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第12 讲：拓展五：利用洛必达法则解决导数问题
目录
类型一：洛必达法则的简单计算.............................................................................................2
类型二：洛必达法则在导数中的应用......................................................................................4
一、
型及
型未定式
1、定义：如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零（或都趋于无
穷大），那么极限
（或
）可能存在、也可能不存在.通常把这种极限
称为
型及
型未定式.
2、定理1（
型）：（1）设当
时，
及
；
（2）在
点的某个去心邻域内（点
的去心邻域
内）都有
，
都存在，且
；
（3）
；
则：
.
3 、定理2 （
型）： 若函数
和
满足下列条件：(1)
及
；
(2)
，
和
在
与
上可导，且
；
(3)
，
那么
.
4 、定理3 （
型）：若函数
和
满足下列条件：(1)
及
；
(2)在点
的去心邻域
内，
与
可导且
；
(3)
，
那么
=
.
5、将上面公式中的
,
,
,
洛必达法则也成立.
6、若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止:
,如满足条件，可继续使用洛必达法则.
二、
型
、
、
、
型
1、
型的转化：
或
；
2、
型的转化：
3、
、
型的转化：幂指函数类
类型一：洛必达法则的简单计算
典型例题
例题1．（23-24 高二下·北京朝阳·期中）两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存
在，也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、
分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如
，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】根据洛必达法则求解即可.
【详解】
.
故选：B
例题2．（24-25 高二下·重庆万州·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构
称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷小之比的极限可能存在，
也可能不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母
分别求导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
．
【答案】
/0.5
【分析】依据洛必达法则去计算即可解决.
【详解】
故答案为：
精练高频考点
1．（23-24 高二下·吉林长春·期中）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创
造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件
下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：
，按此法则有
（ ）
A．2
B．1
C．0
D．-2
【答案】A
【分析】根据洛必达法则直接求导并代入计算即可.
【详解】由题意可得
，
故选：A.
2．（25-26 高二下·重庆江北·阶段练习）我们把分子、分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：当
时，
的极限即为
型．两个无穷小之比的极限可能存在，也可能
不存在，为此，洛必达在1696 年提出洛必达法则：在一定条件下通过对分子、分母分别求
导再求极限来确定未定式值的方法．如：
，则
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】利用洛必达法则直接求解即可
【详解】
，
故选：D
3．（24-25 高三上·湖北襄阳）我们把分子，分母同时趋近于0 的分式结构称为
型，比如：
当
时，
的极限即为
型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可能不存在．早
在1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达法则），用以
寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子、分母
分别求导再求极限来确定未定式值的方法．
如：
，则
．
【答案】2
【分析】根据题设对分子、分母分别求导再求极限即得.
【详解】由题可得
.
故答案为：2.
类型二：洛必达法则在导数中的应用
典型例题
例题1．（2025·江苏徐州·模拟预测）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法
则：给定两个函数
，当
时，
.已知函数
，
.
(1)对于
恒成立，求实数
的取值范围；
(2)
，证明：
（附：
）.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）先把不等式恒成立转化为
，再结合函数单调性得出函数值范围
即可求参；
（2）构造函数
，根据导函数得出函数单调性即可证明不等式
再结合累加法及等比数列求和即可证明.
【详解】（1）当
时，
，成立.当
时，由
可得
，
令
，
，
令
，则
，
令
，则
，
若
，则
单调递减，
单调递减，
，
在
上单调递减，
若
，则
单调递增，
，即
存在唯一
，使得
，且在
上，
单调递减，在
上，
单调递增，
且
，
在区间
上单调递减，且
在
上连续，
综上，
在区间
上单调递减.
所以
在
上单调递减，
.
由洛必达法则：
，
.
（2）当
且
时，
，令
，
则
，令
，则
，
在
上单调递增，
，
即
在
上单调递增，
（当
时取等号），
，
，
，
，
即
.
例题2．（2024 高三·全国·专题练习）设函数
，
(1)若
，
（
为常数），求
的解析式；
(2)在（1）条件下，若当
时，
，求
的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据
，
求解；
（2）由（1）知
时，
，此时，
，将问题转化为
对
恒成立求解．
【详解】（1）解：因为
，
，
所以
，
，
解得
，
所以
；
（2）由（1）可知，
时，
，此时，
；
故
时，
成立
时，
成立，
对
恒成立，
即
对
恒成立；
记
，则
，
记
，则
，
记
，则
，
∴当
0 时，
，
在
上单调递增；
，
所以
在
上单调递增；
；
∴
时，
0，即
在
上单调递增；
记
，
，
当
时，
，
符合洛必达法则条件，
∴
，
∴
时，
，
∴
．
【点睛】方法点睛：不等式
恒成立问题，往往通过
求解或转化为
或
求解.
例题3．（24-25 高三上·湖北·期末）1696 年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创
造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，算法之一为：若函数
和
满足下列条件：
①
，
②在点a 的去心邻域内
与
可导，且
③
，那么
据此回答下面问题：
(1)求
的值，并用导数的定义证明：
(2)已知
（i）求函数
的单调递减区间;
（ii）若
对任意
恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】(1)1，证明见解析
(2)（i）
,
；（ii）
【分析】（1）利用导数的新定义结合导数的定义直接求解即可；（2）（i）求导后解不等
式即可；（ii）转化为不等式成立，分类求出函数的最大值即可.
【详解】（1）
，
依据导数的定义：
（2）（i）因为
，定义域为R，
所以
，
令
，解之得：
，
所以
的单调递减区间为
，
（ii）因为
对任意
恒成立，且当
时，不等式显然成立，
所以，当
时，原式可转化为
恒成立，
令
，即
，
因为
，
令
，
，
当
时，
，
，
在
上单调递减，
所以
，
即
时
，
所以
在
上单调递减，
，
所以
，
当
时，
因为
，
所以
，
所以
，
所以
，
综上可知：实数a 的取值范围为
【点睛】方法点睛：1.导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数
的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的
零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
2.利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程
中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.
