考向 07 指数、对数函数
1.【2022年天津卷第6题】化简 的值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】依题意
2.【2022年浙江卷第7题】已知 ， ，则 （ ）
A．25 B． 5 C． D．
【答案】C
【解析】将 转化为指数，得到 。再结合指数的运算性质， ，因此
，所以 ，故本题选C．
3.【2022年乙卷文科第16题】16．若 是奇函数，则 _______， __________.
【答案】 ，
【解析】 因为 所以其定义域关于原点对称，故 ，由 得 所以 ，所
以 ，此时 ，其定义域为 ;又 是奇函数，故
，即 ，所以 ,此时 满足 .
4. 【2022年北京卷第7题】在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直制冰技术，为实现绿色东奥作出了贡献，如图描述了一定条件下二氧化
碳所处的状态与 和 的关系，其中 表示温度，单位是 ； 表示压强，单位是 .下列结论中正确
的是
（A）当 时，二氧化碳处于液态
（B）当 时，二氧化碳处于气态
（C）当 时，二氧化碳处于超临界状态
（D）当 时，二氧化碳处于超临界状态
【答案】D
【解析】A选项： 由图易知处于固态；
B选项： 由图易知处于液态；
C选项： 由图易知处于固态；
D选项： 由图易知处于超临界状态；
所以选D
5. 【2022年天津卷第5题】 ,比较 的大小.( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】依题意 ,故
6．【2022年甲卷文科第12题】已知 ， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ．
根据 ， 的形式构造函数 ( )，则 ，
令 ，解得 ，由 知 ．
在 上单调递增，所以 ，即 ，又因为 ，所以 ，答案选A．
7．【2022年新高考1卷第7题】设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ， ，
① ， ； ，
所以 ，所以 ，所以
② ， ，
令 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
8．【2022年新高考2卷第14题】写出曲线 过坐标原点的切线方程： ， ．
【答案】 ，
【解析】当 时，点 上的切线为 ．若该切线经过原点，则
，解得 ，此时切线方程为 ．
当 时，点 上的切线为 ．若该切线经过原点，则
，解得 ，此时切线方程为 ．
1.对数的运算首先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后再用对数的运
算性质化简合并将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对
数真数 |的积、商、幂的运算
1.求与指数函数、对数函数或幂函数相关的函数的定义域、值域或单调性相关问题的步骤。
确定函数的定义域及复合函数的内外函数。
讨论内外函数的单调性。
得出复合函数的单调性，进一步得单调区间。
2.比较指（对）数幂大小的常用方法
一是单调性法：不同底的指（对）数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同
底的尽可能化同底．
二是取中间值法：不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0，1)比较大小，然后得
出大小关系．
三是图解法：根据指（对）数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较
大小．
1.指数函数图象的特点
(1)指数函数的图象恒过点(0，1)，(1，a)， ，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．
(2)函数y＝ax与 (a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称．
(3)指数函数y＝ax与y＝bx的图象特征：在第一象限内，图象越高，底数越大；在第二象限内，图象越
高，底数越小．
2．换底公式的三个重要结论
①log b＝；②log mbn＝log b；③log b·log c·logd＝log d.
a a a a b c a
3．对数函数图象的特点
(1)对数函数y＝log x(a>0且a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)， ，函数图象只在第一、
a
四象限．(2)函数y＝log x与y＝log x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．
a
\f(1,a
(3)在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大．
【易错点1】解决与指数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．
【易错点2】在运算性质log Mn＝nlog M中，要特别注意M>0的条件，当n∈N*，且n为偶数时，在
a a
无M>0的条件下应为log Mn＝nlog |M|.
a a
【易错点3】研究对数函数问题应注意函数的定义域．
【易错点4】解决与对数函数有关的问题时，若底数不确定，应注意对a>1及0<a<1进行分类讨论．
1．已知当x>0时，函数f(x)＝(3a－2)x的值总大于1，则实数a的取值范围是( )
A． B．(－∞，1) C．(1，＋∞) D．
【答案】C
【解析】【解析】选C.根据指数函数性质知3a－2>1，解得a>1.故选C.
