文档内容
第三章：一元函数的导数及其应用
（模块综合调研卷）
（19题新高考新结构）
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项:
1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上
的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3.非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试卷
草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并上交。
一、单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符
合题目要求的）
1．若曲线 在 处的切线也是曲线 的切线，则 （ ）
A． B．1 C． D．
2．已知函数 则 在点 处的切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．某学校组织学生到一个木工工厂参加劳动，在木工师傅指导下要把一个体积为 的圆锥切割成一个
圆柱，切割过程中磨损忽略不计，则圆柱体积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．已知 则（ ）
A． B． C． D．
5．若函数 有两个零点，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知定义在 上且无零点的函数 满足 ，且 ，则（ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数 与 是定义在 上的函数，它们的导函数分别为 和 ，且满足，且 ，则 （ ）
A．1012 B．2024 C． D．
8．设函数 ，点 ，其中 ，且 ，则直线 斜
率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分）
9．已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有一个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
10．已知函数 ．若过原点可作函数的三条切线，则（ ）
A． 恰有2个异号极值点 B．若 ，则
C． 恰有2个异号零点 D．若 ，则
11．已知函数 ， 的定义域为 ， 为 的导函数，且 ，
，若 为偶函数，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．若函数 在 上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
13．已知 ，对任意的 ，不等式 恒成立，则 的取值范围为 .
14．定义：设函数 在 上的导函数为 ，若 在 上也存在导函数，则称函数
在 上存在二阶导函数，简记为 .若在区间 上 ，则称函数 在
区间 上为“凸函数”.已知 在区间 上为“凸函数”，则实数 的取值范围
为 .四、解答题（本题共 5 小题，共77分，其中 15 题 13 分，16 题 15 分，17 题 15 分，18 题 17
分，19 题 17 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．已知函数 ．
(1) ，求函数 的最小值；
(2)若 在 上单调递减，求 的取值范围．
16．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若 存在唯一的极值点 ，证明： ．
17．已知函数 .
(1)求函数 的单调区间；
(2)若 有两个零点，求实数a的取值范围.
18．已知函数 ， .
(1)若 ，求函数 的极值；
(2)若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值；
(3)若 ，正实数 满足 ，证明： .
19．曲率是曲线的重要性质，表征了曲线的“弯曲程度”，曲线曲率解释为曲线某点切线方向对弧长的转
动率，设曲线 具有连续转动的切线，在点 处的曲率 ，其中
为 的导函数， 为 的导函数，已知 ．
(1) 时，求 在极值点处的曲率；
(2) 时， 是否存在极值点，如存在，求出其极值点处的曲率；(3) ， ，当 ， 曲率均为0时，自变量最小值分别为 ， ，求
证： ．
