文档文本内容
【匠心编题·直击考点】备战2026 年高考数学
仿真必刷卷07
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共58 分）
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的。
1．设集合
，若
，则
（ ）
A．-3
B．
C．1
D．3
【答案】B
【详解】
则
，因为
，所以
，
所以
，解得：
或
.
当
时，
，
，
，不符合条件.
当
时，
，
，
，符合条件.
综上，
.
2．
的展开式中常数项为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【详解】二项展开式的通项公式为
，
整理得：
，
令
，解得：
，
展开式中常数项为：
.
3．已知向量
是非零向量，且满足
在
方向上的投影向量为
，
，则
的夹角为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用投影向量定义以及向量数量积定义计算可得结果.
【详解】由题意得
，所以
，即
，
于是
，又
，
.
故选：C
4．若直线
上存在点
，圆
上存在点
，使得
，则
的最大值为（ ）
A．0
B．2
C．3
D．4
【答案】D
【分析】设点的坐标，列出二次函数，由存在性列出不等式解不等式求解
【详解】因为点A 在直线上，所以设A 点坐标为
，点B 坐标为
，
因为向量
所以
，即
，
，
所以B 点坐标为
.
又B
在圆上，所以
.
整理得关于
的一元二次方程：
，
因为存在点A 在直线上，所以关于
的一元二次方程有实数解.
故
，
令
，得
，整理
即
，
所以
.
所以
的最大值为4.
5．图1 是菏泽牡丹园中的一座仿古牡丹亭，它的主体部分可看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥拼接而成
的组合体，如图2 所示.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为
，且该几何体的所有顶
点都在球O 的表面上，则球O 的半径为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
【答案】B
【分析】由体积关系可知正四棱柱和正四棱锥的高相等，依题意可得
，即可求
解．
【详解】因为正四棱柱和正四棱锥的体积之比为
，
所以正四棱柱和正四棱锥的高相等，设为，如图，
则
，
则其外接球的半径为
,
解得
，所以
.
6．在
中，
是
中点，
是线段
上一点，且
，
与
交于
点
，
，则四边形
面积的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据给定条件，利用平面向量共线向量定理的推论可得
，再建立平面直角坐标系，
求出点
到边
的距离的最大值，进而可得
，可求四边形
面积的最大值.
【详解】
在
中，
是
中点，
是线段
上一点，且
，
，
令
，则
，又
共线，于是
，
得
，所以
，因为
，所以
，即
，
由
，得
，如图以直线
为
轴，线段
的中垂线为
轴建立平面直角坐标系，
则点
，设
，则
，
整理得
，因此点
的轨迹是以
为圆心，
为半径的圆（除圆与
轴的交点
外），
则点
到边
的距离的最大值为
，所以三角形
的面积的最大值为
.
则
.
所以四边形
面积的最大值为
.
故答案为：D.
7．设a，
，则
是
的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】通过指数幂比大小和充分条件、必要条件求解.
【详解】若
，则有
，
当
时，则
；当
时，则
，故
，
因此由
可推出
，
若
，不一定推出
，如
，
，
所以
是
的充分不必要条件.
8．已知双曲线
与抛物线
有相同的焦点
，抛物线的准线与双
曲线交于
，
两点，三角形
为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点
与另一点
，三角形
的面积为
，则双曲线的方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出
，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出
两点坐
标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出
的关系求解.
【详解】双曲线的右焦点为
，抛物线的焦点为
，
由焦点相同得
，即
，
将抛物线的准线
代入双曲线方程，得
，
，
故
，
，则
，
为等边三角形，
，
双曲线的渐近线方程为：
，
根据对称性，不妨取其中一条渐近线
与抛物线方程联立：
，消元得
，对应
，即
，
，即
，
，得
所以双曲线的方程为：
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部
选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分．
9．下列结论正确的是（ ）
A．若随机变量
，且
，则
B．在回归分析中，残差图中残差比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，且
宽度越窄表示拟合效果越好
C．对
两个变量进行相关性检验，得到相关系数为
，对
两个变量进行相关性检验，得到
相关系数为0.8278，则
与
负相关，
与
正相关，其中
与
的相关性更强
D．若
，则
【答案】ABD
【分析】利用正态分布的三段区间概率及对称性计算可判定A，利用残差的意义可判定B，利用相关系数
的意义可判定C，利用条件概率及全概率公式可判定D.
【详解】由题意得
，
则
，
故选项A 正确；
在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，
表明数据越集中，模型的拟合效果越好，故选项B 正确；
，且
与
负相关，
与
正相关，
且
与
的相关性更强，故选项C 错误；
．
．
．
又根据全概率公式得
，
，故选项D 正确．
故选：ABD
10．已知定义域为R 的奇函数
满足
，
，使得
，
为函数
的导函数且
的定义域为
，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ACD
【详解】对于A，由
可得
，
，
令
，得
，
因为函数
是定义在
上的奇函数，有
，
所以
，故A 正确；
对于B，若
，又因为
，
所以
，此时函数
关于
轴对称，
已知函数
是定义在
上的奇函数，
所以对
与
，使得
矛盾，故B 错误；
对于C，由
得
，两边求导可得
，即
，故C 正确；
对于D，因为函数
是定义在
上的奇函数，
所以
，两边同时求导可得
，
即
，又因为
，
所以
，
，即
，
所以
，
在
中，令
，得
，即
，故D 正确.
