高等数学（一）第五章_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数一-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

第第五五章章 多多元元函函数数微微积积分分学学 第第一一节节 多多元元函函数数、、极极限限、、连连续续性性 一、用不等式组表示平面区域（重点） 第第一一节节 多多元元函函数数、、极极限限、、连连续续性性 【例1】 例 1 计算二重积分 ，其中D是由直线 例 1 计算二重积分xyd ，其中D是由直线 【答案】 y1,x2及 Dyx所围成的闭区域． 及 所围成的闭区域． 【例2】 例２ 计算二重积分xyd，其中D是由抛物线 例２ 计算二重积分 ，其中D是由抛物线 D y2x 及 及 yx2所 所 围 围 成 成 的 的 有 有 界 界 闭区 闭 域 区 ． 域 ． 【答案】第第二二节节 偏偏导导数数与与全全微微分分 一、偏导数 1、定义（求法） 从偏导数的定义可以看出，求多元函数对一个自变量的偏导数时，实际上只需将其它自变量 看成常数，按照一元函数的求导法则进行即可。 2、偏导数的几何意义（忽略）【例6】设二元函数 ，则 【18年真题】 A.2xy+3+2y B.xy+3+2y C.2xy+3 D.xy+3 【答案】C 【解析】 【例7】设二元函数 ,则 【17年真题】 【答案】 【例8】设二元函数 求 【17年真题】 【答案】 二、全微分 1、定义五、全微分 zf(x,y) 函数 的全微分 z z dz dx dy . x y 2、性质（忽略） 【例9】设二元函数 ，则 【14年真题】 【答案】 【例10】设二元函数 ，则 【15年真题】 【答案】 例 13 计算函数 在点(2, 1)处 【例11】求函数 在点（2,1）处的全微分 的全微分. 【答案】 z z yexy, xexy, 解 x y z z e2, 2e2, x y (2,1) (2,1) 2 2 dezd2xed.y 三、二阶偏导数 【例12】 z4x33x2y3x2xyy 例 7 设 , 求 2z 2z 2z 2z , , , x2 yxxyy2  z 【答案】 解  x  z  y例7 设 , 求 z 1x226x3yy21, 解 x  z 3x26xy1;  y  2z 2z 2x46y, 6x, x2 y 2 2z 2z 6x6y, 6x6y. xy yx 【例13】 设 ，则 【05年真题】 【答案】 三、多元复合函数的偏导数 四、复合函数微分法（忽略） zf[u(x,y)v(x,,y)] 设 z zuzv   , x uxvx z zuzv   , y uy vy 【例14】设 ，则 【答案】五、隐函数的微分法 1、一元隐函数 前面已经讨论了 四、隐函数的偏导数 2、二元隐函数 设方程F(x,y,z)0确定函数zf(x,y) z F z F x, y. x F y F z z 【例15】设 ，求 z . 例 10 设 求 x 【答案】 F(x,y,z)x2y2z24z, 解 令 则 F 2x,F 2z4, x z z x F  x  , x F 2z z 第第三三节节 二二元元函函数数的的极极值值 zf(x,y) 一、求 的极值的步骤 第一步 解方程组 f(x,y)0,f(x,y)0, x y 求出 f(x,y)的所有驻点； f(x,y) 第二步 求出函数 的二阶偏导数， 依次确定各驻点处A、 B、 C的值，并 根据ACB2 的符号判定驻点是否为极值点. 最后求出函数 f(x,y)在极值点处的极值.f(x,y)A,f(x,y)B,f(x,y)C. x00x x00y y00y (1) 当ABC20时， f(x,y)在(x,y)处有极值， 0 0 A0 时有极小值 f(x,y)； 0 0 A0时有极大值 f(x,y) ； 0 0 (2) 当ABC20时， f(x,y)在(x,y)处没有极值; 0 0 (3) 当 ABC20时，无法判断. 【例16】设 求极值 例 1 求 的极值. 【答案】 f(x,y)3x26x90  x  , 解 f(x,y)3y26y0 y 先解方程组解得驻点为 (1,0),(1,2),(3,0),(3,2) . 再求出二阶偏导数 f (x,y)6x6, xx f (x,y)0, xy f (x,y)6y6. yy 在点 (1, 0) 处, AB2C1620,A0, f(1,0)5; 故函数在该点处有极小值 在点 (1, 2) , (3,0)， AB2C1620, 故函数在这两点处没有极值; 在点 (3,2) ， AB2C1(6)20,又 A0, f(3,2)3.1 故函数在该点处有极大值 【例17】设 ，求极值 【15年真题】 【答案】二 、二元函数的条件极值（忽略） 前面所讨论的极值问题，对于函数的自变量无其它限制条件，这类极值称为无条件极值。但 在实际问题中，常会遇到对函数的自变量还有附加条件的极值问题。称为条件极值。 