第14 讲 导数的概念与运算 · 讲义（解析卷）
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
知识点一：导数的概念和几何性质......................................................................................2
知识点二：导数的运算..........................................................................................................2
三、典题精讲......................................................................................................................................3
考点一：导数的概念与物理意义..........................................................................................3
考点二：导数的运算..............................................................................................................4
考点三：导数的几何意义......................................................................................................6
考点四：牛顿迭代法（拓展）..............................................................................................8
四、高考真题......................................................................................................................................9
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容与方式
2026
第4 题 单选
5 分
直接
导数的几何意义，求曲线在某点处的切线方程
2026
第6 题 单选
5 分
间接
利用导数求函数的最值
2025
第12 题 填
空
5 分
直接
导数的几何意义，已知切线求参数
2025
第16 题 解
答
15 分
直接
导数的运算，多项式求导与数列结合
2025
第19 题 解
答
17 分
间接
利用导数研究三角函数的单调性与最值
2024
第6 题 单选
5 分
间接
利用导数研究分段函数的单调性
2024
第10 题 多
选
6 分
间接
利用导数研究函数的单调性与极值
2024
第13 题 填
空
5 分
直接
导数的几何意义，求两曲线的公切线
2024
第18 题 解
答
17 分
间接
利用导数研究函数的单调性、最值及恒成立问题
近三年全国一卷中，对导数的概念与运算的直接考查主要集中在导数的几何意义（切
线问题）和导数运算上，常以单选题或填空题形式出现.同时，导数运算作为工具，在解
答题中被广泛间接考查，是解决压轴题的必备技能.
2. 命题角度与特色
核心考点：导数的几何意义（切线方程、公切线问题、已知切线求参数）是高考高频
考点，常在客观题中直接考查.导数的运算则是解决所有导数应用题的基础.
命题趋势：基础题型以切线问题为主，难度中等，侧重考查“在某点处”与“过某
点”的切线区别，以及公切线问题.导数运算常与数列、三角函数等其他知识交汇考查.
试题特点：切线问题常结合指数函数、对数函数进行考查，要求熟练掌握基本初等函
数的导数公式.解答题中的导数应用题则对导数运算的准确性提出了极高要求.
3. 备考策略
· 熟练掌握基本初等函数的导数公式及四则运算法则，确保求导过程准确无误.
· 深刻理解导数的几何意义，牢记“切点既在曲线上，又在切线上”这一核心条件，
熟练处理“在点处”和“过某点”的切线问题.
· 掌握公切线问题的通法，即“双切点法”，通过设出两个切点构建方程组求解.
二、知识清单
知识点一：导数的概念和几何性质
1. 概念
函数f ( x)在x = x0处瞬时变化率是lim ¿Δ x→0
Δ y
Δ x =lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0)
Δ x
¿¿，我们
称它为函数y = f ( x)在x = x0处的导数，记作f
'( x0)或y
'|x = x0.
知识点诠释：
①增量Δ x可以是正数，也可以是负，但是不可以等于0. Δ x→0的意义：Δ x与0之间
距离要多近有多近，即| Δ x -0|可以小于给定的任意小的正数；
②当Δ x→0时，Δ y在变化中都趋于0，但它们的比值却趋于一个确定的常数，即存在
一个常数与Δ y
Δ x = f ( x0+ Δ x)- f ( x0)
Δ x
无限接近；
③导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率.如瞬时速度即
是位移在这一时刻的瞬间变化率，即f
'( x0)=lim ¿Δ x→0
Δ y
Δ x =lim ¿Δ x→0
f ( x0+ Δ x)- f ( x0)
Δ x
¿¿.
【易错提醒】利用导数定义求极限时，必须严格保证函数值之差中的自变量增量与分母上
的增量在形式上完全一致.
2. 几何意义
函数y = f ( x)在x = x0处的导数f
'( x0)的几何意义即为函数y = f ( x)在点P( x0, y0)处的切
线的斜率.
3. 物理意义
函数s= s(t )在点t0处的导数s
'(t0)是物体在t0时刻的瞬时速度v，即v = s
'(t0)；v = v(t )在
点t0的导数v
'(t0)是物体在t0时刻的瞬时加速度a，即a= v
'(t0).
