(463)--选填06板书_01.2026考研数学有道武忠祥刘金峰全程班_01.2026考研数学武忠祥刘金峰全程班_00.书籍和讲义_{2}--资料

26选填题速成(6) (高等数学) 主讲 武忠祥第七章 无穷级数 一. 常数项级数敛散性 二. 幂级数 三. 傅里叶级数 第八章 多元函数积分学续 一. 三重积分 二. 对弧长的线积分 三. 对坐标的线积分 四. 对面积的面积分 五. 对坐标的面积分 六. 多元积分的应用 七. 场论第七章 无穷级数 一. 常数项级数敛散性 1.概念 2.性质 (1) 正项级数 1)比较判别法 2)比较法极限形式 3)比值法 4)根值法 5)积分判别法 (2) 交错级数 莱不尼兹准则   (3) 任意项级数  | u | 收敛   u 收敛. n n n1 n1【例1】(2019年1) 设 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ） u n  u  1 A.  n . B.  (1) n . n u n1 n1 n   u C.  (1  n ). D.  (u 2  u 2 ). n1 n u n1 n1 n1 【解1】直接法 选 D S  u 2  u 2 n n1 1 1 【解2】排除法 u  1  排除A B. n n 1 u 1 u   1  n  排除 C. n n u n n1  v 【例2】(2019年3) 若  nu 绝对收敛， n 条件收敛，则 n n n1 n1   A.  u v 条件收敛 B.  u v 绝对收敛 n n n n n1 n1   C.  (u  v ) 收敛 D.  (u  v ) 发散 n n n n n1 n1 【解1】直接法 选 B v u v  nu  n n n n n (1) n 【解2】排除法 排除 A C. u  ,v  (1) n . n 3 n n (1) n (1) n 排除 D. u  ,v  . n 3 n n ln na  a a  a 【例3】(2003年3）设 p  n n , q  n n ,n  1,2, n n 2 2 则下列命题正确的是（ ）.    （A）若  条件收敛，则  与  都收敛 a p q n n n n1 n1 n1    （B）若  绝对收敛，则  与  都收敛 a p q n n n n1 n1 n1       （C）若 a 条件收敛，则 p 与 q 的敛散性都不定 n n n n1 n1 n1    （D）若  a 绝对收敛，则  p 与  q 的敛散性都不定. n n n n1 n1 n1    【解】（1）若  条件收敛，则  与  都发散 a p q n n n n1 n1 n1    （2）若  绝对收敛，则  与  都收敛 a p q n n n n1 n1 n1【解2】排除法 【例4】下列命题正确的是（ ）   (1) n (A)若  u 收敛,则  (1) n1 u 条件收敛; u  n n n n n1 n1  u (B)若 lim n1  1 ,则  u 收敛. u  (1) n n n n u n1 n   1 1 1 1 1 1 (C)若  u 收敛,则  (1) n1 u 2 收敛. u : , , , , , , n n n 3 5 2 2 2 4 2 6 n1 n1   (D)若  u 绝对收敛, 则  u 2 收敛. n n n1 n1 【解1】直接法 选 D n  N 时， u  1, 0  u 2  u n n n   【例5】设 a 收敛， b 发散 (b  0), 则下列级数中一定发散的是（ ） n n n n1 n1   a  (A)  n (B) a b n n b n1 n1 n   (C)  ( a  b ) (D)  (a 2  b 2 ) n n n n n1 n1 【解1】直接法 选 C b  a  b n n n 【解2】排除法  【例6】设  (1) n a 2 n 收敛,则级数  a （ ） n n n1 n1 A) 条件收敛 B) 绝对收敛 C) 发散 D) 敛散性不定 【解】直接法 选 B M (1) n a 2 n  M a  n n n 2 【例7】要使级数  u 2 收敛,只需（ ） n n1     绝对收敛 A) u 收敛 B) u n n n1 n1    3  3 绝对收敛 C) u 收敛 D) u n n n1 n1 【解1】直接法 选 B n  N 时， u  1, 0  u 2  u n n n (1) n 排除 A C D. 