文档内容
【赢在高考·黄金8卷】备战2024年高考数学模拟卷（北京专用）
黄金卷01
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
第 I 卷（选择题）
一、 单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合要求的。
1．若集合 ， ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】解出集合 , ，利用集合的交集运算，即可求出答案.
【详解】由题意可得 ， ，
所以 .
故选：A.
2．已知 为虚数单位，复数 满足 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的运算法则计算即可.
【详解】由条件可知 ，所以 ，
故选B．
3．若向量 ，且 ，则 （ ）
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】B【分析】由向量垂直转化为向量的数量积坐标运算.
【详解】 ， ，
由 ，得 ，
解得 .
故选：B．
4．函数 的定义域为 ，对任意 ，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造 ，利用导数研究单调性结合 ，即可求原不等式的解集.
【详解】令 ，则 在 上恒成立，
所以 在定义域上递减，而 ，
所以原不等式即为 ，可得 ，
故原不等式解集为 .
故选：C
5． 的展开式中 的系数为（ ）
A．55 B． C．65 D．
【答案】D
【分析】根据 展开式的通项公式进行计算即可.
【详解】含 的项为 ，
所以展开式中 的系数为 ．
故选：6．已知点 为椭圆 上一点， 为该椭圆的两个焦点，若 ，则 （ ）
A．1 B．5 C．7 D．13
【答案】B
【分析】根据椭圆的定义直接计算即可.
【详解】因为椭圆方程为 ，
所以 ，又
所以 ，
故 ，
故选： .
7．将函数 图象向左平移 后，得到 的图象，若函数 在 上单调递
减，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据三角函数的图象变换及单调性计算即可.
【详解】 向左平移 ，
得 ，
当 时， ，
因为 在 上单调递减，
所以 ，解得 ，
又 ，故 .故选：D
8．“ ”是“ 且 ”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】B
【分析】利用充分、必要条件的概念，结合绝对值的几何意义，以及绝对值三角不等式判断.
【详解】当 ，说明 与 的距离小于 ，但 与 与 的距离可以大于或等于 ，
所以 不能推出 且 ，
反过来，当 且 时，
，即 ，
所以 且 能推出 ，
所以“ ”是“ 且 ”的必要非充分条件.
故选：B
9．儿童手工制作（DIY）对培养孩子的专注力、创造力有很大的促进作用．如图，在某节手工课上，小明
将一张半径为2cm的半圆形剪纸折成了一个圆锥（无裁剪无重叠），接着将毛线编制成一个彩球，放置于
圆锥底部，制作成一个冰淇淋模型．已知彩球的表面积为 ，则该冰淇淋模型的高（圆锥顶点到球面
上点的最远距离）为（ ）
A． B． C．6cm D．
【答案】B【分析】先求圆锥的高和球的半径，再用勾股定理求彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离，最后根据题
意得到答案.
【详解】设圆锥的地面半径为 ，则 ，解得 ，所以圆锥的高 ．
设彩球的半径为 ，则 ，解得 ．
由勾股定理可得彩球的球心到圆锥底面所在平面的距离为 ，
所以该冰淇淋模型的高为 .
故选：B．
10．定义 ．若数列 的前 项和为 ，数列 满足
，令 ，且 恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得 ， ，结合 ，且 恒成立，得到 或
， 且 ，列出不等式组，即可求得 的取值范围.
【详解】由数列 的前 项和为 ，
当 时，可得 ，
又由当 时， ，适合上式，
所以数列 通项公式为 ，
由数列 满足 且 ，可得 ，即 ，
各式相加可得 ，
又由 ，所以 ，所以 ，
因为 ，且 恒成立，
当 ， ， ，符合题意；
当 ，则满足 且 且 ，即 ，解得 ；
综上，实数 的取值范围为 .
故选：D.
第 II 卷（非选择题）
二、 填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知函数 ，则 ．
【答案】1
【分析】根据解析式直接计算函数值即可.
