高数9-2综合测试_考研_数学_04.武忠祥_25武忠祥《学习包》答案_02.强化班学习包_00.高数学习包习题汇总

公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 曲面积分及多元积分学应用 1.设 f(x,y,z)= x2 + y2 +z2 ，则div(gradf) =__________． (1,−2,2) 2.向量场A(x,y,z)=(x+y+z)i+xyj+zk的旋度rotA=__________． 3.设球体x2 + y2 +z2  z上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此 球的质心的z坐标为__________． 4.设为球面x2 +y2 +z2 =2ax(a0)，则面积分 ( x2 + y2 +z2) dS =__________．  y3i−x3j 5.在力场F = 的作用下，一质点沿圆周x2 + y2 =1逆时针运动一圈所做的 x2 + y2 功为 π 3π （A） ． （B） ． 2 2 π 3π （C）− ． （D）− ． 2 2 k 6.（88-1）设位于点(0,1)的质点A对质点M 的引力大小为 （k 0为常数，r r2 为质点 A与M 之间的距离），质点M 沿曲线 y = 2x−x2 自B (2,0)运动到O (0,0).求在此运动过程中质点A对质点M 的引力所做的功. - 1 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 x2 y2 7.（99-1）设S为椭球面 + +z2 =1的上半部分，点P(x,y,z)S ，为S在 2 2 z 点P处的切平面，(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面的距离，求 dS. (x,y,z) S 8.（01-1）设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程 2(x2 + y2) z =h(t)− h(t) (设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减小的速率 与侧面积成正比(比例系数0.9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多少小时？ 9.（87-1）计算曲面积分I =x(8y+1)dydz+2(1− y2)dzdx−4yzdxdy，其中是  - 2 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 z = y−1， 曲线 (1 y3)绕 y轴旋转一周所成的曲面，它的法向量与 y轴正向 x=0  的夹角恒大于 . 2 10.（89-1）设空间区域由曲面z =a2 −x2 −y2与平面z=0围成，其中a为正 常 数 . 记  表 面 的 外 侧 为 S ，  的 体 积 为 V . 证 明 ：  x2yz2dydz−xy2z2dzdx+z(1+xyz)dxdy =V . S - 3 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 I =(x3+az2)dydz+(y3+ax2)dzdx+(z3+ay2)dxdy 11（. 92-1）计算曲面积分  ，其中 为上半球面z = a2 −x2 − y2 的上侧. 12.（92-1）在变力F = yzi+zxj+xyk的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球 x2 y2 z2 面 + + =1上第一卦限的点M(,,)，问,,取何值时，力F所做的 a2 b2 c2 功W 最大?并求出W 的最大值. - 4 -「公众号：研池大叔，免费分享」公众号：研池大叔 免费分享考研课程＆书籍 13.（00-1）设对于半空间 x0 内任意的光滑有向封闭曲面 S ，都有  xf(x)dydz−xyf(x)dzdx−e2xzdxdy =0,其中函数 f(x)在(0, +)内具有连续的一 S 阶导数，且lim f(x)=1,求 f(x). x→0+ 14.（02-1）设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面，其底部所占的 D={(x,y) x2 + y2 −xy75} h(x,y)=75−x2 −y2 +xy 区域为 ，小山的高度函数为 . （I）设M(x ,y )为区域D上的一点，问h(x,y)在该点沿平面上什么方向的方向 0 0 导数最大？若记此方向导数的最大值为g(x ,y )，试写出g(x ,y )表达式； 0 0 0 0 （II）现欲利用此小山开展攀岩活动，为此需要在山脚寻找一上山坡度最大的点 作为攀登的起点，也就是说，要在D的边界线x2 +y2−xy=75上找出使（I）中 的g(x,y)达到最大值的点.试确定攀登起点的位置. - 5 -「公众号：研池大叔，免费分享」