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考向 11 构造函数法比较大小
【2022年新高考1卷第7题】 设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】解法1：根据题意，构造函数 ， ， ，
对上述三个函数在 处进行二阶泰勒展开
在 时，显然 即
，
即选C．
解法2：设 ，因为 ，
当 时， ，当 时 ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ，故 ，即 ，
所以 ，所以 ，故 ，所以 ，故 ，
设 ，则 ,令 ， ，
当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
又 ，所以当 时， ，
所以当 时， ，函数 单调递增，
所以 ，即 ，所以 。故选：C.
【2022年甲卷理第12题】已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
解法1：根据题意，构造函数
【解析】
对上述三个函数在 处进行四阶泰勒展开
在 时，显然 即
，
即选A．
解法2：构造函数 ， ，
则 ，
所以 ，因此， 在 上递减，所以 ，即 ．
另一方面， ，显然 时， ，所以 ，即 ．因此 ．即选A．
此类涉及到已知f(x)与f′(x)的一些关系式，比较有关函数式大小的问题，可通过构造新的函数，创造条
件，从而利用单调性求解．
构造函数的考虑方向，主要是利用和、差函数求导法则构造函数:
①对于不等式f'(x)+g'(x)>0(或<0(，构造函数F(x)=f(x)+g(x)；
②对于不等式f'(x)-g'(x)>0(或<0(，构造函数F(x(=f(x)-g(x)；
③特别地，对于不等式f(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)=f(x)-kx.
1．下列命题为真命题的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】对于A选项，构造函数 ，所以 在区间 上
，递减，在 上 ，递增.所以 在 处取得极小值也即是最小值，所以
，即 .所以A选项正确.
对于B选项，由于A选项正确，所以B选项错误.
对于C选项，当 时， ，所以C选项不正确.对于D选项，当 时， ，当且仅当 时等号成立，所以D选项错误.
故选：A
2．已知 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】先用导数证明这两个重要的不等式
① ，当且仅当 时取“=”
， ， ，函数递减， 函数递增
故 时函数取得最小值为0，故 ，当且仅当 时取“=”
② ，当且仅当 时取“=”
， ， ，函数递增， 函数递减，
故 时函数取得最大值为0，故 ，当且仅当 时取“=”
故 ，
故选：C
3．已知 是自然对数的底数， 是圆周率，下列不等式中， ， ， ，正确的个数为
（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】构造函数 ， ，
所以 在区间 上 ， 递增；在区间 上 递减，
由于 ，所以 ，
所以： ，，
，
所以不等式正确的个数为 .
故选：D
4．当 时， ，则下列大小关系正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】根据 得到 ，而 ，
所以根据对数函数的单调性可知 时， ，
从而可得 ，函数 单调递增，所以 ，
而 ，所以有 .
故选D.
【点睛】本题主要考查函数的值的大小比较，在解题的过程中，注意应用导数的符号研究函数的单调性，
利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．
5．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】令函数 ，当 时， ，
所以函数 在区间 上单调递增，则 ，即 ，故充分；但是反之未必成立，比如取 ，易知 ，满足 ，但是不满足
，
所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，
故选：A．
【点睛】方法点睛： 充分条件和必要条件的三种判断方法：①定义法，即根据 ， 进行判断；
②集合法，即由 ， 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；③等价转化法，即根据一个命题
与其逆否命题真假的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题，再进行判断．
6．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】令 ，则
当 时， ，当 时，
即函数 在 上单调递减，在 上单调递增
，由图象易知，令 ，则
由于函数 在 上单调递减， ，
则 在 上有唯一解 ，故 在 上有唯一解
即当 时， ，则函数 在 上单调递减
即 ，即
故选：C
【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于构造函数，利用导数得出函数的单调性，进而得出函数值的大小
关系.
1．（2021·江西·模拟预测（理））若正实数 ， 满足 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】先证明熟知的结论： 恒成立，且当且仅当 时取等号.
设 ,则 ,
在(0,1)上， , 单调递减;在(1,+∞)上， , 单调递增.
故 ,∴ 恒成立，且当且仅当 时取等号.
由 ,
由已知 ，∴ ，且 ，解得 ,
经检验只有B正确，故选：B.
【点睛】本题关键点在于利用基本不等式和熟知的结论 恒成立，且当且仅当 时取等号进行
研究，得到 ，结合已知得到等式，一定要注意基本不等式和 取等号的条件，
才能列出方程组求得 的值.
2．（2022·全国·模拟预测）已知实数a，b，c满足 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又 ，所以 ，由 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，所以 .
故选：A.
【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式 可得 .
3．（2022·福建·莆田二中模拟预测）已知 ，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】当 ，又 ，所以 ，故
记 ，所以 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 单调递减，在 单调递增.
所以 ，即 ，当 时取等号.
所以 ，所以 .
故选：C.
4．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知数列 满足 ， ，其中 是自然对数
的底数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】∵ （当 时等号成立），∴ ，
当 时， ，即 ，
则 ， ，
整理得 ，即 ，
即 ， ， ， ，将 个不等式相加得 ，即 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，即 在 出取得最大值，
，所以 （当 时等号成立），
当 时， （当 时等号成立），
即当 时， ， ， ，
， ，即 ，
同理利用累加法可得 ，即 ，
所以 ，则 ，
故选： .