知识点二：导数的运算
1. 求导的基本公式
基本初等函数
导函数
f ( x)=c（c为常数）
f
'( x)=0
f ( x)= x
a（a∈Q）
f
'( x)=a x
a-1
f ( x)=a
x（a>0，a≠1）
f
'( x)=a
x ln a
f ( x)= loga x（a>0，a≠1）
f
'( x)=
1
x ln a
f ( x)=e
x
f
'( x)=e
x
f ( x)= ln x
f
'( x)= 1
x
f ( x)=sin x
f
'( x)=cos x
f ( x)=cos x
f
'( x)=-sin x
2. 导数的四则运算法则
（1） 函数和差求导法则：[ f ( x)± g( x)]
' = f
'( x)± g
'( x)；
（2） 函数积的求导法则：[ f ( x)g( x)]
' = f
'( x)g( x)+ f ( x)g
'( x)；
（3） 函数商的求导法则：g( x)≠0，则[
f ( x)
g( x)]
'
= f
'( x)g( x)- f ( x)g
'( x)
g
2( x)
.
3. 复合函数求导数
复合函数y = f [ g( x)]的导数和函数y = f (u)，u= g( x)的导数间关系为y x
' = yu
' ⋅ux
' .
【防坑警示】复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求
导后要将中间变量替换回原自变量.
三、典题精讲
考点一：导数的概念与物理意义
考法1：利用导数定义求极限
例1.若函数f ( x)在x0处可导，且lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0)
2 Δ x
=1¿，则f
'( x0)=
A. 1
B. -1
C. 2
D. 1
2
【答案】A
【思路】观察极限式，分子为函数在x0处的增量，分母为自变量的增量，且两者保持一致，直接
利用导数在一点处的定义即可求解.
【解析】由导数定义可得
lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0)
2 Δ x
=lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0)
(2 Δ x)
= f
'( x0)¿¿，∴f
'( x0)=1.
【规律】利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量的增量
与分母完全一致.
考法2：导数的物理与实际意义
例2.（2026·青岛·二模）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，
破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量Q随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一
稳定水平时，臭氧含量Q与时间t之间满足关系式Q =Q0e
-0.0025t，其中Q0是臭氧的初始含量，
则
A. 随着时间t的增加，臭氧含量在增加
B. 当t从1变化到2时，臭氧含量减少Q0e
-0.0025
C. 当t从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为0.5Q0e
-0.005
D. 当t =2时，臭氧含量的瞬时变化率为-0.0025Q0e
-0.005
【答案】D
【思路】根据指数函数的单调性判断A；代入具体时间计算函数值的差判断B；利用平均变化率公
式计算判断C；对函数求导，代入t =2求瞬时变化率判断D.
【解析】∵Q =Q0e
-0.0025t，底数e
-0.0025<1，∴随着时间t的增加，臭氧含量在减少，A 错误；
当t从1变化到2时，臭氧含量减少Q（1）-Q（2）=Q0e
-0.0025-Q0e
-0.005，B 错误；
当t从0变化到2时，臭氧含量的平均变化率为
Q（2）-Q（0）
2-0
= Q0e
-0.005-Q0
2
=0.5Q0(e
-0.005-1)，C 错误；
对Q =Q0e
-0.0025t求导得Q
' =-0.0025Q0e
-0.0025t，当t =2时，瞬时变化率为
Q
'（2）=-0.0025Q0e
-0.005，D 正确.
【规律】处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的比值，
而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值.
【考点一 方法总结】
· 利用导数定义求极限时，核心是凑成导数定义的标准形式，即确保分子中自变量
的增量与分母完全一致.
· 处理实际背景下的变化率问题，需明确：平均变化率是函数增量与自变量增量的
比值，而瞬时变化率则是函数在该点处的导数值.
考点二：导数的运算
考法1：导数运算法则与公式
例3.求下列函数的导数：
（1）y =(3 x
2+2 x +1)cos x；
（2）y = 3 x
2+ x ❑√x -5 ❑√x +1
❑√x
；
（3）y = x
18+sin x - ln x；
（4）y =2
xcos x -3 x log3 x；
（5）y =3
xsin x -3log3 x；
（6）y =e
xcos x + tan x.