【解2】排除法 u  , n n (n1)sin x  【例8】设 u   dx ,则 u 为（ ） n n n x n1 （A）发散的正项级数. （B）收敛的正项级数. （C）发散的交错级数. （D）收敛的交错级数.  【解】选 D  u 为交错级数. n n1      (n1)sin x (n1) sin x u    dx   (1) n  dx   (1) n a n n n x n x n1 n1 n1 n1 a  a , a  0. (n1) sin x 1 (n1) 2 n n1 n a   dx   sin xdx  n n x  n   n n  (1) n a 收敛 n (n2) sin x 1 (n2) 2 n1 a   dx   sin xdx  n1 (n1) x  (n1)  n1 n1 1 【例9】级数  收敛的一个充分条件是 ( )   n ln n n2 （A） 1. （B） 1 （C） 1,  0. （D）  1, 1.  1 【解】  p  1 时收敛，当 p  1 时发散; p n n1  1   1 时收敛，当  1 时发散;   n ln n n2  1,  1 时收敛，  1,  1 时发散，    【例10】(2023年1,3)已知 a  b (n  1,2,), 若级数 a 与 b 均收敛，则 n n n n n1 n1     a 绝对收敛是 b 绝对收敛的（ ） n n n1 n1 A.充要条件. B.充分不必要条件. C.必要不充分条件. D.既不充分也不必要条件.   【解】由题设知 (b  a ) 为收敛的正项级数 n n n1   若 a 绝对收敛 n n1 b  b  a  a  b  a  a  (b  a )  a n n n n n n n n n n  若  b 绝对收敛 n n1 a  a  b  b  a  b  b  (b  a )  b n n n n n n n n n n n 3  1 1 【例11】(2025年1）已知级数:①  sin ; ②  (1) n (  tan ); 则( ) n 2  1 3 n 2 3 n 2 n1 n1 （A）①与②均条件收敛 （ B ） ①条件收敛,②绝对收敛 （C）①绝对收敛,②条件收敛 （ D）①与②均绝对收敛  n 3  n  n 【解】  sin   sin[n ]   (1) n1 sin 条件收敛 n 2  1 n 2  1 n 2  1 n1 n1 n1 1 1 1 1 1 1 1 (1) n (  tan )  tan  ～ ( ) 3  3 n 2 3 n 2 3 n 2 3 n 2 3 3 n 2 3n 2  1 1  (1) n (  tan ) 绝对收敛 3 2 3 2 n n n1 1 k 【例12】(2025年3）已知 k 为常数，则级数  (1) n [  ln(1  )] （ ）. 2 n n n1 （A）绝对收敛 （B）条件收敛 （C）发散 （D）收敛或发散与 的取值有关 k 【解】二. 幂级数 （一）收敛半径 收敛区间 收敛域   a 1 定理1 如果 lim n1  , 则 R  .  a x n  a (x  x ) n n n 0 n a  n n0 n0 1   定理2 如果 lim n | a |  , 则 R  .  a x 2n  a (x  x ) 2n1 n n  n n 0 n0 n0 定理3 (阿贝尔定理)  【注1】幂级数  a x n 在其收敛区间 (R, R) 内绝对收敛. n n0  【注2】若幂级数  a x n 在点 x  x 处条件收敛，则点 x n 0 0 n0 必为该幂级数收敛区间 (R, R) 的一个端点.（二）函数展开为幂级数 利用已有公式+幂级数性质 （三）求和函数  1 (1)  1  x  x 2    x n     x n (1  x  1) 1  x n0 2 n  n x x x (2) e x  1  x         (  x  ) 2! n! n! n0 x 3 (1) n x 2n1  (1) n x 2n1  (3) sin x  x        (  x  ) 3! (2n  1)! (2n  1)! n0 x 2 (1) n x 2n  x 2n (4) cos x  1         (  x  ) 2! (2n)! (2n)! n0 x 2 (1) n1 x n  (1) n1 x n (5) ln(1  x)  x         (1  x  1) 2 n n n1 ( 1) ( 1)( n  1) (6) (1  x)   1 x  x 2    x n   (1  x  1) 2! n!