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第13 讲：拓展六：泰勒展开式与超越不等式在导数中的应
用
目录
类型一：泰勒展开式................................................................................................................ 3
类型二：利用超越不等式比较大小..........................................................................................8
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式..............................................................................9
类型四：利用指数型超越放缩证明不等式.............................................................................12
1、泰勒公式形式：
泰勒公式是将一个在
处具有
阶导数的函数利用关于
的
次多项式来逼近函数
的方法.
若函数
在包含
的某个闭区间
上具有
阶导数，且在开区间
上具有
阶导数，则对闭区间
上任意一点
，成立下式：
其中：
表示
在
处的
阶导数，等号后的多项式称为函数
在
处
的泰勒展开式，剩余的
是泰勒公式的余项，是
的高阶无穷小量.
2、麦克劳林(Maclaurin)公式
虽然麦克劳林公式是泰勒中值定理的特殊形式，仅仅是取
的特殊结果，由于麦克劳
林公式使用方便，在高考中经常会涉及到.
3、常见函数的麦克劳林展开式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
4、两个超越不等式：（注意解答题需先证明后使用）
4.1 对数型超越放缩：
（
）
上式（1）中等号右边只取第一项得：
结论①
用
替换上式结论①中的
得：
结论②
对于结论②左右两边同乘“
”得
，用
替换“
”得：
（
）
结论③
4.2 指数型超越放缩：
（
）
上式（2）中等号右边只取前2 项得：
结论①
用
替换上式结论①中的
得：
结论②
当
时，对于上式结论②
结
论③
当
时，对于上式结论②
结
论④
类型一：泰勒展开式
典型例题
例题1．（2025 高三·全国·专题练习）英国数学家布鲁克•泰勒以发现泰勒公式、泰勒级数
和泰勒展开式而闻名于世．计算器在计算
，
，
，
等函数的函数值时，是通
过写入“泰勒展开式”程序的芯片完成的．“泰勒展开式”是：如果函数
在含有
的
某个开区间
内可以多次进行求导数运算，则当
，且
时，有
．其中
是
的导数，
是
的导数，
是
的导数，阶乘
，
．取
，则
的“泰勒展开式”中第三个非零项为
，
精确到0.01 的近似值为 ．
例题2．（24-25 高三上·辽宁沈阳·开学考试）在高等数学中，我们将
在
处及
其附近可以用一个多项式函数近似表示，具体形式为：
（其中
表
示
的n 次导数），以上公式我们称为函数
在
处的秦勒展开式．
(1)分别求
在
处的泰勒展开式；
(2)若上述泰勒展开式中的x 可以推广至复数域，试证明：
．（其中为虚数单
位）；
(3)当
时，求证：
．（参考数据
）
例题3．（24-25 高二下·河南信阳·期中）电脑或计算器计算
，
，
，
等函数
的函数值，是通过写入“泰勒展开式”程序或芯片完成的．“泰勒展开式”的内容为：如
果函数
在含有x0的某个闭区间
上具有n 阶导数，且在开区间
，b）内具有
阶导数，则对于闭区间
上的任意一点
，有
，我们称上
式为函数
在
处的泰勒展开式，其中
为
的高阶无穷小量
．特别地，当
在
处n 阶连续可导，则称
为函数
的麦克劳林公
式．如
的麦克劳林公式为
，
(1)利用麦克劳林公式估算
的近似值（精确到0.01）；
(2)当
时，比较
与
的大小并证明；
(3)若
，求实数a 的取值范围．
精练高频考点
1．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）给出以下三个材料：①若函数
可导，我们通常把导函
数
的导数叫做
的二阶导数，记作
.类似地，二阶导数的导数叫做三阶导
数，记作
，三阶导数的导数叫做四阶导数……一般地，
阶导数的导数叫做
阶
导数，记作
.②若
，定义
.③若函数
在包含
的某个开区间
上具有
阶
的导数，那么对于任一
有
，我
们将
称为函数
在点
处的
阶泰勒展开式.例如，
在点
处的
阶泰
勒展开式为
.根据以上三段材料，完成下面的题目：
(1)求出
在点
处的阶泰勒展开式
，并直接写出
在点
处的阶泰勒展开式
；
(2)比较（1）中
与
的大小.
