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第五章 一元函数的导数及其应用 单元过关检测 基础A卷
解析版
题型：8（单选）+4（多选）+4（填空）+6（解答），满分150分，时间：120分钟
一、单选题
1．设 是可导函数，且 ，则 （ ）
A． B．-1 C．0 D．-2
【答案】B
【分析】
根据导数定义，即可求出．
【详解】
试题分析：因为
所以 ，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查了导数的定义，属于基础题．
2．已知函数y=f(x)的导函数的图象如图所示，则y=f(x)的图象可能是（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【解析】观察可知导函数图像由正变负，则原函数应先递增，后递减，故选择D.
方法点睛：辨识函数图像与导数图像主要是依据利用导数研究函数的单调性，当函数f(x)在区间
(a,b)上满足f′ (x)>0，则f(x)在区间(a,b)上单调递增，当函数f(x)在区间(a,b)上满足
f′ (x)<0，则f(x)在区间(a,b)上单调递减.
3．函数 在 上的最小值和最大值分别是
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
求出f（x）的导数，利用导函数的正负，求出函数的单调区间，从而求出函数的最大值和最小值即
可．
【详解】
函数 ， cosx，
令 ＞0，解得： x ，令 ＜0，解得：0≤x ，
∴f（x）在[0， ）递减，在（ ， ]递增，∴f（x） ＝f（ ） ，而f（0）＝0，f（ ） 1，
min
故f（x）在区间[0， ]上的最小值和最大值分别是： ．
故选：A．
【点睛】
本题考查了利用导数研究函数的单调性、最值问题，考查函数值的运算，属于基础题．
4．已知函数 （ ）在 上为增函数，则 的取值范围是（
）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：求导，则 在 恒成立，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的
最值问题，再利用导数进行求解．
详解：因为函数 在 上为增函数，
所以 在 恒成立，
即 在 上恒成立，
令 ，则 ，
则 在 上单调递增，在 上单调递减，
即 ，
即 .故选A．
点睛：1.已知函数 在区间 上单调递增，求有关参数问题，往往转化为 在区间
上恒成立问题进行求解；
2.解决不等式恒成立问题，往往分离参数，将问题转化为求函数的最值问题，再利用“
恒成立 ”进行求解．
5．若曲线 在 处的切线，也是 的切线，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用导数求得曲线 在 处的切线方程，并设该切线与曲线 切于点 ，
利用导数的几何意义求出切点的坐标，代入切线方程可求得实数 的值.
【详解】对于函数 ， ，则 ，又 ，
所以，曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，
设直线 与曲线 相切于点 ，
对于函数 ，其导数为 ，由导数的几何意义可得 ，得 ，
所以，切点坐标为 ，代入切线方程得 .
故选：C.
【点睛】
本题考查利用两曲线的公切线求参数，解题时要注意以下两点：（1）切线的斜率等于函数在切点
处的导数值；（2）切点为函数图象与切线的公共点.
6．函数 在 处取极小值，则 （ ）
A．6或2 B． 或 C．6 D．
【答案】D
【分析】
先求导数，根据 求得 ，再代入验证是否满足题意.
【详解】
或
当 时， ，
当 时 ，当 时 ，函数 在 处取极大值，不符题意，舍去；
当 时， ，
当 时 ，当 时 ，函数 在 处取极小值，
故选：D
【点睛】
本题考查函数极值，考查基本分析求解能力，属基础题.
7．已知函数 ，设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得 是偶函数，当 时， ，可得 在 单调
递增，又 ， ， ，根据函数的单调性可得
出答案.
【详解】
由 ，则 是偶函数，
当 时， ，所以 在 单调递增，
由 ， ， ，
则 ，所以又 ，所以
故选：D
【点睛】
本题考查利用单调性比较函数值大小，考查利用导数分析函数单调性，考查指数、对数的的大小的
比较，属于中档题.
