高等数学（一）第三章_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数一-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

第第三三章章 一一元元函函数数积积分分学学 第第一一节节 不不定定积积分分 一、不定积分的概念和性质 1 、 原函数；如果 那么F(x)是f(x)的一个原函数。 如； sinx cosx， 所以sinx是cosx的一个原函数 sinx3 cosx， 所以sinx+3是cosx的一个原函数 2 、 不定积分；求函数f(x)的全体原函数，记作 3 、不定积分几何意义（忽略） 4 、原函数存在定理（忽略） 二、不定积分的性质（体现了微分和积分互为逆运算） 【例1】 的原函数是 【15年真题】 名师解答： B 名师解析： 【例2】 已知 ，则【03年真题】 名师解答： A 名师解析： 【例3】 已知 的一个原函数，则 【02,07年真题】 名师解析： 三、求不定积分 1 直接积分法；包括基本公式和性质 （1）基本公式 （2）基本性质【例4】 求不定积分 名师解析： 【例5】 【10年真题】 名师解析： 【例6】 【08年真题】 名师解析： 2、换元积分法 （1）第一换元积分法4 第一换元积分法(凑微分法)  g[(x)](x)dx        g  x d x   g(u)du  F (u)  C  F[(x)]  C 【例7】 例 7 求不定积分 . 名师解析： 解 (2x1)1d0  x 1 (2x1)1d0(2x1) 2 1 1 u11 2x1u u10du  C 2 2 11 u2x11 (2x1)11C. 22 【例8】 1  dx. 例 8 求不定分 名师解析： 32x 1 1 1 解  dx d(32x) 32x 232x 1 1 1 32xu  du lnuC 2 u 2 1 u32x ln32xC. 2 【例9】 【04年真题】 名师解析：xex2 dx 例 9 计算不定积分 . 解 xex2 dx  1 ex2 d(x2) 2 x 2 u 1 eudu 1 euC 2 2 1 ux 2 ex2 C. 2 【例10】 例 10 计算不定积分 名师解析： 1 1 解 x1x2dx(1x2)2d(1x2) 2 3 1 (1x2)2C. 3 注: 对变量代换比较熟练后，可省去 书写中间变量的换元和回代过程. 【例11】 名师解析： 【例12】 【15年真题】 名师解析：1 【例13】 s in x  dx. 例 13 求不定积分 名师解析： x2 1 sin x 1 1 解  dx sind x2 x x 1 cosC. x 【例14】 名师解析： 【例15】 【10年真题】 名师解析：【例16】 【15年真题】 名师解析： （2） 第二换元积分法 解决对象；被积函数含有根号 解决思路；去掉根号 解决方法；简单根式代换 【例17】 1  dx 例 15 求不定积分 . 名师解析： x x 解令变量t x,则xt2(t0) , dx2td, t 从而微分 1 1  dx 2tdt x x t2t 1 2 dt2ln|t1|C t1 2ln(x1)C. 3 、 分部积分法解决对象(其中m, n都是正整数). xnsimnx xncomsx ensximnx encx omsx xnemx xn(lxn) xnarcmsixnxnarcmcxoxsnarcmt等ax.n 6 分部积分法 udv uvvdu 公式： = . v 注意:（1） 要用凑微分容易求出 （2） vdu 比udv容易求 【例18】已知 的一个原函数，求 【17年真题】 名师解析： 例 17 求不定积分 . 【例19】 【18年真题】 解一 令 名师解析： x2 xcoxsdxcoxsd    2   . x2 x2  coxs sinxd,x 2 2xcxodsxxsdxin 解二 xsxinsxindx xsxcixnCo. s 【例20】 【04年真题】 名师解析： 【例21】 xexdx 例 19 求不定积分 . 名师解析： 解 xexdxxdx e xxeexdx xxeexc 【例22】 【01年真题】 名师解析：第第二二节节 定定积积分分 一、基本概念和基本性质 一、定积分的概念 1、 定积分的定义 n b f(x)dIxlimf()x， i i a 0 i1 其中 f(x)叫做被积函数, f(x)dx 叫做被积表达式, x叫做积分变量, [a,b] 叫做积分区间. 2 、定积分的存在定理（忽略） 3 、定积分的几何意义（重点）；求曲边梯形的面积 【例23】 用定积分表示阴影部分的面积 名师解析：2 Ax2dx 解 (1) ； 1 1 (2) A 1x2dx. 1 【例24】 用定积分的几何意义说明 例2 利用定积分的几何意义，说明 名师解析： 2 xdx2成立． 0 2 解  xdx的几何意义是由曲线 0 yx x2 y0 ， ， 围成的图形的面积S，如图所示 2 求得面积为S2，故 xdx2． 