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考向22不等式性质与基本不等式（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

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考向22不等式性质与基本不等式（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

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                            考向 22 不等式性质与基本不
等式
1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数 ， ，
则 ，
所以 ，因此， 在 上递减，所以 ，即 ．
另一方面， ，显然 时， ，
所以 ，即 ．因此 ．
2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知 ， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ．根据 ， 的形式构造函数 ( )，
则 ，令 ，解得 ，由 知 ．在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，答案选A．
3．（2022年新高考1卷第7题）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ， ，
① ，
； ，
所以 ，所以 ，所以
② ，
，
令 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
4．（2022年新高考2卷第12题）对任意 ，则
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由 得
令故 ，故 错， 对；
(其中 )，
故 对， 错.
5. （2022年北京卷第11题）函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；故答案为：
x=x x=x f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1)
6.（2022年乙卷理科第14题）已知 1和 2分别是函数 的极小值
x 1
，则
f '' (x)
在R上单调递增，此时若
f'' (x
0
)=0
，则
f' (x)
在
(−∞,x
0
)
上单调
(x ,+∞) x=x x=x f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1)
递减，在 0 上单调递增，此时若有 1和 2分别是函数
x >x
的极小值点和极大值点，则 1 2，不符合题意。00且a ≠1) x 0
1 2 0
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ，即
1 1
e e e e 1
>elog ⇒alna > ⇒lnalna >ln ⇒ lna>1−ln(lna) 2
lna a (lna) 2 (lna) 2 (lna) 2 lna
a>e
，可解得 或
1 1
0b，ab>0⇒<；(2)a<0b>0，d>c>0⇒>.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则(1)<；>(b－m>0)；(2)>；<(b－m>0)．
3.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；
2．求范围乱用不等式的加法原理致错．
3．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；
4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们
等号成立的条件一致．
1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．pq D．p≥q
【答案】B
【解析】(作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故pb>0，c0 B.－<0 C.> D.<
【答案】D
【解析】因为cac，
又因为cd>0，所以>，即>.
4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【解析】由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当，即时取等号，故选B.
5.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝( )
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【解析】因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，
所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7.
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时取得最小值，于是x＋2y－z
＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y
－z取得最大值2.
7．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有( )
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则b－c>a－d
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
【答案】AD
【解析】因为a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取
4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；因为a>b，c>0，所以ac>bc.故D正确．综上可知，
只有AD正确．故选AD.
8．(多选)给出下面四个推断，其中正确的为( )A．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2
C．若a∈R，a≠0，则＋a≥4
D．若x，y∈R，xy<0，则＋≤－2
【答案】AD
【解析】对于A项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故A项正确；
对于B项，当x，y∈(0，1)时，lg x，lg y∈(－∞，0)，此时lg x＋lg y≥2显然不成立，故B项错误；对于
C项，当a<0时，＋a≥4显然不成立，故C项错误；对于D项，若x，y∈R，xy<0，则－>0，－>0，所以
＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，故D项正确．故选AD.
9．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
【答案】(－π，0)
【解析】由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.
10.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】 ＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
11.已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，所
以的最小值为.
12．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1)
【解析】因为ab2>a>ab，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；
当a<0时，b2<1
．
x2 +1 y2 +1
B．
ln(x2 +1)>ln(y2 +1)
A
sinx>sin y x3 >y3
C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 ，此时 大小不定，排除A，B；由正弦函数的性质，可知C不成立；故选
D．
10．（2014辽宁）已知定义在 上的函数 满足：
① ；
②对所有 ，且 ，有 ．
若对所有 ， 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设 ，当 时， ；
当 时，
，∴ ．11．（2020全国3文12）已知函数 ，则( )
A． 的最小值为2 B． 的图像关于 轴对称
C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于直线 对称
【答案】D
【解析】由题意得 ．对于A，当 时， ，
当 且 仅 当 时 取 等 号 ； 当 时 ，
，当且仅当 时取等号，所以 A错
误．对于B， ，所以 是奇函数，图象关于原点对称，
所 以 B 错 误 ． 对 于 C ， ，
，则 ， 的图象不关于直线 对称，
所 以 C 错 误 ． 对 于 D ， ，，所以 ， 的图象关于直线
对称，所以D正确．故选D．
12．（2020山东11）已知 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D ．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，当且仅当 时，
等号成立，故 A 正确；对于 B， ，所以 ，故 B 正确；对于 C，
，当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等
号成立，故D正确，故选：ABD．
13．（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知 ，故 A 不正确； ，即
恒成立，故B正确；当 时，不等式不成立，故C不正确；当 时，
不等式不成立，故D不正确，故选B．
14．（2013四川）已知函数 在 时取得最小值，则 __．
【答案】【解析】因为 ， ，当且仅当 ，即 ，解得
．
15．（2015陕西）设 ， ，若 ， ，
，则下列关系式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，又 在 上单调递增，故 ，
1 1
(f(a)+f(b)) (lna+lnb)
即 ，∵r= 2 = 2 =
ln√ab
=
f (√ab)
= p，∴ ．
16．（2015北京）设 是等差数列．下列结论中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
．若 ，则 D．若 ，则
C
【答案】C
是递减的等差数列，则选项 都不一定正确．若 为公差为0的等差数列，则选项
【解析】若
D不正确．对于C选项，由条件可知 为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得 ，
由基本不等式得 ，所以C正确．
17．（2020江苏12）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】 ，故 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号．∴ ．18．（2020天津14）已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】 ， ，
，当且仅当 =4时取等号，结合 ，解得
，或 时，等号成立，故答案为： ．
(x1)(2y1)
x0, y 0, x2y 5 xy
19．（2019天津理13）设 ，则 的最小值为 ．
4 3
【答案】
x0 y 0 x2y 5
【解析】 ， ， ，
x12y1
2xyx2y1 2xy6 6
  2 xy 
xy xy xy xy
则 ；
6 6 6
2 xy  � 2 2 xy 4 3 2 xy 
xy xy xy xy 3
由基本不等式， （当且仅当 时，即 ，且
x2

x3
 3
 y 
x2y 5 y 1   2
时，即 或 时，等号成立）．
x12y1
xy 4 3
故 的最小值为 ．
20．(2018天津)已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
1 √ 1
23b−6 + 2 23b−6 ×
【解析】由 ，得 ，所以 =
23b
≥
23b
=
2×2−3
= ，当且
仅当 ，即 时等号成立．
21．(2017北京)已知 ， ，且 ，则 的取值范围是_______．【答案】
【解析】由题意， ，且 ，又 时，
， 时， ，当 时， ，所以 取值范围为
．
22．（2017天津）若 ， ，则 的最小值为___________．
【答案】4
【解析】 ，当且仅当 ，且 ，即 时取
等号．
23．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用
为 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 的值是 ．
【答案】30
600 900 900
【解析】总费用为4x 64(x )42 900 240，当且仅当x ，即 时等号成立．
x x x x30
24．（2017浙江）已知 ，函数 在区间[1，4]上的最大值是5，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴
①当 时， ，
所以 的最大值 ，即 （舍去）
②当 时， ，此时命题成立．
③当 时， ，则
或 ，解得 或 ，综上可得，实数 的取值范围是 ．                        

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