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第14 讲 导数的概念与运算 · 分类练习
考点一：导数的概念与物理意义
考法1：利用导数定义求极限与导数值
1.已知函数f ( x)的导函数是f
'( x)，若f
'( x0)=2，则lim ¿Δ x→0
f ( x0+ 1
2 Δ x)- f ( x0)
Δ x
=¿
（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 2
D. 4
2.若f ( x)在x0处可导，则f
'( x0)可以等于（ ）
A. lim ¿Δ x→0
f ( x0)- f ( x0- Δ x)
Δ x
¿
B. lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0- Δ x)
Δ x
¿
C. lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0- Δ x)
Δ x
¿
D. lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0-2 Δ x)
Δ x
¿
考法2：导数的几何意义与大小比较
3.已知函数y = f ( x)的图象如图所示，函数y = f ( x)的导数为y = f
'( x)，则（ ）
A. f
'（2）<f
'（3）<f （3）- f （2）
B. f
'（3）<f
'（2）<f （3）- f （2）
C. f
'（2）<f （3）- f （2）<f
'（3）
D. f
'（3）<f （3）- f （2）<f
'（2）
考法3：导数的物理意义与瞬时变化率
4.（2026·广东梅州·3 月质检）某个弹簧振子在振动过程中的位移y（单位：cm）与时间t
（单位：s）之间的关系为y =10sin π
2 t，则当位移y =6cm时，弹簧振子的瞬时速度大小为
（ ）cm/s.
A. 4 π
B. 5 π
C. 6 π
D. 8 π
5.（2026·长沙雅礼·三模）某质点的运动路程s（单位：m）与时间t（单位：s）的关系为
s(t )=t
2+ 4 ln t，则该质点在t =2时的瞬时速度为（ ）
A. 8 m/s
B. 6 m/s
C. 5 m/s
D. 4 m/s
6.（2026·山东青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，
破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量Q随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一
稳定水平时，臭氧含量Q与时间t之间满足关系式Q =Q0e
-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始含量，
则（ ）
A. 随着时间t的增加，臭氧含量在增加
B. 当t从1变化到2时，臭氧含量减少Q0e
-0.0025
C. 当t从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为0.5Q0e
-0.005
D. 当t =2时，臭氧含量的瞬时变化率为-0.0025Q0e
-0.005
考点二：导数的运算
考法4：基本初等函数与复合函数求导
7.（2026·北斗星盟·5 月联考）已知函数f ( x)=sin x，则f
'( π
6 )=（ ）
A. 1
2
B. - 1
2
C.
❑√3
2
D. -
❑√3
2
8.在等比数列{an}中，a3=2，函数f ( x)= 1
2 x( x -a1)( x -a2)⋯( x -a5)，则f
'（0）=＿＿＿
＿＿＿.
9.求下列函数的导数．
（1）f ( x)=(-2 x +1)
2；
（2）f ( x)= ln(4 x -1)；
（3）f ( x)=2
3 x +2；
（4）f ( x)= ❑√5 x + 4；
10.求下列函数的导数：
（1）y =(3 x
2+2 x +1)cos x；
（2）y = 3 x
2+ x ❑√x -5 ❑√x +1
❑√x
；
（3）y = x
18+sin x - ln x；
（4）y =2
xcos x -3 x log3 x；
（5）y =3
xsin x -3log3 x；
（6）y =e
xcos x + tan x.
考法5：结合导数值求参数或解析式
11.（2026·泰山联盟·4 月模拟）若函数f ( x)=e
x - f
'（1）x，则（ ）
A. f （1）=-e
2
B. f
'（1）=-e
2
C. f （2）=e
2-e
D. f
'（2）=e
2-e
12.（2026·河南新乡·三模）已知函数f ( x)=2f
'（1）ln x + 1
x ，则f
'（1）=（ ）
A. 2
B. -2
C. 1
D. -1
13.（2026·山东菏泽·二模）已知函数f ( x)满足f ( x)= f
'( π
2 )sin x -cos x，则f ( π
2 )=＿＿＿＿
＿＿.
14.（2026·湖南·5 月联考）已知函数f ( x)=2f
'（0）sin x，则f
'（0）=＿＿＿＿＿＿.