8．已知 为 上的可导函数，且有 ，则对于任意的
，当 时，有( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
构造函数h（x）=xf（x），根据函数的单调性判断即可．
【详解】
不妨设h（x）=xf（x），则h′（x）=f（x）+xf′（x）．
∵当x＞0，有 ，
∴当x＞0时，xf′（x）+f（x）＞0，即h′（x）＞0，此时函数h（x）单调递增，
则对于任意的a，b∈（0，+∞），当a＞b时，则g（a）＞g（b），即af（a）＞bf（b），
故选B．
【点睛】
本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道基础题．二、多选题
9．若直线 是函数 图像的一条切线，则函数 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】
求得已知直线的斜率 ，对选项中的函数分别求导，可令导数为 ，解方程即可判断结论
【详解】
解：直线 的斜率为 ，
由 的导数为 ，即切线的斜率小于0，故A不正确；
由 的导数为 ，而 ，解得 ，故B正确；
由 的导数为 ，而 有解，故C正确；
由 的导数为 ，而 ，解得 ，故D正确，
故选：BCD
【点睛】
此题考查导数的几何意义，正确求导是解题的关键，考查运算能力，属于基础题10．已知函数 的导函数 的图像如图，则下列叙述正确的是（ ）
A．函数 只有一个极值点
B．函数 满足 ，且在 处取得极小值
C．函数 在 处取得极大值
D．函数 在 内单调递减
【答案】AC
【分析】
通过观察导函数的图像及导函数的正负表示原函数的增减，依次判断即可得出结果.
【详解】
由导函数的图像可得，当x<2时， ，函数 单调递增；当x>2时， ，函数
单调递减.所以函数 的单调递减区间为 ,只有当x=2时函数取得极大值，无极小
值.
故选: AC.
【点睛】
本题考查利用导函数的图像研究函数的性质,考查数形结合的能力，属于基础题.11．素数分布问题是研究素数性质的重要课题，德国数学家高斯提出了一个猜想： ，
其中 表示不大于x的素数的个数，即随着x的增大， 的值近似接近 的值．从猜想出
发，下列推断正确的是（ ）
A．当x很大时，随着x的增大， 的增长速度变慢
B．当x很大时，随着x的增大， 减小
C．当x很大时，在区间 （n是一个较大常数）内，素数的个数随x的增大而减少
D．因为 ，所以
【答案】AC
【分析】
令函数 且 ，用导数法逐项判断.
【详解】
设函数 且 ，
则 且 ，
且 ，
当 时， ，所以当x很大时，随着x的增大， 的增长速度变慢，故A正确；
函数 的图象如图所示：
由图象可得随着x的增大， 并不减小，故B错误；
当x很大时，在区间 （n是一个较大常数）内，函数增长得慢，素数的个数随x的增大而
减少，故C正确；
，故D错误．
故选：AC．
12．已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时， ．则下列结论正确的
是（ ）．
A．当 时，
B．函数 有五个零点
C．若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是
D．对 ， 恒成立【答案】AD
【分析】
根据函数 是奇函数，求出 时的解析式，可判断A；利用导数求出函数 在 上
的单调区间及极值，再结合 是奇函数，可作出函数 在 上的大致图象，从而可逐项判断
B、C、D．
【详解】
设 ，则 ，所以 ，
又函数 是定义在 上的奇函数，所以 ，
所以 ，即
故A正确．
当 时， ，所以 ，
令 ，解得 ，
当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减，
故当 时，函数 取得极小值 ，
当 时， ，又 ，故函数 在 仅有一个零点 ．
当 时， ，所以函数 在 没有零点，所以函数 在 上仅有一个零点，函数 是定义在 上的奇函数，
故函数 在 上仅有一个零点 ，又 ，
故函数 是定义在 上有3个零点．
故B错误．
作出函数 的大致图象，由图可知
若关于 的方程 有解，则实数 的取值范围是 .
