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第第二二章章 一一元元函函数数微微分分学学
第第一一节节 导导数数
一 导数的概念与性质
1 、导数的概念
【例1】设 求
【01年真题】
名师解析：
【例2】设 求
【17年真题】
名师解析：
2 、导数的几何意义（重点）
函数在某一点的导数的几何意义等于过该点所对应曲线上一点的切线的斜率
3、可导与连续的关系（了解）
可导一定连续，连续不一定可导
【例3】 求 在点（1，2）的切线的斜率
【08年真题】
名师解析：二 、导数的运算
1、基本公式
2、 基本法则
【例4】设 求
【17年真题】
名师解析：
【例5】设 求
【09年真题】
名师解析：【例6】设 求
【09年真题】
名师解析：
【例7】设 求
【17年真题】
名师解析：
3、复合函数求导
复合函数求导的步骤
（1） 复合函数的分解
（2） 代入复合函数求导公式
（3） 等量代换，消去中间变量【例8】设 求
【07年真题】
名师解析：
【例9】设 求
【06年真题】
名师解析：
【例10】设 求
【09年真题】
名师解析：
4、隐函数求导
【例11】 已知
【11年真题】
名师解析：【例12】 已知
【04年真题】
名师解析：
5、参数方程求导
【例13】 已知
【17年真题】
名师解析：
【例14】 已知
【08年真题】
名师解析：6、高阶导数
【例15】 已知
【16年真题】
名师解析：
【例16】 已知
【07年真题】
名师解析：
【例17】 设函数
【18年真题】
名师解析：
第第二二节节 微微分分
一 、微分的 定义
已知
二 、可微与可导的关系（忽略）
三 、微分的几何意义（忽略）
四 、微分的基本公式（忽略）
五 、微分的四则运算（忽略）
六 、复合函数的微分（忽略）【例18】 求 的微分
名师解析：
【例19】 已知 【10年真题】
名师解答：B
名师解析：
【例20】 已知
【18年真题】
名师解答： D
名师解析：
第第三三节节 微微分分中中值值定定理理
这一节的主要内容是为后面的导数的应用如利用导数判断函数的单调性，求极值点，利用导
数判断函数的凹凸性， 求拐点打下理论基础。只有在02年出了一道这节的题。（忽略）
第第四四节节 洛洛必必达达法法则则（（重重点点））
1 条件2 法则
【例21】 计算 【14年真题】
名师解析：
【例22】 计算
【10年真题】
名师解析：
【例23】 计算
【03年真题】
名师解析：【例24】 计算 【02年真题】
名师解析：
【例25】 计算
【04年真题】
名师解析：
【例26】 计算
名师解析：【例27】 计算
【18年真题】
名师解析：
第第五五节节 导导数数的的应应用用
一、求曲线的切线方程和法线方程
过曲线上一点；
切线方程；
法线方程；
【例28】 已知曲线 的切线的斜率是3
则切线的方程是 【17年真题】
名师解答： y=3x-3
名师解析：【例29】 已知曲线 求该曲线在点（0,1）处的法线方程
【15年真题】
名师解析：
二 、 函数的单调性和极值
1 、函数的单调性
设y=f（x）在（a，b）内有定义，且可导
2、函数的极值
（1）定义；局部的最值
（2）必要条件；极值点一定是一阶导数为0的点或导数不存在的点。
（3）第一充分条件；根据一阶导数符号判断
（4）第二充分条件；根据二阶导数符号判断
3、判断函数单调性和极值的步骤
（1）求出定义域
（2）求一阶导数等于0的点和导数不存在的点
（3）用第一充分条件或第二充分条件判断
【例30】 求函数 的单调区间，并求在点（1,1）处的切线方程
【07年真题】
名师解析：【例31】 求函数 的单调增加区间
【05年真题】
名师解析：
【例32】 求函数 的极大值
【10年真题】
名师解析：
【例33】 函数 的极小值是
名师解答： A名师解析：
三、函数的最值
1、函数最值的定义；整个定义域内的最大值或最小值
2、函数最值的求法；
（1）求出一阶导数等于0的点和导数不存在的点所对应的值
（2）求出定义域的端点所对应的值
（3）比较上述点的大小。
【例34】 用铁皮做一个容积为V的圆柱形的有盖桶，证明当圆柱的高等于底面直径的时候使
用的铁皮面积最小 【17年真题】
名师解析：证明；设高位h，底面半径为 r，表面积S
【例35】 求 在区间【0,4】的最值
名师解析：
所以最大值是28/3，最小值是0
四 、曲线的凹凸性
1、函数的凹凸性
设y=f（x）在（a，b）内二阶可导2、曲线的拐点
（1）定义；凹凸区间的分界点
（2）求法；利用二阶导数的符号判断
3、判断函数凹凸性和拐点的步骤
利用二阶导数的符号判断
4、渐近线；函数图像无限接近的直线
5、渐近线的求法；
【例36】 求 的凸区间
名师解析：
【例37】 求函数 的拐点
【16年真题】
名师解析：【例38】 求函数 的拐点
【18年真题】
名师解析：
【例39】 求曲线 的水平渐近线
【17年真题】
名师解析：
【例40】 求曲线 的垂直渐近线
【17年真题】
名师解析：【例41】 证明；当x> 0
【10年真题】
名师解析：
证明：
