲线 y  xex 0 x下方、x轴上方的无界图形的面积是______.
【答案】1.
  
【解析】A xexdxxex  exdx1.
0 0 0
4
4.由曲线 y  和直线yx及 y4x在第一象限中围成的平面图形的面积为______.
x
【答案】应填4ln2.
57【解析】由题意,所述的平面图形如图所示.
由定积分的几何应用知所求面积为A  1 4xx  dx 2

4 x  dx 3 4ln2 3 4ln2.
0 1  x  2 2
 
5.（数一、二）已知曲线L的极坐标方程为r sin3 0 ,则L围成有界区域的
 3
面积为______.

【答案】
12
【解析】S   π 3 1 sin23d 3 π1 sin23d  3 1  π sin2udu  1 2 π  1  π .
0 2 0 6 6 0 6 2 2 12
考点二 求旋转体体积
1.设D是由曲线 y sinx1与三条直线x0,x π,y 0围成的曲边梯形,求D绕x轴旋
转一周所生成的旋转体的体积.
π
【答案】  83π  .
2
【解析】V  π π (sinx1)2dx π π  1cos2x  2sinx1  dx π  8 3π  .
0 0 2  2
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2.在曲线 y x2 x0 上某点A处作一切线,使之与曲线以及x轴所围图形(如图)的面积为 1
,
试求：
12
（1）切点A的坐标;
（2）过切点A的切线方程;
（3）由上述所围平面图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积.
 
【解析】（1）设切点A的坐标为 a,a2 ,则过点A的切线的斜率为y'| 2a,切线方程为
xa
ya2 2a  xa  ,即y 2axa2.
a 
切线与x轴的交点为
 ,0
,曲线,x轴及切线所围图形面积为
2 
S  a x2dx a3  a3  a3  a3 .由题设S  1 ,因此a 1.于是可得(1)切点A的坐标为 1,1  ;
0 4 3 4 12 12
（2）过切点A  1,1 的切线方程为 y 2x1;
（3）旋转体的体积为V  1 (x2)2dx 1 (2x1)2dx  .
1
0 30
2
3.设平面区域D由曲线段 y  xsinx(0 x1)与x轴围成,则D绕x轴旋转所成旋转体
的体积为______.

【答案】 .
4
【解析】由旋转体体积的定积分计算公式,得
V  1 xsinx 2 dx  1  1 xsin2xd x 
0  0
1  1 
  tsin2tdt   (ttcos2t)dt
 0 2 0

1 t2 1 1  
   tsin(2t) cos  2t    .
4 4 8  4
0
594.曲线 y x1  x2 和x轴围成一平面图形,求此平面图形绕 y轴旋转一周所成的旋转
体的体积.
【解析】在  1,2  上取积分元dx,体积元dV 2x y dx.
旋转体的体积V  2 2x y dx2π 2 x  x1  x2  dx  1 π.
1 1 2
1
5.设D是由曲线 y  x3,直线xa  a0 及x轴所围成的平面图形,V ,V 分别是D绕x
x y
轴, y轴旋转一周所得旋转体的体积.若V 10V ,求a的值.
y x
5 7 7
1
【解析】V  a x 2 3dx  3a3 ,V a 7 3  a3 y6dya 7 3  a3  6a3
x 0 5 y 0 7 7
7
a
1 6a3
或V 2 xx3dx  .由V 10V ,
y 0 7 y x
7 5
6a3 3a3
即 10 ,解得a7 7.
7 5
第七节 变限积分
考点一 求变限积分表达式
x  
1.设x1,求 1 t dt.
1
【解析】当1 x0时,原式  x  1t  dt  1 (1t)2 |x  1 (1x)2;
1 2
1
2
当x0时,原式  0  1t  dt x 1t  dt 1 1 (1x)2.
1 0 2
注 当x0时, x  1 t  dt切勿写成 x  1t  dt,因为积分变量t介于-1与x之间,而当x0时,t可取
1 1
遍-1到0这一段(当然还有0到x这一段), 故正确写法如答案所示
60更懂考研,更懂你
 3
2x x2, 1 x0,

2

2.设 f  x  xex 求函数F  x  x f  t  dt的表达式.
 , 0 x1, 1
 2
 ex 1

【解析】当x1,0  时,F  x   x f  t  dt   x  2t 3 t2  dt  1 x3x2 1 ;
1 1 2  2 2
当x
0,1

时,
F  x  x f  t  dt  0 f  t  dt x f  t  dt
1 1 0
  t2  1 t3   0  x tet dt  1  xt  d   1  
 2  0 et 1 2 2 0 et 1
1
1 t x x dt 1 x x d
 et
       
2 et 1 0et 1 2 ex 1 0et et 1 
0
x
1 x x 1 1    1 x et 1 x ex 1
     d et   ln   ln ln ,
2 ex 1 0et et 1 2 ex 1 et 1 2 ex 1 ex 1 2
0
x3 1
 x2  , 1 x0,
 2 2
所以F  x 
 ex x 1
ln  ln2 , 0 x1.
 ex 1 ex 1 2
考点二 变限积分求导
1.设 f  x 为连续函数,且F  x   lnx f  t  dt ,则F x 等于（ ）.
1
x
1 1 1  1
（A） f

lnx

f   （B） f

lnx

f  
x x2 x   x
1 1 1  1
（C） f

lnx

f   （D） f

lnx

f  
x x2 x   x
【答案】（A）
61【解析】设由公式 d   x f  t  dt   f  x  x  f  x  x 知
dx  x     
1 1 1  1 1 1
F x  f  lnx   f      f  lnx  f   .
x x x2  x x2 x
d 0
2.  xcost2dt ____.
dx x2
x2
【答案】 cost2dt2x2cosx4
0
0 x2 d 0 x2
【解析】由于 xcost2dt x cost2dt,因此  xcost2dt  cost2dt2x2cosx4 .
x2 0 dx x2 0
3.设 f  x  连续,则 d  x tf  x2 t2  dt （ ）.
dx 0
       
（A）xf x2 . （B）xf x2 . （C）2xf x2 . （D）2xf x2 .
【答案】（A）
【解析】欲求 d  b  x,t  dt,唯一的办法是将含于 x,t 中的x化到之外,即中不再含x.由此可知,
dx a
本题应作变量替换x2 t2 u ,于是原式 d  0 

 1 f  u  

du 1 d  x2 f  u  du.现在x仅含于上限,
dx x2 2  2dx 0
1   d  
可按对变限积分函数求导办法求之,从而原式 f x2 x2  xf x2 ,所以应选A.
2 dx
4. d  x sin  xt 2 dt ___________.
dx 0
 
【答案】sin x2 .
【解析】 d  x sin  xt 2 dt x  tu d  0 sin  u2  du  d  x sin  u2  du sin  x2  .
dx 0 dx x dx 0
第八节 反常积分
考点一 反常积分判敛
1.下列反常积分中收敛的是（ ）.
 1 lnx
（A） dx （B） dx.
2 x 2 x
 1  x
（C） dx. （D） dx.
2 xlnx 2 ex
【答案】（D）.
62更懂考研,更懂你
x
【解析】因为 dx xdex xex exdx  x1  ex C
ex
所以  x dx x1  ex   lim  x1  3e2 3e2,  x dx收敛.
2 ex 2 x ex 2 ex
经简单计算,易知（A）,（B）,（C）均发散.
0 1 1  1 1
2.反常积分① exdx,② exdx 的敛散性为（ ）.
 x2 0 x2
（A）①收敛,②收敛. （B）①收敛,②发散.
（C）①发散,②收敛. （D）①发散,②发散.
【答案】B.
【解析】① 0 1 e 1 xdx 0 e 1 xd   1     lime 1 x  lim e 1 x    01 1 ,收敛.
 x2  x  x0 x 
 1 1  1 1  1 1 
② exdx exd  lim ex limex  ,发散.
0 x2 0 x x x0 
故选（B）.
3.下列反常积分发散的是（ ）.
（A）  xexdx （B）  xex2 dx
0 0
arctanx  x
（C） dx （D） dx
0 1x2 0 1x2
【答案】D.
   
【解析】A.  xexdx  xdex xex  exdx 1,收敛;
0 0 0 0
B.   xex2 dx  1   ex2 dx2  1 ,收敛;
0 2 0 2
arxtanx 1  2
C . dx  arctan2 x  ,收敛;
0 1 x2 2 0 8

 x 1  1 1
D. dx   d(1 x2)  ln(1 x2)  ,发散,故选D.
0 1 x2 2 0 1 x2 2
0
63考点二 反常积分计算
 1
1.求 dx.
3  x1 4 x2 2x
 1
【解析】原式  dx
3  x1 4  x1 2 1
x1sec π sectan
 2 d
π sec4tan
3
π   2 3 3
2 1sin2 cosd  .
π
3 8
3
 x
2.求 dx.
0  1x 3
b
   
 1 1 1 1 1
【解析】原式   dx lim     .
0   1x 2  1x 3  b 1x 2  1x 2  2
   
0
 dx
3.求
.
2  x7  x2
【解析】 令t  x2, 则 xt2 2,dx2tdt.当 x2 时,t 0;当 x时,t .所以原式
 b
 2tdt 2 t  π
=  lim  arctan   .
0  t2 9  t b 3 3  3
 0

4.已知 ekxdx 1则k _________.

【答案】-2.
b
  1 2
【解析】1  ekxdx2 ekxdx2 lim ekx ,又因为极限存在,所以k 0,1 ,因此k  2
 0 bk k
0
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 lnx
5.求 dx.
1  1x 2
【答案】应填ln2.
A
A lnx lnx A 1 ln A A1 1 
【解析】因为 dx  dx    dx
1 1x2 1x 1 xx1 1 A 1  x x1
1
lnA A  lnx  lnA A 
 ln ln2,所以 dx lim   ln ln2 ln2.
1A A1 1  1x 2 A 1 A A1 
 1
6.求 dx.
5 x2 4x3
 1  1
【解析】  dx dx
5 x2 4x3 5  x1  x3 
1  1 1  1 x3 ln2
    dx  ln  
2 5  x3 x1 2 x1 5 2
65第四章 微分中值定理
考点一 闭区间连续函数性质
1
1．设函数 f  x 在区间 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且 f  0  f  1 0， f   1.试证：存在
2
1 
  ,1，使 f .
2 
1 1 1 1 
【解析】（1）令 x  f  x x，    ， 1 1.因为    1 0，所以存在  ,1，
2 2 2 2 
使得0，即
f
.
2．设 f  x 在区间 a,b 上具有二阶导数，且 f  a  f  b 0，f a  f b 0，证明存在 a,b 
和
a,b
，使
f
0.
 