3.证明不等式，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问
题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.
精练高频考点
1．（2024·河北邢台·二模）在函数极限的运算过程中，洛必达法则是解决未定式
型或
型极限的一种重要方法，其含义为：若函数
和
满足下列条件：
①
且
（或
，
）；
②在点
的附近区域内两者都可导，且
；
③
（
可为实数，也可为
），则
．
(1)用洛必达法则求
；
(2)函数
（
，
），判断并说明
的零点个
数；
(3)已知
，
，
，求
的解析式．
参考公式：
，
．
【答案】(1)
(2)仅在
时存在1 个零点，理由见解析
(3)
【分析】（1）利用洛必达法则求解即可；
（2）构造函数
，结合
的单调性求解即可；
（3）利用累乘法求出
的表达式，然后结合
，利用洛必达法则求极限即可.
【详解】（1）
（2）
，
，
所以
，
．
当
时，
，函数
在
上单调递减，
当
时，
，函数
在
上单调递增，
，
，
当
时，
，所以仅在
时存在1 个零点．
（3）
，所以
，
，…，
将各式相乘得
，
两侧同时运算极限，所以
，
即
，
令
，原式可化为
，又
，
由（1）得
，
故
，由题意函数
的定义域为
，
综上，
【点睛】方法点睛：本题考查新定义，注意理解新定义，结合洛必达法则的适用条件，构
造函数
，从而利用洛必达法则求极限.
2．（23-24 高二下·山东泰安·期中）①在高等数学中，关于极限的计算，常会用到：i)四则
运算法则：如果
，
，则
，
，
若B≠0，则
；ii)洛必达法则：若函数
，
的导函数分别为
，
，
，
，则
；
②设
，k 是大于1 的正整数，若函数
满足：对
，均有
成
立，则称函数
为区间(0,a)上的k 阶无穷递降函数.结合以上两个信息，回答下列问题；
(1)计算：①
；
②
；
(2)试判断
是否为区间
上的2 阶无穷递降函数；并证明：
，
.
【答案】(1)①1；②
(2)是，证明见解析
【分析】（1）① 根据题干中洛必达法则进行计算即可得解；②设
，根据洛必
达法则求出
，利用变换
得解；
（2）方法一，
，均有
，同理可得
，利用洛必达
法则1 可得
，得证；
方法二，利用导数可得
在
上单调递增，又由
，得证．
【详解】（1）①根据洛必达法则，
；
②设
，两边同时取对数得，
，
设
，
，
∴
，∴
（2）∵
，
，
∴
，
，
，
∴
∴
，均有
，
∴
是区间
上的2 阶无穷递降函数.
方法一：
以上同理可得
，
由①
，得
∴
，
.
方法二：
设
，
，
则
设
，
，则
∴
在
上单调递增，又
，∴
在
上恒成立，
∴
∴
在
上单调递增，∵
，
∴
在
上但成立，∴
，
∴
在
上单调递增，
又
∴
，
.
【点睛】思路点睛：本题考查新定义，注意理解新定义.第1 小题，构造函数
，
根据洛必达法则求出
，得解； 第2 小题，方法1 先证明
是区间
上的2 阶无穷递降函数，同理可得
，根据洛必达法则可得
；方法2，利用导数可判断
在
上单调递增，再根据洛必达法则求
出
，即可.
3．（24-25 高二下·辽宁鞍山·期中）极限，是微积分学中一个重要概念.有些简单函数的求
极限是可以直接写出的，例如，
.如果当
（或
）时，两个函数
与
都趋于零或都趋于无穷大，那么我们通常把极限
叫作未定式，并分别简
记为
或
.当
（或
），极限
为未定式且
、
、
存在
时，有：
.这种在一定条件下通过分子分
母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则（
）.
(1)使用洛必达法则，求极限；
①
；②
；③
(2)求极限（选择一个可用合适方式解答的式子作答，多个题目作答，以第一道作答题目计
分）：
①
；②
；③
；
(3)
且
，
，
恒成立.
①直接写出
解析式；
②求
的取值范围.
【答案】(1)①7，②2，③
(2)①1，②1，③1
(3)①
，②
【分析】（1）先判断是否符合洛必达法则类型，再依据洛必达法则去计算即可解决；
（2）将选择的式子化简结合极限的定义求解；
（3）①通过求导的逆向过程求出原函数；②分析恒成立问题，转化为最值问题，利用导数
求出最值得解.
【详解】（1）①对于
，当
时，分子
，分母
，属
于
型，
；
②对于
，属于
型，
；
③对于
，属于
型，
.
（2）①
；
②
；
③
.
（3）①由
，则
，又
，
，得
，
.
②对
，
恒成立，
即
，
令
，则
，
，
令
，则
，
当
时，
，
单调递减，
当
时，
，
单调递增，
所以
，即
，
所以当
和
时，
，当
时，
，
即
在
和
上单调递减，在
上单调递增，
又
，
，
，即
的取值范围为
.
4．（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，如果当
，且
时，
，求
的取值范围．
【答案】
【分析】将题意转化为
，令
，利用洛必达法则求出
，即可得出答案.
【详解】根据题目的条件，当
且
时，
得
，等价于
．
设
，
，
因为
，设
，
则
，
所以
在
上单调递增，
因为
，所以当
时，
，
即
在
上单调递减，当
在
上单调递增．
当
趋近时，
趋近
，当
趋近时，
趋近
，
所以
符合洛必达法则的条件，
即
，
所以当
时，
所以
的取值范围是
．
