文档内容
第三章：一元函数的导数及其应用
（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A
【分析】求出 的导数，求得切线的斜率为1，可得切线方程 ，再设与曲线 相切
的切点为 ，求得函数 的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得 的值，
进而得到 的值.
【详解】由曲线 ，得 ，
在 处的切线斜率为 ，当 时， ，
曲线 在 处的 ，即 ，
曲线 ，导数为 ，
设切点为 ，则 ，解得 ，切点在切线 上，
即有 ，得 .
故选：A.
2．已知函数 则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据分段函数结合导函数求出 ，再根据点斜式得出直线方程.【详解】当 时， ，
当 时， ，则 ，
所以 ， ．
则所求的切线方程为 ，即 ．
故选：B.
3．某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为 的圆锥切割成一个
圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】写出圆柱的体积解析式，构造函数，利用导数求出圆柱体的最大体积
【详解】设圆锥的底面半径为 ，高为 ，圆柱的底面半径为 ，高为 ，
则 ，所以 ，
所以 .
设 ，则 .
令 ，得 或 （舍去），
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 的最大值为 ，
所以 的最大值为 .
故选：C.
4．已知 则（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】比较 大小，构造 ，结合单调性即可比较大小；比较 大小，构造
，结合单调性即可比较大小.
【详解】令 ，则 ，所以 单调递增，
又 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，所以 ，
设 ，则 ，所以 单调递减，
，即 ，故 ，，即 ，所以 ，
所以 ，
故选：A.
【点睛】关键点点睛：本题的关键是结合 的特点， ，构造
；结合 的特点， ，构造 ；从而得解.
5．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】将函数 有两个零点，转化为函数 的图象有两个不同交点问题；由此
设 ，利用导数判断其单调性，作出其图象，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意知函数 有两个零点，即 有两个不等实数根，
即函数 的图象有两个不同交点；
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减；当 时， ，当 时， ，
作出 的图象如图：
当直线 与 图象相切时，设切点为 ，
此时 ，则 ，
故此时 ，
结合图象可知，要使函数 的图象有两个不同交点，
需满足 ，
故 ，
故选：D
6．已知定义在 上且无零点的函数 满足 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】将题设条件转化为 ，从而得到 ，进而得到 ，
利用导数求出函数的单调区间，进而可得出答案.
【详解】由 变形得 ，
从而有 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，则 ，
则 ，
故当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 单调递减，
所以 ， ，
又 ，而 ，
所以 ，
综上， .
故选：D.
【点睛】关键点点睛：利用 ，由 到得 ，是解决本题的关键.
7．已知函数 与 是定义在 上的函数，它们的导函数分别为 和 ，且满足
，且 ，则 （ ）
A．1012 B．2024 C． D．
【答案】D
【分析】根据 得到 ，故 ，求导得到
， 两边求导得到 ，从而得到 ，故
，故 是 的一个周期，其中 ，根据周期性求出答案.
【详解】由于 ，则 ，
两式相加得 ，
故 ，
所以 ，
故 ，即 ，其中 两边求导得， ，
故 ，
故 ，
将 替换为 得 ，
又 ，
故 ，
将 替换为 得 ，
则 ，
故 是 的一个周期，
其中 ，
故 ，
故 .
故选：D
【点睛】结论点睛：
设函数 ， ， ， ．
（1）若 ，则函数 的周期为2a；
（2）若 ，则函数 的周期为2a；
（3）若 ，则函数 的周期为2a；
（4）若 ，则函数 的周期为2a；
（5）若 ，则函数 的周期为 ；
（6）若函数 的图象关于直线 与 对称，则函数 的周期为 ；
（7）若函数 的图象既关于点 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（8）若函数 的图象既关于直线 对称，又关于点 对称，则函数 的周期为 ；
（9）若函数 是偶函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为2a；
（10）若函数 是奇函数，且其图象关于直线 对称，则 的周期为4a．8．设函数 ，点 ，其中 ，且 ，则直线 斜
率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】 ，令 ，所以 ，利用不等式
可得答案.
【详解】不等式 ，证明如下，
即证 ，
令 ，设 ， ，
可得 在 上单调递减，所以 恒成立，
所以 成立，即 .
因为 ，令 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
由 ，得 ，
即 ，则有 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造
的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
【答案】BC
【分析】利用导数y与零点存在性定理求解三次函数的极值点，零点，对称中心，切线问题.
【详解】选项A： 则 恒成立，故 单调递增，故 不存在两个极值点，故选项A
错误.
选项B: 又 单调递增，故 有一个零点，故选项B正确，
选项C： 故点 是曲线 的对称中心，故选项C正确，
选项D：令 ，即 ，
令 ，则令 ，
则
当 则当切线斜率为 切点为 则切线方程为： 与
不相等，
当 时同样切线方程不为 ，故选项D错误.