11．已知数列
，给出以下定义：对于任意的
，都有
，则称数列
为“友好数
列”；特别地，对于任意的
，都有
，则称数列
为“超越友好数列”，下列说法
正确的是（ ）
A．若数列
满足
，且前n 项和为
，则数列
为“友好数列”
B．若数列
满足
，
，且数列
为“超越友好数列”，则
C．若数列
为“超越友好数列”，
且
，则数列
没有最小项
D．若数列
为“友好数列”，则对于任意的
，当
时，总有
成
立
【答案】ABD
【分析】对于A，判断数列为“友好数列”，满足
即可；对于BC 选项，关键是利用题设得
到
，再结合条件求解判断即可；对于D，关键是利用题设得到
，再
利用累加法，结合放缩法进行判断即可.
【详解】对于A，由
，则
，
对于任意的
，都有
，
故
，所以数列
是“友好数列”，故A 正确；
对于B，因为数列
为“超越友好数列”，
所以对于任意的
，都有
，即
，
又
，
，则
，即
，
所以
，故B 正确；
对于C，因为数列
为“超越友好数列”，
，
所以对于任意的
，都有
，即
，
设
，则数列
为单调递增数列，且
，
所以
，
因为
，所以
，
所以存在
，
时，
，
，
当
时，
，数列
为递减数列；
当
时，
，数列
为递增数列.
因此，数列
存在最小项为
，故C 错误；
对于D，因为
为“友好数列”，
所以对任意的
，都有
，即
，
所以对于任意的
，当
时，
总有
，
所以
.
又
，
所以
.
由于
，故
，故D 正确.
第二部分（非选择题 共92 分）
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分。
12．若直线
与
平行，则
_______．
【答案】
【分析】根据直线平行列方程求解
的值，检验平行即可.
【详解】若直线
与
平行，
则
，解得
，经检验
能使得直线
.
故答案为：
.
13．已知椭圆
的右焦点
与抛物线
的焦点重合，若椭圆
与抛物线
在第一象限的交点为
且
，则椭圆
的离心率为___________．
【答案】
【分析】先由焦点可得
，
，进而可得
，再由椭圆的定义可得椭圆的长轴，从而可得离
心率的值.
【详解】由焦点
，得
，
，所以抛物线的方程为
，准线为
.又由
，得
，所以
，
设椭圆的左焦点为
，有
，故
，则
，
可得离心率为
.
14．如图所示四棱锥
，平面
平面
，
是AB 中点，平面PCD 与平面POD 的夹角的余弦值为
，则线段OP 的长为
___________．
【答案】
【分析】取
中点
，连接
，以
为原点，以
分别为
轴建立空间直角坐标系，求
出平面
与平面
的法向量，然后利用向量夹角公式列式求解即可.
【详解】取
中点
，连接
，则
， 所以
，
，
是
中点，
，
平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
平面
，
平面
，
，
以
为原点，以
分别为
轴建立空间直角坐标系，
设
，
，
则
，
，
，
，
，
，
，
，设平面
的法向量为
，
，
，
取
，解得
，则
，
，
，设平面
的法向量为
，
，
，取
，解得
，
，
，
，
，
，
，
，
设平面
与平面
的夹角为
，则
，
，
，
，
.
故答案为：
四、解答题：本题共5 小题，共77 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13 分）已知复数
，
.
(1)当
时，求
；
(2)设
，记
（
表示复数z 的虚部）.将
图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍
（纵坐标不变）得到函数
的图象，求
的单调递增区间.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据复数的除法求解即可；
（2）利用复数的乘法及三角函数图象的变换求出
，再由正弦型三角函数的单调性求解即可.
【详解】（1）当
时，
所以
.
（2）因为
，所以
，
所以
，
将
图象上所有点的横坐标扩大为原来的2 倍（纵坐标不变）得
，
令
，
解得
，
所以
的单调递增区间是
16．（15 分）如图，在四棱锥
中，侧面
底面
是边长为2 的等边三角形，四
边形
为直角梯形，且
，
是棱
上一动点.
(1)若
为棱
的中点，证明：
平面
；
(2)若
为棱
上靠近
点的三等分点，求平面
与平面
夹角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析 (2)
【分析】（1）找PA 的中点F，证明
即可得出证明.
（2）建立空间直角坐标系，求出平面EBC 和平面ABCD 的法向量，然后根据向量法求两平面夹角的余弦
值即可.
【详解】（1）如图，取
的中点
，连接
.
由
为
的中点，
为
的中点，
，且
，
可得
，
.
所以四边形
为平行四边形，故
.
又
平面
，
平面
，所以
平面
.
（2）取
的中点
，连接
.
由
为等边三角形，得
，
又平面
平面
，平面
平面
，
平面
，
所以
平面
.
由
，
，得四边形
是平行四边形
于是
，又
，则
，直线
两两互相垂直.