f x
【证明】不妨设 f a 0，f b 0，因为 f a  lim 0，所以存在0，当x a,a
xa xa
   
f x f x
时 0，即 f  x 0，取c  a,a，则有 f  c 0；因为 f b  lim 0，所以
xa 1 1 xb xb
 
f x
存在0，当x b,b 时 0，即 f  x 0，取c  b,b ，则有 f  c 0.
xb 2 2
因为 f  c  f  c 0，所以由零点定理可知，存在 c ,c  a,b ，使得 f 0.
1 2 1 2
3．设函数 f  x 在[0,)上可导， f  0 0且 lim f  x 2，证明：存在a0，使得 f  a 1.
x
【证明】方法一 取 x  f  x 1.因为 0 10 ， lim x 2110，所以存在
x
a 0,，使
a
0，从而
f

a
1.
方法二 因为 lim f  x 2，所以存在c 0，使得 f  c 1.
x
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因为 f  x 在 0,c 上可导，所以 f  x 在 0,c 上连续，又因为 f  0 1 f  c ，所以由介值定理，
存在a
0,c
，使得
f

a
1.
npsinx
4．证明：等式lim dx0.
n n x
【提示】使用第一中值定理.
npsinx sin
【证明】知lim dxlim n p 0，其中 为界于n与n p之间的某值.
n n x n  n
n
考点二 中值定理
1．若函数 f  x 在 a,b 内具有二阶导数，且 f  x  f  x  f  x ，其中
1 2 3
a x  x  x b，证明：在 x ,x 内至少有一点，使 f0.
1 2 3 1 3
【证明】由于 f  x 在 a,b 内具有二阶导数，所以 f  x 在 x ,x 上连续，在 x ,x 内可导，再根据
1 2 1 2
题意 f  x  f  x ，由罗尔定理知至少存在一点 x ,x ，使 f0；同理，在 x ,x 上对
1 2 1 1 2 1 2 3
函数 f  x 使用罗尔定理得至少存在一点  x ,x ，使 f 0；对函数 f x ，由已知条件知
2 2 3 2
f x 在,上连续，在,内可导，且 f f 0 ，由罗尔定理知至少存在一点
1 2 1 2 1 2
,，使 f0，而,
x ,x
，故结论得证.
1 2 1 2 1 2
【点评】结论为 f n0  n1 的命题的常用证明方法有两种：
（1）验证 f n1 x 满足罗尔定理条件，然后应用罗尔定理即可证明结论.
（2）验证 f n1 x 在给定区间内有极值，然后利用费马定理即可证明结论.
2．设 f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，f  a b，f  b a，a与b同号.求证：存在 a,b 
f 
使 f .

67【分析】本题证明的关键是构造辅助函数，以下用两种方法构造
f 
（1）分析法（还原法）欲证 f ，只要证f f 0，则应构造辅助函数

g

x

xf

x
，这里g
x
 xf
x

f

x

.
（2）微分方程法
f  y
欲证 f ，解微分方程 y ，得其通解为xyC.则应构造辅助函数g  x  xf  x  .
 x
【证明】 令g  x  xf  x ，则g  a af  a ab，g  b bf  b ab
由罗尔定理知，存在
a,b
使g0，即f
f
0.原题得证.
3．设函数 f  x 在 0,1 上连续， 0,1 内可导，且3 1 f  x  dx f  0 ，证明在 0,1 内存在一点c，
2
3
使 f c 0.
【证明】由积分中值定理可知，存在x 0     2 3 ,1    ，使得3 2 1 f  x  dx3 f  x 0     1 2 3     f  x 0 ，
3
从而有 f  0  f  x  .由罗尔定理可知，存在c 0,x  0,1 ，使得 f c 0.
0 0
4．设函数 f  x 在 0,3 上连续，在 0,3 内可导，且 f  0  f  1  f  2 3， f  3 1.试证：必存
在
0,3
，使 f0.
【证明】因为 f  x 在 0,2 上连续，所以 f  x 在 0,2 上取得最小值m和最大值M ，
f(0) f(1) f(2)
于是3m f  0  f  1  f  2 3M ，即m 1M .
3
由介值定理，存在c
0,2
，使得
f

c
1.
因为 f  c  f  3 1，所以由罗尔定理，存在 c,3  0,3 ，使得 f0.
方法点评：本题考查介值定理及罗尔定理.
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设 f  x 在 a,b 上连续，注意如下技巧：
（1）若出现几个函数值之和时，一般对 f  x 使用介值定理；
（2）若出现的命题且
a,b
，一般使用介值定理.
5．设a,b0， f  x 在 a,b 上连续，在 a,b 上可导，证明存在 a,b ，使得
2  f  b  f  a     b2 a2  f .
【证明】令g  x  x2，对 f  x  ,g  x 应用Cauchy中值定理，可知必存在 a,b ，使得
f

b

f

a
 f
 ，从而2  f  b  f  a     b2 a2  f .
b2 a2 2
6．设函数 f  x  在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且 f x 0 .试证存在, a,b  ，使得
f eb ea
 e .
f ba
【证明】令h  x ex，h x ex 0  a xb ，由柯西中值定理，存在 a,b ，使得
f  b  f  a  f  f  b  f  a  f 
 ，即  ，
h  b h  a  h eb ea e
f  b  f  a  eb ea f
从而   ，
ba ba e
f

b

f

a

再由拉格朗日中值定理，存在 a,b ，使得 f ，
ba
eb ea f f eb ea
即 f  ，故  e .
ba e f ba
69考点三 不等式的证明
1．证明下列不等式：
（1）当x0时，ex 1x；
x2
（2）当x0时，x ln  1x  x；
2
 x3
（3）当0 x 时，tanx x .
2 3
【证明】（1）设 f  x ex  1x ，则当x0时， f x ex 10，
所以， f  x  f  0 0  x 0 ，即ex 1x  x0  .同理可证，当x0时，ex 1x.
总之，当x0时，ex 1x.此不等式的几何意义是，曲线 yex位于曲线 y1x的上方.
如图所示.
1
（2）设 x  x， x ln  1x ，则 x 1， x  .
1x
当x0时，
x

x
，即
x

x
0，且有
0

0
0，
从而， x  x  0  0 0  x0 ，即xln  1x 0  x0  .
x2
同理可证，当x0时，x ln  1x  .
2
x2
所以，当x0时，x ln  1x  x.
2
x2
此不等式表示对数函数 y ln  1x 的图像介于抛物线 y x 和直线 y x之间 x0  .如图所
2
示.
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 x3
（3）令 f  x  tanxx ，则 f  0 0.又
 3 
1cos2 xx2cos2 x  sinxxcosx  sinxxcosx 
f x  
cos2 x cos2 x
    x3
显然有sinxxcosx0，x 0, ，故 f x 0，x 0, .从而，f  x 0，即tanx x .
 2  2 3
  x3
此不等式表示，在0, 内，曲线 y  tanx在曲线y  x 的上方.如图所示.
 2  3
1 
2．证明：当x0时，有不等式arctanx  .
x 2
1 
【证明】令 f  x arctanx  ，
x 2
1 1
由 f x   0  x0 得 f  x 在 0,内单调减少，
1x2 x2
1 
因为 lim f  x 0，所以当x0时， f  x 0，即arctanx  .
x x 2
711x arcsinx
3．证明：
1x

ln  1x 
，0 x1
.
1x arcsinx
【证明】方法一：    1 x  ln  1 x  1 x2arcsinx
1x2 ln  1x 
令 f  x  1x  ln  1x  1x2 arcsinx
xarcsinx xarcsinx
f x ln  1x 1 1ln  1x  0
1x2 1x2
所以 f  x 单调递增，故 f  x  f  0 0，命题获证.
1x arcsinx
方法二：    1 x  ln  1 x  1 x2arcsinx
1x2 ln  1x 
x
利用不等式： ln  1 x  1 x  ln  1 x  x，于是只需证：
 1x 
 
x 1x2 arcsinx，令x sint则x 1x2 arcsinxsint costt,t 0, 
 2
   
显然sint costt,t 0,   tant t,t 0, 成立，故命题获证.
 2  2
1
arcsinx arcsinxarcsin0 12 1
方法三：证明：    , 0,x 
ln  1x  ln  1x ln1 1 1
1
1 1 x 1x
于是只需  , 0,x ，令 f  x  ，则
1 1x 1x
1 2
f x    0 f  x  ，故命题获证.
1x  1x 2
2
1x
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第五章 多元函数微分学
第一节 多元函数的基本概念
考点一 二元函数的极限
x y
1.lim .
x x2 xy y2
y
【答案】0.
x y x y x y 1 1
【解析】由不等式x2  y2 2 xy 得0     ,而
x2 xy y2 x2  y2  xy xy x y
 1 1  x y
lim  0,故有lim 0.
x   x y   x x2 xy y2
y y
x2  y2
2.lim .
x x4  y4
y
【答案】0
x2  y2 x2  y2 1 1 1    1 1 1 
【解析】由不等式0      x2 y20 及lim    0.即得
x4  y4 2x2y2 2x2 y2  x 2 x2 y2 
y
x2  y2
lim 0.
x x4  y4
y
3.求下列函数的极限
 
sin xy
（1）limarcsin x2  y2; （2）lim .
x0 x0 y
y1 y0

【答案】（1） .（2）0.
2

【解析】（1）limarcsin x2  y2 arcsin1
x0 2
y1
 
sin xy xy
把xy看作整体，则limsin(xy)limxy，所以lim lim lim x0 .
（2）
x0 x0 x0 y x0 y x0
y0 y0 y0 y0
731 xy1
4.lim .
x0 xy
y0
1
【答案】
2
1
1 xy1 1 xy1  1 2  2 xy 1
【解析】lim lim lim  .
x0 xy x0 xy x0 xy 2
y0 y0 y0
1cos  x2 y2
5.lim .
x0  x2  y2 exy
y0
【答案】0
1 2
【解析】lim
1cos  x2 y2 
lim 2
x2  y2
lim 1 x2 y2  0 .
   
x0 x2  y2 exy x0 x2  y2 x0 2
y0 y0 y0
2
6.lim  1xy  y.
x2
y0
【答案】e4
ln1xy xy
【解析】lim  1xy  2 y lime 2 y ln1xy e 2l x y i   m 2 0 y e 2l x y i   m 2 0 y e4.
x2 x2
y0 y0
x
1 ysin
y y
7.设 f  x,y   ,x 0,y 0.求
1xy arctanx
（1）g  x  lim f  x,y ；
y
（2）lim g  x  .
x0
1 1x
【答案】（1）  ;（2）.
x arctanx
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 x
1 y
 
1 y 1 1x
【解析】（1）g  x  lim f  x,y  lim     .
y y 1 arctanx x arctanx
x
 
 y 
1 1x  arctanxxx2 arctanxxx2
（2）lim g  x  lim     lim  lim
x0 x0 x arctanx x0 xarctanx x0 x2
1
12x
1x2 2x2x2
 lim  lim  .
 
x0 2x x0 2 1x2
考点二 二元函数连续性
x2  y2
 ,(x,y) (0,0)
1. f  x,y x2  y2 ，判断 f  x,y 的连续性.

 0,(x,y) (0,0)
x2  y2
【解析】当 x,y  0,0 时,函数 f  x,y  连续.现考虑函数在点 0,0 处的情况：
x2  y2
x2  kx 2 1k2
令 x,y 沿ykx趋于 0,0 ,则lim f  x,y lim lim ,极限值随k的取值不同而
x0 x0 x2  kx 2 x01k2
ykx ykx ykx
不同,故极限不存在.所以 f  x,y  点 0,0 
在 处不连续.
 xy2
 ,(x,y) (0,0)
2. f  x,y x2  y2 ,判断 f  x,y 的连续性.

