高等数学（一）第六章_成考本科-所有考试科目-近10年真题和答案+2026备考通关资料大全_高数一-近10年真题和答案+2026成考本科备考通关资料大全

第第六六章章 无无穷穷级级数数 第第一一节节 无无穷穷级级数数的的概概念念和和性性质质 一、 数项级数的概念 一 、 无穷级数 u,u,...,u,... 1 设给定一个无穷数列 ， 12 n  uuu...u... 则 n 1 2 n n1 n u 称为数项级数，简称级数.其中第 项 n 称为级数的通项或一般项.该级数的前n项和 n Suu...uu n 1 2 n k k1 三、几个重要极限  aqn q1 1等比级数（几何） ，当 收敛， n0 q1 发散； 1 2 P级数 � P1 收敛，P1 发散； n1nP  1 当P1，  � 又称调和级数。 n1 n 【例1】判断级数 敛散性 名师解答： 发散 名师解析：【例2】判断级数 敛散性 名师解答： 发散 名师解析： 是发散的 【例3】判断级数 敛散性 名师解答：收敛 名师解析：性质1 【例4】求 【10年，18年真题】 名师解答： 名师解析： 一、 正项级数及其收敛判别法 第第二二节节 正正项项级级数数  若u0(n1,2,..)，则称级数  u 为正项级数. n n n1 一1、比比较较判判别别法法 大收敛 小收敛 大收敛 小收敛 小发散 大发散小发散 大发散 2 比值判别法 二 、比值判别法  u 设u 是正项级数，且 limn1，则 n1 n nu n 当1时，级数收敛； 当1时，级数发散； 当1时，级数可能收敛，也可能发散. 三 、极限形式的比较判别法（忽略） 【例5】判别级数 的收敛性 【14年真题】 名师解析： 所以原级数收敛 【例6】判别级数 的收敛性 名师解析： 又因为 是收敛的 所以原级数收敛 【例7】判别级数 的收敛性 3n 例7(1) ； (2)  ． n22n n1 名师解析： u (n1)! 1 解 (1) limn1limlim01， nunn! nn n  3n 例7(1) ； (2)  ． 所以原级数收敛 n22n 收敛． n1 解 (1) ， (2) 【例8】判别级数 的收敛性 收敛． 3 名师解析：  1， 2 u 3n1 n22n 3n2 (2) lin1mlim lim nun(n1)22n13n n2(n1)2 发散． n 3 1， 2 所发以原散级数．发 散 名师解答： D 名师解析： 比较判别法 第第三三节节 任任意意项项级级数数 一、任意项级数（忽略） 二、交错级数；形如一 如果级数的各项是正、负交错的，即形如 uuuu... 1 2 3 4 ， 其中u0(n1,2,3,..)，则称之为交错级数． n  定理1 若交错级数 (1)n1u (u0,n1,2,3,..)： n n n1 uu(n1,2,3,..) (1) ； nn1 limu0 (2) n , 则收敛 n  1 (1)n1 例 9 判别交错级数 的收敛性． n 名师解析： n1 11 解 由于uu对n1,2,..均成立, nnn1n1 1 且 liumlim0．故收敛． n n nn 二 绝对收敛与条件收敛 三、绝对收敛与条件收敛   定理2如果级数u 收敛，则称级数u 绝对收敛； n n n1 n1    如果级数u 收敛，而级数u 发散，则称级数u 条件收敛． n n n n1 n1 n1   定理3 如果级数u 绝对收敛，则级数u 必定收敛． n n n1 n1 【例11】 已知a为常数，则级数 下列正确的是 【17年真题】 A、发散 B、条件收敛 C、绝对收敛 D、收敛性与a的取值有关名师解答： B 名师解析： 条件收敛的定义和交错级数的判别法 【例12】判别级数 是 A、绝对收敛 B、条件收敛 D、不能确定 C、发散 名师解答： A 名师解析： 绝对收敛的定义 【例13】 例 11 判断下列级数是否收敛, 若收敛, 是否为绝对收敛. 判别下列级数是否收敛，若收敛，是否为绝对收敛  1 1n1 (1) ; n n1  1 (2) 1n1 ; n2 n1 11 1 1... (3) . 357 名师解析： 1 1 u  u  解 (1) 为交错级数, n n , n1 n1 , 故 uu 且limu0 n n1 n n 由莱布尼兹判别法知原级数收敛.  