【详解】因为 ，
所以 .
故答案为：1
12．若椭圆 的焦点为 ， ，过 的直线交椭圆于P，Q两点，则 的周长为.
【答案】
【分析】由椭圆定义进行求解.
【详解】 焦点在 轴上，
由椭圆定义可知， ，
故 的周长为
故答案为：
13．如图，在加工一个零件时，需要计算A，C两孔中心的距离，已知 mm， mm，
，则 mm．（精确到0.01mm）
【答案】
【分析】根据余弦定理进行求解.
【详解】由余弦定理得
，
其中 ，
故 ，
故 mm.故答案为：
14．如图所示是一系列有机物的结构简图，途中的“小黑点”表示原子，两黑点间的“短线”表示化学键，
按图中结构第n个图有化学键 个．(用含n的代数式表示)
【答案】 /
【分析】由图分别得到第1个图，第2个图，第3个图中化学键的个数,由数的规律找到第 个图中化学键
的个数.
【详解】由图，第1个图中有6个化学键；
第2个图中有11个化学键；
第3个图中有16个化学键，
观察可得,后一个图比前一个图多5个化学键，
则第 个图有 个化学键.
故答案为：
15．已知函数 的定义域为 ，其最小值为2．点 是函数图象上的任意一点，过点 分
别作直线 和 轴的垂线，垂足分别为 ．其中 为坐标原点．给出下列四个结论：
① ； ②不存在点 ，使得 ；
③ 的值恒为 ； ④四边形 面积的最小值为 ．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①③④
【分析】由函数在定义域内的最小值求出 的值验证结论①；设 ，点到直线 的
距离表示出 ，由 是否有解判断结论②；计算 的值判断结论③；④四边形 面
积表示成 的函数，利用基本不等式求最小值判断结论④.【详解】函数 的定义域为 ，其最小值为2，
当 时， 在 上单调递增，没有最小值，不合题意，则有 ，
，当且仅当 ，即 时等号成立，
所以 在 上有最小值 ，得 ，解得 ，结论①成立；
，设 ，则 ， ，
由点 到直线 的距离可得， ，
时，解得 ，此时 ，结论②错误；
，结论③成立；
所在直线方程为 ，与方程 联立，解得 ，
则有 ，则 ，
四边形 面积，
当且仅当 ，即 时等号成立，
所以四边形 面积的最小值为 ，结论④正确.
故答案为：①③④
【点睛】方法点睛：
由函数在定义域内的最小值求出 的值，得到 的解析式，设 坐标，表示出 和 ，判断
是否有解，计算 是否为定值，利用基本不等式求四边形 面积的最小值.
四、解答题：本题共6小题，共85分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。
16．（13分）如图，在菱形ABCD中， ，点P是菱形ABCD所在平面外一点， ，
平面ABCD．平面PCD与平面PAB交于直线l．
(1)求证： 平面ABCD；
(2)求点D到平面PAB的距离．
【答案】(1)证明见解析；(2)
【分析】（1）用线平行于面的性质定理即可；（2）用等体积法即可.
【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是菱形，所以 ，
平面PAB， 平面PAB，
所以 平面PAB，
又平面 平面 ，所以 ．又 平面ABCD， 平面ABCD，
所以 平面ABCD．
（2）解：设点D到平面PAB的距离为d，
因为 ，
因为四边形ABCD为菱形，且 ，
所以 ，
又 ，所以 ．
17．（13分）已知 ，M为平面上一动点，且满足 ，记动点M的轨迹为
曲线E.
(1)求曲线E的方程；
(2)若 ，过点 的动直线 交曲线E于P，Q（不同于A，B）两点，直线AP与直线BQ的
斜率分别记为 ， ，求证： 为定值，并求出定值.
【答案】(1) ；(2)证明见解析；
【分析】（1）利用圆锥曲线的定义即可得曲线方程，但要注意只有双曲线右支；
（2）设直线方程，联立方程组，根据韦达定理进行运算可证 为定值，之后求出定值即可.
