考向22不等式性质与基本不等式（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习

考向 22 不等式性质与基本不
等式
1.（2022年甲卷理科第12题）12．已知 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】构造函数 ， ，
则 ，
所以 ，因此， 在 上递减，所以 ，即 ．
另一方面， ，显然 时， ，
所以 ，即 ．因此 ．
2.（2022年甲卷文科第12题）12．已知 ， ， ，则 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由 ，可得 ．根据 ， 的形式构造函数 ( )，
则 ，令 ，解得 ，由 知 ．在 上单调递增，所以 ，即 ，
又因为 ，所以 ，答案选A．
3．（2022年新高考1卷第7题）设 ， ， ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】令 ， ， ，
① ，
； ，
所以 ，所以 ，所以
② ，
，
令 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，所以 ．
4．（2022年新高考2卷第12题）对任意 ，则
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由 得
令故 ，故 错， 对；
(其中 )，
故 对， 错.
5. （2022年北京卷第11题）函数 的定义域是_________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，解得 且 ，
故函数的定义域为 ；故答案为：
x=x x=x f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1)
6.（2022年乙卷理科第14题）已知 1和 2分别是函数 的极小值
x <x
点和极大值点，若 1 2，则a的取值范围是___________
( 1)
0,
e
【答案】
f' (x)=2(axlna−ex) x=x x=x
【 解 析 】 至 少 要 有 两 个 零 点 1和 2， 我 们 对 其 求 导 ，
f '' (x)=2ax (lna) 2 −2e
，
（1）若
a>1
，则
f '' (x)
在R上单调递增，此时若
f'' (x
0
)=0
，则
f' (x)
在
(−∞,x
0
)
上单调
(x ,+∞) x=x x=x f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1)
递减，在 0 上单调递增，此时若有 1和 2分别是函数
x >x
的极小值点和极大值点，则 1 2，不符合题意。0<a<1 f '' (x) f'' (x
0
)=0 f' (x) (−∞,x
0
)
（2）若 ，则 在R上单调递减，此时若 ，则 在 上
e
x =log
(x ,+∞) 0 a (lna) 2 x=x x=x
0 1 2
单调递增，在 上单调递减，且 。此时若有 和 分别是函数
f(x)=2ax −ex2 (a>0且a ≠1) x <x f' (x )>0
1 2 0
的极小值点和极大值点，且 ，则需满足 ，即
1 1
e e e e 1
>elog ⇒alna > ⇒lnalna >ln ⇒ lna>1−ln(lna) 2
lna a (lna) 2 (lna) 2 (lna) 2 lna
a>e
，可解得 或
1 1
0<a< 0<a<
e 0<a<1 e
，由于 ，取交集即得 。
技巧一：加上一个数或减去一个数使和或积为定值
技巧二：平方后再使用基本不等式----一般地，含有根式的最值问题，首先考虑平方后求最值．
技巧三：展开后求最值----对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
技巧四：形如型函数变形后使用基本不等式-----若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．
技巧五：用“1”的代换法求最值
技巧六：代换减元求最值
技巧七：比较两个数(式)大小的方法有作差法、作商法、构造函数法
1．倒数性质
(1)a>b，ab>0⇒<；(2)a<0<b⇒<；(3)a>b>0，d>c>0⇒>.
2．有关分数的性质
若a>b>0，m>0，则(1)<；>(b－m>0)；(2)>；<(b－m>0)．
3.几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
1．在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变；
2．求范围乱用不等式的加法原理致错．
3．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；
4．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们
等号成立的条件一致．
1．若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为( )
A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q
【答案】B
【解析】(作差法)p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)·
＝＝，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B.
2．若6<a<10，≤b≤2a，c＝a＋b，则c的取值范围是( )
A．[9，18] B．(15，30) C．[9，30] D．(9，30)
【答案】D
【解析】因为≤b≤2a，所以≤a＋b≤3a，即≤c≤3a，因为6<a<10，所以9<c<30.故选D.
3．若a>b>0，c<d<0，则一定有( )A.－>0 B.－<0 C.> D.<
【答案】D
【解析】因为c<d<0，所以0<－d<－c，又0<b<a，所以－bd<－ac，即bd>ac，
又因为cd>0，所以>，即>.
4．已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为( )
A．12 B．16 C．20 D．24
【答案】B
【解析】由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当，即时取等号，故选B.