【答案】（1）(6 x +2)cos x -(3 x
2+2 x +1)sin x （2）9
2 x
1
2 - 1
2 x
- 3
2 +1 （3）18 x
17+cos x - 1
x
（4）2
x(ln 2)cos x -2
xsin x -3 log3 x -3 log3e （5）3
x(ln3)sin x +3
xcos x - 1
x ⋅3log3e （6）
e
xcos x -e
xsin x +
1
cos
2 x
【思路】根据基本初等函数的导数公式，结合导数的四则运算法则（和、差、积、商的求导法
则）逐项求导.对于分式形式且分母为单项式的函数，先化简为幂函数的代数和再求导.
【解析】（1）y
' =(3 x
2+2 x +1)
' cos x +(3 x
2+2 x +1)(cos x)
' =(6 x +2)cos x -(3 x
2+2 x +1)sin x.
（2）∵y = 3 x
2+ x ❑√x -5 ❑√x +1
❑√x
=3 x
3
2 + x -5+ x
- 1
2，∴y
' =3× 3
2 x
1
2 +1- 1
2 x
- 3
2 = 9
2 x
1
2 - 1
2 x
- 3
2 +1.
（3）y
' =18 x
17+cos x - 1
x .
（4）
y
' =(2
x)
' cos x +2
x(cos x)
' -3[( x)
' log3 x + x(log3 x)
' ]=2
x(ln 2)cos x -2
xsin x -3log3 x -3 log3e.
（5）y
' =(3
x)
' sin x +3
x(sin x)
' -3⋅
1
x ln3 =3
x(ln3)sin x +3
xcos x - 1
x ⋅3log3e.
（6）∵y =e
xcos x + tan x =e
xcos x + sin x
cos x ，∴
y
' =(e
x)
' cos x +e
x(cos x)
' + (sin x)
' cos x -(cos x)
' sin x
cos
2 x
=e
xcos x -e
xsin x +
1
cos
2 x
.
【规律】求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的
符号和公式的准确性.
考法2：利用导数值求参数或函数值
例4.（2026·泰山联盟·四月）若函数f ( x)=e
x - f
'（1）x，则
A. f （1）=-e
2
B. f
'（1）=-e
2
C. f （2）=e
2-e
D.
f
'（2）=e
2-e
【答案】A
【思路】将f
'（1）视为一个常数，对函数f ( x)求导得到f
'( x)的表达式，然后令x =1，构造出关
于f
'（1）的一元一次方程，解出f
'（1）即可确定函数解析式，进而判断各选项.
【解析】由f ( x)=e
x - f
'（1）x，得f
'( x)=e
x - f
'（1），令x =1，∴f
'（1）=e- f
'（1），
解得f
'（1）=e
2，
∴f ( x)=e
x -e
2 x，f
'( x)=e
x -e
2，
∴f （1）=e-e
2 =e
2，f （2）=e
2-e，f
'（2）=e
2-e
2.故选A.
【规律】处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数值视为
常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数.
【考点二 方法总结】
· 求导时应遵循“先化简，后求导”的原则.对于分式形式且分母为单项式的函数，
先化简为幂函数的代数和再求导.运用乘积或商的求导法则时，务必注意各项的符号和公
式的准确性.
· 复合函数求导时，务必由外向内逐层求导，切勿遗漏内层函数的导数，且求导后
要将中间变量替换回原自变量.
· 处理含有特定点导数值的函数解析式问题，核心思想是“整体代换”，将该导数
值视为常数，求导后代入该特定点的值，通过解方程求出该常数.
考点三：导数的几何意义
考法1：求曲线在某点处的切线方程
例5.（2026·济宁·二模）曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
【答案】2 x - y +1=0
【思路】先对函数求导，将切点的横坐标x =0代入导函数中求出切线的斜率，再利用直线的点斜
式方程写出切线方程并化为一般式.
【解析】由y =e
x+ x，得y
' =e
x+1，∴曲线在(0,1)处的切线斜率k =e
0+1=2，∴切线方程为
y -1=2( x -0)，即2 x - y +1=0.
【规律】求“在点处的切线”，已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点斜式写方程
即可.
考法2：求过某点的切线方程
例6.过点(- 2
3 ,0)作曲线y = x
3的切线，写出一条切线方程：＿＿＿＿＿＿.
【答案】y =0或y =3 x +2（写出一条即可）
【思路】已知点不在曲线上，不能直接求导代入.需要先设出切点坐标，利用导数表示出切线方程，
再将已知点坐标代入切线方程，解出切点坐标，进而得到切线方程.
