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第三章 一元函数的导数及其应用（测试）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．4
2．曲线 在点 处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 .若 ，对 ，则（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数 ，则函数 （ ）
A．既有极大值也有极小值 B．有极大值无极小值
C．有极小值无极大值 D．既无极大值也无极小值
6．已知函数 的导函数为 ，且 ，当 时， ，则不等式 的
解集为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．函数 ，若关于 的不等式 有且仅有三个整数解，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部
选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等
式方面留下了很多宝贵的成果，设函数 在 上的导函数为 ， 在 上的导函数为
，若在 上 恒成立，则称函数 在 上为“凸函数”，以下四个函数在 上
是凸函数的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A． 为奇函数
B． 的单调递增区间为
C． 的极小值为
D．若关于 的方程 恰有3个不等的实根，则 的取值范围为
11．已知函数 及其导函数 的定义域均为 ，若 是奇函数，满足 ，且对任
意 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12．烧水时，水温随着时间的推移而变化.假设水的初始温度为 ，加热后的温度函数
（ 是常数， 表示加热的时间，单位：min），加热到第10min时，水温的瞬时变化率是 .
13．已知函数 ，若函数 恰有一个零点，则 的取值范围是
.14．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。
15．（13分）
已知 .
(1)求 并写出 的表达式；
(2)证明： .
16．（15分）
某种儿童适用型防蚊液储存在一个容器中，该容器由两个半球和一个圆柱组成（其中上半球是容器的
盖子，防蚊液储存在下半球及圆柱中），容器轴截面如题图所示，两头是半圆形，中间区域是矩形 ，
其外周长为100毫米．防蚊液所占的体积为圆柱体体积和一个半球体积之和．假设 的长为 毫米．
(1)求容器中防蚊液的体积（单位：立方毫米） 关于 的函数关系式；
(2)如何设计 与 的长度，使得 最大？
17．（15分）
已知函数 ．
(1)若 ，求函数 在 上的最大值和最小值；
(2)讨论函数 的单调性．18．（17分）
已知 ， ， 是自然对数的底数.
(1)当 时，求函数 的极值；
(2)若关于 的方程 有两个不等实根，求 的取值范围；
(3)当 时，若满足 ，求证： .
19．（17分）
对给定的在定义域内连续且存在导函数的函数 ，若对在 定义域内的给定常数 ，存在数列
满足 在 的定义域内且 ，且对 在区间 的图象上有且仅有在
一个点处的切线平行于 和 的连线，则称数列 为函数 的“ 关联切线
伴随数列”.
(1)若函数 ，证明： 都存在“ 关联切线伴随数列”；
(2)若函数 ，数列 为函数 的“1关联切线伴随数列”，且 ，求 的
通项公式；
(3)若函数 ，数列 为函数 的“ 关联切线伴随数列”，记数列 的前 项和
为 ，证明：当 时， .