【详解】（1）由题可知 ，则 的轨迹是实轴长为 ，
焦点为 即 的双曲线的右支，则 ，
所以曲线 的方程为： (或 ).
（2）由题可知过点 的动直线 斜率存在且不为 ，则设斜率为 ，所以直线 的方程为： ，设 ， ，
联立 ，可得 ，
则 ，可得 ，即 或 ，
则
，
所以 为定值，定值为 .
18．（14分）若 ， ， ，且 的对称中心到对称轴的距离的最小值为 ．
(1)求 的单调区间；
(2)求 在 上的值域．
【答案】(1)单调递增区间为 ， ，单调递减区间为 ， .
(2)
【分析】（1）根据数量积的坐标表示及三角恒等变换公式将函数化简，再根据周期求出 ，即可得到函
数解析式，最后根据正弦函数的性质计算可得；
（2）由 的取值范围，求出 的范围，再由正弦函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为 ， ，且 ，
所以
，
又 的对称中心到对称轴的距离的最小值为 且 ，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ，
令 ， ，解得 ， ，即 的单调递增区间为 ， ，
令 ， ，解得 ， ，
即 的单调递减区间为 ， .
（2）因为 ，则 ，所以 ，
所以 ，则 在 上的值域为 .
19．（15分）已知函数 ．
(1)求 在 处的切线方程；
(2)若 在 上有解，求实数 的取值范围．
【答案】(1) ；(2)
【分析】（1）求得导数，可得切线的斜率和切点，即可得切线的方程；
（2）由题意得 在 上有解．当 时， 在 上有解，令
，讨论 的单调性，求出 的最小值即可得出实数 的取值范围．
【详解】（1） ， ，
所以 在 处的切线方程为： ，即 .
（2）因为 在 上有解，所以 在 上有解，当 时， 在 上有解，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，故 ，
则当 时， ，即 ．
所以，当 时 ；当 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以当 时， ，所以 ，
综上可知，实数 的取值范围是 ．
20．（15分）甲、乙准备进行一局羽毛球比赛，比赛规定：一回合中赢球的一方作为下一回合的发球方.
若甲发球，则本回合甲赢的概率为 ，若乙发球，则本回合甲赢的概率为 ，每回合比赛的结果相互独立.
经抽签决定，第1回合由甲发球.
(1)求第3回合由乙发球的概率；
(2)求前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率.
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）第3回合由乙发球包含两种情况，分别求出概率相加即可得解；
（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，
分别求出概率相加即可.
【详解】（1）由题可知，第3回合由乙发球包含两种情况：第1回合甲赢，第2回合乙赢；第1回合乙赢，
第2回合乙赢，
所以第3回合由乙发球的概率为 .
（2）前3个回合中甲赢的回合数不低于乙，则前3个回合中甲赢的回合数为2或3，甲赢的回合数为3的概率为 ，
甲赢的回合数为2的概率为 ，
所以前3个回合中甲赢的回合数不低于乙的概率为 .
21．（15分）设 是正整数，如果存在非负整数 使得 ，则称 是
好数，否则称 是 坏数．例如： ，所以2是 好数．
(1)分别判断 是否为 好数；
(2)若 是偶数且是 好数，求证： 是 好数，且 是 好数；
(3)求最少的 坏数．
【答案】(1) 都是 好数；(2)证明见解析；(3)
【分析】（1）直接由 好数的定义验证即可.
（2）证明 是 好数时，分是否存在 使得 两种情况讨论即可，证明 是 好
数时，将表达式 中的数分成四类，即： ，从而即可证明.
（3）注意到表达式 ，由此联系到用二进制表示，通过归纳得知最小的 坏数是3，最小的
坏数是11，最小的 坏数是43，最小的 坏数是171，且注意到 ，应该是在破坏
数码和，通过分析得知， 坏数要满足二进制至少有 个数码是1，而且在二进制表示左右两头的1
之间0段的数目至少是 ，由此即可猜出最小的 坏数是 ，从而证明即可得解.