以
为坐标原点，直线
分别为
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则
，
所以
.
设平面
的法向量为
，
则
，即
，
令
，可得
.
易知平面
的一个法向量为
.
设平面
与平面
的夹角为
，
则
，
所以平面
与平面
夹角的余弦值为
.
17．（15 分）已知椭圆
，过点
，焦距为
.
(1)求椭圆
的方程和离心率；
(2)设
为椭圆
的右焦点，过点
的直线与椭圆
交于不同两点
（
，
异于椭圆的顶
点）.判断光线
经过
轴反射后是否经过点
？说明理由.
【答案】(1)
，
(2)光线
经过
轴反射后经过点
【分析】（1）由已知条件列出关于
方程组求出
即可求解.
（2）先表示过点
的直线的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理得
、
，计算求解
即可.
【详解】（1）由题可得
，
椭圆
的方程为
，
所以椭圆的离心率
.
（2）如图
为椭圆
的右焦点，
，
设
，
，
设过点
的直线的方程为
，
将直线方程与椭圆方程联立
得
，
展开并整理得
，
则
即
，
且
，
，
，
光线
经过
轴反射后经过点
.
18．（17 分）已知函数
，且
为函数
的极值.
(1)求实数a 的值；
(2)当
时，
恒成立，求实数m 的取值范围；
(3)证明：当
时，
．
【答案】(1)
(2)
或
(3)证明见解析
【分析】（1）利用极值点的必要条件（极值点处导数为0），对
求导后代入
，解方程得到
的
值，再验证导数在
两侧的符号，确认
为极值点；
（2）构造函数
，将恒成立问题转化为
在
上恒成立，即求
的
最小值≥0.通过求导分析
的单调性，分
和
两种情况讨论，结合函数最值解关于
的不等
式，得到
的取值范围；
（3）利用不等式
，得到
，对
进行放缩，转化为可裂项相消的形式，求和后证明
不等式.
【详解】（1）因为
，又
为函数
的极值， 所以
，即
，解得
.
验证极值点：当
时，
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因此
是
的极小值点，符合题意，故
.
（2）由(1)得
，设
，
设
，
.
当
时，
，因此
在
上单调递增，
.
情况1：
此时
，故
，
在
上单调递增，最小值为
.
，解得
或
，结合
，得
.
情况2：
在
上单调递增，且
，
时
，
故存在唯一
，使得
，即
.
当
时，
，
单调递减；
当
时，
，
单调递增.
因此
的最小值为
，代入
，
化简得
，
因
，故
，解得
.
设
，
，
，
故
在
上单调递减，
因此
，
综上所述，实数
的取值范围是
或
.
（3）证明：由(1)得
，因此
.
令
，则
，
当
时，
，当
时，
，
所以
在
上递增，在
上递减，
所以
，所以
所以不等式
（当且仅当
时取等号），
令
，得
，且
时
，故
.
因此对
，有：
，即
因为
，
所以
.
因
时
，故
，即
，不等式得证.
19．（17 分）某科研团队研发的两款AI 围棋机器人（Alpha 星，Beta 翼）进行对抗赛，比赛规则为：共进
行奇数局比赛，全部完成后，获胜局数多的机器人胜出．假设每局比赛中，Alpha 星获胜的概率都是
，各局比赛的结果相互独立，且无平局．
(1)当
时，两款机器人共进行5 局比赛，设两款机器人所赢局数之差的绝对值为
，求
的分布列和
数学期望；
(2)当
时，若两款机器人共进行
且
局比赛，记事件
表示“在前
局比赛中
Alpha 星赢了
局”．事件
表示“Alpha 星最终获胜”.求
值；
(3)若两款机器人共进行了
局比赛，Alpha 星获胜的概率记为
；若两款机器人共进行了
局比赛，Alpha 星获胜的概率记为
；若两款机器人共进行了
局比赛，Alpha 星获胜的概率记
为
．证明：当
时，
．
【答案】(1)分布列见解析，
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）根据二项分布的概念和性质，判断随机变量可能的取值，并根据二项分布概率公式，求出
分布列，进而求出数学期望；
（2）根据比赛最终获胜的条件，判断
在不同情况下，最后的两局胜负情况，根据条件概率计算公式，求
出结果即可；
（3）根据比赛最终获胜的条件，分析
两者之间的递推关系，根据全概率公式，求出递推公式，根据
的范围以及作商法比较
两者之间的大小关系，进而证明结果.
【详解】（1）（1）两款机器人共进行5 局比赛，两款机器人所赢局数之差的绝对值
可能的取值有
，
则
，
，
，
的分布列为
1
3
5
数学期望
.
（2）在前
局比赛中Alpha 星赢的局数
时，第
局全胜，最终也无法获胜，所以
；
当
时，仅当第
局全胜，最终才能赢得比赛，即
；
当
时，第
局至少胜一场，就能最终赢得比赛，即
；
当
时，无论第
局什么结果，都能最终赢得比赛，即
；
综上所述，
.
（3）由全概率公式可知
所以
，
当
时，
，
又因为
，
因为
，所以
，即
.