2.已知 ，y＝3x，y＝10－x，y＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象为( )
2 3 4
【答案】A
【解析】y ＝3x与y ＝10x在R上单调递增； 与y ＝10－x＝ 在R上单调递减，在第一象
2 4 3
限内作直线x＝1(图略)，该直线与四条曲线交点的纵坐标对应各底数，易知选A.
3.若函数y＝a|x|(a>0且a≠1)的值域为{y|y≥1}，则函数y＝log |x|的图象大致是( )
a【答案】B
【解析】由于y＝a|x|的值域为{y|y≥1}，所以a>1，则y＝log |x|在(0，＋∞)上是增函数，又函数y＝log |
a a
x|的图象关于y轴对称．因此y＝log |x|的图象大致为选项B.
a
4．函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是( )
A．a>1，b<0 B．a>1，b>0 C．0<a<1，b>0 D．0<a<1，b<0
【答案】D
【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，所以0<a<1.函数f(x)＝ax
－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，所以b<0.
5.已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则 ( )
A．a>b>c B．a>c>b C．b>c>a D．c>b>a
【答案】
【解析】方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b，由幂函数y＝x0.5在定义域内单调
递增，得c>b，故选D.
方法二：因为＝ <1，且＝ <1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a，故选D.
6．已知log＝m，log 3＝n，则am＋2n＝( )
a a
A．3 B． C．9 D．
【答案】D
【解析】【解析】选D.因为log＝m，log 3＝n，所以am＝，an＝3.
a a
所以am＋2n＝am·a2n＝am·(an)2＝×32＝.
7．设 ，则a，b，c的大小关系是( )
A．a<b<c B．a<c<b C．c<a<b D．c<b<a
【答案】B
【解析】a＝4－＝＝，b＝log ＝log 3>log 2＝1，c＝log 2>log＝，且c＝log 2<log 3＝1，即<c<1，
2 2 3 3 3 3
\f(1,2
所以a<c<b，故选B.
8．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝________．
【答案】【解析】因为2a＝5b＝m>0，所以a＝log m，b＝log m，
2 5
所以＋＝＋＝log 2＋log 5＝log 10＝2.所以m2＝10，所以m＝.
m m m
9．计算： ＋0.1－2＋ 3π0＋＝________．
【答案】100
【解析】原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.
10．已知函数f(x)＝若f(e)＝－3f(0)，则b＝_____，函数f(x)的值域为____．
【答案】2 (－2，e－2]∪(2，＋∞)
【解析】由f(e)＝－3f(0)得1＋b＝－3×(－1)，即b＝2，即函数f(x)＝当x>1时，y＝ln x＋2>2；当x≤1
时，y＝ex－2∈(－2，e－2]．故函数f(x)的值域为(－2，e－2]∪(2，＋∞)．
一、单选题
1．（2022·重庆南开中学模拟预测）设函数 ，则 （ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【解析】设函数 ，则 .
故选：B.
2．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知 ， ，其中 且 ， 且
，若 ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【解析】因为 ，所以 ，得 ，所以 .即 . 因为 ，所以 ，解得 故选：A．
3．（2022·江苏南通·模拟预测）某市卫健委用模型 的回归方程分析 年 月份感染新
冠肺炎病毒的人数，令 后得到的线性回归方程为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】 ，所以， ，解得 .
故选：A.
4．（2022·全国·模拟预测（文））设 ，则 （ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，故 .