【解析】由y = x
3可得y
' =3 x
2，设过点(- 2
3 ,0)作曲线y = x
3的切线的切点为( x0, y0)，∴y0= x0
3，
∴该切线方程为y - y0=3 x0
2( x - x0)，将(- 2
3 ,0)代入得- x0
3=3 x0
2(- 2
3 - x0)，解得x0=0或x0=-1，
∴切点坐标为(0,0)或(-1,-1)，∴切线方程为y =0或y =3 x +2.
【规律】求“过某点的切线”，必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律设出切点坐
标( x0, y0)，以切点为核心构建切线方程，再代入已知点求解.
考法3：已知切线求参数
例7.（2025·五个一·四月）若曲线y = x
3+2 x在点(1,3)处的切线也与曲线y = x
2+ x +m相切，
则m=
A. 4
B. -2
C. - 4
D. 2
【答案】D
【思路】先利用导数的几何意义求出曲线y = x
3+2 x在点(1,3)处的切线方程，然后将该切线方程
与抛物线y = x
2+ x +m联立，利用相切时判别式Δ=0求出参数m.
【解析】由y = x
3+2 x，得y
' =3 x
2+2，∴曲线y = x
3+2 x在点(1,3)处的切线斜率为
k =3×1
2+2=5，切线方程为y -3=5( x -1)，即y =5 x -2.联立{
y =5 x -2
y = x
2+ x +m，消去y整理得
x
2- 4 x +m+2=0，由直线与曲线相切可得Δ=(- 4)
2- 4(m+2)=0，解得m=2.
【规律】直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式等于0
来求解参数.
考法4：公切线问题
例8.（2026·周口一高·一模）已知曲线y = ln x +2与y = ln( x +1)的公切线为l，则l在y轴上的
截距为＿＿＿＿＿＿.
【答案】1- ln 2
【思路】分别设出两条曲线上的切点坐标，利用导数分别写出两条曲线在各自切点处的切线方程.
因为是同一条公切线，所以两条切线方程的斜率和截距必须分别相等，由此建立方程组求解.
【解析】设曲线y = ln x +2上的切点为( x1,ln x1+2)，又∵y
' = 1
x ，∴直线
l: y -(ln x1+2)= 1
x1
( x - x1)，即l: y = 1
x1
x + ln x1+1.设曲线y = ln( x +1)上的切点为( x2,ln( x2+1))，
又∵y
' =
1
x +1，∴直线l: y - ln( x2+1)=
1
x2+1 ( x - x2)，即l: y =
1
x2+1 x + ln( x2+1)-
x2
x2+1.∵l是公
切线，∴{
1
x1
=
1
x2+1
ln x1+1= ln( x2+1)-
x2
x2+1
，解得x1= 1
2，∴l: y =2 x - ln2+1，∴l在y轴上的截距为
1- ln 2.
【规律】处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切线方程，
利用对应项系数相等构造方程组求解.
考法5：两曲线间的最短距离
例9.设点P在曲线y =e
2 x上，点Q在曲线y = 1
2 ln x上，则| PQ|的最小值为
A.
❑√2
2 (1- ln 2)
B. ❑√2(1- ln 2)
C. ❑√2(1+ ln 2)
D.
❑√2
2 (1+ ln 2)
【答案】D
【思路】观察两函数解析式，发现它们互为反函数，图象关于直线y = x对称.因此，两曲线上点之
间的最短距离，等于其中一条曲线上点到直线y = x的最短距离的两倍.利用导数求出与y = x平行的
切线切点即可.
【解析】∵y =e
2 x与y = 1
2 ln x互为反函数，它们图象关于直线y = x对称；∴可先求点P到直线
y = x的最近距离d，又y
' =2e
2 x，当曲线上切线的斜率k =2e
2 x0=1时，得x0=- 1
2 ln2，y0=e
2 x0= 1
2，
∴切点P0(- 1
2 ln2, 1
2 )到直线y = x的距离为d =
|- 1
2 ln 2- 1
2 |
❑√2
=
❑√2
4 (1+ ln 2)，∴| PQ|的最小值为
2d =
❑√2
2 (1+ ln 2).故选D.
【规律】遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用对称性
将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解.