1 1 但由于u1......发散, n 2 n n1 故原级数为条件收敛. 1 1 1n1  (2) 由于 , n2 n2 n1 n1  1  而 为收敛级数, 故原级数收敛, n2 n1 并且为绝对收敛. u 1 limu0 uu (3) n 2n1 , n n , 且 n n1, 知原级数收敛. 1 1 1 又因为 1n1  , 2n12n12n 1 11  1 而级数发散, 由比较原则知级数 发散. 2n 2 n 2n1 n1 n1 n1 故原级数为条件收敛. 一、幂级数及其收敛区间 第第四四节节 幂幂级级数数 一、幂级数  axnaaxax2...axn..., n 01 2 n n0 1、称收为敛半x径的和收幂敛级区间数．如果级数收敛， （1）收敛半径；幂级数收敛的范围（一定是关于一点对称） （2）收敛区间；收敛范围 则称点 x 是函数项级数的收敛点； 2、求收敛域 0 如果级数发散，则称点 x 是函数项级数的发散点． 0 函数项级数的所有收敛点的全体称为它的收敛域． 【例14】幂级数 的收敛半径是 下列正确的是 【10，16年真题】 A、0 B、1 C、2 D、无穷大 名师解答： B名例师解1析2：求 下列幂级数的收敛域 【例15】求收敛域  xn (1)(1)n ; n n1  xn  (2) ; n! n1 名师解析： 1/n(1) 解 (1) lim a n1 lim n a n 1/n n n 1, lim 所以收敛半径 R1. nn1  (1)n x1  , 当 时，级数成为 该级数收敛; n n1 当 x1 时，级数成为   1 ,该级数发散. n n1 (1,1]. 从而所求收敛域为 1 a (n1)! limn1 lim (2) 因为 n a n 1 n n! 1 0, lim , 所以收敛半径 nn1 (,). 所求收敛域为 【例16】求幂级数 的收敛域 名师解析： x2n1  例 13 求幂级数 2n 的收敛域. n1 li u mn1 (x) li x2 m n1  2n  1 |x|2. 解 nu(x) n2n1x2n1 2 n 1 当 x2 1即 |x| 2 时，级数收敛; 2 1 |x|21 |x| 2 当 即 时，级数发散, 2 所以收敛半径 R 2. 当x2时，级数发散; 故所求收敛域为(2, 2) . 【例17】求幂级数 收敛半径 【02年真题】 名师解析： 如果改为求幂级数 收敛域 名师解析：第第五五节节 将将初初等等函函数数展展开开成成幂幂级级数数 一、将初等函数展开为幂级数 利用麦克劳林级数展开初等函数（忽略） 二、幂级数的基本性质 性质1 忽略 性质2 对幂级数可以逐项求导 性质3 对幂级数可以逐项积分 性质4 忽略 二 几个常用函数的幂级数展开式： 三、几个常用的标准展开式 1  1xx2...xn...xn 1x n0 x2 xn xn ex1x...... 2! n! n! n0 x2x3x4 xn1 ln(1x)x...(1)n ... 234 n1 四、间接展开法【例18】将函数 展开成幂级数 例 17 解名师：解 析： 1 1 1 1 x x x  [1()2...()n...] 2x 2 x 2 2 2 2 1 2 1x  1 ()nxn 2 2 2n1 n0 n0 【例19】展开函数 名师解析： 【例20】将 展开为（x-2）的幂级数 名师解析：【例21】将函数 展开为x的幂级数 【11年真题】 将函数 展开成x的幂级数，并求收敛域 名师解析： 1  1xx2...xn...xn 解；因为1x n0 1  15x52x2...5nxn...5nxn 15x n0 【例22】将函数 展开为x的幂级数，并求收敛域 【08年真题】 将函数 展开成x的幂级数，并求收敛域 名师解析： x2 xn xn ex1x...... 解；因为 2! n! n! n0 32x2 3nxn 3nxn1 xe3xx(13x......) 2! n! n! n0 3n1xn2n! lim 0x1, n3nxn1n1! 【例23】将函数 展开为幂级数 名师解析：【例24】将函数 展开为（x+1）的幂级数，并求收敛区间 【03年真题】 名师解析：