故选：C
5．（2022·浙江·模拟预测）己知实数 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 可得 ，
因为 在 上单调递增，且 ， ，所以 ，即 ，
其次， ，所以 ，
又因为 且 单调递增，所以由 可知 ，综上，．
故选：A
6．（2022·福建·三模）深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在
神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 ，其中 表示每一轮优化时使用的学习率， 表示
初始学习率， 表示衰减系数， 表示训练迭代轮数， 表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型
的初始学习率为0.5，衰减速度为22，且当训练迭代轮数为22时，学习率衰减为0.45，则学习率衰减到
0.05以下（不含 ）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据： ， ）
A．11 B．22 C．227 D．481
【答案】D
【解析】由于 ，所以 ，
依题意 ，则 ，
由 得 ，
，
， ，
，
所以所需的训练迭代轮数至少为 轮.
故选：D
7．（2022·天津市武清区杨村第一中学二模）若 且 ，则 （ ）
A．3 B． C． D．
【答案】B【解析】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以 .
故选：B.
8．（2022·湖南师大附中三模）下列两数的大小关系中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】对于A，设 ，则 ，
则当 时， ， 在 上单调递减， ，
即 ，即 ， ，则 ，A错误；
对于B， ， ， ，则 ，B正确；
对于C， ， ， ， ，C错误；
对于D， ，D错误.
故选：B.
9．（2022·四川绵阳·三模（文））在给出的① ；② ；③ ．三个不等式中，
正确的个数为（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】①令 ，则 ， ，
所以 ，在 上 ，即 递减，而 ，
所以 ，即 ，故 ，正确；②令 ，则 ，
又 ，在 上 ，则 递增，
所以，在 上 ，即 ，则 递减，
所以 ，正确；
③ ，而 递增，故 ，错误.
故选：C
二、多选题
10．（2022·湖南·长沙市明德中学二模）已知 ，若 （ 为自然对数的底数），
则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【解析】因为 ，所以 ，即 ，
对于A，因为 ，所以 ，故A正确；
对于B，令 ，则 ，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 ，所以 ，故B错误；
对于C，因为 ，所以 ，当且仅当 ，即 时取等号，所以 ，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
11．（2022·广东·三模）已知 ，e是自然对数的底，若 ，则 的取值可以是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】CD
【解析】设 ，则 在R上单调递增，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，即 ，
所以 ，
设 ， ，
当 ，当 ，
则 在 单调递减，在 单调递增，
，即 ，所以 ，即 ，
故 的取值可以是3和4.
故选：CD.
12．（2022·山东济南·三模）已知函数 ， ．若实数a，b(a，b均
大于1)满足 ，则下列说法正确的是( )
A．函数 在R上单调递增
B．函数 的图象关于 中心对称C．
D．
【答案】AD
【解析】对于A， ，
在 上恒成立，
定义域为 ，即 的定义域关于原点对称，
，
为奇函数，
函数 的图象关于点 中心对称，
， ， 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，
函数 在 上单调递增，故A正确；
对于B， ，
，
函数 的图象关于点 中心对称，故B错误；
对于C， 函数 的图象关于点 中心对称，
， ，
， ，
相当于 向左平移1个单位，和 单调性相同，
函数 在 上单调递增， ， ，
，故C错误；
对于D，令 ， ，
令 ，则
在 上单调递增，
，
，
在 上单调递减，
， ， ，故D正确．
故选：AD．
1．（2021·全国高考真题（理））设 ， ， ．则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数 , ，利用导数分析其
在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f(0)=0,g(0)=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
【详解】
,
所以 ;
下面比较 与 的大小关系.
记 ,则 , ，
由于
所以当0<x<2时， ,即 , ,
所以 在 上单调递增，
所以 ,即 ,即 ;
令 ,则 , ,
由于 ，在x>0时, ,
所以 ,即函数 在[0,+∞)上单调递减，所以 ,即 ,即b<c;
综上， ,
故选：B.
2．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】B【解析】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 ．
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D错误．
故选：B．
【点晴】本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，是一
道中档题．
3．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知55<84，134<85．设a=log 3，b=log 5，c=log 8，则 ( )
5 8 13
.
