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第五章 一元函数的导数及其应用
章末测试
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第I卷（选择题）
一、单选题（每题只有一个选项为正确答案，每题5分，共40分）
1．（2020·广东高二期末（理））函数 的导函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】 ，故选： .
2．（2020·广东高二期末（理））曲线 在点 处切线的斜率为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】 的导数为 ，
可得曲线 在点 处切线的斜率为 .故选：C.
3．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））如图是函数 的导函数 的图像，则下面
判断正确的是( )A．在区间（-2,1）上 是增函数
B．在区间（1,3）上 是减函数
C．在区间（4,5）上 是增函数
D．当 时， 取极大值
【答案】C
【解析】选项A, 区间（-2,1）导函数先是负后是正,所以原函数先减后增,A错误
选项B, 区间（1,3）导函数先是正后是负, 所以原函数先增后减,B错误
选项C, 区间（4,5）导函数恒大于0，原函数单调递增，C正确
选项D，当 处，左边减右边增， 取极小值，D错误
答案是C
4．（2020·甘肃城关·兰州一中高二期中（理））设曲线 在x＝0处的切线方程为2x－y
＋1＝0，则a＝( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】 ， ，
当x＝0时，y′＝a－1.
故曲线 在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，
即： ，从而a－1＝2，即a＝3.
本题选择D选项.
5．（2020·山西运城·高三月考（文））已知定义在 上函数 的导函数为 ， ，有
，且 .设 ， ， ，
则（ ）.A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设 ，
，即 ，
所以函数 是偶函数，
并且 ，所以函数 在 单调递减，
， ，
，
因为 ，所以 ，
即 .
故选：D
6．（2020·江苏省江浦高级中学高三月考）直线 是曲线 和曲线
的公切线，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】设直线 与曲线 相切于点 ，直线 与曲线 相切于点
，
，则 ，由 ，可得 ，
则 ，即点 ，
将点 的坐标代入直线 的方程可得 ，可得 ，①
，则 ，由 ，可得 ，
，即点 ，
将点 的坐标代入直线 的方程可得 ， ，②
联立①②可得 ， .故选：C.
7．（2020·江西省信丰中学高三月考（文））设函数 ，若 是函数 是极大
值点，则函数 的极小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，∴ ，∵ 是函数的极大值点，∴ ，解得 ，
∴ ，
∴当 时， 单调递增；当 时， 单调递减；当 时，
单调递增；
∴当 时， 有极小值，且极小值为 ．
故选A．
8．（2020·四川巴中·高三零模（文））若函数 在区间 上有最小值，则实数
的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由 ，可得 ，
当 ， ，当 或 时， ，
所以函数 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，可得
，令 ，可得 或 ，则 的图像如图所示，因为函数在区间 上有最小值，故 ，
解得： ，
故选：C.
二、多选题（每题有多个选项为正确答案，少选且正确得3分，每题5分，共20分）
9．（2020·江苏淮安·高三月考）若直线 是函数 图像的一条切线，则函数 可以是（
）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】直线 的斜率为 ，
由 的导数为 ，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由 的导数为 ，而 ，解得 ，故B正确；
由 的导数为 ，而 有解，故C正确；
由 的导数为 ，而 ，解得 ，故D正确，故选：BCD
10．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值 B． 有两个不同的零点
C． D．若 在 上恒成立，则
【答案】ACD
【解析】由已知， ，令 得 ，令 得 ，故
在 上单调递增，在 单调递减，所以 的极大值为 ，
A正确；
又令 得 ，即 ， 只有1个零点，B不正确；
函数在 上单调递减，因为 ，所以 ，故C正确；
若 在 上恒成立，即 在 上恒成立，设
，
，令 得 ，令 得 ，故
在 上单调递增，在 单调递减，所以 ， ，
故D正确.
故选：ACD11．（2020·泉州第十六中学高二月考）如果函数 的导函数的图象如图所示，则下述判断正确的
是（ ）
A．函数 在区间 内单调递增
B．函数 在区间 内单调递减
C．函数 在区间 内单调递增
D．当 时，函数 有极大值
【答案】CD
【解析】对于A选项，当 时， ，则函数 在区间 上单调递减，A
选项错误；
对于B选项，当 时， ，则函数 在区间 上单调递增，B选项错误；
对于C选项，当 时， ，则函数 在区间 上单调递增，C选项正确；
对于D选项，当 时， ，当 时， ，所以，函数 在
处取得极大值，D选项正确.
故选：CD.
12．（2020·湖北黄石港·黄石一中高二期末）已知函数 ，若 在区间 上
的最大值为28，则实数k的值可以是（ ）A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】因为 ，所以 ，
令 ，解得 ，
所以 在 和 时， ， 在 时， ，
所以函数 在 和 上单调递增，函数 在 上单调递减，
则 在 内单调递增，所以在 内， 最大；
在 时单调递减，所以在 内， 最大；
在 时单调递增，所以在 内， 最大；
因为 ，且 在区间 上的最大值为28，
所以 ，即k的取值范围是 ，
故选：AB.