【例1】(2011年1）设数列 单调减少， {a } n n  lim a  0, S   a (n  1,2,) 无界，则幂级数  a (x  1) n n n k n n k1 n1 的收敛域为（ ）.     （A）  1,1 （B）  1,1 （C）   （D）   0,2 0,2 【解】选 C 【例2】(2015年1）若级数  条件收敛，则 与 a x  3 x  3 n n1  依次为幂级数  na (x  1) n的 n n1 （A）收敛点，收敛点. （B）收敛点，发散点. （C）发散点，收敛点. （D）发散点，发散点. 【解】选 B n! 【例3】(2022年1) 设级数  e nx 的收敛域为 (a,) ,则 a  _______ . n n n1   n! 【解】 e x  t  n! nx   t n e n n n n n1 n1 n a n 1 lim n1  lim  R  e n a n (n  1) n e n 0  e x  e, 即 x  1 时原级数收敛. a  1. 【例4】(2020年1) 设  n 的收敛半径， 为幂级数 a x r 是实数，则【 】 R n n1  A.当  a r 2n 发散时， r  R 2n n1  B.当  a r 2n 收敛时， r  R 2n n1   2n C.当 时， a r 发散 r  R 2n n1  D.当 r  R 时，  a r 2n 收敛 2n n1    n  2n 【解】若 r  R, 则 a r 收敛， a r 收敛， n 2n n1 n1  而  a r 2n 发散,则 r  R. 2n n1 【例5】(2020年3) 设幂级数  na (x  2) n 的收敛区间为 n n1  (2,6) 则  a (x  1) 2n 的收敛区间为 ( ) n n1 A. (2,6) B. (3,1) C. (5,3) D. (17,15) 【解】选 B (1) n 【例6】(2019年1)幂级数  x n 在 (0,) 内的和函数 S(x)  ________ . (2n)! n0 【解】 cos x 2n x  【例7】(2023年3）  ________ . (2n)! n0  x n x 2 x n 【解1】 e x    1  x       n! 2! n! n0  (1) n x n x 2 (1) n x n e x    1  x       n! 2! n! n0 x 2 x 2n  x 2n e x  e x  2(1      )  2  2! (2n)! (2n)! n0  x 2n e x  e x 故   (2n)! 2 n0  x 2n x 2 x 4 x 2n 【解2】令 S(x)    1        (2n)! 2! 4! (2n)! n0  x 2n1 x 3 x 2n1 S  (x)    x       (2n  1)! 3! (2n  1) n1 2 n x x S(x)  S  (x)  1  x        e x 2! n!  【例8】(2024年1,3)已知幂级数  a x n 的和函数为 ln(2  x), 则  na （ ） n 2n n0 n0 1 1 1 1 （A） . （B） . （C） . （D） . 6 3 6 3 x  (1) n1  x  n 【解1】 ln(2  x)  ln 2  ln(1  )  ln 2     2 n  2  n1 (1) 2n1 1   1 1 a     na      2n 2n 2 2n n2 2n1 2n 2 2n1 6 n0 n1  1 【解2】 [ln(2  x)  ln(2  x)]   a x 2n 2n 2 n0  1 1 1 1  na  [  ]   2n 4 2  x 2  x 6 n0 x1三. 傅里叶级数 1）收敛定理 设 f ( x) 在 [,] 上连续或有有限个第一类间断点,且只 有有限个极值点,则 f ( x) 的傅里叶级数在 [,] 上处处收 敛,且收敛于 i) 当 为 的连续点； f ( x) x f ( x) f ( x  0)  f ( x  0) ii) 当 为 的间断点. x f ( x) 2 f (  0)  f (  0) iii) 当 x  . 2 1 1   2）函数展开为傅里叶级数 a   f (x)cosnxdx b   f (x)sin nxdx n   n   a  f (x) ~ 0   (a cosnx  b sin nx) n n 2 n1【例1】(1988年1）设 是周期为2的周期函数，它在区间 f (x) (1,1] 上的定义为 2,  1  x  0, f (x)   x 3 , 0  x  1. 