【考点三 方法总结】
· 求“在点处的切线方程”：已知点即为切点，直接求导代入横坐标得斜率，用点
斜式写方程即可.公式：y - f ( x0)= f
'( x0)( x - x0).
· 求“过某点的切线方程”：必须先判断该点是否在曲线上.若不在或不确定，一律
设出切点坐标( x0, y0)，以切点为核心构建切线方程y - y0= f
'( x0)( x - x0)，再代入已知点求
解.
· 直线与二次曲线相切的问题，通常联立方程组消元后，令一元二次方程的判别式
等于0 来求解参数.
· 处理双曲线公切线问题的通法是“双切点法”：分别设出两个切点，写出两个切
线方程，利用对应项系数相等构造方程组求解.
· 遇到指数函数与对数函数同框求最短距离时，优先考虑两者是否互为反函数.利用
对称性将两曲线间的距离转化为单曲线到对称轴直线的距离，再结合导数平行切线法求解.
考点四：牛顿迭代法（拓展）
考法1：牛顿迭代法的应用
例10.（多选）牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程根的一种解法. 具体步骤如
下：设r是函数y = f ( x)的一个零点，任意选取x0作为r的初始近似值，过点( x0,f ( x0))作曲
线y = f ( x)的切线l1，设l1与x轴交点的横坐标为x1，并称x1为r的1 次近似值；过点
( x1,f ( x1))作曲线y = f ( x)的切线l2，设l2与x轴交点的横坐标为x2，称x2为r的2 次近似值. 一
般地，过点( xn,f ( xn))(n∈N
*)作曲线y = f ( x)的切线ln+1，记ln+1与x轴交点的横坐标为xn+1，
并称xn+1为r的n+1次近似值. 对于方程x
3- x +1=0，记方程的根为r，取初始近似值为
x0=-1，下列说法正确的是
A. r ∈(-2,-1)
B. 切线l2：23 x - 4 y +31=0
C. | x3- x2|> 1
8
D. xn+1= 2 xn
3-1
3 xn
2-1
【答案】ABD
【思路】先利用零点存在性定理判断根所在的区间；再利用导数求出在一般点( xn,f ( xn))处的切
线方程，令y =0推导出递推公式；最后根据递推公式和初始值逐次计算，验证各选项.
【解析】由f ( x)= x
3- x +1，可得f (-1)=1>0，f (-2)=-5<0，即f (-1)f (-2)<0，根据函数零
点的存在性定理，可得r ∈(-2,-1)，∴A 正确；又由f
'( x)=3 x
2-1，设切点P( xn, xn
3- xn+1)，
∴切线的斜率为k = f
'( xn)=3 xn
2-1，∴切线方程为y -( xn
3- xn+1)=(3 xn
2-1)( x - xn)，令y =0，可
得xn+1=-( xn
3- xn+1)
3 xn
2-1
+ xn= 2 xn
3-1
3 xn
2-1，∴D 正确；当x0=-1时，可得x1=- 3
2，∴f (- 3
2 )=- 7
8，
f
'(- 3
2 )= 23
4 ，∴l2的方程为y + 7
8 = 23
4 ( x + 3
2 )，即23 x - 4 y +31=0，∴B 正确；由x1=- 3
2，可得
x2= 2 x1
3-1
3 x1
2-1
=- 31
23，x3= 2 x2
3-1
3 x2
2-1
=- 71749
54142，此时
| x3- x2|=|- 71749
54142 -(- 31
23 )|=|- 71749
54142 + 72974
54142 |= 1225
54142 < 1
8，∴C 错误.故选ABD.
【考点四 方法总结】
· 解决新定义背景下的切线迭代问题，关键是读懂题意，将文字描述转化为求切线
与x轴交点的数学操作，推导出递推关系式后按部就班计算即可.
四、高考真题
1.（2026·全国一卷）曲线y =5 x +8 ln x在点(1,5)处的切线方程为
A. y =3 x +2
B. y =5 x
C. y =8 x -3
D. y =13 x -8
【答案】D
【解析】∵y =5 x +8ln x，
∴y
' =5+ 8
x .
当x =1时，切线的斜率k = y
'|x =1=5+8=13.
又切点为(1,5)，
∴切线方程为y -5=13( x -1)，即y =13 x -8.