(3)证明：
.
2．（24-25 高一上·湖南长沙·期末）十八世纪英国数学家布鲁克•泰勒提出了著名的泰勒公
式，该公式利用了多项式函数曲线来逼近任意一个原函数曲线，该公式在近似计算.函数拟
合、计算机科学上有着举足轻重的作用.如下列常见函数的
阶泰勒展开式为：
，
，
，
其中
，读作
的阶乘.
这些公式被编入计算工具，计算工具计算足够多的项就可以确保显示值的精确性，比如用
计算器计算
，得到的值约为
，用泰勒展开式前三项计算
得到
.
(1)
，
，
，比较
的大小;
(2)当
时，证明：
；
(3)设
，是否存在区间
，使得
的定义域为
时，值域也为
？若存在，求出所有的区间
.
3．（24-25 高三上·四川成都·开学考试）麦克劳林展开式是泰勒展开式的一种特殊形式，
的麦克劳林展开式为：
，其中
表示
的n 阶导数在0 处的取值，我们称
为
麦克劳林展开式的第
项．例如：
．
(1)请写出
的麦克劳林展开式中的第2 项与第4 项；
(2)数学竞赛小组发现
的麦克劳林展开式为
，这意味
着：当
时，
，你能帮助数学竞赛小组完成对此不等式的证明吗？
(3)当
时，若
，求整数
的最大值．
类型二：利用超越不等式比较大小
典型例题
例题1．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知
，
，
，则
，
，
的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
例题2．（24-25 高三下·云南昆明·阶段练习）已知
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
例题3．（2025·安徽合肥·模拟预测）已知
，则
的大小关
系为（ ）
A．
B．
C．
D．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·山东青岛·阶段练习）设
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（24-25 高二下·辽宁·期中）已知实数
分别满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（24-25 高二下·河北石家庄·期中）已知
，则
的大小关系为
（ ）
A．
B．
C．
D．
类型三：利用对数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·河南郑州·期末）已知函数
.
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)若
恒成立，求
的取值范围；
(3)证明：
.
例题2．（2025·陕西延安·模拟预测）已知函数
．
(1)证明：
；
(2)证明：
在其定义域内为减函数；
(3)若在
的定义域内，
恒成立，求实数
的取值范围．
例题3．（24-25 高二下·山东·阶段练习）（1）证明：当
时，
．
（2）证明：
．
（3）从编号1 到100 的100 张卡片中随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续抽取n 次
（
），设抽到的n 个号码互不相同的概率为
，证明：
．
精练高频考点
1．（24-25 高三下·河南·阶段练习）已知函数
.
(1)求函数
的单调区间；
(2)若函数
有且仅有两个零点，求实数
的取值范围；
(3)若
是两个不相等的正数，证明：
.
2．（2025·贵州遵义·模拟预测）已知函数
．
(1)若
，求函数
的单调区间；
(2)设
，讨论函数
的零点个数；
(3)证明：
，
．
3．（2025 高三·全国·专题练习）已知函数
．
(1)当
时，求
的最小值．
(2)求证：
．
类型四：利用指数型超越放缩证明不等式
典型例题
例题1．（24-25 高二下·河南洛阳·期末）已知函数
.
(1)当
时，讨论
的单调性；
(2)若
存在两个极值点
，
，
（ⅰ）求a 的取值范围；
（ⅱ）证明：
.
例题2．（2025·湖南·模拟预测）已知
为奇函数.
(1)求a 的值；
(2)解不等式：
；
(3)证明：函数
有3 个零点.
精练高频考点
1．（24-25 高二下·山东济宁·期中）已知函数
.
(1)当
时，求曲线
在点
处的切线方程.
(2)若函数
在
处有极值，求函数
的单调区间
(3)当
时，求证
.
2．（2025·浙江绍兴·二模）已知函数
．
(1)设
，
（i）证明：
，并由此求
(精确到
)．
（ii）比较
与
的大小并说明理由．
(2)求证：当
趋于0 时，
．