 0,(x,y) (0,0)
xy2
【解析】当 x,y  0,0 时,函数 f  x,y  连续.
x2  y2
现考虑函数在点
0,0
处的情况：令xrcos,yrsin,
rcos rsin2 r3cossin2
lim f  x,y lim lim limrcossin20 f  0,0  所以
x0 r0  rcos2  rsin2 r0 r2 r0
y0
f

x,y
在点
0,0
处连续.综上所述，
f

x,y
为连续函数.
75x2  y2

,x2  y2 0
3.讨论函数 f  x,y  x  y ,在 0,0 点的连续性.

0,x2  y2 0
x2  y2 x2 y2 x2 y2
【解析】由极限的夹逼准则得0      x y ,
x  y x  y x  y x y
x2  y2
因为 lim  x  y  0,所以lim 0  f  0,0 .函数 f  x,y 在 0,0 点连续.
x,y0,0 x0 x  y
y0
 1
x2sin y2

4.讨论 f  x,y    x2  y2 ,  x,y  0,0  在 0,0 点的连续性.
x2  y2

0,  x, y  0,0 

【解析】当 y 0,x0时,即动点P  x,y 沿x轴趋于 0,0 点,
1 1
x2sin y2 x2sin
lim
x2  y2
lim
x2
limsin
1
不存在,故 f  x,y 在 0,0 点不连续.
y0 x2  y2 x0 x2 x0 x2
x0
   x2  y2  ln  x2  y2  ,x2  y2 0
5.讨论 f  x,y  ,在 0,0 点的连续性.
0, x2  y2 0
xrcos
【解析】令 ,则当 x,y  0,0 时,有r  x2  y2 0.
y rsin
故 lim f  x,y  lim  x2 y2  ln  x2 y2  limr2lnr2 0  f  0,0 .
x,y0,0 x,y0,0 r0
所以 f  x,y 在点 0,0 连续.
注：当 f  x,y 的表达式中有x2  y2时，常作变换xrcos,yrsin.这样x2  y2 r2，且
 x,y  0,0 变为r 0.
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第二节 偏导数定义及其计算
考点一 偏导数定义
 xy
 ,

x,y

0,0

1.二元函数 f  x,y x2  y2 在点 0,0 处（ ）.

0,

x, y

0,0


（A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在
（C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在
【答案】C
xy k k xy
【解析】判断连续性.令 ykx,则lim  ,当k不同时, 便不同,故极限lim
x0 x2  y2 1k2 1k2 x0 x2  y2
y0 y0
不存在,因而 f  x,y 在点 0,0 处不连续.判断偏导数是否存在.根据偏导数的定义知
x0
f  0,0  lim f  0x,0  f  0,0   lim x2 0
0
0
x x0 x x0 x
.
同理, f  0,0 0可见在点 0,0 处 f  x,y 的偏导数存在.
y
2.二元函数 f  x,y 在点 x ,y 处两个偏导数 f  x ,y  , f  x ,y 存在是 f  x,y 在该点连续的
0 0 x 0 0 y 0 0
（ ）.
（A）充分条件而非必要条件
（B）必要条件而非充分条件
（C）充分必要条件
（D）既非充分也非必要条件
【答案】D
【解析】多元函数在一点上连续性与偏导数存在之间没有必然联系,即“连续”未必“偏导数存在”，“偏导
数存在”亦未必“连续”.所以应选D.
77第三节 偏导数计算
考点一 多元函数求偏导
1.求z  x3y y2sinx1在点,1 处的偏导数.
z z
【解析】把 y看作常量,对x求导得 3x2y y2cosx,把x看作常量,对 y求导得  x32ysinx.
x y
z z
将,1 代入上面的结果,就得 32 1, 3.
x x y x
y1 y1
注意，此题偏导数在该点处连续，所以直接使用求导公式求导。也可用偏导数定义求该点的偏导数，答
案一致。
2.求z exysinxy的偏导数.
z z
【解析】 exysinxy yexy cosxy; exysinxyxexy cosxy .
x y
2z 2z 2z 2z
3.设z  x3y2 2xy3xy3,求二阶偏导数 、 、 及 .
x2 yx xy y2
z z
【解析】 3x2y2 2y3 y , 2x3y6xy2x,
x y
2z 2z 2z 2z
6xy2, 6x2y6y21, 6x2y6y21, 2x312xy.
x2 yx xy y2
x 2u 2u 2u
4.设u  ，求 ， ， .
x2  y2 x2 xy y2
u 1 2xx y2 u xy
【解析】    ,  ,
x x2  y2   3   3 y   3
2 x2  y2 2 x2  y2 2 x2  y2 2
 
2u 3 2x 3xy2 2u x 3 2y x 2y2 x2
 y2  ,   xy  ,
x2 2  x2  y2  5 2  x2  y2  5 2 y2  x2  y2  3 2 2  x2  y2  5 2  x2  y2  5 2
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 
 
2u   y2  2y 3y3 y 2x2 y2
    .
 
xy y
 
3
 
3
 
5
 
5
 x2  y2 2 x2  y2 2 x2  y2 2 x2  y2 2
 
  2u 2u 2u 2
5.设u ln x2 y2z2 ,求证    .
x2 y2 z2 x2  y2 z2
 
u 2x 2u 2 y2 z2 x2
【证明】因为  ,所以  ,
x x2  y2 z2 x2  x2  y2 z2 2
   
2u 2 x2 z2  y2 2u 2 y2 x2 z2 2u 2u 2u 2
同理可得  ,  ,故    .
y2  x2  y2 z2 2 z2  x2  y2 z2 2 x2 y2 z2 x2  y2 z2
6.已知函数 f  x,y esinx cosy,则（ ）.
f f f f
A. 不存在, 存在 B. 存在, 不存在
x y x y
0,0 0,0 0,0 0,0
f f f f
C. , 均存在 D. , 均不存在
x y x y
0,0 0,0 0,0 0,0
【答案】A
【解析】由 f  x,y 的表达式可知, f  0,0 0.根据偏导数的定义,
f f  x,0  f  0,0  esinx1 sinx
lim lim esinx1 sin x lim .
x x0 x0 x0 x x0 x
0,0
sinx sinx sinx sinx sinx f
由于lim  lim 1,lim   lim 1,故lim  不存在,从而
x0 x x0 x x0 x x0 x x0 x x
0,0
不存在.
y2
f f  0,y  f  0,0  1 cosy y2
2
lim lim 1cos y  lim 0 .
y y0 y0 y0 y 2 y0 y
0,0
f f f
因此, 0.综上所述, 不存在, 存在,应选A.
y x y
0,0 0,0 0,0
797.设 f  x,y  xyex,则 f  1,x （ ）.
x
A.0； B.e； C.e  x1 ； D.1ex
【答案】C
 
 xyex
【解析】已知 f  x,y  xyex,则, f  x,y   yxy1exxyex  xy1ex  yx ,故
x x
f  1,x 1y1e1 x1 e  x1 ,故答案选C.
x
8.设 f  x,y excos  yx2  ,则 f  x,x2  （ ）.
1
（A）0； （B）ex； （C）ex； （D）ex
【答案】D
【解析】 f  x,y  excos  yx2  exsin  yx2  2x，所以， f  x,x2  ex.
1 1
9.设 f  x,y   xy sint dt ,则 2f _________.
0 1t2 x2
0,2
【答案】4
f ysinxy 2f 2sin2x  4  14x2  cos2x16xsin2x
【解析】  ,      4.
x 1 xy 2 x2
0,2
 14x2   14x2 2
x0 x0
10.设 f  u,v 有二阶连续偏导数, y  f  ex,cosx  ,则
d2y
_______.
dx2
x0
【答案】 f  1,1  f  1,1  f  1,1 
11 1 2
dy
【解析】  f  ex  f  sinx ,
dx 1 2
d2y    
 f  ex  f  sinx ex  f  ex  f  ex  f  sinx sinx f  cosx ,
dx2 11 12 1 21 22 2
d2y
故  f  1,1  f  1,1  f  1,1 .
dx2 11 1 2
x0
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第四节 全微分
1.u  xmyn，求du.
【解析】du  xm1yn1 mydxnxdy .
2.u  x2  y2 ，求du.
xdx ydy
【解析】du 
x2  y2
x y
3.z arctan ,求dz.
x y
z z ydxxdy
【解析】dz  dx dy  .
x y x2 y2
4.设二元函数z  xexy  x1  ln  1 y ,则dz  ______.
1,0
【答案】2edx e2  dy
z z x1
【解析】 exy xexy ln  1 y ,  xexy  ,
x y 1 y
z z
则 2e, e2,dz 2edx e2  dy .
x y 1,0
1,0 1,0
81第五节 隐函数的偏导计算
考点一 求多元隐函数的偏导数
z z
1.设函数z  z  x,y 由方程z e2x3z 2y确定,则3  ________.
x y
【答案】2
z  z  z 2e2x3z
【解析】对方程两边关于x求偏导数,得 e2x3z 23 ,解得  .同理,对方程两边
x  x x 13e2x3z
z  z  z 2
关于 y求偏导数,得 e2x3z  3  2,解得  ,
y  y y 13e2x3z
z z 6e2x3z 2
所以3   2.故应填2.
x y 13e2x3z
z z
2.设xcosy ycoszzcosx1,求 , .
x y
【解析】将方程xcosy ycoszzcosx1两端分别对x,y求导（其中z是x,y的函数）得
z z
cosy ysinz zsinx cosx0 ,
x x
z z z cosyzsinx z coszxsiny
xsin ycosz ysinz  cosx0 ,由此解得  ,  .
y y x ysinzcosx y ysinzcosx
x z z
3.设z  z  x,y 是由方程 ln 所确定的函数,则 _______.
z y y
z z2
【答案】 
y y  xz 
z
y z
x z y y z z2 z2
【解析】将所给方程两边对 y求导,得   ,因此  .故应填 .
z2 y z y2 y y  xz  y  xz 
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7
4.设z  z  x,y 是由方程e2yz x y2 z  确定的函数,则dz
1 1
 ______.
4  , 
2 2
1
【答案】  dxdy 
2
z F 1 z F 2ze2yz 2y
【解析】根据隐函数求导法则，   x  ，   y  ，又已知
x F 2ye2yz 1 y F 2ye2yz 1
z z
1 1
x  ，y  代入题目等式得z  0，
2 2
z 1 z 1
所以   ，   .
x 2 y 2
5.若函数z  z  x,y 由方程ex2y3z xyz 1确定,则dz ________.
0,0
1 2
【答案】应填 dx dy.
3 3
【解析】设F  x,y,z ex2y3z xyz1,则
F  x,y,z ex2y3z  yz,F  x,y,z 2ex2y3z xz,F  x,y,z 3ex2y3z xy,
x y z
且由原方程知z  0,0 0,
 
z F 0,0,0 1
从而有  x  ,
x 0,0 F
z
 0,0,0  3
 
z F 0,0,0 2 1 2
 y  ,故dz  dx dy .
y F  0,0,0  3 0,0 3 3
0,0
z
83第六节 多元函数的极值与最值
1.设函数z  f  x,y 的全微分为dz  xdx ydy,则点 0,0 （ ）.
（A）不是 f  x,y 的连续点 （B）不是 f  x,y 的极值点
（C）是 f  x,y 的极大值点 （D）是 f  x,y 的极小值点
【答案】D
z z 2z 2z 2z
【解析】由dz  xdx ydy,可得  x,  y ,A 1,B 0,C  1在点 0,0 处.
x y x2 xy y2
z z
因为 0, 0,B2 AC10,A0 ,
x y
所以 0,0 为整数z  f  x,y 的极小值点，即选项D正确.
1  1  1 1  1 1
注:dz  xdx ydy d  x2  d  y2  d  x2 y2 ,故z  x2 y2C ，其中C是任意常
2  2  2 2  2 2
数,由极值的定义可知,点
0,0
是极小值点.
2.二元函数z  xy  3x y 的极值点是（ ）
（A）
0,0
. （B）
0,3
.
（C）
3,0
 （D）
1,1
.
【答案】D
z z
【解析】  y  3x y xy 3y2xy y2, 3xx22xy ,
x y
2z 2z 2z 2z
2y, 2x,  32x
x2 y2 xy yx
z
3y2xy y2 0

x
解方程组 ,得四个驻点,
z
 3xx22xy0
y
84更懂考研,更懂你
对每个驻点验证ACB2,发现只有在点 1,1 处满足ACB2 30,且AC 20,所以