2.（2025·全国一卷）若直线y =2 x +5是曲线y =e
x+ x +a的切线，则a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】4
【解析】对于y =e
x+ x +a，其导数为y
' =e
x+1，
∵直线y =2 x +5是曲线的切线，直线的斜率为2，
令y
' =e
x+1=2，即e
x=1，解得x =0，
将x =0代入切线方程y =2 x +5，可得y =2×0+5=5，
∴切点坐标为(0,5)，
∵切点(0,5)在曲线y =e
x+ x +a上，
∴5=e
0+0+a，即5=1+a，解得a= 4.
3.（2024·全国一卷）若曲线y =e
x+ x在点(0,1)处的切线也是曲线y = ln( x +1)+a的切线，则
a=＿＿＿＿＿＿.
【答案】ln 2
【解析】由y =e
x+ x得y
' =e
x+1，y
'|x =0=e
0+1=2，
∴曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为y =2 x +1；
由y = ln( x +1)+a得y
' =
1
x +1，
设切线与曲线y = ln( x +1)+a相切的切点为( x0,ln( x0+1)+a)，
∴两曲线有公切线得y
' =
1
x0+1 =2，解得x0=- 1
2，∴切点为(- 1
2 ,a+ ln 1
2 )，
切线方程为y =2( x + 1
2 )+a+ ln 1
2 =2 x +1+a- ln2，
∵两切线重合，∴a- ln 2=0，解得a= ln 2.
4.（2025·全国一卷）设数列{an}满足a1=3，an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1)
（1）证明：{nan}为等差数列；
（2）设f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m，求f
'(-2).
【答案】（1）证明见解析；（2）- 7
9 - (3m+7)(-2)
m
9
【解析】（1）由题意证明如下，n∈N
*，
在数列{an}中，a1=3，
an+1
n = an
n+1 +
1
n(n+1)，
∴(n+1)an+1=nan+1，即(n+1)an+1-nan=1，
∴{nan}是以a1=3为首项，1为公差的等差数列.
（2）由题意及（1）得，n∈N
*，在数列{nan}中，首项为3，公差为1，
∴nan=3+1×(n-1)，即an=1+ 2
n，
在f ( x)=a1 x +a2 x
2+⋯+am x
m中，
f ( x)=3 x +2 x
2+⋯+(1+ 2
m )x
m，f
'( x)=3+ 4 x +⋯+(m+2)x
m-1
∴{
f
'( x)=3+ 4 x +⋯+(m+2)x
m-1
x f
'( x)=3 x + 4 x
2+⋯+(m+2)x
m，
当x≠1且x≠0时，
∴(1- x)f
'( x)=3+ x + x
2+⋯+ x
m-1-(m+2)x
m=3+ x(1- x
m-1)
1- x
-(m+2)x
m，
∴f
'( x)=
3
1- x + x(1- x
m-1)
(1- x)
2
- (m+2)x
m
1- x
∴f
'(-2)=
3
1-(-2) +-2[1-(-2)
m-1]
[1-(-2)]
2
- (m+2)(-2)
m
1-(-2)
=1+ (-2)[1-(-2)
m-1]
9
- (m+2)(-2)
m
3
=1- 2
9 - (-2)
m
9
- (m+2)(-2)
m
3
=- 7
9 - (3m+7)(-2)
m
9
.
5.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)= x +2
e
x+a 的最大值为1，则a=
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
【答案】B
【解析】由题意知f ( x)= x +2
e
x+a ，求导得f
'( x)= 1⋅(e
x+a)-( x +2)e
x
(e
x+a)
2
= a-( x +1)e
x
(e
x+a)
2
.
令g( x)=a-( x +1)e
x，则g
'( x)=-( x +2)e
x.
当x>-2时，g
'( x)<0，g( x)单调递减；当x<-2时，g
'( x)>0，g( x)单调递增.
假设f ( x)在x0处取得最大值1，则必有f
'( x0)=0，即a=( x0+1)e
x0.
同时f ( x0)= x0+2
e
x0+a
=1，即x0+2=e
x0+a.
将a代入得x0+2=e
x0+( x0+1)e
x0=( x0+2)e
x0.
若x0+2=0，则x0=-2，此时a=-e
-2，代入原函数得f (-2)=0≠1，矛盾.