故C 错误．
由图可知，对 ，
故D正确．
故选：AD．
【点睛】
本题主要考查利用函数奇偶性求函数解析式；利用导数研究函数的单调性及最值；同时也考查函数
的零点，综合性较强．
三、填空题13．若函数的的导数为 ，且 则 _______________
【答案】 12
【分析】
求出导函数 ，令 可求得 ．
【详解】
由题意 ，∴ ，∴ ．
故答案为：－12．
【点睛】
本题考查导数的运算，掌握导数运算法则是解题关键．
14．生活经验告诉我们，当水注进容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而
变化，在下图中请选择与容器相匹配的图像，A对应________；B对应________；C对应________；
D对应________．
【答案】(4) (1) (3) (2)
【详解】
容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，根据导数的几何意义可知，
函数图象切线斜率变化故先慢后快， 与(4)对应；容器为球形，水高度变化为快—慢—快，根据导数的几何意义可知，
应与(1)对应；
容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线形，
但 容器细， 容器粗，故水高度的变化为：
容器快， 与(3)对应， 容器慢， 与(2)对应.
故答案为(4)；(1)；(3)；(2)．
15．若函数 有且只有一个零点，则实数 的值为_______.
【答案】1
【分析】
求出导函数，利用导数与函数单调性的关系求出单调区间，由题意，只需 即可求解.
【详解】
由 ，（ ），则 ，
令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数 在 上单调递减，
在 上单调递增，
所以 在 时取得极小值.所以函数 有且只有一个零点，
只需 ，即 ，解得 .
故答案为：1
16．已知一个圆柱的轴截面是周长为12米的长方形，则满足这个条件的圆柱的最大体积是______
立方米.
【答案】
【分析】
设圆柱的高为 ，底面圆的半径为 ，可得 ， ，圆柱的体积
，构造函数 ， ，求导并判断单调性，可求出最大值，
即可求出答案.
【详解】
设圆柱的高为 ，底面圆的半径为 ，则 ，即 ，
由 ，可得 ，
圆柱的体积 ，将 代入，可得 ，构造函数 ， ，求导得 ，
则 时， ，函数 单调递增； 时， ，函数 单调递减，
所以 的最大值为 .
即 时，该圆柱的体积最大，最大体积是 立方米.
故答案为： .
【点睛】
本题考查柱体体积的计算，考查利用导函数求最大值，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
四、解答题
17．已知函数 在 与 处都取得极值．
(1)求函数 的解析式及单调区间；
(2)求函数 在区间 的最大值与最小值．
【答案】（1） ，单调增区间是 ，减区间是 （2）
，
【分析】
（1）对 求导，根据 在 与 处都取得极值，得 和 ，
建立方程组求得a,b的值，得到 的解析式，再分析 取得正负时x的范围，从而得出相应的单调区间，得解；
（2）根据（1）可得出 的极值点，再求出边界点 和 的值，与极值点的函数值比
较大小可得解.
【详解】
（1）因为 ，所以 ,
因为 在 与 处都取得极值，
所以 ，即 ，解得
即 ，所以 ，
令 或 ，令 ，
所以 的单调增区间是 ，减区间是 .
（2）由（1）可知，
1
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增的极小值 ， 的极大值 ，而 ， ，
可得 时， ， .
故得解.
【点睛】
本题考查通过导函数研究函数的单调性，极值，最值的问题，属于基础题．
18．设函数 ．
（1）求函数 的单调区间．
（2）若方程 有且仅有三个实根，求实数 的取值范围．
【答案】（1）增区间（-∞,1）和（2，+∞），减区间为（1，2）;（2）
【解析】
试题分析：（1） ，解 或 的解集；（2）先求极值点，判
断单调性，然后根据图形，判定 轴于图像有三个交点时的位置，从而列不等式.
试题解析：（1） ，当 时， 或 .当 时，
.
（2）由（1）知，函数在（-∞,1）为增， 为减函数， 为增函数，根据函数的图像特征，
判断 轴应在极值之间， 得,考点：1.导数的应用；2.函数的图像；3.函数的零点.