1,1
为函数的极大值点,所以应该选D.
3.求函数 f  x,y  x3  y3 3x2 3y2 9x的极值.
 f  x,y 3x2 6x90,
【解析】先解方程组 x ,求得驻点为 1,0 、 1,2 、3,0 、3,2 .
 f  x,y 3y26y 0,
y
再求出二阶偏导数 f  x,y 6x6, f  x,y 0, f  x,y 6y6.
xx xy yy
在点 1,0 处，ACB2 1260，又A0，所以函数有极小值 f  1,0 5.
在点
1,2
处，ACB2 126 0，所以
f

1,2
不是极值；
在点3,0 处，ACB2 1260，所以 f 3,0 不是极值；
在点3,2 处，ACB2 126 0，又A0所以函数在3,2 处有极大值
f
3,2 31.
4.设u  xy2z3,求在x2y3z a  x0,y 0,z 0,a 0 条件下的极值.
【解析】设wlnu lnx2ln y3lnz,F  x,y,z  w x2y3za ,
F 1
 0,

x x

 F 2
 20,
y
y a a
6
解方程组 可得x y  z  ,函数u当x y  z a时取得极大值u    .
 F 3 6 6
 30,
z
z

F
 0.

5.求 f  x,y  x2  y2 12x16y在条件D:x2  y2 25下的最值.
f 2x120,
【解析】解方程组 x 得 f 的驻点P  6,8  , f  6,8 100.
 f 2y160,
y
85不符合条件舍去，下面考虑 f  x,y 在D的边界x2  y2 25上的最值.
作拉格朗日函数L  x,y,x2 y2 12x16y  x2 y2 25  .
对L求一阶偏导数,并令它们都为零:
L 2x122x 0,
 x
L 2y162y 0,解方程组得x3,y4;x3,y4.
y

L  x2  y2 25 0,

函数 f  x,y 在区域D边界上的最大值为 f 3,4 125,最小值为 f  3,4 75.
故 f  x,y 在条件D:x2  y2 25下的最大值为 f 3,4 125,最小值为 f  3,4 75.
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第六章 二重积分
第一节 二重积分的概念和性质
考点一 二重积分的概念
n n n
1. l n i  m    ni  n2 j2  （ ）.
i1 j1
1 x 1 1 x 1
（A）  0 dx 0  1x  1 y2  dy （B） 0 dx 0  1x  1 y  dy
1 1 1 1 1 1
（C） 0 dx 0  1x  1 y  dy （D）  0 dx 0  1x  1 y2  dy
【答案】D
【解析】设D   x,y  0 x1,0 y 1  ,记 f  x,y  1 .
 1x  1 y2 
i j
用直线x x   i 1,2,,n 与y  y   j 1,2,,n 将D分成n2等份,和式
i n j n
n n 1 1 n n 1 1 n n n
  
 1x  1 y2  n2  i  j2 n2  ni  n2 j2 
i1 j1 i j i1 j1 1 1  i1 j1
 n n2 
 
是函数 f x,y 在D上的一个二重积分的和式,所以
lim n  n n   1 dxdy  1 dx 1 1 dy .
n  ni  n2 j2   1x  1 y2  0 0  1x  1 y2 
i1 j1 D
j
isin2
n 2n
2.lim n （ ）.
n n3
i1 j1
1  1 
A. B. C. D.
4 4 2 2
【答案】C
87j
isin2
【解析】lim n  2n n lim 1  n  2n i sin2 j   1 xdx 2 sin2ydy
n n3 n n2 n n 0 0
i1 j1 i1 j1
 1  2 sin2yd y    yt 1  2 sin2tdt 1   sin2tdt  2   2sin2tdt  2  1    1 .
2 0 2 0  0  0  2 2 2
考点二 二重积分的性质
 
1.利用二重积分的性质估计积分  4x2  y2 7 dxdy 的值.
x2y22
【解析】因为在积分区域D内,0 x2  y2 2,
 
所以74x2  y2 74 x2  y2 715 ,又积分区域D的面积为2,
故72   4x2 y27  dxdy152,即14   4x2 y27  dxdy30.
x2y22 x2y22
1
2.设积分区域D是以原点为中心,半径为r的圆域,则lim ex2y2 cos  xy  dxdy ____.
r0r2
D
【答案】1.
【解析】根据二重积分的中值定理,D上至少存在一点
,
,使得
ex2y2
cos

xy

dxdy
e22
cos
r2
.又当r 0时,
,
0,0

,
D
1
故lim ex2y2 cos  xy  dxdy lime22 cos 1.
r0r2 r0
D
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 1 
3.设积分区域为D   x,y   x y 1,x0,y 0 ,I  ln  x y  dxdy ,
 2 
D
J 2sinxcosydxdy,K    exy 1  dxdy ,则( ).
D D
（A）K  I  J （B）J  I  K
（C）I  K  J （D）I  J  K
【答案】D.
【解析】当  x,y D时,ln  x y 0,I  ln  x y  dxdy0 ;
D
因为区域D关于 y  x对称,所以sinxcosydxdysin ycosxdxdy,于是
D D
J 2sinxcosydxdy  sinxcosydxdysin ycosxdxdy  sin  x y  dxdy
,
D D D D
当  x,y D时,exy 1 x ysin  x y 0,则K  J 0,选D.
89第二节 二重积分的计算
考点一 直角坐标法计算二重积分
1
1.设积分区域D是由曲线 y  x ,直线 y 1及 y轴围成,则 ey2 dxdy=（ ）.
x
D
2 2 1 1
A.1 B.1 C.1 D.1
e e e e
【答案】C.
【解析】积分区域D如图,
由被积函数的特点,应选择先x后 y的积分顺序,D表为
0 y1,0 x y2,于是 1 ey2 dxdy  1 dy y2 ey2 1 dx
x 0 0 x
D
  1 ey2 2 x xy2 dy  1 2yey2 dy ey2 1 1 1 应选C.
0 x0 0 0 e
2 x x 4 2 x
2.计算二次积分 dx sin dy dx sin dy .
1 x 2y 2 x 2y
【解析】由所给二次积分作出区域D的图形(见图),再由区域D换成先对 y后对x的二次积分.
2 x x 4 2 x 2 y2 x
 dx sin dy dx sin dy  dy sin dx
1 x 2y 2 x 2y 1 y 2y
  22y cos  cos  y  dy 2  2 ycos  ydy 4  2 .
1   2 2   1 2 3
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x x
注:由于sin dx比sin dy容易积分,故应交换累次积分次序.
2y 2y
3.积分 2 dx 2 ey2 dy的值等于_______.
0 x
【答案】
1 1e4
2
【解析】这是一个二重积分的累次积分,因ey2的原函数不是初等函数,先对 y积分积不出来,所以应该
改变积分次序.原式  ey2 dxdy .由累次积分的内外层积分限确定积分区域D:0 x2,x y2,
D
2
交换积分次序,得原式  2 dy y ey2 dx  2 yey2 dy 1 ey2  1 1e4  .
0 0 0 2 2
0
考点二 二重积分的技巧性计算
 x2 y2 
1.设D:x2  y2 1,则I     dxdy ________.
 4 9 
D
13
【答案】 .
144
【解析】D关于直线 y  x对称,由轮换对称性,
 x2 y2  1  x2 y2 y2 x2 
有I     dxdy       dxdy
 4 9  2  4 9 4 9 
D D
 1  1  1    x2 y2 dxdy 1  1  1   2 d 1 r3dr 13 .
24 9 24 9 0 0 144
D
 x 
2.设积分区域D是圆环1 x2  y2 4,则 2x3 3sin 7dxdy _________.
 y 
D
【答案】21.
x
【解析】因积分区域D是圆环1 x2  y2 4,关于x轴、 y轴对称,且函数2x3及sin 分别是x,y的
y
奇函数,故将被积函数分项积分,得到
91 x  x
 2x3 3sin 7dxdy 2x3dxdy 3sin dxdy 7dxdy 007dxdy.
 y  y
D D D D D
 x 
又由二重积分的几何意义,知7dxdy 21.故 2x3 3sin 7dxdy 21.
 y 
D D
3.已知平面域D     x,y  x  y    .记I    2x2 tanxy2 dxdy ，
1
 2
D
I    x2y2tany2  dxdy, I    xy  y2  dxdy.则（ ）.
2 3
D D
（A）I  I  I （B）I  I  I
3 2 1 1 2 3
（C）I  I  I （D）I  I  I
2 1 3 3 1 2
【答案】C.
【解析】由于 tanxy2是x的奇函数,x2y是 y的奇函数,则
tanxy2dxdy 0 , x2ydxdy 0 , I
1
 2x2dxdy,I
2
 2tany2dxdy .由于积分域D关于 y  x
D D D D
I  2tany2dxdy  2tanx2dxdy  2x2dxdy  I
对称,则 ,
2 1
D D D
 
 x2  y2   x2 x2 
I  xy  y2 dxdy   y2 dxdy   x2 dxdy 2 x2dxdy  I
3  2   2  1
D D D D
则I  I  I ,故应选C.
3 1 2
 1 x2y2
4.求二重积分 y1xe2 dxdy的值，其中D是由直线 y  x,y 1及x1围成的
 
D
平面区域.
【解析】解法1：积分区城D如图所示，
 1 x2y2 1 x2y2
 y1xe2 dxdy  ydxdyxye2 dxdy ,
 
D D D
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其中 ydxdy  1 dy 1 ydx  1 y  1y  dy  2 ；
1 y 1 3
D
xye
1
2
 x2y2
dxdy  1 ydy 1 xe
1
2
 x2y2
dx  1 y

e
1
2
 1y2
e y2

dy  0,
1 y 1  
D
 1 x2y2 2
于是 y1xe2 dxdy  .
  3
D
解法2：用直线 y x,x轴与 y轴把积分区域D分成四块，分别记为D,D ,D 和D ，
1 2 3 4
如图所示：
 1 x2y2
由于被积函数关于 y是奇函数，D 与D 关于x轴对称，从而  y1xe2 dxdy 0 ，
1 2
 
DD
1 2
同理，由于 1 x2y2 关于x是奇函数，D 与D 关于 y轴对称，从而  xye
1
2
 x2y2
dxdy 0，由于 y
xye2 3 4
D D
3 4
关于x是偶函数，D 与D 关于 y轴对称，则有  ydxdy 2 ydxdy ，把这些结果代入原积分，即
3 4
D D D
3 4 3
0 y 0 2
得原式2 ydxdy2 ydy dx2 y2dy
1 0 1 3
D
3
考点三 综合类
1
1.设 f  x,y  连续, f  x,y  xxyf  u,v  dudv ,其中D由y  ,x1,x2与x轴围成,求
x
D
 
f x,y .
【解析】不妨设 f  u,v  dudv A,则 f  x,y  x Axy,故
D
 f  x,y  dxdy xdxdyAxydxdy  A  2 dx 1 x xdy A 2 dx 1 x xydy  A1 1 Aln2,
1 0 1 0 2
D D D
932 2
解得A ，因此 f  x,y  x xy .
2ln2 2ln2
2.计算二次积分I      min  x,y  e   x2y`2 dxdy .
 
