(2.3.20)--高数-第八章无穷级数._05.2026考研数学研途—杨超数学全程班_00.书籍和讲义_{0}--全部课件_已加水印

更懂考研,更懂你 第八章 无穷级数章节测试答案 一．选择题，每题 5 分，共 25 分.    1 1  1.设级数a 发散 a 0 ，令S a a a ，则   （ ） n1 n n n 1 2 n n1 S n S n1  1 A.发散 B.收敛于 C.收敛于0 D.敛散性不确定 a 1 【答案】B  【解析】因为正项级数a 发散，所以limS ， n n n n1  1 1   1 1   1 1  1 1 令S         n S S  S S  S S  S S 1 2 2 3 n n1 1 n1 1 1 因为limS   ，所以选B. n n S a 1 1  1  2.设u 1 n ln1  ，则( ) n  n     A. u 与u2都收敛 B. u 与u2都发散 n n n n n1 n1 n1 n1     C. u 收敛，而u2发散 D. u 发散，而u2收敛 n n n n n1 n1 n1 n1 【答案】C  【解析】由交错级数审敛法u 收敛， n n1  1  1  而n时，u2 ln2 1 ~ 所以u2发散，选C. n  n n n n1 内部资料,翻印必究 1更懂考研,更懂你  kn 3.设常数k 0，则级数1 n （ ） n2 n1 A.发散 B.绝对收敛 C.条件收敛 D.敛散性与k有关 【答案】C 【解析】因为1 n kn 1 n k  1 n ，而  1 n k 绝对收敛，  1 n 条 n2 n2 n n1 n2 n1 n  kn 件收敛，所以1 n 条件收敛，选C. n2 n1 4.下列说法正确的是( )    A.若级数u 与v 都发散，则 u v 一定发散 n n n n n1 n1 n1    B.若级数u 与v 都发散，则u v 一定发散 n n n n n1 n1 n1   C.若u 收敛，则u2一定收敛 n n n1 n1    D.若级数u 与v 一个收敛一个发散，则 u v 一定发散 n n n n n1 n1 n1 【答案】D 1 1 1 1    【解析】令u   ,v   ，显然u 与v 都发散，但 u v 收 n n2 n n n2 n n n n n n1 n1 n1 敛，A不对; 1    令u v  ，显然u 与v 都发散，但u v 收敛，B 不对; n n n n n n n n1 n1 n1 1 n    1 令u  ，显然u 收敛，但u2  发散，C 不对; n n n n n n1 n1 n1      若u 收敛，且 u v 收敛，则v 一定收敛，若v 与 u v 收敛， n n n n n n n n1 n1 n1 n1 n1 内部资料,翻印必究 2更懂考研,更懂你     则u 收敛，故若u 与v 一个收敛另一个发散，则 u v 一定发散， n n n n n n1 n1 n1 n1 选D. a  5.设lim n1 2，则级数a x2n1的收敛半径为( ) n a n n n1 1 1 A.1 B. C. 2 D. 2 2 【答案】D a x2n3 1  1 【解析】lim n1 2 x 2，当 x  时，级数a x2n1绝对收敛;当 x  n a x2n1 2 n 2 n n1  1 时，级数a x2n1发散，故其收敛半径为 ，故选D. n 2 n1 二．填空题，每题 5 分，共 25 分.  xn 6.级数 的收敛域为_______，和函数为_______. n2n n1  x 【答案】[2,2);ln1  2 x2   2 a 1 【解析】由lim n1  ，得收敛半径为R 2，当x2时级数收敛，当x2时 n a 2 n  xn  xn 级数发散，故级数 的收敛域为[2,2).令S  x  ，则 n2n n2n n1 n1 n  x    2  x S  x  ln1  2 x 2  . n  2 n1 内部资料,翻印必究 3更懂考研,更懂你  n 7.幂级数  x2n1 的收敛半径为_______. 