5．（2022·湖北·鄂南高中模拟预测）下列大小比较中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于选项D,构造函数 ，所以 ，
所以当 时， ，函数 单调递增；当 时， ，函数 单调递减.
所以 .（当且仅当 时取等）则令 ，则 ，化简得 ，故 ，
故 ，故 ，所以选项D错误；
对于选项A， ，
在 中，令 ，则 ，化简得 ，故
，
所以 . 所以 ，所以选项A正确；
对于选项B,在 中，令 ，则 ，所以 ，所以选项B正确；
对于选项C, 所以 ，所以选项C正确.
故选：D
6．（2022·全国·华中师大一附中模拟预测）已知实数a，b， ，e为自然对数的底数，且 ，
， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】解：由 ， ， 得 ， ， ，
构造函数 ，求导得 ，令 ，得 ．
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增．
因为 ，所以 ，所以 ，又因为 ， 在 上单调递减，所以 .
故选：A．
7．（2021·浙江·模拟预测）已知非负函数 的导函数为 ，且 的定义域为 ，若对于定
义域内的任意 ，均满足 ，则下列式子中不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为 ，且 ，可得 ，即 ，
令 ，则 ，所以 ，
所以 在 上单调递增，
对于选项A：由 可得 ，即 ，故选项A正确；
对于选项B：由 可得 ，即 ，得不出
，故选项B不正确；
对于选项C：由 可得 ，即 ，因为 ，所以 ，
可得 ，故选项C正确；
对于选项D：由 可得 ，即 ，故选项D正确；
所以不一定正确的是选项B，
故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据已知条件构造函数 ，并根据单调性比较大小.
二、多选题
8．（2022·河北·衡水市冀州区滏运中学高二期末）下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABCD
【详解】A：构造新函数 ，所以 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，所以当 时，函数有最大
值，最大值为： ，
即 ，因此本选项不等式成立；
B：构造新函数 ，所以 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，所以当 时，函数有最
小值，最小值为： ，
即 ，因此本选项不等式成立；
C：设 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以当 时，函数有最小值，最小值为： ，
即 ，因此本选项不等式成立；
D：设 ，因为 ，所以 单调递减，所以当 时，
有 ，即 ，因此本选项不等式成立，
故选：ABCD
9．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a＜b＜0，则下列不等式正确的是（ ）
A．a2＞ab B．ln（1﹣a）＞ln（1﹣b）
C． D．a+cosb＞b+cosa
【答案】ABC
【详解】A:∵a＜b＜0，∴a2＞ab，∴A正确，
B:∵a＜b＜0，1﹣a＞1﹣b，∴ln（1﹣a）＞ln（1﹣b），∴B正确，
C:∵a＜b＜0，∴ ，∴ ，∴C正确，
D:设f（x）＝x﹣cosx，则 ＝1+sinx≥0，∴f（x）在R上为增函数，
∵a＜b＜0，∴a﹣cosa＜b﹣cosb，a+cosb＜b+cosa，∴D错误．
故选：ABC．
10．（2021·湖北·汉阳一中模拟预测）若 ， 为自然对数的底数，则下列结论错误的是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【详解】令 ，由 ，当 时 ，故 在 上递减，
所以 ，则A错，B正确；
令 ，由 ，当 时有 ，当 时有 ，所以存在 ，有 ，所以 在 上不单调，
在C中， 化为 ，因为 ，故C错，
在D， 化为 ，则D错，
故选：ACD
1.（2021年全国乙卷理第12题）设 ， ， ，则
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根据解法1：题意，显然 ,构造函数
处进行四阶泰勒展开
对上述两个函数在 ，
在 时，显然 即
，
即选B．
解法2：显然 ,令 ，
则 ，因为当 时， ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 .
同理，令 ，则 ，
因为当 时， ，所以 ，
所以 ，即 ，综上 ，选B.
2．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)若 ，则( )(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】对A： 由于 ，∴函数 在 上单调递增，因此 ，A错误；
对B： 由于 ，∴函数 在 上单调递减，
∴ ，B错误；对C： 要比较 和 ，只需比较
和 ，只需比较 和 ，只需 和
构造函数 ，则 ， 在 上单调递增，因此
又由 得 ，∴ ，C正确
对D： 要比较 和 ，只需比较 和
而函数 在 上单调递增，故
又由 得 ，∴ ，D错误
故选C．
3．(2015高考数学新课标2理科)设函数 是奇函数 的导函数， ，当
时， ，则使得 成立的 的取值范围是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】A
解析：记函数 ，则 ，因为当 时， ，故当
时， ，所以 在 单调递减；又因为函数 是奇函数，故函数是偶函数，所以 在 单调递减，且 ．当 时， ，
则 ；当 时， ，则 ，综上所述，使得 成立的 的取值范围
是 ，故选A．
4．（2015新课标Ⅰ理12）设函数 ，其中 ，若存在唯一的整数 ，使得
，则 的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题意可知存在唯一的整数 ，使得 ，设 ，
，由 ，可知 在 上单调递减，在 上单调递增，作
出 与 的大致图象如图所示，故 ，即 ，所以 ．
y
3 g(x)=ex(2x-1)
2
h(x)=ax-a
1
O
–3 –2 –1 1 2
x
–1