∴x0+2≠0，从而e
x0=1，解得x0=0.
此时a=(0+1)e
0=1.
检验：当a=1时，g( x)=1-( x +1)e
x，g（0）=0.
当x<0时，g( x)> g（0）=0，f
'( x)>0，f ( x)单调递增；
当x>0时，g( x)< g（0）=0，f
'( x)<0，f ( x)单调递减.
∴f ( x)在x =0处取得最大值f （0）=
2
1+1 =1，符合题意.
6.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0，在R上单调递增，则a取值的范
围是
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
【答案】B
【解析】∵f ( x)在R上单调递增，且x ≥0时，f ( x)=e
x+ ln( x +1)单调递增，
∴需满足{
--2a
2×(-1) ≥0
-a≤e
0+ ln1
，解得-1≤a≤0，
即a的范围是[-1,0].
7.（2024·全国一卷）（多选）设函数f ( x)=( x -1)
2( x - 4)，则
A. x =3是f ( x)的极小值点
B. 当0< x<1时，f ( x)<f ( x
2)
C. 当1< x<2时，- 4<f (2 x -1)<0
D. 当-1< x<0时，f (2- x)>f ( x)
【答案】ACD
【解析】对A，∵函数f ( x)的定义域为R，且f
'( x)=2( x -1)( x - 4)+( x -1)
2=3( x -1)( x -3)，
易知当x∈(1,3)时，f
'( x)<0，当x∈(-∞,1)或x∈(3,+∞)时，f
'( x)>0，
∴函数f ( x)在(-∞,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在(3,+∞)上单调递增，∴x =3是函数
f ( x)的极小值点，正确；
对B，当0< x<1时，x - x
2= x(1- x)>0，∴1> x> x
2>0，
而由上可知，函数f ( x)在(0,1)上单调递增，∴f ( x)>f ( x
2)，错误；
对C，当1< x<2时，1<2 x -1<3，而由上可知，函数f ( x)在(1,3)上单调递减，
∴f （1）>f (2 x -1)>f （3），即- 4<f (2 x -1)<0，正确；
对D，当-1< x<0时，f (2- x)- f ( x)=(1- x)
2(-2- x)-( x -1)
2( x - 4)=( x -1)
2(2-2 x)>0，
∴f (2- x)>f ( x)，正确.
8.（2024·全国一卷）已知函数f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3
（1）若b=0，且f
'( x)≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
（3）若f ( x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围.
【答案】（1）-2 （2）证明见解析 （3）b≥- 2
3
【解析】（1）b=0时，f ( x)= ln
x
2- x +ax，其中x∈(0,2)，
则f
'( x)= 1
x +
1
2- x +a=
2
x(2- x) +a, x∈(0,2)，
∵x(2- x)≤( 2- x + x
2
)
2=1，当且仅当x =1时等号成立，
∴f
'( x)min=2+a，而f
'( x)≥0成立，∴a+2≥0即a≥-2，
∴a的最小值为-2.
（2）f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3的定义域为(0,2)，
设P(m,n)为y = f ( x)图象上任意一点，
P(m,n)关于(1,a)的对称点为Q(2-m,2a-n)，
∵P(m,n)在y = f ( x)图象上，∴n= ln
m
2-m +am+b(m-1)
3，
而f (2-m)= ln 2-m
m
+a(2-m)+b(2-m-1)
3=-[ ln
m
2-m +am+b(m-1)
3]+2a=-n+2a，
∴Q(2-m,2a-n)也在y = f ( x)图象上，
由P的任意性可得y = f ( x)图象为中心对称图形，且对称中心为(1,a).
（3）∵f ( x)>-2当且仅当1< x<2，∴x =1为f ( x)=-2的一个解，
∴f （1）=-2即a=-2，
先考虑1< x<2时，f ( x)>-2恒成立.
此时f ( x)>-2即为ln
x
2- x +2(1- x)+b( x -1)
3>0在(1,2)上恒成立，
设t = x -1∈(0,1)，则ln t +1
1-t -2t +bt
3>0在(0,1)上恒成立，
设g(t )= ln t +1
1-t -2t +bt
3,t ∈(0,1)，
则g
'(t )=
2
1-t
2 -2+3bt
2= t
2(-3bt
2+2+3b)
1-t
2
，
当b≥0，-3bt
2+2+3b≥-3b+2+3b=2>0，
∴g
'(t )>0恒成立，∴g(t )在(0,1)上为增函数，
∴g(t )> g（0）=0即f ( x)>-2在(1,2)上恒成立.