则 f (x) 的傅里叶（Fourier）级数在 x  1 处收敛于 _________. 【解】 3 2【例2】(1993年）设函数 f (x) x  x 2 ( x ) 的傅里叶级数展开式为  a  0  (a cos nx  b sin nx), n n 2 n1 则其中系数 的值为 b _________. 3 1  【解】 b   (x  x 2 )sin 3xdx 3    2  2  x sin 3xdx  0 3【例3】(2013年1）设 1 1 f (x)  x  ,b  2  f (x)sin nxdx(n  1,2,). n 2 0  (C) 9 令 S(x)   b sin nx, 则 S( )  ( ) n 4 n1 3 3 1 1 （ A ） . （B） . （C）  . （D）  . 4 4 4 4 【解】选 C【例4】(2023年)设 f (x) 是周期为 2 的周期函数，且 f (x)  1  x, x [0,1],   a  若 f (x)  0   a cos nx, 则 a  _________ . 2n n 2 n1 n1 1 2 1 【解1】 a  2  (1  x)cos nxdx   (1  x)d sin nx n 0 n 0 2  [1  (1) n ] n 2   a  0 a  0 2n 2n n1   a a 【解2】 f (0)  0   a  1 f (1)  0   (1) n a  0 n n 2 2 n1 n1   1  f (0)  f (1)  a  2  a  1 a  2  (1  x)dx  1 a  0 2n 0 2n 0 0 n1 n1 a 【例5】(2024年）已知函数 f (x)  x  1, 若 f (x)  0   a cos nx, x [0,], n 2 n1 则 lim n 2 sin a  ___________ . 2n1 n 2  2  【解】 a   (x  1)cos nxdx   (x  1)d sin nx n  0 n 0 2  2    sin nxdx  [(1) n  1] n 0 n 2  4 1 a  lim n 2 sin a   2n1 (2n  1) 2 n 2n1 第八章 多元函数积分学续 一. 三重积分 计算 1) 直角坐标: i) 先一后二; ii)先二后一. 2) 柱坐标: dV  rdrddz 3) 球坐标: dV  r 2 sindrdd 4) 利奇偶性: 5) 利用变量的对称性.【例1】(1988年）设有空间区域  : x 2  y 2  z 2  R 2 , z  0 ; 及 1 则（ ）  : x 2  y 2  z 2  R 2 , x  0, y  0, z  0, 2 （A） x d v  4  x d v （B）  y d v  4  y d v     1 2 1 2 （C）  z d v  4  z d v （D）  xyz d v  4  xyz d v     1 2 1 2 【解】选 C【例2】(2009年）设   {(x, y, z) | x 2  y 2  z 2  1} ，则  z 2 d x d y d z  ________ . 4 [ ] 15  【解1】对称性 【解2】先二后一二. 对弧长的线积分 计算方法： x  x(t) 1. 直接法：1) 若  t   C :   y  y(t)  则  f (x, y)ds   f (x(t), y(t)) x 2 (t)  y 2 (t)dt C  2. 利用奇偶性 3.利用对称性 设空间曲线 L 的方程为： x  x(t), y  y(t), z  z(t) ( t  )  则  f (x, y, z)ds   f (x(t), y(t), z(t)) x 2 (t)  y 2 (t)  z 2 (t)dt L 【例1】(2009年）已知曲线 L : y  x 2 (0  x  2) ，则  x d s  ____ . 13 [ ] 6 L 【解】【例2】(2018年1）设 L 为球面 x 2  y 2  z 2  1 与平面 x  y  z  0 的交线,则  xyds  ________ . L 1 【解1】由变量对称性知  xyds   (xy  yz  xz)ds L 3 L 1   (2xy  2 yz  2xz)ds 6 L 1   [(x  y  z) 2  (x 2  y 2  z 2 )]ds 6 L 1 1    [0 2  1]ds    2   6 L 6 3【例2】(2018年1）设 L 为球面 x 2  y 2  z 2  1 与平面 x  y  z  0 的交线,则  xyds  ________ . L 【解2】三. 