19．已知函数 ．
（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
（2）求 的单调区间．
【答案】（1） ；（2）当 时， 的单调增区间是 ；
当 时， 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．
【分析】
（1）对函数进行求导，把 代入导函数中，求出在点 处的切线的斜率，写出直线的
点斜式方程，最后化为一般方程；
（2）对 的值，进行分类讨论，求出 的单调区间．
【详解】
（1）当 时， ，所以 ．
所以 ， ， 所以切线方程为 ．
（2） ． 当 时，在 时 ，
所以 的单调增区间是 ；
当 时，函数 与 在定义域上的情况如下：所以 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．
综上所述：当 时， 的单调增区间是 ；
当 时， 的单调递减区间是 ；递增区间是 ．
【点睛】
本题考查了导数的几何意义、求曲线的切线方程，利用导数研究函数的单调性.本题考查了分类讨
论思想.
20．某地需要修建一条大型输油管道通过720千米宽的荒漠地带，该段输油管道两端的输油站已建
好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵
站）.经预算，修建一个增压站的工程费用为108万元，铺设距离为 千米的相邻两增压站之间的输
油管道费用为 万元.设余下工程的总费用为 万元.
（1）试将 表示成关于 的函数；
（2）需要修建多少个增压站才能使总费用 最小？
【答案】（1） ；（2）19个
【分析】
（1）由题可知需要新建 个增压站，即可求得余下工程的总费用，得到函数的解析式；
（2）由（1）可得 ，利用导数求出 的单调性与最值，即可得解.
【详解】
解：（1）设需要新建 个增压站，且 ，即 ，
则 关于 的函数关系式为
；
（2）由（1）知， ， ，
令 ，得 ，解得 ，
当 时， ， 在区间 内为减函数，
当 时， ， 在区间 内为增函数，
所以 在 处取得最小值，
此时 ，即需新建19个增压站才能使 最小.
【点睛】
本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中根据题意，得出函数的解析式，合理利用导数求
解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力.21．已知函数 (其中 )， 为 的导数 .
（1）求导数 的最小值；
（2）若不等式 恒成立，求 的取值范围.
【答案】（1）1；（2） .
【分析】
（1）先求导数，再构造 ，利用导数和函数的单调性确定函数的最值．
（2）令 ，通过求导分类讨论，根据导数和最值的关系即求．
【详解】
（1） ，令 ，
当 时，则 .
故 时， ， 为增函数，故 ，
即导数 的最小值为1.
（2）令 ， ，
当 时，若 ，则由（1）可知， ，
所以 为增函数，故 恒成立，即 ．
当 时，由（1）可知 在 上为增函数，且 ，，
故存在唯一 ，使得 ．
则当 时， ， 为减函数，所以 ，此时与 恒成立矛
盾．
综上所述， ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用导数解决恒成立问题，解题关键是构造函数 ,
通过求 进而得解，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力．属于中档题．
22．函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求证： .
【答案】（1）见解析（2）见解析
【分析】
（1）对 分类讨论，利用导数证明单调性即可；
（2）构造函数 利用导数得出 的极值点，根据极值点得出
，再次构造函数 ， 利用导数证明其单调性，根据单调性得出 ，结合 得出
，再由 的单调性，即可证明 .
【详解】
（1）函数 ， .
.
对 分类讨论： 时， ，可得： 时，函数 单调递减；
时，函数 单调递增.
时，令 ， .
时， ， ，则函数 在 上单调递减.
且 时，由 ，解得 ， .
.
时， ，∴函数 在 ， 上单调递减；在 上单调递
增.
时， ，∴函数 在 上单调递减，在 上单调递增.（2）证明：
即
令
∴
可得函数 在 上单调递减，在 上单调递增
∴ 时，函数 取得极小值即最小值，
∵ ，∴
设 ，
∴函数 在 上单调递增，∴
∴
∵ ， ， 在 上单调递增，∴
∴
【点睛】本题主要考查了利用导数证明函数的单调性以及利用导数研究双变量问题，属于中档题.
