(2.3.20)--高数-第八章无穷级数._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

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第八章 无穷级数章节测试答案
一．选择题，每题 5 分，共 25 分.
   1 1 
1.设级数a 发散 a 0 ，令S a a a ，则   （ ）
n1 n n n 1 2 n n1 S n S n1 
1
A.发散 B.收敛于 C.收敛于0 D.敛散性不确定
a
1
【答案】B

【解析】因为正项级数a 发散，所以limS ，
n n n
n1
 1 1   1 1   1 1  1 1
令S        
n S S  S S  S S  S S
1 2 2 3 n n1 1 n1
1 1
因为limS   ，所以选B.
n n S a
1 1
 1 
2.设u 1 n ln1  ，则( )
n
 n
   
A.
u 与u2都收敛
B.
u 与u2都发散
n n n n
n1 n1 n1 n1
   
C.
u 收敛，而u2发散
D.
u 发散，而u2收敛
n n n n
n1 n1 n1 n1
【答案】C

【解析】由交错级数审敛法u 收敛，
n
n1
 1  1 
而n时，u2 ln2 1 ~ 所以u2发散，选C.
n  n n n
n1
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 kn
3.设常数k 0，则级数1 n （ ）
n2
n1
A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.敛散性与k有关
【答案】C
【解析】因为1 n kn 1 n k  1 n ，而  1 n k 绝对收敛，  1 n 条
n2 n2 n n1
n2
n1 n
 kn
件收敛，所以1 n 条件收敛，选C.
n2
n1
4.下列说法正确的是( )
  
A.若级数u 与v 都发散，则 u v 一定发散
n n n n
n1 n1 n1
  
B.若级数u 与v 都发散，则u v 一定发散
n n n n
n1 n1 n1
 
C.若u 收敛，则u2一定收敛
n n
n1 n1
  
D.若级数u 与v 一个收敛一个发散，则 u v 一定发散
n n n n
n1 n1 n1
【答案】D
1 1 1 1   
【解析】令u   ,v   ，显然u 与v 都发散，但 u v 收
n n2 n n n2 n n n n n
n1 n1 n1
敛，A不对;
1   
令u v  ，显然u 与v 都发散，但u v 收敛，B 不对;
n n n n n n n
n1 n1 n1
1 n    1
令u  ，显然u 收敛，但u2  发散，C 不对;
n n n n
n n1 n1 n1
    
若u 收敛，且 u v 收敛，则v 一定收敛，若v 与 u v 收敛，
n n n n n n n
n1 n1 n1 n1 n1
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   
则u 收敛，故若u 与v 一个收敛另一个发散，则 u v 一定发散，
n n n n n
n1 n1 n1 n1
选D.
a 
5.设lim n1 2，则级数a x2n1的收敛半径为( )
n a n
n n1
1 1
A.1 B. C. 2 D.
2 2
【答案】D
a x2n3 1  1
【解析】lim n1 2 x 2，当 x  时，级数a x2n1绝对收敛;当 x 
n a x2n1 2 n 2
n n1
 1
时，级数a x2n1发散，故其收敛半径为 ，故选D.
n
2
n1
二．填空题，每题 5 分，共 25 分.
 xn
6.级数 的收敛域为_______，和函数为_______.
n2n
n1
 x
【答案】[2,2);ln1

2 x2 
 2
a 1
【解析】由lim n1  ，得收敛半径为R 2，当x2时级数收敛，当x2时
n a 2
n
 xn  xn
级数发散，故级数 的收敛域为[2,2).令S  x  ，则
n2n n2n
n1 n1
n
 x
 
 2  x
S  x  ln1  2 x 2  .
n  2
n1
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 n
7.幂级数
 x2n1
的收敛半径为_______.
2n 3 n
n1
【答案】 3
n1
a 2n13 n1 n1 2n 3 n 1
【解析】由lim n1 lim lim   ，得R  3.
n a n n n n 2n13 n1 3
n
2n 3 n

8.已知幂级数a  x2 n 在x0处收敛，在x4处发散，则幂级数
n
n0

a  x3 n 的收敛域为_______.
n
n0
【答案】(1,5]
 
【解析】因幂级数a  x2 n 在x0处收敛，在x4处发散，故幂级数a tn
n n
n0 n0

在t 2处收敛，在t 2处发散，由阿贝尔定理有幂级数a tn 在 t  2 时绝对
n
n0

收敛，在 t  2 时发散，从而a tn 的收敛区间为2,2 ，收敛域为2,2  .令
n
n0

t  x3，则a  x3 n 的收敛域为2 x32，即1 x5，故所求收敛域
n
n0
为(1,5].

9.幂级数1 n1 nxn1在(1,1)内的和函数S  x _______.
n1
1
【答案】
 x1 2
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 
     x  1
【解析】S  x 1 n1 nxn1  1 n1 xn      ,x(1,1)
  1x  1x 2
n1 n1
  ln3 n
10.级数 的和为_______.
2n
n0
2
【答案】
2ln3
 1 ln3 ln3
【解析】由xn  1 x1 ，令x ，易知1 1，
1x 2 2
n0
  ln3 n 1 2
从而  
.
2n ln3 2ln3
n0 1
2
三．解答题，每题 10 分，共 50 分.
 n1
11.求幂级数 xn的和函数.
n!
n0
 n1
【解析】幂级数 xn的收敛半径为R ，收敛区间为,
.
n!
n0
 n1  n  1  1
令S  x  xn，则S  x  xn xn  xnex
n! n! n!  n1  !
n0 n0 n0 n1
 1
 x xn1ex   x1  ex  x
 n1  !
n1
12.将 f  x arctanx展开成x的幂级数
 1 n
【答案】arctanx x2n11 x1 
2n1
n0
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1 
【解析】 f x   1 n x2n1 x1  ,f  0  0
1x2
n0
得 f  x  f  x  f  0   x f  x  dx  x   1 n x2n  dx ，由逐项可积性得
 
0 0  
n0
 1 n
f  x  x2n1 ，显然x1时级数收敛，所以
2n1
n0
 1 n
arctanx x2n11 x1 .
2n1
n0
 n
13.求幂级数 xn1的和函数.
4n
n1
4
【答案】S  x  ,x4,4 
 4x 2
u 1
【解析】由lim n1  得收敛半径为R 4，当x4时，因为n时，
n u 4
n
n
4 n1  ，所以幂级数的收敛域为4,4  .
4n

 

 n   x n  1  4
S  x  xn1       ,x 4,4 .
n1 4n n1 4n  1 x   4x 2
 4
1
14.将 f  x  展开成x2的幂级数，
x2
1  n 1 n1
【答案】 f  x    x2 n1 0 x 4 
x2 2n1
n1
【解析】
1 1 1 1 1   x2  n  1 n
   1 n      x 2 n  0 x 4 
x 2 x2  2 x2 2  2  2n1
1 n0 n0
2
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1  n 1 n 1  n 1 n1
得   x2 n1，于是 f  x    x2 n1 0 x 4 .
x2 2n1 x2 2n1
n1 n1
 22n1
15.求幂级数1 n1 x2n1的和函数.
2n1
n1
u 1
【解析】由lim n1 4，得幂级数的收敛半径为R  .
n u 2
n
1  22n1  1 2n1  1 n1
当 x 时，1 n1



 收敛，故级数的收敛域为
2 2n1 2 2n1
n1 n1
 1 1
  , .
 2 2
令S  x   1 n1 22n1 x2n1，则 S x 2   4x2 n1  2 ，又S  0 0
2n1 14x2
n1 n1
所以S  x   x S x  dx  arctan2x  x    1 , 1   .
0   2 2
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