【详解】（1）因为 ，
所以22是 好数；
因为 ，
所以23是 好数；
因为 ，
所以24是 好数.
（2）由题意 是 好数当且仅当 ， 是非负整数，分以下两种情形来
说明 是 好数，
情形一：若存在 ，不妨设为 ，此时 或 ，
则当 时， ，或 ，
因此 ，或 ，
即此时 是 好数；
当 时， ，由题意 ，因此不妨取 ，即 ，
因为 是偶数，所以 ，从而 是 好数；
情形二：若不存在 ，则任取 ，均有 ，当然也有 ，而此时 或 ，
则当 时， ，或 ，
由情形一可知，当 时， ，因此 ，或 ，
即此时 是 好数；
当 时， ，由题意 ，因此不妨取 ，即 ，
因为 ，从而 是 好数；
综上所述：若 是偶数且是 好数，则 是 好数.
若 是偶数且是 好数，接下来我们说明 是 好数，
即已知 是偶数， 是非负整数，
由以上分析可知 或 ， 或 是偶数，
且 ， ， ，
不妨设 ， ，
，
，
所以 ，
因为 均是偶数，
所以 是偶数， 是偶数，
所以 ，，
综上所述，若 是偶数且是 好数，则 也是 好数.
（3）记 ，设 ：
①若 的二进制表示中只有至多有 个1，那么 显然是 好数；
②若 的二进制表示中有至少有 个1，那么 的二进制表示至多有 位。
此时， 的二进制表示中的那些0隔出了若干个1串。
如果一个1串的长度为1，它一定能表示为 ，
如果一个1串的长度大于1，它一定能表示为 ，
假设 是 坏数，长度为1的1串的数量为 ，长度大于1的1串的数量为 ，
那么就意味着 ，
记 ，
如果我们标出每个1串最左边和最右边的1，那么这些1两两不相邻，且总数目为 ，
但事实上，由于一共至多有 位，所以 ，产生矛盾，
这就意味着 一定是 好数.
这就说明，小于 的正整数都是 好数，
接下来我们用反证法来证明 是 坏数，
假设 是 好数，
由于 的二进制表示中，1的个数是大于 的，
所以 的那个表示里，肯定存在负号项，
也就是说 可以表示成两个正整数 之差，不妨设 ，
且 的二进制中1的个数之和不超过 ，
而且我们还可以同时去掉 的那些位数相同的1，全都变成0，所以 可以表示成两个正整数 的差， 的二进制中1的个数之和不超过 ，且没有相同位置的1，
那么就设 的二进制表示中，1的数量分别是 ，
则 ，
那么：(1) 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有 个；
(2)每给 减掉一个 （且 的 位为0），最左最右两个1之间的0段的数目至多增加1个，
增加1个当且仅当减掉的这个位置左边最近的1的左边还是1，且这个位置的右边是0.
(3) 的二进制表示中，最左最右两个1之间有 个0段.
由(1)(2)我们知道， 的二进制表示中，最左最右两个1之间的0段的数目至多有 个，
结合(3)就可以知道 必须等于 ，且(1)，(2)，(3)的每个不等关系都取等.
由于(1)的不等关系取等，
所以 的最后一位必须是0；
但 的最后一位是1，
所以 的最后一位是1，
但是由于(2)的不等关系取等，
所以最后在减掉 这步时，右边还有0，
而这不可能，因为已经是最后一位了，
所以假设不成立，
从而 是 坏数，
所以最小的 坏数是 ，
因此最小的 坏数是 ．
【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，按新定义验证即可；第二问的关键主要是注意到表达式的结构，
分类讨论即可；而第三问的关键是主要要联想到二进制表示，并且要通过归纳分析，演绎推理证明猜想，
从而顺利求解.