对坐标的线积分 计算方法 (平面) x  x(t) 1)直接法; 设 L :  , t [,], 则  y  y(t)   Pdx  Qdy   [P( x(t), y(t))x  (t)  Q( x(t), y(t)) y  (t)]dt L   Q P  2)格林公式  Pdx  Qdy     d L  x y  D 3)补线用格林公式 4)利用线积分与路径无关 计算方法(空间) 1)直接法 2)斯托克斯公式【例1】(2007年)设曲线 L : f (x, y)  1( f (x, y)) 具有一阶连续偏 B 导数）过第II象限内的点 M 和第IV象限内的点 N ， 为上从点 M 到点 N 的一段弧，则下列积分小于零的是（ ）.  （A） （B） f (x, y)d y f (x, y)d x   （C）  f (x, y) d s （D）  f  (x, y)d x  f  (x, y)d y x y   【解1】直接法 【解2】排除法【例2】(2013年）设 L : x 2  y 2  1, L : x 2  y 2  2, L : x 2  2 y 2  2, 1 2 3 L : 2x 2  y 2  2 为四条逆时针方向的平面曲线,记 4 3 3 y x   I   ( y  )dx  (2x  )dy (i  1,2,3,4), 则 max I , I , I , I  i 1 2 3 4 6 3 L i （A） （B） （C） （D） I . I . I . I . 1 2 3 4 2 y 【解】 I   (1  x 2  )dxdy i 2 D ix 【例3】(2019年1) 设函数Q(x, y)  , 如果对上半平面 ( y  0) 2 y 内的任意有向光滑闭曲线 C 都有  P(x, y)dx  Q(x, y)dy  0, C 那么 可取为 P(x, y) 2 2 x 1 x A. y  B.  3 3 y y y 1 1 1 C.  D. x  x y y 【解】【例4】(2014年)设 L 是柱面 x 2  y 2  1 与平面 y  z  0 的交线,从 z 轴正向往 z 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分  zdx  ydz  ________ . L 【解1】直接法 x  cos t, y  sin t, z   sin t  1  2 I   (sin 2 t  sin t cos t)dt  4  2 sin 2 tdt  4    0 0 2 2 【解2】斯托克斯  z d x  y d z   (1  0)dydz  (1  0)dzdx  (0  0)dxdy   dzdx   dzdx  L   D zx 【解3】化为平面  z d x  y d z   ( ydx  ydy) (C : x 2  y 2  1) L C   dxdy   x 2 y 21四. 对面积的面积分 计算方法 1 . 直接法:  : z  z(x, y), (x, y) D  f (x, y, z)dS   f (x, y, z(x, y)) 1  z 2  z 2 d x y  D 2. 利用奇偶性 3.利用对称性【例1】(2000年）设 为 在第一卦 S : x 2  y 2  z 2  a 2 (z  0), S S 1 限中的部分,则有（ ） （A） x d S  4  x d S （B） y d S  4  x d S S S S S 1 1 （C） z d S  4  x d S （D） xyz d S  4  xyz d S S S 1 S S 1 【解】【例2】(2012年）设   {(x, y, z) | x  y  z  1, x  0, y  0, z  0}, 则  y 2 dS  _______ .  1 1y 3 【解】  y 2 dS  3  y 2 dxdy  3  dy  y 2 dx  0 0 12  D五. 对坐标的面积分 计算方法 1) 直接法: 设曲面： z  z(x, y), (x, y) D  R(x, y, z)dxdy   R(x, y, z(x, y))d  D 2) 高斯公式:  P Q R   Pdydz  Qdzdx  Rdxdy      dV  x y z    外 3) 补面用高斯公式.  【例1】(2021年) 设  为空间立体区域 (x, y, z) x 2  4 y 2  4,0  z  2 4 表面的外侧，则曲面积分  x 2 dydz  y 2 dzdx  zdxdy  ________ .  