5.已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则2a＋3b＝( )
A．9 B．7 C．5 D．3
【答案】B
【解析】因为x>－1，所以x＋1>0，
所以y＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，
当且仅当x＋1＝，即x＝2时取等号，
所以y取得最小值b＝1，此时x＝a＝2，所以2a＋3b＝7.
6．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为( )
A．0 B． C．2 D．
【答案】C
【解析】z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时取得最小值，于是x＋2y－z
＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y
－z取得最大值2.
7．(多选)若a，b，c∈R，给出下列命题中，正确的有( )
A．若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B．若a>b，c>d，则b－c>a－d
C．若a>b，c>d，则ac>bd
D．若a>b，c>0，则ac>bc
【答案】AD
【解析】因为a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故A正确；由A正确，可知B不正确；取
4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故C不正确；因为a>b，c>0，所以ac>bc.故D正确．综上可知，
只有AD正确．故选AD.
8．(多选)给出下面四个推断，其中正确的为( )A．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2
C．若a∈R，a≠0，则＋a≥4
D．若x，y∈R，xy<0，则＋≤－2
【答案】AD
【解析】对于A项，因为a，b∈(0，＋∞)，所以＋≥2＝2，当且仅当＝，即a＝b时取等号，故A项正确；
对于B项，当x，y∈(0，1)时，lg x，lg y∈(－∞，0)，此时lg x＋lg y≥2显然不成立，故B项错误；对于
C项，当a<0时，＋a≥4显然不成立，故C项错误；对于D项，若x，y∈R，xy<0，则－>0，－>0，所以
＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－＝－，即x＝－y时取等号，故D项正确．故选AD.
9．若－<α<β<，则α－β的取值范围是________．
【答案】(－π，0)
【解析】由－<α<，－<－β<，α<β，得－π<α－β<0.
10.已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【答案】9
【解析】 ＝＝·＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
11.已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为________．
【答案】
【解析】因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，所
以的最小值为.
12．已知存在实数a满足ab2>a>ab，则实数b的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1)
【解析】因为ab2>a>ab，所以a≠0，当a>0时，b2>1>b，即解得b<－1；
当a<0时，b2<1<b，即无解．综上可得b<－1.
一、单选题
1．（2022·浙江浙江·二模）已知 ， ，且 ，则下列结论正确的个数是（ ）
① 的最小值是4； ② 恒成立；③ 恒成立； ④ 的最大值是 ．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】① ,当且仅当 ，即 ，即 等号成立，
而 ，故错误；
②令 ，因为 ， ，且 ，所以 ， ，则
，所以 在 上递减，则 ，即 ，故正确；
③因为 ， ，且 ，所以 ，当且仅当 时，等号成立，则
，故正确；
④因为 ，
令 ，则 ，
令 ，解得
当 时， ，当 时， ，
所以当 时， 取得最大值 ，故正确．
故选：C
2．（2022·江西·二模（理））已知命题 ：存在 ，使得 ，命题 ：对任意的 ，都
有 ，命题 ：存在 ，使得 ，其中正确命题的个数是（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】当 时，显然 成立；当 时，可知 不成立；由辅助角得
，所以所以 的最大值为5，所以 为假.
故选：B
3．（2021·北京市育英学校模拟预测）设 ，则下列不等式中正确的是
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，由基本不等式得 ，∴
故选：B.
4．（2021·全国·模拟预测）已知 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 的最小值为
C． D．
【答案】C
【解析】记 有 ，则 ，易知 时有 ，A错误；
，当且仅当 时取等号，所以最小值为 ，
B错误；
记 ，则 等价于 ，记 ，则 ，
∴ ，即 单调递增，有 ，
∴ 单调递减，则有 ，不等式得证，C正确；
取 ， ，有 ，D错误．
故选：C
5．（2021·浙江·二模）已知等差数列 ，正整数 ， ， ， 满足 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
【答案】D
【解析】由 为等差数列，且 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时，取等号，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 不能为无理数，故 的取值范围是不符合ABC选项..
故选：D
6．（2021·四川达州·二模（理））已知 是圆 上的点，下列结论正确的是（ ）
A． B． 最大值是
C． D．【答案】C
【解析】根据题意，点 是圆 上的点，可得 ，
由 ，可得 ，当且仅当 时等号成立，所以A不正确；
由 ，当且仅当 ，即 时等号成立，即 最小值是
，所以B不正确；
由 ，可得 ，则 ，
又由 ，所以 ，根据指数函数的性质，可得 成立，所以C正确；
由 ，又由 ，
因为 ，可得 符合不确定，所以 和 大小不确定，
所以D不正确.