0 三、定积分的性质 4 、定积分的性质（只要关注这6条） b 两点补充规定：(a) 当ab时, f(x)dx0; a (b) 当 ab 时,  b f(x)dx a f(x)d. x a b b b b 性质1 [f(x)g(x)d]fx(x)dgx(x)d. x a a a b b k(xf)dkxf(x)d,x 性质2 (k为常数). a a b c b f(x)dxf(x)dxf(x)dx 性质3 . a a c 性质4 ：如果被积函数是奇函数，积分区间是对称的，定积分为0 【例25】【05,06,08年真题】 名师答案： 0 名师解析： 常数的导数为0 【例26】 【06,08,03年真题】 名师答案： 0 名师解析： 积分区间是对称区间，被积函数是奇函数，结果为0 【例27】如果f（x）>0 ,则 【17年真题】 名师答案： A 名师解析： 根据定积分的定义 二、牛顿——莱布尼茨公式 四、积分上限的函数及其导数 1 积分上限函数 x (x)f(t)dt a 若函数 f(x)在区间[a,b]上连续,则函数 (x)( x f(t)d)tf  x  a 【例28】设函数 【14年真题】 名师解析：【例29】 例 4 求 . 名师解析： d 5 (t2et)dt 解 dxx d x   (t2et）dt dx 5 . (x2ex) 【例30】 1 x limln(1t)dt 例 5 求 . 名师x解析0： x 0 1x 解 limln(1t)dt x0x0  x  ln(1t)dt 0  lim x0 x limln(1x) 0. x0 五、牛顿—莱布尼兹公式 2 、牛顿——莱布尼茨公式 F(x) f(x) 若函数 是连续函数 在 [a,b] 区间 上的一个原函数,则  b f(x)dF(xx) b FbFa . a a 三 、定积分的换元积分法和分部积分法（忽略 ）【例31】 则k= 【17年真题】 名师解答： C 名师解析： 【例32】 【15年真题】 名师解析： 【例33】 【06年真题】 名师解析： 【例34】 名师解析：例 9 设 求 2 1 2 f(x)dxf(x)dxf(x)dx 解 0 0 1 1 2 6. 2xdx5dx 0 1 【例35】 名师解析： 【例36】 【17年真题】 名师解析：【例37】 名师解析：  2 xex2 dx 1  2 ex2d2x 解二 0 20 x2,u4 令 ux2 x0,u0 1 4  eudu 20 1   e41 2 【例38】 例 15 计算 . 名师解析： e  lnxdx 解 1 1 e e e xlnxxdxex1 . 1 1 x 1 【例38】 名师解析：例 16 计算 .   解 xsixndxx(dcox) s 0 0  x(cx)o(scx)doxs 00  sxin . 0 六、广义积分 四 、无穷区间上的反常积分  f(x)dF(xx)|F()F(a) a a b f(x)dF(xx)|bF(b)F()     f(x)dF(xx)|F()F()    【例39】 例 17 计算广义积分 . 名师解析：   exdx ex  解 = 0 0 (ee0) (01) =1 【例40】 【17年真题】 名师解析：第第三三节节 定定积积分分的的应应用用 一、求平面图形的面积 1，利用定积分的几何意义 2，利用微元法 (1)根据具体问题，选取一个积分变量， x 如 为积分变量，在它的变化区间 [a,b]取一个区间微元 [x,xd] ， x dUf(x)dx 求出面积的近似值 dUf(x)dx (2)根据 写出 b b UdUf(x)d x a a 【例例411】 求由 y2x和 yx2 所围成的图形的面积. y y2 x y x2 O x xdx 1 x 图 5  55 名师解析： d(Axx2)dx 解 面积微元: 1 A(xx2)dx 所求面积: 0 1 1 2 3 x3  .  x2   3 3 3   0 y22x yx4 例2求曲线 与 所围图形的面积. 【例42】y y x 4 y22x y dy (8,4) y O x (2,2) 图 556 名 师解析： y22x 解由方程组 得两条曲线 yx4 的交点坐标为A(2,2)B(,8,4)， y y[2,4] 取 为积分变量， . 将两曲线方程分别改写为 1 xy2及xy4得所求面积为 2 A 4 (y4 1 y2)d y 2 2 ( 1 2 y24y 1 6 y3)4 2 18 . 【例43】 例4 求由曲线 yx2 与y2xx2 所围图形的面积. y y  x2 A (1,1) y 2xx2 o 1 2 x 图5.10 名师解析：  yx2  解 由方程组 y2xx2，得两条曲线  x 的交点为O(0,0)A(,1,1)，取 为积分变量， x[0,1].由公式得 1 A(2xx2x2)dx 0 2 1 [x2 x3]1 3 0 3 .【例44】 x 例 6 求曲线 yx2,y(x2)2 与 轴 围成的平面图形的面积. y y  x2 y  (x2)2 O 2 x 名师解析：  yx2,  解由 得两曲线交点（1，1）. y(x2)2,  x x[0,2] 取 为积分变量， ,所求面积 1 2 Ax2dx(x2)2dx 0 1 1 2 x3 (x2)3 2 .    3 3 3 0 1 二 、求旋转体的体积 dV f(x)2 dx 体积元素为 V b fx 2 dx 所求体积为   a 【例45】求由曲线 所围成的图形绕x轴旋转一周所得体积 y y  x2 1 1 O 1 x 名师解析： 【例46】 x2 y2  1 例10 计算由椭圆 围成的平面图形 a2 b2 绕x轴旋转而成的旋转椭球体的体积. y b O x a x xdx 名师解析：【例47】求由曲线 所围成的图形绕x轴旋转一周所得体积 y yx2 (0,2) (1,1) (1,1) (0,0) x y2 x2 名师解析： 【例48】曲线 所围成的图形 【09年真题】  1、求所围成的面积  2 、 求此图形绕y轴旋转一周所得体积 名师解析：【例49】设D是曲线y=x2和直线y=x所围成的有界平面图形，求D绕x轴旋转一周所得旋 转体的体积 【16年真题】 名师解析： 【例50】求曲线y=x3与直线y=x所围成的面积 【15年真题】 名师解析：