【解1】高斯公式 【解2】直接法【例2】(2019年1)设  为曲面 x 2  y 2  4z 2  4(z  0) 的上侧，则  4  x 2  4z 2 dxdy  ____ .  【解】  4  x 2  4z 2 dxdy   y 2 dxdy   ydxdy     2 32   ydxdy  4  ydxdy  4  2 d r 2 sindr  0 0 3 x 2 y 24 D 1【例3】(2008年）设曲面 是 的上侧,则  z  4  x 2  y 2  xydydz  xdzdx  x 2 dxdy  _______ .  【解】设  是曲面 z  0 (x 2  y 2  4) 取下侧， 1      ydxdydz   .      1 1 1 由对称性知  ydxdydz  0  1 故       x 2 d x d y   (x 2  y 2 )dxdy  4 2   x 2 y 24 x 2 y 24 1【例4】(2024年）设 P  P(x, y, z),Q  Q(x, y, z) 均为连续函数,  为曲面 z  1  x 2  y 2 (x  0, y  0) 的上侧，则  Pdydz  Qdzdx （ ）   x y   x y  （A）  P  Q  d x d y . （B）   P  Q dxdy.  z z   z z     x y   x y  （C）   P  Q  d x d y . （D）   P  Q dxdy.  z z   z z    【解1】直接法  (P cos Q cos Rcos)dS   (Pdydz  Qdzdx  Rdxdy)   cosdS  dydz, cosdS  dzdx, cosdS  dxdy (cos,cos,cos)  (x, y, z) cos x cos y dydz  dxdy  dxdy dzdx  dxdy  dxdy cos z cos z 【解2】排除法六. 多元积分应用 几 何 所 形 平面板 空间体 曲线 曲面 求 体 量 几何度量 S  dxdy D 质 量 M  (x, y)dxdy D  x(x, y)dxdy x  D  (x, y)dxdy 质 心(形心） D  xdxdy x  D  dxdy D 转动惯量 I   y2(x, y)dxdy x D 1.变力作功: W   Pdx  Qdy  Rdz  AB【例1】(2010年)设   {(x, y, z) | x 2  y 2  z  1} ，则  的形心的竖坐标 z  _____ . 2 3 【解】七. 方向导数 梯度 旋度及散度 f f (x  t cos, y  t cos)  f (x , y ) 1. 方向导数 1) 定义:  lim 0 0 0 0 l t0  t (x ,y ) 0 0 f f f 2) 计算: 若 z  f ( x, y) 可微,则  cos cos l x y 1) 定义: 2. 梯度: u u u 2) 计算 gradu  i  j k x y z 3. 散度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R} P Q R divA    x y z i j k    4. 旋度: 设有向量场 A(x, y, z)  {P,Q, R} rotA  x y z P Q R【例1】(2017年）函数 f (x, y, z)  x 2 y  z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n  (1,2,2) 的方向导数为 （A） 12. （B） 6. D （C） （D） 2. 4. 【解】【例2】(2001年)设 r  x 2  y 2  z 2 , 则 div(gradr)  _________ . (1,2,2)  x y z 【解】 g  ( , , ) r r r 2 2 2  1 x 1 y 1 z 2 divg  (  )  (  )  (  )  3 3 3 r r r r r r r 2 div(gradr)  (1,2,2) 3     【例3】(2018年1）设 F(x, y, z)  xyi  yzj  zxk, 则 rotF(1,1,0)  __________ .   【解】填 i  j    i j k     rotF(1,1,0)  x y z xy  yz zx (1,1,0)     [(0  y)i  (z  0) j  (0  x)k (1,1,0)    i  k