故选：C.
二、多选题
7．（2022·江苏南京·三模）设 ，a∈R，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．“a＞1”是“ ”的充分不必要条件
C．“P＞3”是“a＞2”的必要不充分条件
D．a∈（3，＋∞），使得P＜3
【答案】BC
【解析】A错误，当 时，显然有P小于0
B正确， 时， ，故充分性成立，而 只需 即可；C正确， 可得 或 ，当 时 成立的，故C正确；
D错误，因为 有 ，故D错误；
故选：BC.
8．（2022·辽宁·二模）下列结论正确的是( )
A．“ ”是“ ”的充分不必要条件
B．
C．已知在前n项和为Sn的等差数列{ }中，若 ，则
D．已知 ，则 的最小值为8
【答案】AD
【解析】对于A，由 或 ，故A正确；
对于B， ，故B错误；
对于C， ，故C错误；
对于D， ，当且仅当 时取
等号，故D正确﹒
故选：AD．
三、填空题9．（2022·四川泸州·三模（理））已知x、 ，且 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ ．
其中一定成立的结论是______(写出所有成立结论的编号)．
【答案】①④
【解析】对于①，∵ ，
∴由 得， ，
即 ，解得 (当且仅当 时取等号)，故①一定成立；
对于②，当 3时， 成立，但 不成立，故②不一定成立；
对于③，当 时，由 得 ，
则 ，即 ，故③不一定成立；
④将 两边平方得 ，
∴ ，
由①可知：
，
∴ ，当且仅当 时取等号，因此④一定成立﹒
故答案为：①④﹒
10．（2021·河南·模拟预测（文））已知关于 的方程 有两个实根 ， ，则下列
不等式中正确的有______.（填写所有正确结论的序号）
① ； ②
③ ； ④ .
【答案】①【解析】因为 ，所以 或 ，
所以 或 ，
因为关于 的方程 有两个实根 ， ，
所以 ， ，
对于①②，
，
所以 ，所以①正确，②错误.
对于③④， ，
因为 .
,
所以 或者 .
所以③④错误.
故答案为：①
1．（2020全国I理14）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设 ，则 为增函数，∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ．
∴ ，
当 时， ，此时 ，有 ；当 时， ，
此时 ，有 ，∴C、D错误，故选B．
2．（2020天津6）设 ，则 的大小关系为( )
A． B． C． D．
【答案】D
【 解 析 】 由 题 知 ， ， 易 知 函 数 在 上 单 调 递 增 ， 所 以
，所以 ，故选D．
3．（2019•新课标Ⅱ，理6）若 ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】取 ， ，则 ，排除 ； ，排除 ；
，故 对； ，排除 ．故选 ．
4．（2016•新课标Ⅰ，理8）若 ， ，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】 ， ， 函数 在 上为增函数，故 ，故 错误，
∵函数 在 上为减函数，故 ，故 ，即 ；故 错误；∵ ，且 ， ，即 ，即 ．故 错误；
，故 ，即 ，即 ，故 正确；故选
．
5．（2016•新课标Ⅰ，文8）若 ， ，则
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】 ， ， ，故 正确； 当 时， ，故 错
误； ，故 错误； ，故 错误，故选 ．
a b0 ab1
6．（2017山东）若 ，且 ，则下列不等式成立的是
1 b b 1
a  log ab log aba
b 2a 2 2a 2 b
A． B．
1 b 1 b
a log ab log aba 
C． b 2 2a D． 2 b 2a
【答案】B
【解析】解法一：取 ， ，则 ， ， ，所
b 1
log aba
2a 2 b
以 ， 选B．
解法二：由题意 ， ，所以 ， ，又 ，所以
b 1
log aba
2a 2 b
，所以 ，故 ，
选B．
7．(2016年北京)已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，选项A，取 ，则 ，排除A；
选项B，取 ，则 ，排除B；选项D， ，则 ，排除D，故选C．
8．（2014山东）若 ， ，则一定有（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由 ，又 ，由不等式性质知： ，所以 ，
故选D．
9．（2014四川）已知实数x,y满足 ax <ay (0<a<1) ，则下列关系式恒成立的是
1 1
>
．
x2 +1 y2 +1
B．
ln(x2 +1)>ln(y2 +1)
A
sinx>sin y x3 >y3
C． D．
【答案】D
【解析】由已知得 ，此时 大小不定，排除A，B；由正弦函数的性质，可知C不成立；故选