【解析】
I    ey2 dy y xex2 dx  ex2 dx x yey2 dy  1   e2y2 dy 1   e2x2 dx  e2x2 dx ,
    2  2  
t 1 1   t2 2 1   1 t2 2 
令x ,dx dt ,有I   e 2dt    e 2 dt   ,
2 2 2  2 2  2 2
1   1 t2
其中  e 2 dt 1.
2 
3.计算I   x y  sgn  x y  dxdy ,其中D  x,y  0 x1,0 y1  .
D
【解析】直线 y  x将区域D分割为D 和D ,其中
1 2
D   x,y  0 y  x,0 x1  ,D   x,y  0 x y,0 y 1  .
1 2
1, x y,

于是sgn  x y  0, x y, 则

 1,x y,
I   x y  dxdy x y  dxdy   1 dx x x y  dy 1 dy y x y  dx 0.
D D 0 0 0 0
1 2
4.设 f  x  为连续函数,F  t  t dy t f  x  dx,则F 2  等于（ ）.
1 y
A.2f  2  B. f  2  C.f  2  D.0
【答案】B.
yt
【解析】利用分部积分法,F  t   t  t f  x  dx  d  y1   y1  t f  x  dx   t  y1  f  y  dy
1

y
 
y

1
y1
  t y1  f  y  dy,则F t  t1  f  t  ,F 2  f  2  ,选B.
1
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第七章 微分方程
第一节 一阶微分方程求解
考点一 可分离变量型
 
1.微分方程 ydx x2 4x dy 0的通解为______.
【答案】  x4  y4 Cx,其中C为任意常数
1 1
【解析】该方程是一个变量可分离方程,即 dy  dx,
y x2 4x
1
故ln y   ln x ln x4  C ,即  x4  y4 Cx,其中C为任意常数.
4 1
2.微分方程xy' y 0满足初始条件 y  1 2的特解为____.
【答案】xy 2
【解析】微分方程可写成xdy ydx0,
凑微分得d  xy 0,所以有通解xy C ,
代入初试条件 y

1
2,
得C 2,于是得特解xy 2.
3.微分方程2yyy2 20满足条件 y(0)1的特解为 y  ____．
【答案】 y  3ex 2
【解析】把方程变形2yyy2 20得(y2)(y2)20,即
d(y2 2)
dx y22Cex  y  Cex2
y2 2
95由初始条件y(0)1确定C 3,所以 y  3ex 2．
考点二 齐次型
dy
1.求微分方程xy  x2  y2满足 y 2e的特解.
dx xe
2
 y
1
 
dy x2  y2  x
【解析】原方程可以化为   ,
dx xy y
x
dy du
由此可见原方程是齐次微分方程.设 yux ,有 ux ,将其代入上式,得
dx dx
du 1u2 du 1 dx 1
u x   x  udu   u2 ln x C u2 lnx2 C.
dx u dx u x 2 1
将u  y 代人上式,得通解y2  x2 lnx2 C  .由初始条件y 2e,解得C  2.
x xe
于是,所求特解为 y2  x2 lnx2 2  .
2.求微分方程x2yxy  y2满足初始条件 y  1 1的特解..
y2 xy
【解析】y ,令y  xu,有xuu u2 u,xuu2 2u.
x2
du 1 1 u2 y2x
分离变量得  dx,积分得  ln u2 ln u  ln x C , Cx2,即 Cx2.
u2 2u x 2 1 u y
y2x 2x
由y  1 1,得C 1,即得所求的特解为 x2,即 y  .
y 1x2
1 1
注:上述解法是按照齐次方程求解的,若把原方程改写为 y y  y2,则是伯努利方程.
x x2
   
3.求微分方程 3x2 2xy y2 dx x2 2xy dy 0 的通解.
 
dy du y2 2xy 3x2 u2 2u 3 du 3 u2 u1
【答案】令y  xu,则  x u   ,即x  ,
dx dx x2 2xy 12u dx 2u1
解之得u2 u1Cx3 ,即 y2 xyx2 Cx1或xy2 x2yx3 C,其中C为任意常数.
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   y x2 y2  dxxdy  0  x  0  ,
4.求初值问题 的解.
y 0,

x1
【答案】原方程可化为 dy  y x2  y2 .令y xu,得ux du u 1u2 ,即 du  dx ，解得
dx x dx 1u2 x
ln  u 1u2  ln  Cx  ,其中C为任意正常数,从而u 1u2 Cx ,即 y  1 y2 Cx ,亦即
x x2
y x2 y2 Cx2. 将 y 0 代入,得 C1,故初值问题的解为 y x2  y2  x2 ,化简得
x1
1 1
y  x2  .
2 2
考点三 一阶线性微分方程
1 1
1.求微分方程 y' y  的通解(一般解).
x x  x2 1 
 
【解析】y e 1 x dx  1 e 1 x dx dxC  1   1 dxC    1  arctanxC  ,C为任意常数.
 x  x2 1   x 1x2  x
 
2.求微分方程xy' 1x  ye2x 0 x满足 y  1 0的特解.
【解析】由通解公式有 y e

1
x
x
dx


e2x
e

1
x
x
dx
dxC

,得y 
ex
 Cex
.
 x  x
再由 y  1 0,得C e.故所求特解为 y 
ex
 ex e  .
x
3.求微分方程xln  x  dy  yln  x  dx0满足条件 y| 1的特解.
xe
1 1
【解析】将原方程化为 y' y  （x0,且x 1）,由公式
 
xln x x
dx  dx 
 1  1 1 
y e Pxdx Q  x  e Pxdx C 得ye xlnx  e xlnx dxC  ln2 x C.
     
x ln x 2 
 
1 1 1 
又由 y| 1,可解出C  ,所以方程的特解是 y  ln  x  .
xe
2 2

ln

x

 
97第二节 二阶微分方程求解
考点一 二阶可降阶型微分方程（仅数一、二）
1.微分方程xy3y0的通解为__________.
C
【答案】y C  2 （C ,C 为任意常数）.
1 x2 1 2
3
【解析】这是 y f  x,y 型的可降阶微分方程.令 p  y,则 p p 0, p Cx3,
x
C C
因此,y  Cx3dx C  x2 C  2 （C ,C 为任意常数）.
1 2 1 x2 1 2
2.求微分方程 y''  x y' 2 y'满足初始条件 y  1  y'  1 1的特解.
 
【解析】令y' p,则 y'' p',原方程化为 p'

x
p2
 p,
pdxxdp  x  x
移项可得 pdxxdp p2dp,即 dp, d  dp,于是有  pC ,
p2  p p 1
dy
因 p  y'  1 1,得C 0,故 p2  x.由y'  1 1知,应取 p  x,即  x
x1 1 dx
2 3 1 2 3 1
解得 y x2 C .又由 y  1 1得C  ,故 y  x2  .
3 2 2 3 3 3
1
3.微分方程 yy y2 0满足初始条件 y 1,y  的特解是________.
x0 x0 2
【答案】y  x1
【解析】由 yy y2 0得yy 0.从而 yyC .由初始条件 y 1,y  1 ,得C  1 ,故
1 x0 x0 2 1 2
1 1
yy .即 ydy  dx.积分可得 y2  xC .
2 2 2
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考点二 二阶常系数型微分方程
1.设函数y y  x 是微分方程 y y2y 0的解,且在x0处y  x 取得极值3,则
y

x

______.
【答案】应填2ex e2x.
【解析】 y y2y 0的特征方程是2 20,
解出1, 2,
1 2
可知该方程的通解是y Cex C e2x,且 yCex 2C e2x .
1 2 1 2
代入初始条件,得C C 3,C 2C 0,
1 2 1 2
故C 2,C 1,从而 y  x 2ex e2x .
1 2
2.微分方程 y2y3y0的通解为 y __________.
【答案】y ex(c cos 2xc sin 2x),（c ,c 为任意常数）
1 2 1 2
【解析】齐次特征方程为2 230 1 2i
1,2
故通解为ex(c cos 2xc sin 2x)
1 2
3.求微分方程 y2y y  xex的通解.
1
【答案】 C C x  ex   x1  ex ，其中C ,C 为任意常数.
1 2 4 1 2
【解析】由特征方程r2 2r10,知其特征根为r 1.故对应齐次方程的通解为
1,2
y  C C  ex.
1 2
1 1
设原方程的特解为 y* ex axb  ,代入原方程可得a ,b .
4 4
1
因此,原方程的通解为 y  y y*  C C x  ex   x1  ex,其中C ,C 为任意常数.
1 2 4 1 2
994.若函数 f

x

满足方程
f
x
 f
x
2f 
x
0及 f
x

f

x
2ex
,则
f

x

__________.
【答案】应填ex
.
【解析】 f x  f x 2f  x 0对应的特征方程是2 20,
其根为 1, 2,故 f x  f x 2f  x 0的通解为 f  x Cex C e2x ,
1 2 1 2
且 f x Cex 2C e2x , f x Cex 4C e2x ,
1 2 1 2
代入 f x  f  x 2ex ,有  Cex 4C e2x  Cex C e2x 2ex ,
1 2 1 2
从而知C 1,C 0,即有 f(x)ex.
1 2
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第三节 已知解反求微分方程
考点一 已知解,反求高阶微分方程
1.设 y ex C sin  x C cos  x  （C ,C 为任意常数）为某二阶常系数齐次线性微分方
1 2 1 2
程的通解,则该方程为___________.
【答案】y2y2y0.
【解析】由通解形式可看出所对应的特征根为r 1i,从而特征方程为
1,2
r 1i r 1i  r22r20,
  
于是所求方程为y2y2y0.
2.函数 yCex C e2x xex满足的一个微分方程是（ ）.
1 2
（A）y'' y'2y 3xex （B）y'' y'2y 3xex
（C）y'' y'2y 3xex （D）y'' y'2y3ex
【答案】（D）
【解析】因为 yCex C e2x xex是二阶常系数非齐次线性方程的解,
1 2
故y Cex C e2x是对应齐次方程的通解,
1 2
y* xex是非齐次方程的特解,
从而r 1,r 2是齐次方程特征方程的根,
1 2
齐次方程应为 y'' y'2y 0,这样可排除A,B.
又a 1是特征方程的单根,故非其次项 f  x  Aex,于是选D.
101第四节 微分方程综合应用题
考点一 用导数定义构建微分方程
yx
1.已知函数 y y  x 在任意点x处的增量y  ,且当x0时,是x的高阶
1x2
无穷小,y  0 π,则y  1 等于（ ）.
（A）2π （B）π
π π
（C）e4 （D）πe4
【答案】（D）
【解析】本题并不知道具体等于什么,仅知道当x0时,是x的高阶无穷小,所以无法由公式
yx
y  x x  y  x y直接来求y  1  .但是由微分与增量的关系可知, 应是dy,从而x的系数
0 0 1x2
y
应是 y,即 y .解此微分方程得
1x2
ln  y  arctanxC ,y Cearctanx,
1
π
由y  0 π知C π,于是 y  x earctanx ,所以 y  1 earctan1 e4.
yx y
另一种方法是,由y  ,两边同除以x,再令x0取极限,得 y ,以下解法同上.
1x2 1x2
考点二 用积分方程构建微分方程
1.设 f  x 为连续函数，且满足 1 f  xt  dt  f  x  xsinx，求 f  x  .
0
【解析】由 1 f  xt  dt  f  x  xsinx，得
0
 1 f  xt  d  xt   xf  x  x2sinx，即
0
 x f  t  d  t   xf  x  x2sinx，两边求导得
0
f x  2sinx xcosx ，积分得
f  x cosx xsinxC
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2.设 f  x sin  x  x xt  f  t  dt,其中 f  x 为连续函数,求 f  x  .
0
【解析】
f  x sin  x x x f  t  dt x tf  t  dt, f '  x cos  x  x f  t  dt, f ''  x sin  x  f  x  , 即
0 0 0
f ''

x

f

x
sin 
x

.