第II卷（非选择题）
三、填空题（每题5分，共20分）
13．（2018·福建高二期末（文））已知函数f(x)=exlnx， 为f(x)的导函数，则 的值为
__________．
【答案】e
【解析】由函数的解析式可得： ，
则 ，即 的值为e，故答案为 .
14．（2020·四川省绵阳江油中学高二月考（理））已知函数 在 处有极小值10，则 ___________．
【答案】
【解析】因为 ，所以 ，
又函数 在 处有极小值10，
且 ，
解得 ，或 ，
当 时，
此时， 是函数的极小值点，
当 时，
，
此时， 不是函数的极小值点，
，
，
故答案为：
15．（2020·开鲁县第一中学高二期末（理））已知函数 ，若正实数 满足
，则 的最小值是__________．
【答案】【解析】因为 ，所以函数 为单调递增奇函数，
因此由 ，得
因此 ，当且仅当 时取等号.
16．（2020·河南南阳·高二期末（理））已知函数 有且仅有一个极值点，则实数 的
取值范围是_____.
【答案】
【解析】因为函数 有且仅有一个极值点，
所以 只有一个解，
即 ，只有一个解，
即 与 只有一个交点，
因为 ，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时， ，函数 单调递减，
所以 ，
当 时， ；当 时， ，
画出函数 的草图如下：结合图象可得 或 ，
解得 或 ，
当 时， ，
所以 ，
令 ，
所以 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，
所以 恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以函数 没有极值点.所以实数 的取值范围是 .
故答案为：
四、解答题（17题10分，其余每题12分，共6题70分）
17．（2020·广东高二期末（理））已知 ，在 与 处都取得极值.
（1）求实数 ， 的值；
（2）若对任意 ， ，都有 成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1） ， ；（2） ， ， .
【解析】（1） ， ，
在 与 处都取得极值，
与 是 的两根，即 ，
解得 ， .
（2）由（1）知， ， ，
令 ，则 或 ，
和 随 在 ， 上的变化情况如下表所示：， ， ， 1 ，
0 0
极小值 极大值
，极大值为 （1） ，
在 ， 上的最大值为 ，
对任意 ， ，都有 成立，
，解得 或 .
故实数 的取值范围为 ， ， .
18．（2020·民勤县第一中学高二期末（文））已知函数 .
（1）当 时，求曲线 在 处的切线方程；
（2）若 恒成立，求 的取值范围.
【答案】 Ⅰ ； Ⅱ .
【解析】 时，函数 ，可得 ，所以 ， 时，
．
曲线 则 处的切线方程；
即： ；
由条件可得 ，则当 时， 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，
则当 时， ，所以 在 上为减函数．
又 ，
所以在 上， ；在 上， ．
所以 在 上为增函数；在 上为减函数．
所以 ，所以 ．
19．（2020·江西高二期末（理））设函数 .
（1）求函数 的极大值点；
（2）若关于x的方程 在区间 上有两个不同的实数解，求实数m的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1） ，
所以 在 ， 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，函数 的极大值点为 .（2） ，可化为 ，
即 在区间 上有两个不同的实数根，
令 ， ，
则 在 上 ，函数单调递增，在 上 ，函数单调递减，
所以 ，又 ， ，
故原方程有两个不同实数解时的 的取值范围为 .
20．（2020·北京高二期末）已知函数 ，其中 .曲线 在点
处的切线斜率为 .
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求证： .
【答案】（Ⅰ）0；（Ⅱ）证明见解析.
【解析】（Ⅰ） ，
由题意可知， ，
故 ；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知 ，
易得，当 时， ，函数单调递减，当 时， ，函数单调递增，
故当 时，函数取得极大值也是最大值 ，故 .
21．（2020·北京交通大学附属中学高二期末）已知函数 （a为常数）.
（1）当 时，求 过原点的切线方程；
（2）讨论 的单调区间和极值；
（3）若 ， 恒成立，求a的取值范围.
【答案】（1） ；（2）答案见解析；（3） .
【解析】（1）当 时， ，
则 ，
设切点坐标为 ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
∴ 过原点的切线方程 ；
（2） ，
∴ ，
当 时， 恒成立，函数 在 上单调递增，无极值；
当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，∴ ，无极大值；
（3） ， 恒成立，即 在 上恒成立，
当 时， 恒成立，
当 时， ，
设 ， ，
∴ 恒成立，
∴ 在 上单调递减，
∴ ，
∴ ，
综上所述 .
22．（2020·吉林梅河口·高二月考（文））已知函数 .
（1）若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求函数 的单调区间；
（2）若对 都有 成立，试求实数 的取值范围；
【答案】（1）的单调增区间是 ，单调减区间是 ;（2） .
【解析】（1）直线 的斜率1.函数 的定义域为 ， ，
所以 ，解得 .所以 ， .由 解得 ；由 解得 ，
所以 的单调增区间是 ，单调减区间是 .
（2） ，由 解得 ；由 解得 .
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
所以当 时，函数 取得最小值， ，
因为对于 都有 成立，所以只须 即可，
即 ，解得 .