故选：BC.
10．已知函数 ．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A． 恰有2个异号极值点 B．若 ，则
C． 恰有2个异号零点 D．若 ，则
【答案】BD
【分析】利用函数导数的符号可判断AC，设切点，利用导数求出切线方程，代入原点方程有三解，转化为
利用导数研究函数极值，由数形结合求解即可判断BD.
【详解】因为 ，所以 在 上单调递增，故AC错误；设过原点的函数的切线的切点为 ，则切线的斜率 ，
所以切线方程为 ，
即 ，
因为过原点 ，所以 ，
化简得 ，即方程有3个不等实数根，
令 ，则 ，
当 时， 或 时， ， 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 极大值 ，极小值为 ，如图，
所以 与 相交有三个交点需满足 ，故B正确；
同理，当 时，可知 极大值 ，极小值为 ，如图，
可得 时， 与 相交有三个交点，故D正确.
故选：BD
11．已知函数 ， 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，则（ ）
A． B．C． D．
【答案】BCD
【分析】由 为偶函数，得 ，两边求导化简后可得 为奇函数，然后逐个赋值分析判
断即可.
【详解】对于 ，∵ 为偶函数，则
两边求导得: , ∴ ， 为奇函数， ,
令 ，则 ， ，所以 不正确
对于 ，令 ，可得 ，则 , 所以 正确;
对于 ， ，
可得， ，两式相加的
令 ，即可得 ，所以 正确;
对于 ，∵ ，则 ，
又 ，可得 ，所以 是以 为周期的函数，
所以 ，所以 正确.
故选：
【点睛】关键点点睛：此题考查函数的奇偶性和周期性的应用，考查导数的应用，解题的关键是根据已知
条件判断 为奇函数，考查计算能力，属于较难题.
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．若函数 在 上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，函数 的极小值点在 内，再结合 即可求出实数
的取值范围.
【详解】因为 ，所以 ，
令 得， ，
当 时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 有极小值，
因为函数 在 上存在最小值，
又 ，
所以 ，解得 ，
所以实数a的取值范围是 .
故答案为： .
13．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】对已知不等式进行变形，通过构造函数法，利用导数的性质、参变量分离法进行求解即可.
【详解】由题意 ，不等式即 ，进而转化为 ，
令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增.
则不等式等价于 恒成立.
因为 ，所以 ，
所以 对任意 恒成立，即 恒成立.
设 ，可得 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减．
所以 时， 有最大值 ，于是 ，解得 ．
故答案为： .
【点睛】关键点睛：解本题的关键是，将已知条件转化为 恒成立，通过构造函数，利用导数结合函数的单调性得到 ，进而构造函数 ，计算求得结果.
14．定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上也存在导函数，则称函数
在 上存在二阶导函数，简记为 .若在区间 上 ，则称函数 在
区间 上为“凸函数”.已知 在区间 上为“凸函数”，则实数 的取值范围
为 .
【答案】
【分析】根据题意对函数 求二阶导函数 ，令 在区间 恒成立，分离参数，
解得实数 的取值范围即可.
【详解】
在区间 上为“凸函数”
在 上恒成立
上恒成立
设 ， ，
则
当且仅当 时取得最大值 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查了新定义“凸函数”，考查了分离参数法解决恒成立问题和基本不等式，属于中档题.
四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知函数 ．
(1) ，求函数 的最小值；
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用二次求导法进行求解即可；
（2）运用常变量分离法，结合导数的性质进行求解即可.
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
令 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
因此当 时，则有 ，
因此当 时，则有 ，
当 时， 显然 ，
于是有当 时，函数 单调递减，
当 时，函数 单调递增，
所以 ；
（2）由 ，
因为 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
由 ，设 ，则有 ，
当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，
所以 ，
要想 在 上恒成立，
只需 ，因此 的取值范围为 .
16．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在唯一的极值点 ，证明： ．
【答案】(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）求导，分 ， ， 三种情况讨论，综合可得；
（2）由（1）得 ，表示出 得 的范围，并代入所证不等式，消去a得关于
的不等式，构造函数判单调性得最值即可证明.
【详解】（1）因为 ，
当 时， ，此时 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，所以 在 上有唯一零点 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时 在 上单调递减；
当 时， 在 上有零点 ，当 和 时， ，所以 在 和
上单调递减，
当 时， ，所以 在 上单调递增．
综上：当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， 在 和 上单调递减，在 上单
调递增．
（2）由题意可知 ，
若 存在唯一的极值点 ，
由（1）可知 且 ．
因为 ，
要证 ，
只需证 ①．
因为 ，所以 ．
将 代入①整理可得，只需证 ．
令 ，
则 ，
所以 在 上单调递减，
所以 ，
所以 ，即原不等式成立．17．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围.