*

这是二阶常系数非齐次线性微分方程,初始条件 y|  f  0 0,y'|  f '  0 1.
x0 x0
对应齐次方程的特解为 y C sin  x C cos  x  .非齐次方程的特解可设为
1 2
1 x
y* x  asin  x bcos  x  ,代入 *  式,得 a0,b .于是 y* cos  x  .非齐次方程的通解为
2 2
x
yC sin  x C cos  x  cos  x  .
1 2 2
1 1 x
由初始条件得C  ,C 0,从而 f  x  sin  x  cos  x  .
1 2 2 2 2
3.已知连续函数 f  x 满足条件 f  x  3x f   t  dte2x ,求 f  x  .
0 3
【解析】两端同时对x 求导,
得一阶线性微分方程
f
x
3f 
x
2e2x
,
即
f
x
3f 
x
2e2x
.记P

x
3,Q 
x
2e2x
,
解此方程,有 f

x
e Pxdx Q 
x

e
PxdxdxC 
 
e3x  2e2xe3xdxC  e3x  2exdxC 
e3x C2ex Ce3x 2e2x.
由原方程易见 f  0 1,
可得C 3.
于是 f  x 3e3x 2e2x .
103考点三 用几何关系构建微分方程
1.设对任意x0,曲线 y  f  x 上点  x, f  x  处的切线在 y 轴上的截距等于 1  x f  t  dt,求 f  x 的
x 0
一般表达式.
【解析】曲线 y  f  x 上点  x, f  x  处的切线方程为Y  f  x  f x  X x  ,
令X 0,得截距Y  f  x xf x  .
由题意,知 1  x f  t  dt  f  x xf x  ,即 x f  t  dt  x  f  x xf x  ,
x 0 0
d
上 式 对 x 求 导 , 化 简 得 xf x  f x 0 , 即   xf x   0 , 积 分 得 xf x C , 因
1
dx
此, f  x C lnxC ,其中C ,C 为任意常数.
1 2 1 2
2.设L是一条平面曲线,其上任意一点P  x,y  x0 到坐标原点的距离,恒等于该点处的切
1 
线在y轴上的截矩,且L经过点 ,0.试求曲线L的方程.
2 
【解析】设曲线L过点P  x,y 的切线方程为Y  y  y X x  ,
令X 0,则该切线在 y 轴上的截矩为 yxy.
由题设知 x2  y2  yxy,
y du dx
令u  ,则此方程可化为  ,
x 1u2 x
解之得 y x2  y2 C.
1  1 1
由L经过点 ,0,知C  .于是L的方程为 y x2  y2  ,
2  2 2
1
即 y  x2.
4
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第八章 无穷级数
第一节 常数项级数的概念和性质
1 1 1
1.讨论级数   的收敛性
12 23 n  n1 
1 1 1
【解析】u    ,
n n  n1  n n1
1 1 1  1  1 1 1 1  1
S     1          1 .
n 12 23 n  n1   2  2 3 n n1 n1
 1 
所以limS lim1

1,即题设级数收敛,其和为1.
n n n n1
 11 n
2.判定级数 的敛散性.
2n
n1
 1   1 n
【解析】因为 和



都是公比绝对值小于1的等比级数,所以都收敛,由性质“收敛±收敛=
2n  2
n1 n1
1 1
 11 n  11 n  1   1 n  2
收敛”知，级数 收敛.且S        2  2  .
2n n 2n 2n  2 1 1 3
n1 n1 n1 n1 1 1
2 2
 n
3.判定级数nln 的敛散性.
n1
n1
n 1
【解析】因为limu limnln limln 10 ,
n n n n1 n  1 n
1

 n
 n
所以级数nln 发散.
n1
n1
1054.根据级数收敛性定义,判定下列级数的敛散性.
  1
（1）ln1
;
 n
n1
 1
（2）
;
 2n1  2n1 
n1
 1
（3）
.
n1 n
n1
【解析】
（1）发散.
 1  n1 
S ln(1 )ln( )[ln(n1)lnn] ln2ln1ln3ln2ln(n1)lnn
n n n
n1 n1 n1
ln(n1)ln1ln(n1)
limS limln(n1)，所以原级数发散.
n
n n
（2）收敛.
 1 1   1 1 
S      
n (2n1)(2n1) 2 2n1 2n1
n1 n1
1 1 1 1 1 1 1 1
 (1     ) (1 )
2 3 3 5 2n1 2n1 2 2n1
1 1 1
limS lim (1 )  ，所以原级数收敛.
n n n 2 2n1 2
（3）发散.
1 ( n1 n)
u    ( n1 n)
n n1 n ( n1 n)( n1 n)
limu lim( n1 n)0，所以级数发散.
n
n n
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第二节 常数项级数的审敛法
 1
1.判别 的敛散性.
n
n1  1x3dx
0
1 1 1
【解析】用比较审敛法,   ,
 n 1x3dx  n x3dx 2 5
n2
0 0
5
 1
而 收敛,故级数收敛.
5
n1 n2
1 1 1 1
2.判别1    的敛散性.
3 5 7 2n1
1 1
提示：注意  0
2n1 2n
1 1  1  1
【解析】由于  0,且级数 发散,故级数 发散.
2n1 2n 2n 2n1
n1 n1
1 1 1
3.判别   的敛散性.
13 35  2n1  2n1 
1 1
提示：注意  0
 2n1  2n1  2n
1 1
【解析】由于  0,
 2n1  2n1  2n
 1  1
且级数 发散,故级 发散.
n1
2n
n1
 2n1  2n1 
4.讨论下面级数的敛散性.
 1  2
（1） ; （2） .
3n n lnn
n1 n2
1071 1  1
【解析】（1）由于0  ,且级数 为收敛的等比级数,
3n n 3n 3n
n1
 1
故由比较判别法可知，级数 收敛.
3n n
n1
2 2  2
（2）由于  0  n 2 ,级数 发散,
lnn n n
n1
 2
故由比较判别法可知，级数 发散.
lnn
n2
 1 n1
5.判别 的敛散性.
np
n1
提示：当 p0时，级数发散.当0 p1时，级数条件收敛.当 p1时，级数绝对收敛.
【解析】当 p0时,由于np ,故级数发散.
当 p0时,由于np 1,故级数也发散.
1
当0 p1时,由于a a 且a 0（其中a  ）,故此交错级数收敛;
n n1 n n np
 1  1 n1
但是当0 p1时,级数 发散,故此时级数 是条件收敛.
np np
n1 n1
 1  1 n1
当 p1时,由于级数 收敛,故级数 绝对收敛.
np np
n1 n1
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第三节 幂级数
 n

1.求 的收敛域.
xn
n1
1  n 
【解析】令  y,则有 nyn .显然上式右端级数的收敛半径为1.
x xn
n1 n1
1  n 
当  y 1时，  n，limn ，此时级数发散.
x xn n
n1 n1
1
因此,仅当 y  1，即x 1,,1  时,原级数收敛，
x
 n
故级数

的收敛域为
 1,,1 
.
xn
n1
 
2.已知幂级数a  x1 n在点x1处收敛,x3处发散,则a  x6 n的收敛域为________.
n n
n0 n0
【答案】(4,8].

【解析】由幂级数a  x1 n在点x1处收敛,x3处发散,
n
n0

可得a  x1 n的收敛域为3,1 .
n
n0

做变量代换u  x2,可得级数a un的收敛域为(2,2].
n
n0
 
因此,当2 x62时,a  x6 n收敛,即幂级数a  x6 n的收敛域为(4,8].
n n
n0 n0
109 3n 2 n
3.求  x1 n的收敛域.
n
n1
3n 2 n a 1 1
【解析】记a  .由于lim n1 3,故收敛半径R   ;
n n n a  3
n
 1 1  4 2
收敛区间为 1 ,1 .即  , .
 3 3  3 3
4
当x 时,
3
n n
2 2
幂级数为  3n 2 n 1 n 1  
1 n 
 3     1 n    3   .
n 3n n n n
n1 n1 n1 n1
n1
2
n  
2
3
但级数  1 n 条件收敛,而对于级数   3   ,由于lim n1  2 1,故收敛.因此,当x 4 时,
n n n 2 n 3 3
n1 n1
 
3
n
 3n 2 n
级数  x1 n条件收敛.
n
n1
n
 2

2  3n 2 n 1 n  1    3  
当x 时,幂级数为     .
3 n 3 n n
n1 n1 n1
由于上式右端第一个级数发散,第二个级数收敛,故原级数发散.
 4 2
综上，原级数的收敛域为   , 
 3 3
.
 
4.设幂级数na  x1 n的收敛区间为3,1 ,则a  x1 2n的收敛区间为_____.
n n
n1 n1
 
【答案】 1 2,1 2 .
 
【解析】由题意知,幂级数na  x1 n的收敛区间为3,1 ,所以幂级数na xn 的收敛区间为
n n
n1 n1
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 
2,2 .于是na xn 的收敛半径R 2,因为逐项积分运算不改变幂级数的收敛半径,所以a xn
n n
n1 n1
 
的收敛半径R 2,从而a  x1 2n的收敛区间内的点应满足 x1 2 2，则幂级数a  x1 2n
n n
n1 n1
 
的收敛区间为 1 2,1 2 .
  
5.若级数a 条件收敛,则x  与x 4依次为幂级数na  x2 n 的（ ）
n 2 n
n1 n1
A.收敛点,收敛点. B.收敛点,发散点.
C.发散点,收敛点. D.发散点,发散点
【答案】B.
   