2n 3 n n1 【答案】 3 n1 a 2n13 n1 n1 2n 3 n 1 【解析】由lim n1 lim lim   ，得R  3. n a n n n n 2n13 n1 3 n 2n 3 n  8.已知幂级数a  x2 n 在x0处收敛，在x4处发散，则幂级数 n n0  a  x3 n 的收敛域为_______. n n0 【答案】(1,5]   【解析】因幂级数a  x2 n 在x0处收敛，在x4处发散，故幂级数a tn n n n0 n0  在t 2处收敛，在t 2处发散，由阿贝尔定理有幂级数a tn 在 t  2 时绝对 n n0  收敛，在 t  2 时发散，从而a tn 的收敛区间为2,2 ，收敛域为2,2  .令 n n0  t  x3，则a  x3 n 的收敛域为2 x32，即1 x5，故所求收敛域 n n0 为(1,5].  9.幂级数1 n1 nxn1在(1,1)内的和函数S  x _______. n1 1 【答案】  x1 2 内部资料,翻印必究 4更懂考研,更懂你        x  1 【解析】S  x 1 n1 nxn1  1 n1 xn      ,x(1,1)   1x  1x 2 n1 n1   ln3 n 10.级数 的和为_______. 2n n0 2 【答案】 2ln3  1 ln3 ln3 【解析】由xn  1 x1 ，令x ，易知1 1， 1x 2 2 n0   ln3 n 1 2 从而   . 2n ln3 2ln3 n0 1 2 三．解答题，每题 10 分，共 50 分.  n1 11.求幂级数 xn的和函数. n! n0  n1 【解析】幂级数 xn的收敛半径为R ，收敛区间为, . n! n0  n1  n  1  1 令S  x  xn，则S  x  xn xn  xnex n! n! n!  n1  ! n0 n0 n0 n1  1  x xn1ex   x1  ex  x  n1  ! n1 12.将 f  x arctanx展开成x的幂级数  1 n 【答案】arctanx x2n11 x1  2n1 n0 内部资料,翻印必究 5更懂考研,更懂你 1  【解析】 f x   1 n x2n1 x1  ,f  0  0 1x2 n0 得 f  x  f  x  f  0   x f  x  dx  x   1 n x2n  dx ，由逐项可积性得   0 0   n0  1 n f  x  x2n1 ，显然x1时级数收敛，所以 2n1 n0  1 n arctanx x2n11 x1 . 2n1 n0  n 13.求幂级数 xn1的和函数. 4n n1 4 【答案】S  x  ,x4,4   4x 2 u 1 【解析】由lim n1  得收敛半径为R 4，当x4时，因为n时， n u 4 n n 4 n1  ，所以幂级数的收敛域为4,4  . 4n      n   x n  1  4 S  x  xn1       ,x 4,4 . n1 4n n1 4n  1 x   4x 2  4 1 14.将 f  x  展开成x2的幂级数， x2 1  n 1 n1 【答案】 f  x    x2 n1 0 x 4  x2 2n1 n1 【解析】 1 1 1 1 1   x2  n  1 n    1 n      x 2 n  0 x 4  x 2 x2  2 x2 2  2  2n1 1 n0 n0 2 内部资料,翻印必究 6更懂考研,更懂你 1  n 1 n 1  n 1 n1 得   x2 n1，于是 f  x    x2 n1 0 x 4 . x2 2n1 x2 2n1 n1 n1  22n1 15.求幂级数1 n1 x2n1的和函数. 2n1 n1 u 1 【解析】由lim n1 4，得幂级数的收敛半径为R  . n u 2 n 1  22n1  1 2n1  1 n1 当 x 时，1 n1     收敛，故级数的收敛域为 2 2n1 2 2n1 n1 n1  1 1   , .  2 2 令S  x   1 n1 22n1 x2n1，则 S x 2   4x2 n1  2 ，又S  0 0 2n1 14x2 n1 n1 所以S  x   x S x  dx  arctan2x  x    1 , 1   . 0   2 2 内部资料,翻印必究 7