当- 2
3 ≤b<0时，-3bt
2+2+3b≥2+3b≥0，
∴g
'(t )≥0恒成立，∴g(t )在(0,1)上为增函数，
∴g(t )> g（0）=0即f ( x)>-2在(1,2)上恒成立.
当b<- 2
3，则当0<t <❑√1+ 2
3b <1时，g
'(t )<0，
∴在(0,❑√1+ 2
3b )上g(t )为减函数，∴g(t )< g（0）=0，不合题意，舍；
综上所述，f ( x)>-2在(1,2)上恒成立时b≥- 2
3.
且当b≥- 2
3时，由上述过程可得g(t )在(0,1)单调递增，∴g(t )>0的解为(0,1)，
即f ( x)>-2的解确为(1,2).
∴b的取值范围是[- 2
3 ,+∞).
9.（2025·全国一卷）
（1）设函数f ( x)=5cos x -cos5 x，求f ( x)在[0, π
4 ]的最大值；
（2）给定θ∈(0,π )，设a为实数，证明：存在y ∈[a-θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ；
（3）若存在φ使得对任意x，都有5cos x -cos(5 x +φ)≤b，求b的最小值.
【答案】（1）3 ❑√3 （2）证明见解析 （3）3 ❑√3
【解析】（1）f
'( x)=-5sin x +5sin5 x =10cos3 x sin 2 x，
∵x∈[0, π
4 ]，∴2 x∈[0, π
2 ]，∴sin2 x ≥0，
当0< x< π
6 时，cos3 x>0即f
'( x)>0，
当π
6 < x< π
4 时，cos3 x<0即f
'( x)<0，
∴f ( x)在[0, π
6 ]上为增函数，在[ π
6 , π
4 ]为减函数，
∴f ( x)在[0, π
4 ]上的最大值为f ( π
6 )=5cos π
6 -cos 5 π
6 =3 ❑√3.
（2）由余弦函数的性质得cos y ≤cosθ的解为[2kπ +θ ,2kπ +2π -θ ]，k ∈Z，
若任意[2kπ +θ ,2kπ +2π -θ ]与[a-θ ,a+θ ]交集为空，
则a-θ>2kπ +2π -θ且a+θ<2kπ +2π +θ，此时a无解，矛盾.
∴存在k ∈Z，使得[2kπ +θ ,2kπ +2π -θ ]∩[a-θ ,a+θ ]≠∅，
∴存在y ∈[a-θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ成立.
（3）记h( x)=5cos x -cos(5 x +t )，
∵h( x +2π )=5cos( x +2π )-cos(5 x +10 π +t )=h( x)，
∴h( x)为周期函数且周期为2π，故只需讨论x∈[0,2π ],t ∈[0,π ]的情况.
当t = π时，h( x)=5cos x -cos(5 x + π )=6cos x ≤6，
当t =0时，h( x)=5cos x -cos5 x，
此时h
'( x)=-5sin x +5sin5 x =10cos3 x sin 2 x , x∈(0,2π )，
令h
'( x)=0，则x = π
6 , π
2 , 5 π
6 ,π , 7 π
6 , 3 π
2 , 11π
6 ，
而h( π
6 )=h( 11π
6 )=3 ❑√3,h( π
2 )=h( 3 π
2 )=0,h( 5 π
6 )=h( 7 π
6 )=-3 ❑√3,h(π )=- 4，
h（0）=h(2π )= 4，∴h( x)max =h( π
6 )=h( 11π
6 )=3 ❑√3，
当t ∈(0,π )，在（2）中取a=t，则存在y ∈(t -θ ,t +θ)，使得cos y ≤cosθ，
取θ = 5 π
6 ，则cos y ≤-
❑√3
2 ，取x = y -t
5
∈(- θ
5 , θ
5 )即x = y -t
5
∈(- π
6 , π
6 )，
∴5cos x ≥5 ❑√3
2
，∴5cos x -cos(5 x +t )≥3 ❑√3，
综上所述，b≥3 ❑√3，可取x = π
6 ，t =0使得等号成立.
∴bmin=3 ❑√3.