【解析】由a 条件收敛知,a 收敛, a 发散,于是幂级数a xn在x1处收敛，从而由阿
n n n n
n1 n1 n1 n1

贝尔定理知,a xn的收敛半径R满足R1.
n
n1

假设R 1，则由阿贝尔定理知, a 收敛,矛盾.故假设不成立,从而R 1.
n
n1
 
幂级数a  x2 n与a xn的收敛半径相同,均为1,
n n
n1 n1

又因为逐项求导不改变收敛半径,所以na  x2 n1的收敛半径为1,
n
n1

从而na  x2 n的收敛半径为1.
n
n1

当 x2 1,即x 1,3 时,级数na  x2 n收敛;
n
n1

当 x2 1,即x,1    3,时,级数na  x2 n发散.
n
n1
  
由于1 34,故na  x2 n在x  处收敛,在x 4处发散,应选B.
2 n 2
n1
111第四节 幂级数运算
x3 x5
1.求x  的和函数.
3 5
x3 x5 1
【解析】设F  x  x  .在收敛域(1,1)内逐项求导,得F x 1x2x4 .
3 5 1x2
注意F  0 0,即得F  x   x dt  1 ln 1x  x 1  .
0 1t2 2 1x
 x2n1 1 1x
于是,当 x 1时,有  ln .
2n1 2 1x
n0
x x2 x3
2.求   的和函数.
12 23 34
x x2 x3
【解析】设F  x    ,在收敛域 x 1内逐项微分,得
12 23 34
1 x x2 1 1  x2 x3 x4 
F x      x   
12 3 4 x x2  2 3 4 
1 1
  ln  1 x   0 x 1  .
 
x x2
注意F  0 0.即得F  x   x F t  dt 1 1x ln  1x  0 x 1  ,
0 x
当x 0时,级数收敛于零,当x1时,级数收敛于1.当x1时,级数收敛于12ln2.
1 1 1  1  1 1 1 1 
事实上,    1










12 23 34  2  2 3 3 4 
 1 1 1 
2 1    112ln2 .
 2 3 4 
 1x
1 ln  1 x  , 0 x 1,

x
 xn  
于是 0, x0,
n  n1 
n1  12ln2, x1,

1, x1.
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3.求x2x2 3x3的和函数.
【解析】设F  x  x2x2 3x3 ,在收敛域内逐项积分,得 x F  t  dt  1 x2  2 x3 3 x4 
0 2 3 4
 1  1  1   1 1 1 
 1 x2 1 x3 1 x4  x2 x3x4  

x2  x3 x4 
 2  3  4 2 3 4 
 x  1xx2    x 1 x2 1 x3    x ln  1x   x 1  .
 2 3  1x

  x  x
于是,F  x nxn  ln  1x    x 1  .
 
1x   1x 2
n1
当 x 1时,由于级数的通项不趋于零,故它是发散的.
 xn1
4.求幂级数 的收敛域及和函数.
n2n
n1
 xn1
【解析】易求得 的收敛半径R 2.收敛域为2,2 .
n2n
n1
 xn1  xn
令S  x  ,xS  x 
n2n n2n
n1 n1
 
   1 x n   1 x n 1   x n1 1 1 1
  xS  x                    
n1 n2 
n1
 n2  2
n1
2 2
1
x 2 x
2
两边同时积分,得xS  x 0S  0   x dt ln  2x ln2 .
0 2t
1  x 1
当x 0时,S  x  ln1 ;当x 0时,S  0  .
x  2 2
 1  x

 ln1 ,2 x0,0 x2,
 x  2
故S  x  .
1
, x0.
2
1131
5.将函数
 1x 2
展开成x的幂级数.
1
【解析】  1x 2
 1x 2
2 21  2 21   2 n1 
12 x  x 2 x n
2! n!

 n1  xn x 1  .
n1
x
6.将函数  1x  1x2 展开成x的幂级数.
x 1 1 1 1 1 1
【解析】      
 1x  1x2  4 1x 4 1x 2  1x 2
1  1  1 
 1 n xn xn  n1  xn
4 4 2
n0 n0 n0
1   11 n
  n1  xn
2  2 
n0 
1   11 n
 n xn  x 1 
2  2 
n1 
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第九章 数学一专题
第一节 向量代数与空间解析几何
考点一 向量代数
         
1.已知a,b,c互相垂直,且 a 1,b 2, c 3,求s abc的模.
      
分析：利用a bab 0与 a  aa .
                 
2 2 2
【 解 析 】 由 a,b,c 两 两 垂 直 , 知 ab0,ac0,bc0,aa  a ,bb b ,cc c ， 知
           
    2 2 2
s  ss  abc  abc  a  b  c  12 22 32  14.
2.已知平面 :x2yz20, :2x yz190求这两平面的夹角.
1 2
 
【解析】设  , 的夹角为,  法向量为 n  1,2,1  ,  法向量为 n  2,1,1  ,所以
1 2 1 1 2 2
 
nn
1 2 12211 1 3 1 1 
cos    ,cos  ,所以这两
n   n  12 22 1 2  22 12 12 6 6 2 2 3
1 2

平面夹角为 .
3
x1 y5 z8 x y 6
3.设有直线L :   与L : ,求L 与L 的夹角.
1 1 2 1 2 2yz 3 1 2
  
i j k  
  v v 122 1
【解析】v  1,2,1  ,v  1 1 0  1,1,2 ,cos 1 2   ,
1 2 v v 6 6 2
0 2 1 1 2
 
 ,故两直线的夹角为 .
3 3
115考点二 空间解析几何
x y1 z
1.求点P  1,4,5 到直线   的距离.
1 2 1 1

【解析】解法一：直线L的方向向量v 2,1,1 ,P  0,1,0 是直线上一点,
0
    
 vPP 8i11j5k 210
PP  1,3,5 ，d   0 1    35.
0 1 v 411 6
解法二：过P点且与L垂直的平面方程是（2 x1） y4  z5 0与直线方程
1
2x yz 1

x2y2,x2z联立，得x2y20，解得x0,y 1,z 0,由两点间距离公式，得

x2z 0
d  (10)2 (41)2 (50)2  35.
x y z
2.求过点(1，2，3)且垂直于直线   且平行于平面7x8y9z100的直线方程.
4 5 6
    
【解析】设所求直线的方向向量为v,由条件知vv {4,5,6}，vn{7,8,9}，因此，
1
  
i j k
   
v 4 5 6 3i6j3k 3,6,3  {1,2,1} ,
7 8 9
x1 y2 z3
故所求直线方程为   .
1 2 1
x3y2z10
3.设有直线L: 及平面:4x2yz20,判断直线L与平
2x y10z30
面的位置关系.
  
i j k
 
【解析】设直线L的方向向量为v,知v 1 3 2 28,14,7 ,而平面的法矢量
2 1 10
 28 14 7  
n 4,2,1 ,由于   ,知v n,故直线L与平面垂直.
4 2 1
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4.V 是由平面x1,x2,z 0,y  x,z  y所围成区域,求其在xOy上的投影D.
【解析】由图可得D   x,y  0 y  x,1 x2  .
x2  y2 z2  6,
5.求曲线Г : 在点M(1,2,1)处的切线方程与法平面方程.
x yz  0,
【解析】F  x,y,z  x2  y2  z2 60,G  x,y,z  x yz 0.设曲面F  x,y,z 0的法向量
 x2yz60 
为n ，曲面 G

x,y,z
0的法向量为n
，则
1 x yz  0 2
  
n   2x,2y,2z  {x,y,z},n  x,y,z   1,2,1  ,n  1,1,1   1,1,1  .
1 1 1,2,1 2 1,2,1
  x1 2  y2  z1 0,
故切线方程为 即
x1 y2z10,
  
i j k

而切线的方向向量v 1 2 1 3,0,3  {1,0,1},
1 1 1
故法平面方程为 x1  z1 0,即xz 0.
117第二节 三重积分
考点一 三重积分的定义
 y2 z2 
1.几何体  x,y,z  x2  1 的体积为（ ）.
 4 9 
（A）16 （B）8 （C）4 （D）2
【答案】B.
3
y2 z2
【解析】V  dv   dz  dxdy ,椭圆域x2  1 化为
3 4 9

x2
y2
1
z2
4 9
x2 y2
3
z2 z2
3
 z2 
 1,则V  1 2 1 dz  4 1 dz 8,选B.
 z2  2  z2  2 3 9 9 0 9 
 1  2 1 
   
9 9
   
考点二 三重积分的性质
1.设 f(x,y,z)是连续函数,I  R   f  x,y,z  dv,则当R0时,下面说法正确的是（ ）.
x2y2z2R2
（A）I  R 是R的一阶无穷小
（B）I  R 是R的二阶无穷小
（C）I  R 是R的三阶无穷小
（D）I  R 至少是R的三阶无穷小
【答案】D.
4
【解析】由三重积分的积分中值定理,I  R   f  x,y,z  dv R3f ,,,其中
3
x2y2z2R2
4
 
R3f ,,
2 2 2  R2,于是lim I R lim 3 lim 4 f ,, 4 f  0,0,0 .
R0 R3 R0 R3 R0 3 3
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当 f  0,0,0 0时,I  R 是R的三阶无穷小;当 f  0,0,0 0,I  R 是R3的高阶无穷小.因此,选
D.
考点三 三重积分的计算
1.设:x2  y2 z2 1,z0,则  ex ey ez  dv （ ）.

 
（A）3exdv （B） 2ex ez dv
 
 
（C） 2ex ey dv （D）3ezdv
 
【答案】B.
【解析】由于积分区域关于x,y轮换对称,关于x,z(或y,z)不具有轮换对称,
   
所以exdv eydv,exdv ezdv .于是 ex ey ex dv  2ex ez dv,故而选B.
     
2.设有空间区域 :x2  y2 z2  R2,z0, :x2  y2 z2  R2,x0,y0,z0,则（ ）
1 2
（A）xdv4xdv （B） ydv 4 ydv
   
1 2 1 2
（C）zdv 4zdv （D）xyzdv 4xyzdv
   
1 2 1 2
【答案】C.
【解析】由于选项C中的被积函数 f  x,y,z  z既是x的偶函数,也是 y的偶函数,而积分域 既关于
1
yOz坐标面前后对称,又关于xOz坐标面左右对称,则zdv 4zdv.
 
1 2
对于选项A中的被积函数 f  x,y,z  x是关于x的奇函数,而积分域 关于坐标面 yOz前后对称,则
1
xdv 0;同理,对于选项B, ydv 0;对于选项D中的被积函数
 
1 1
f  x,y,z  xyz是关于x的奇函数,而积分域 关于坐标面 yOz前后对称，则xyzdv 0.
1

1
注:本题考查三重积分的(普通)对称性.
1193.设是由平面x yz 1与三个坐标平面围成的空间区域,则(x2y3z)dxdydz _____.

1
【答案】 .
4
【解析】方法一:由变量的对称性知xdxdydz  zdxdydz,2ydxdydz  2zdxdydz .
   
则 x2y3z  dxdydz 6zdxdydz
 
6 1 dx 1x dy 1xy zdz 3 1 dx 1x 1x y  2 dy
0 0 0 0 0
  1 1x  3 dx 1 .
0 4
方法二:由变量的对称性知
 x2y3z  dxdydz 6zdxdydz
 
1
6 dzzdxdy其中D
{(x,y)|x y1z,x0,y0}
0 z
D
z
6 1 z 1  1z 2 dz 1 .
0 2 4
4.计算三重积分 xz  dv,其中是由曲面z  x2  y2 与z  1x2 y2 所围成的区域.