【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）首先求函数的导数，再分 和 两种情况讨论函数的单调性；
（2）首先根据（1）的结果可知 且 ，再结合零点存在性定理，即可证明.
【详解】（1）根据条件则
当 时， 在定义域 内恒成立，因此 在 递减；
当 时，由 ，解得 ； ，解得
因此：当 时， 的单调减区间为 ，无增区间；
时， 的单调减区间为 ，增区间为 ；
注：区间端点 处可以是闭的
（2）若 有两个零点，有（1）可知 且
则必有
即 ，解得
又因 ，
即 ，
当 时， 恒成立，即 在 单调递减，
可得 ，也即得 在 恒成立，
从而可得 在 ， 区间上各有一个零点，
综上所述，若 有两个零点实数a的范围为
18．已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
(3)若 ，正实数 满足 ，证明： .
【答案】(1)极大值为 ，无极小值；
(2) ；
(3)证明见解析.
【分析】(1)根据f(1)＝0求出a的值，确定f(x)并求出 ，根据 正负判断f(x)单调性，从而可求f(x)
在定义域(0，＋)的极值；
(2)参变分离不等式 ，构造函数问题 ，问题转化为 .利用导数研究
g(x)单调性和最大值即可求出整数a的最小值；
(3)化简方程 为 ，令 ，构造函数
，研究 的最小值，得到关于 整体的不等式，解不等式即可得结论.
【详解】（1）∵ ，∴ ，
此时 ， ，
， ，
由 得 ，由 得 ，
∴ 的单调增区间为 ，单调减区间为 ，
∴ 有极大值为 ，无极小值；
（2）由 恒成立，得 在 上恒成立，问题等价于 在 上恒成立.
令 ，只要 .
∵ .
令 ，
∵ ，∴ 在 上单调递减.
∵ ， ，
∴在(0，＋)上存在唯一的 ，使得 ，即 ，
∴ .
∴当 时， ，g(x)单调递增，
当 时， ，g(x)单调递减，
∴ ，即 ，
∵ ，∴整数 的最小值为 ；
（3）由题可知 ， .
当 时， ， .
∵ ，
∴ ，
∴ ，
令 ，则由 得， ，
易知 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ ，∴ ，
解得 成立.
【点睛】本题第二问关键是讨论函数 的零点和单调性和，从而参变分离后函数的最小值，
解题过程中零点无法求出，属于隐零点，可以设而不求，利用隐零点将对数式转换为幂式进行计算.第三问
的关键是将方程变形，把 看成整体进行求解.
19．曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转
动率，设曲线 具有连续转动的切线，在点 处的曲率 ，其中
为 的导函数， 为 的导函数，已知 ．
(1) 时，求 在极值点处的曲率；
(2) 时， 是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；
(3) ， ，当 ， 曲率均为0时，自变量最小值分别为 ， ，求
证： ．
【答案】(1)2
(2)答案见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）求得函数的极值点，进而由曲率公式计算即可；
（2）令 ，可得 ，令 时，可得 ，进而数形结合可
得 时， 有解，且有两解 且 ，进而计算可得极值点处的曲
率；
（3）根据 曲率为0可得 ， ，由（2）可得 时， 有两解 ，
可证明 ，再证明 即可.
【详解】（1）当 时， ，可得 ，
令 ，可得 ，当 时， ，当 时， ，所以当 为 在极小值点，又 ，所以 ，
所以 ；
（2）由 ，可得 ，
令 ，则 ，
令 时，可得 ，令 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，则 ，
所以 时， 有解，且有两解 且 ，
为 的极小值点， 为 的极大值点，
当 时， 有解，且有唯一解，但此解不是 极值点，
当 时， 无解，所以 无极值点，
所以当 时， 存在极值点，
所以 ；
（3）由题意可得 ，可得 ，
要 ， 曲率为0，则 ，即 ，
可得 ， ，
所以 时， 有两解 ， ，可证 ，由（2）可得 ， ，
可得 ， ．
要证明 ，即证明 ，也就是 ．
因为 ，所以即证明 ，
即 ，令 ，则 ，于是 ，
令 ，则 ,
故函数 在 上是增函数，
所以 ，即 成立．所以 成立．
又因为 ，则 ，
由（2）可得 在 上单调递减，
因为 ， ，所以 ，
【点睛】关键点睛：本题利用导数分析函数单调性与最值及零点，进而证明不等式的问题.需要根据题意找
到 间的关系，平时积累常见的函数如 的图象性质与指对数函数的常见化简如
等是关键，同时也要注意根据零点的关系，，构造函数证明不等式的方法.