考点三：导数的几何意义
考法6：求曲线在某点处的切线方程
15.（2026·山东淄博·二模）曲线y = f ( x)在x =1处的切线如图所示，则f
'（1）- f （1）=
（ ）
A. 0
B. 2
C. -2
D. -1
16.（2026·皖江名校·5 月联考）函数f ( x)= x(2 x -1)
2的图象在点(1,1)处的切线方程为（
）
A. y =5 x - 4
B. y = 4 x -3
C. y =3 x -2
D. y =2 x -1
17.（2026·沧州八校·二模）已知函数f ( x)= x ⋅2
x +1，则曲线y = f ( x)在点(-1,f (-1))处的切
线在y轴上的截距为（ ）
A. ln2
B. ln2-2
C. 1- ln2
D. - ln2
18.（2026·合肥十一中·4 月检测）已知f ( x)= ln x
x ，则曲线y = f ( x)在点( 1
e ,f ( 1
e ))处的切线
方程为＿＿＿＿＿＿.
19.（2026·安徽阜阳·一模）曲线y =3-cos x在点( π
2 ,3)处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
20.（2026·山东东营·一模）已知函数f ( x)= 3 x
2+ax
e
x
(a∈R)，
（1）当a=0时，求函数f ( x)在(1,f （1）)处的切线方程；
考法7：求曲线过某点的切线方程
21.（2026·随州六校·一模）已知函数f ( x)= x ln x，若直线l过点(0,-e)，且与曲线y = f ( x)
相切，则直线l的斜率为（ ）
A. -2
B. 2
C. -e
D. e
22.已知过原点的直线与曲线y = ln x相切，则该直线的方程是＿＿＿＿＿＿.
23.过点(- 2
3 ,0)作曲线y = x
3的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
考法8：根据切线特征求参数
24.（2026·山东青岛·二模）已知直线y = x -2与曲线y = ln x +a相切，则a的值为（ ）
A. 1
B. 0
C. -1
D. -2
25.（2026·山东德州·三模）已知曲线y =e
ax在点(0,1)处的切线与直线x +2 y +1=0垂直，则
a=＿＿＿＿＿＿.
考法9：两曲线的公切线问题
26.（2025·南阳一中·三模）已知函数f ( x)= 2a
x e
x -1+ ln a，g( x)=2ln x +1，若f ( x)≥g( x)恒
成立，则a的最小值是＿＿＿＿＿＿.
27.若函数f ( x)= 4 ln x +1与函数g( x)= 1
a x
2-2 x(a>0)的图象存在公切线，则实数a的取值范
围为（ ）
A. (0, 1
3 ]
B. [ 1
3 ,+∞)
C. [ 2
3 ,1)
D. [ 1
3 , 2
3 ]
28.（2026·南京六合·一模）若曲线y = ln(3- x)在点(2,0)处的切线也是曲线y =e
x -2 x +a的
切线，则a=＿＿＿＿＿＿.
考法10：切线与距离、面积综合问题
29.设点P在曲线y =e
x +1上，点Q在曲线y =-1+ ln x上，则| PQ|最小值为（ ）
A. ❑√2
B. 2❑√2
C. ❑√2(1+ ln 2)
D. ❑√2(1- ln 2)
30.设点P在曲线y =e
2 x上，点Q在曲线y = 1
2 ln x上，则| PQ|的最小值为（ ）
A.
❑√2
2 (1- ln 2)
B. ❑√2(1- ln 2)
C. ❑√2(1+ ln 2)
D.
❑√2
2 (1+ ln 2)
31.（2024·上饶六校·5 月模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知曲线C : y =e
x( x <1)的一条
切线l与x轴、y轴分别交于A ,B两点，则△OAB的面积的最大值为＿＿＿＿＿＿.
32.（2026·广东东莞·一模）设点P在曲线y = ln x上，点Q在直线y = x +3上，则| PQ|的最小
值为＿＿＿＿＿＿.