【解析】由关于 yOz坐标面对称,直接可知xdv0.利用球面坐标，

2  1 1  1 
有zdv  d4d rcosr2sindr  2 sin24  ,
0 0 0 2 0 4 8


所以 xz  dv .
8

第三节 多元函数与重积分的应用
考点一 方向导数与梯度
 
1.函数u ln x y2 z2 在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,2,2)方向的方向导数为________.
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1
【答案】 .
2
u 1 1 u 1 y
【解析】因为   ,    0,
x x y2z2 2 y x y2z2 y2z2
A 1,0,1 A 1,0,1
u 1 z 1  2 2 1
   ,而AB的单位向量为 , , ,故所求的方向导数为
z x y2z2 y2z2 2 3 3 3
A 1,0,1
u 1 2  2 1 1 1
   0       .
AB 2 3  3 2 3 2
A
2.函数u ln(x2  y2 z2)在点M(1,2,2)处的梯度grad u _______.
M
2
【答案】 (1,2,2).
9
u u  u 
【解析】直接根据梯度公式grad u  i j k 计算即可.因为
x y z
u 2x u 2y u 2z
 ,  ,  ,
x x2 y2z2 y x2 y2z2 z x2 y2z2
2 4 4  2
于是有grad u  i j k  (1,2,2) .
M 9 9 9 9
考点二 求曲面的面积
a a
1.求球面x2  y2 z2 a2(a0)被平面z  与z  所夹部分的面积。
4 2
a
【解析】如图所示,球面x2  y2 z2 a2与平面z  .
2
121 2
 3 
x2  y2 z2 a2 x2  y2  a
z  a 的交线分别为   a      2   ,
4 z   a
 2 z 
 2
 2
 15 
x2  y2 z2 a2 x2  y2  a
  a      4   .
z   a
 4 z 
 4
x y
上半球面方程:z  a2x2 y2 ,z   ,z   .
x y
a2 x2  y2 a2 x2  y2
由于对称性,只要算出第一卦限的面积再四倍之即可,
 2  2 a
S 4 1 z   z  dxdy 4 dxdy
x y
a2 x2  y2
D D
xy xy
4  2d 1 4 5 a a d2a   a2 2  1 4 5  1 a2.
0 3 a a2 2 3 a 2
2 2
考点三 求质心(形心)
1.求位于两圆2sin和4sin之间的均匀薄片的质心如图.
 
【解析】因为闭区域D对称于y轴,所以质心C x,y 必位于 y轴上,于是x0.再按公式
1
y  yd计算 y.由于闭区域D位于半径为1与半径为2的两圆之间,所以它的面积等于这两个圆
A
D
的面积之差,即A3.再利用极坐标计算积分
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 4sin
yd2sindd sind 2d
0 2sin
D D
56 
  sin4d7.
3 0
7 7  7
因此 y   .所求质心是C0, .
3 3  3
考点四 转动惯量
1.求密度为的均匀球对于过球心的一条轴l的转动惯量.
【解析】取球心为坐标原点,z轴与轴l重合,又设球的半径为a,则球所占空间闭区域
  x,y,z  x2 y2 z2  a2  .所求转动惯量即球对于z轴的转动惯量为
 
I   x2 y2 dv
2

 
 r2sin2cos2r2sin2sin2r2sindrdd
'
2  a
r4sin3drdd d sin3d r4dr
0 0 0
'
a5  2 4 2 4
2  sin3d a5  a2M ,其中M  a3为球的质量.
5 0 5 3 5 3
第四节 第一型曲线积分
1.设平面曲线L为下半圆 y  1x2 ,则曲线积分  x2  y2 ds_________.
L
【答案】.
 xcos  t  ,
【解析】解法一:下半圆 y  1x2 的参数方程为 t 2.则
 ysin  t  ,
123  x2  y2  ds  2 cos2  t sin2  t   sin  t 2 cos2 t  dt .
L 
解法二:由于下半圆的点 x,y 满足x2  y2 1,则  x2  y2 ds   1ds .
L L
2.设l为椭圆
x2

y2
1,其周长为a,则  2xy3x2 4y2 ds________.
4 3 l
【答案】12a.
【解析】以l的方程3x2 4y2 12代入,得
  2xy3x2 4y2 ds  2xy12  ds2 xyds12 ds.
l l l l
其中第一部分由普通对称性知2 xyds 0;第二部分 ds a,故知应填12a.
l l
3.已知曲线L:y  x2(0 x 2),则 xds______.
L
13
【答案】 .
6
【解析】 xds  2 x 1 2x 2 dx
L 0
2
 1  2 14x2d  4x2 1   1  14x2 3 2  13 .
8 0 12 6
0
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第五节 第二型曲线积分
考点一 平面第二型曲线积分
1.设曲线积分 xy2dx y x  dy与路径无关,其中 x 具有连续的导数,且 0 0.计算
C

1,1
xy2dx y x  dy的值.
0,0
P Q
【解析】由P  x,y  xy2,Q  x,y  y x  ,  ,得2xy  y x  , x  x2 C.再由
y x
 0 0,得C 0,故 x  x2.
所以
1,1
xy2dx y x  dy  
1,1
xy2dx yx2dy.
0,0 0,0
沿直线y  x从点 0,0 到点 1,1 积分,得 1,1 xy2dx y x  dy  1 2x3dx  1 .
0,0 0 2
2.设L为正向（逆时针）圆周x2  y2 2在第一象限中的部分,则曲线积分 xdy2ydx的值为___.
L
3
【答案】 .
2
 x  2cost  
【解析】由于L的参数方程为 ,t:0 ,(表示从0到 ,下同),所以
y  2sint 2 2
 xdy2ydx   2  2cos2t4sin2t  dt 2  2  1sin2t  dt  3 .
L 0 0 2
3.计算曲线积分 sin2xdx2  x2 1  ydy,其中L是曲线y sinx上从点 0,0 到点,0 的一段.
L
【解析】将曲线L的方程代入计算.
 sin2xdx2  x2 1  ydy    sin2x2  x21  sinxcosxdx
 
L 0
   x2sin2xdx 1 x2cos2x   1   2xcos2xdx  1 2  1 xsin2x   1   sin2xdx 1 2.
0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2
注:本题还可以采用“补线法”求解.
125考点二 空间第二型曲线积分
1.设L是柱面x2  y2 1与平面z  x y的交线,从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向,则曲线积
y2
分 xzdxxdy dz  __________.
L 2
【答案】.
xcost
 y2
【解析】将L的方程化为参数形式ysint  0t 2则 xzdxxdy dz
 L 2
z costsint
 
2
cost costsint sint costcost
1
sin2t sintcost 

dt
 
0  2 
2 21cos2t
  cos2tdt  dt.
0 0 2
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第六节 第一型曲面积分
1.设S:x2  y2 z2 a2(z0),S 为S 在第一卦限中的部分,则有（ ）.
1
（A）xdS 4xdS （B） ydS 4xdS
S S S S
1 1
（C）zdS 4xdS （D）xyzdS 4xyzdS
S S S S
1 1
【答案】C.
【解析】注意到S 为球面z 0的部分,所以在S 上x与 y轮换对称,故A与B两个选项是一样的.A的
左边,被积函数是x的奇函数,S 又关于 yOz平面对称,故xdS 0,而右边xdS 0,所以A,B都
S S
1
是错误的.绝大部分考生的确不选A和B.至于C和D,被考生选的几乎各占一半.其实应该选C,
理由如下:由于S 关于 yOz平面和xOz平面都对称,故zdS 4zdS ,这是容易想到的.再一层,在
S S
1
S 上,x与z为轮换对称,所以zdS xdS ,故知C正确.
1
S S
1 1
至于D,很多考生误选的原因恐怕在于:认为xyzdS 的被积函数xyz既是x的奇函数,又是 y的奇函
S
数,就误认为xyz是“偶函数”,这是不正确的.不能对两个变量的函数混在一起谈奇偶性.事实上,对于
固定的y和z,xyz为x的奇函数,而区域S 关于 yOz平面对称,所以xyzdS 0,而右边
S
xyzdS 0,所以D错误.
S
1
读者可以看到以上分析仍归结到一元的对称性与奇偶性上去.类似的题目也可以在第一型曲线积分、第
二型曲线积分或第二型曲面积分上出现,应引起考试注意.
2.设  x,y,z  x y z1,x0,y0,z0  ,则 y2dS ________.

3
【答案】 .
12
【解析】记D   x,y  x y 1,x0, y 0  ,
则 y2dS   y2 3dxdy  3 1 dy 1y y2dx 3 1 y2 1 y  dy  3 .
0 0 0 12
 D
127第七节 第二型曲面积分
1.计算曲面积分 xzdxdyxydydz yzdzdx,其中是平面x0,y 0,z 0,

x yz 1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧.
【解析】如图所示,
    ,
1 2 3 4
故 xzdxdy  
    
1 2 3 4
000xzdxdy x  1x y  dxdy
 D
4 xy
  1 xdx 1x 1x y  dy 1 .
0 0 24
1 1
由积分变量的循环对称性可知xzdxdyxydydz yzdzdx  3  .
24 8

2.设是圆柱面x2  y2 1与平面z 0,z 3所围成的封闭曲面的外侧,则曲面积分
  x y  dxdyx  yz  dydz _______.

9
【答案】 .
2
【解析】设曲面所围的空间区域为,则由高斯公式有
  x y  dxdyx  yz  dydz   yz  dV
 
  2 d 1 rdr 3 rsinz  dz  2 d 1 r  3rsin 9 dr
0 0 0 0 0  2
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2 9 9 9
  sin d .故应填 .
0  4 2 2
3.计算曲面积分 x1  dydz2cosydzdx3dxdy,其中S 由曲面z  x2  y2 与z 3围成的封闭
S
曲面的外侧.
【解析】如图所示,
记S 所围成的区域为,由高斯公式得
 x1  dydz2cosydzdx3dxdy
S
  12sin y  dxdydz dxdydz2sin ydxdydz
  
1
 dxdydz 332 9.
3

129第八节 傅里叶级数
 1
1.将 f  x  x2在(0,)上展为余弦级数,并求级数 的和.
 2n1 2
n1
【解析】将函数 f  x 偶延拓,则有b 0,a  2   x2dx  2 2.
n 0  0 3

a  2   x2cosnxdx 2  x2 sinnx 2x cosnx 2 sinnx    4 1 n ,
n  0  n n2 n3  n2
0
2  1 n
故 4 cosnx x2 0 x.
3 n2
n1
 1 n1 2  1 2
在x0处,级数收敛于0,所以  ,在x处,级数收敛于2,所以  ,因此
n2 12 n2 6
n1 n1
 1 12 2  2
     .
 2n1 2 212 6  8
n1

2.设x2 a cosnx  x,则a ________.
n 2
n0
【答案】1.
【解析】根据余弦级数的系数计算公式,有
a  2   x2cos2xdx  1   x2d  sin2x  1  x2sin2x    sin2x 2xdx 
2  0  0  0 0
 1   xd  cos2x  1  xcos2x    cos2xdx  1.故应填1.
 0  0 0
130