D．
10．（2014辽宁）已知定义在 上的函数 满足：
① ；
②对所有 ，且 ，有 ．
若对所有 ， 恒成立，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】不妨设 ，当 时， ；
当 时，
，∴ ．11．（2020全国3文12）已知函数 ，则( )
A． 的最小值为2 B． 的图像关于 轴对称
C． 的图像关于直线 对称 D． 的图像关于直线 对称
【答案】D
【解析】由题意得 ．对于A，当 时， ，
当 且 仅 当 时 取 等 号 ； 当 时 ，
，当且仅当 时取等号，所以 A错
误．对于B， ，所以 是奇函数，图象关于原点对称，
所 以 B 错 误 ． 对 于 C ， ，
，则 ， 的图象不关于直线 对称，
所 以 C 错 误 ． 对 于 D ， ，，所以 ， 的图象关于直线
对称，所以D正确．故选D．
12．（2020山东11）已知 ， ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D ．
【答案】ABD
【解析】对于A， ，当且仅当 时，
等号成立，故 A 正确；对于 B， ，所以 ，故 B 正确；对于 C，
，当且仅当 时，等号成立，故C不正确；
对于D，因为 ，所以 ，当且仅当 时，等
号成立，故D正确，故选：ABD．
13．（2020上海13）下列不等式恒成立的是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由基本不等式可知 ，故 A 不正确； ，即
恒成立，故B正确；当 时，不等式不成立，故C不正确；当 时，
不等式不成立，故D不正确，故选B．
14．（2013四川）已知函数 在 时取得最小值，则 __．
【答案】【解析】因为 ， ，当且仅当 ，即 ，解得
．
15．（2015陕西）设 ， ，若 ， ，
，则下列关系式中正确的是
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】∵ ，∴ ，又 在 上单调递增，故 ，
1 1
(f(a)+f(b)) (lna+lnb)
即 ，∵r= 2 = 2 =
ln√ab
=
f (√ab)
= p，∴ ．
16．（2015北京）设 是等差数列．下列结论中正确的是
A．若 ，则 B．若 ，则
．若 ，则 D．若 ，则
C
【答案】C
是递减的等差数列，则选项 都不一定正确．若 为公差为0的等差数列，则选项
【解析】若
D不正确．对于C选项，由条件可知 为公差不为0的正确数列，由等差中项的性质得 ，
由基本不等式得 ，所以C正确．
17．（2020江苏12）已知 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【解析】 ，故 ，
当且仅当 ，即 ， 时，取等号．∴ ．18．（2020天津14）已知 ，且 ，则 的最小值为_________．
【答案】4
【解析】 ， ，
，当且仅当 =4时取等号，结合 ，解得
，或 时，等号成立，故答案为： ．
(x1)(2y1)
x0, y 0, x2y 5 xy
19．（2019天津理13）设 ，则 的最小值为 ．
4 3
【答案】
x0 y 0 x2y 5
【解析】 ， ， ，
x12y1
2xyx2y1 2xy6 6
  2 xy 
xy xy xy xy
则 ；
6 6 6
2 xy  � 2 2 xy 4 3 2 xy 
xy xy xy xy 3
由基本不等式， （当且仅当 时，即 ，且
x2

x3
 3
 y 
x2y 5 y 1   2
时，即 或 时，等号成立）．
x12y1
xy 4 3
故 的最小值为 ．
20．(2018天津)已知 ，且 ，则 的最小值为 ．
【答案】
1 √ 1
23b−6 + 2 23b−6 ×
【解析】由 ，得 ，所以 =
23b
≥
23b
=
2×2−3
= ，当且
仅当 ，即 时等号成立．
21．(2017北京)已知 ， ，且 ，则 的取值范围是_______．【答案】
【解析】由题意， ，且 ，又 时，
， 时， ，当 时， ，所以 取值范围为
．
22．（2017天津）若 ， ，则 的最小值为___________．
【答案】4
【解析】 ，当且仅当 ，且 ，即 时取
等号．
23．（2017江苏）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用
为 万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小，则 的值是 ．
【答案】30
600 900 900
【解析】总费用为4x 64(x )42 900 240，当且仅当x ，即 时等号成立．
x x x x30
24．（2017浙江）已知 ，函数 在区间[1，4]上的最大值是5，则 的取值范围
是 ．
【答案】
【解析】∵ ，∴
①当 时， ，
所以 的最大值 ，即 （舍去）
②当 时， ，此时命题成立．
③当 时， ，则
或 ，解得 或 ，综上可得，实数 的取值范围是 ．