Aa<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b
【答案】A
【解析】由题意可知 、 、 ，
， ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ；
由 ，得 ，由 ，得 ， ，可得 ．
综上所述， ．
故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性
的应用，考查推理能力，属于中等题．x,y,z 2x 3y 5z
4．(2017年高考数学新课标Ⅰ卷理科)设 为正数,且 ,则 ( )
2x3y5z 5z2x3y 3y5z 2x 3y2x5z
A． B． C． D．
【答案】D
2x 3y 5z k xlog k y log k z log k
【解析】令 ,则 2 , 3 , 5
2x 2lgk lg3 lg9
1
3y lg2 3lgk lg8 2x3y
∴ ,则
2x 2lgk lg5 lg25
1
5z lg2 5lgk lg32 2x5z
,则 ,故选D．
5．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若 ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 得： ，
令 ，
为 上的增函数， 为 上的减函数， 为 上的增函数，
，
， ， ，则A正确，B错误；
与 的大小不确定，故CD无法确定．
故选：A．
【点睛】本题考查对数式的大小的判断问题，解题关键是能够通过构造函数的方式，利用函数的单调
性得到 的大小关系，考查了转化与化归的数学思想．
6．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)已知 , , ,则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A【解析】因为 , ,故选A.
7．(2013高考数学新课标2理科)设 则 ( )
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ,显然
8．(2021年高考全国甲卷理科)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用
五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足
．已知某同学视力的五分记录法的数据为4．9，则其视力的小数记录法的数据为 (
)( )
A．1．5 B．1．2 C．0．8 D．0．6
【答案】C
【解析】由 ，当 时， ，
则 ．
故选：C．
9．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：
°C)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据 得到下面
的散点图：由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方
程类型的是 ( )
.
A B． C． D．
【答案】D
【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，
因此，最适合作为发芽率 和温度 的回归方程类型的是 ．
故选：D．
【点睛】本题考查函数模型的选择，主要观察散点图的分布，属于基础题．
10．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)设函数 ，则f(x) ( )
A．是偶函数，且在 单调递增 B．是奇函数，且在 单调递减
C．是偶函数，且在 单调递增 D．是奇函数，且在 单调递减
【答案】D
【解析】由 得 定义域为 ，关于坐标原点对称，
又 ，
为定义域上的奇函数，可排除AC；
当 时， ，
在 上单调递增， 在 上单调递减，
在 上单调递增，排除B；
当 时， ，在 上单调递减， 在定义域内单调递增，
根据复合函数单调性可知： 在 上单调递减，D正确．
故选：D．
【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，
根据 与 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单
调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论．
11．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领城．有学者
根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：
，其中K为最大确诊病例数．当I( )=0．95K时，标志着已初步遏制疫情，则 约
为 ( )(ln19≈3)
A．60 B．63 C．66 D．69
【答案】C
【解析】 ，所以 ，则 ，
所以， ，解得 ．
故选：C．
12．(2018年高考数学课标卷Ⅰ（理）)已知函数 ， ．若 存
在 个零点，则 的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由 得 ，作出函数 和 的图象如图当直线 的截距 ，即 时，两个函数的图象都有2个交点，即函数 存在2
个零点，故实数 的取值范围是 ，故选C．
13．(2016高考数学课标Ⅰ卷理科)函数 在[–2,2]的图像大致为 ( )
A B C D
【答案】D
【 解 析 1 】 函 数 在 [– 2,2] 上 是 偶 函 数 ， 其 图 象 关 于 轴 对 称 ， 因 为
，所以排除 选项；当 时， 有一零点，设为
，当 时， 为减函数，当 时， 为增函数．故选D．
【解析2】 ，排除A
，排除B
时， ，当 时，
因此 在 单调递减，排除C 故选D．14．(2015高考数学新课标2理科)设函数 , ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】C
【解析】由已知得 ，又 ，所以 ，
故 ，故选C．