考点四：导数的拓展应用
考法11：牛顿迭代法求近似根
33.英国数学家牛顿在17 世纪给出一种求方程近似根的方法一Newton - Raphson method 译
为牛顿-拉夫森法. 做法如下：设r是f ( x)=0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点
( x0,f ( x0))做曲线y = f ( x)的切线l：y - f ( x0)= f
'( x0)( x - x0)，则l与x轴交点的横坐标为
x1= x0- f ( x0)
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)，称x1是r的1 次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其
中xn+1= xn- f ( xn)
f
'( xn)
(f
'( xn)≠0)，称xn+1是r的n+1次近似值. 运用上述方法，并规定初始近似
值不得超过零点大小，则函数f ( x)= ln x + x -3的零点一次近似值为（ ）（精确到小
数点后3 位，参考数据：ln 2≈0.693）
A. 2.207
B. 2.208
C. 2.205
D. 2.204
34.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如下：
设r是函数y = f ( x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点( x0,f ( x0))作曲线
y = f ( x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1 次近似值；过点( x1,f ( x1))
作曲线y = f ( x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2 次近似值. 一般地，过
点( xn,f ( xn))(n∈N
*)作曲线y = f ( x)的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，并称
xn+1为r的n+1次近似值. 对于方程x
3- x +1=0，记方程的根为r，取初始近似值为x0=-1，
下列说法正确的是（ ）
A. r ∈(-2,-1)
B. 切线l2：23 x - 4 y +31=0
C. | x3- x2|> 1
8
D. xn+1= 2 xn
3-1
3 xn
2-1
35.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法一牛顿法. 首
先，设定一个起始点x0，如图，在x = x0处作f ( x)图象的切线，切线与x轴的交点横坐标记
作x1：用x1替代x0重复上面的过程可得x2；一直继续下去，可得到一系列的数x0，x1，x2，
⋯，xn，⋯ 在一定精确度下，用四舍五入法取值，当xn-1，xn(n∈N
*)近似值相等时，该
值即作为函数f ( x)的一个零点r. 若要求
3√6的近似值r（精确到0.1），我们可以先构造函数
f ( x)= x
3-6，再用“牛顿法”求得零点的近似值r，即为
3√6的近似值，则下列说法正确的
是（ ）
A. 对任意n∈N
*，xn< xn-1
B. 若x0∈Q，且x0≠0，则对任意n∈N
*，xn= 2
3 xn-1+ 2
xn-1
2
C. 当x0=2时，需要作2 条切线即可确定r的值
D. 无论x0在(2,3)上取任何有理数都有r =1.8
36.牛顿迭代法(Newton's method)又称牛顿-拉夫逊方法(Newton - Raphsonmethod)，是牛顿
在17 世纪提出的一种近似求方程根的方法．如图，设r是f ( x)=0的根，选取x0作为r初始
近似值，过点( x0,f ( x0))作曲线y = f ( x)的切线l，l与x轴的交点的横坐标
x1= x0- f ( x0)
f
'( x0)
(f
'( x0)≠0)，称x1是r的一次近似值，过点( x1,f ( x1))作曲线y = f ( x)的切线，
则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值．重复以上过程，直到r的近似
值足够小，即把xn作为f ( x)=0的近似解．设x1，x2，x3，⋯，xn构成数列{xn}．对于下列
结论：①xn= xn-1- f ( xn)
f
'( xn)
(n≥2)；②xn= xn-1- f ( xn-1)
f
'( xn-1)
(n≥2)；③
xn= x1- f ( x1)
f
'( x1)
- f ( x2)
f
'( x2)
-⋯- f ( xn)
f
'( xn)；④xn= x1- f ( x1)
f
'( x1)
- f ( x2)
f
'( x2)
-⋯- f ( xn-1)
f
'( xn-1)
(n≥2)．其中正
确结论的序号为＿＿＿＿＿＿.
考法12：抽象函数的导数与赋值法
37.（2025·江西鹰潭·二模）（多选）若函数f ( x)是定义在(0,+∞)上不恒为零的可导函数，
对任意的x , y ∈R
+均满足：f ( xy )= xf ( y)+ yf ( x)，f （2）=2，记g( x)= f
'( x)，则
（ ）
A. f （1）=0
B. f ( x)是偶函数
C. g(4 x)- g( x
2 )=3
D. ∑
k =1
2025
f (2
k)=2024×2
2026+2