拉格朗日乘数法 zf(x,y) (x,y)0 求函数 在条件 的 极值的拉格朗日乘数法的基本步骤为： (1) 构造拉格朗日函数 L(x,y,)f(x,y)(x,y)为常数; (2) 由方程组 Lf(x,y)(x,y)0, x x x  Lf(x,y)(x,y)0, y y y 解出x,y,,   L(x,y)0  第第四四节节 二二重重积积分分的的概概念念和和性性质质 一 、二重积分的概念 1 、定义 一、二重积分的概念 n f(x,y)dlimf(,) i i i 0 D i1 其中 f(x,y) 称为被积函数, d称为面积微元, x 和y 称为积分变量, D 称为积分区域,  2、几何意义；求曲顶柱体的体积  3、物理意义；（忽略）  4、存在定理；（忽略）第第五五节节 在在直直角角坐坐标标系系下下二二重重积积分分计计算算 一 、二重积分在直角坐标系下的计算 假定积分区域D为如下X型区域: {x,y)|ax(b,(x)y(x). } 1 2 f(x,y)dx b d  d2(x) xf(xy,y)dy D a1(x) 类似地，如果积分区域D为Y型区域： {x,y)|cy(d,(y)x(y)} . 1 2 d(y) f(x,y)dxdd2yf(xy,y)d. x c(y) D 1 【例18】 xyd D 例1 计算二重积分 ，其中 是由直线 D yx y1,x2 及 所围成的闭区域．D x 解 区域 所示，可以将它看成一个 -型区域， 【答案】将它看作一个X型区域   D{x,y|1x2,1yx} 即 ． 2 x xyddxxydy 1 1 D yx 2 1  x y2 dx 1 2 y1 21 1  9  x3 xdx 12 2  8 D y 也可以将 看成是 －型区域，   D{x,y|1y2,yx2}， 2 2 xyddyxydx 1 y D  2 y 1 x 2 2 dy 1 2 xy 2 1  9 2y y3dy . 1 2  8 【例19】 xyd 例２ 计算二重积分 ，其中D是 D 有抛物线 y2x 及 yx2所围成【答案】 y 解：区域D可以看成是 －型区域，它表示为 D{  x,y  |1y2,y2xy2}， 2y2 212 y2 45 xyddxyyydxdxy ． 1y2 12 8 D y2 【例20】计算 ，D是由 所围成 计算【10年真题】 其中D是由 围成 【答案】 1 x2 解 x2ydxdydxx2yd y 0 0 D  1 x2 1 y2 x2  dx   0  2  0 11  x6dx 20 1  14 【例21】计算 ，D是由 所围成 【06年真题】 【答案】计算 其中 D 是由 围成 xydxdy1 1 解 dxxdy y 0 x D 1 1   x2y1dx   0  2  x 1 x x3   dx   0 2 2  1  8 【例22】计算 ，D是由 所围成 【07年真题】 计算 其中 D是由 围成 【答案】 解 (1x2)dxd 1 ydx x 1x2 dy 0 0 D 1  1x2 xdx 0 20  21 【例23】计算 ，D是由 所围成 【16年真题】 【答案】【例24】计算 其中积分区域D由直线y=x，x=1及x轴围成 【 13年真 题】 【答案】 【例25】计算 其中积分区域D由直线y=0，x=0及x+y=1围成【14年真 题】 【答案】【例26】已知积分区域 则 【18年真题】 A.0 B.1 C.2 D.4 【答案】A 【解析】 第第六六节节 极极坐坐标标系系下下二二重重积积分分的的计计算算 一、在极坐标系下二重积分公式为 ,()r(). 1 2 f(x,y)dxf(rcd,rso)yrisdnrd D D () d2f(rc,ros)irs.n dr () 1 适用的对象：（1）被积函数一般含有x2y2 （2）积分区域为圆域，扇形域，环型域 【例27】计算 D是由 在第一象限所围成 【11年真题】 【答案】计算 其中 D 是由 在第一象限围成   0  4 解  0 r 1   ydxdy 1 4dr2sidnr 0 0 D  1  4sind 30 1 2   3 6 【例28】计算 D是由 在第一象限所围成 计算 其中D是由 【08年真题】 在第一象限围成 【答案】   0  2 解  0r 1    x2y2dxdy D  1 2dr3dr 0 0   8 【例29】计算 D是由 所围成【05年真题】计算 其中 D 是由 围成 【答案】   0  2 解  0r2sin   2sin x2y2dx  d 2y d r2d r 0 0 D r3 4 2sind 0 3 0 1 28si3nd 30 16  9 【例30】计算 积分区域D由 围成 【17 年真题】 【答案】 【例31】计算 积分区域D由 围成 【18年真题】 【答案】第第七七节节 二二重重积积分分的的应应用用 一、几何应用；求曲顶柱体的体积 二、物理应用；（忽略） 【例32】设平面x=1，x=-1，y=1，y=-1围成的柱体被坐标平面z=0和平面x+y+z=3所截， 求截下部分的体积。 【答案】