第15 讲 单调性问题 · 讲义
一、考情分析......................................................................................................................................1
二、知识清单......................................................................................................................................2
1.单调性基础问题...................................................................................................................2
2.讨论单调区间问题...............................................................................................................2
类型一:不含参数单调性讨论.................................................................................................2
类型二:含参数单调性讨论.....................................................................................................3
三、典题精练......................................................................................................................................4
考点一：导函数与原函数图象及性质的关系......................................................................4
考点二：不含参函数的单调性分析与应用..........................................................................6
考点三：已知函数单调性求参数范围..................................................................................7
考点四：含参函数的单调性讨论..........................................................................................8
四、高考真题....................................................................................................................................10
一、考情分析
1. 考查频次与题型
年
份
题号与题型
分值
考察类型
考察内容与方式
202
4
6 题单选
5 分
直接
考查分段函数的单调性及参数范围的求解
202
4
10 题多选
6 分
直接
考查三次函数的极值、单调区间及函数值大小
比较
202
6
6 题单选
5 分
直接
考查利用导数研究含参函数的单调性与最值
202
4
18 题解答
17 分
间接
考查利用导数单调性解决不等式恒成立及参数
范围问题
202
5
19 题解答
17 分
间接
考查利用导数研究三角函数的单调区间与最值
近三年全国一卷中，导数与单调性问题是高频核心考点，每年均有涉及.题型全面覆
盖单选、多选和解答题，分值分布在5 至17 分之间.既有直接考查单调区间的求解或根据
单调性求参数范围，也常与不等式恒成立、最值问题结合进行间接考查.
2. 命题角度与特色
核心考点：主要考查利用导数求解函数的单调区间、根据已知单调性逆求参数范围，
以及利用单调性求最值或证明不等式.
命题趋势：从单一的初等函数求导向复合函数、分段函数以及含有超越函数（如指数、
对数、三角函数）的复杂函数求导方向发展，对分类讨论思想的要求逐渐提高.
试题特点：选择题侧重于基础概念的灵活运用（如分段函数单调性的衔接、三次函数
图象特征），解答题则往往将单调性作为工具，结合不等式恒成立或零点问题进行综合考
查，计算量和逻辑推理要求较大.
3. 备考策略
· 熟练掌握各类基本初等函数的求导公式及复合函数的求导法则，确保求导准确无误.
· 强化分类讨论思想的训练，特别是在处理含参函数的导数零点分布时，做到不重不
漏.
· 掌握分离参数法、构造函数法等常见解题技巧，提升将不等式恒成立问题转化为函
数最值问题的能力.
· 注重数形结合思想的应用，善于通过函数图象特征辅助判断单调性及极值点位置.
二、知识清单
1.单调性基础问题
（1）函数的单调性
· 函数单调性的判定方法：设函数y = f ( x)在某个区间内可导，如果f
'( x)>0，则
y = f ( x)为增函数；如果f
'( x)<0，则y = f ( x)为减函数.
（2）已知函数的单调性问题
· ①若f ( x)在某个区间上单调递增，则在该区间上有f
'( x)≥0恒成立（但不恒等于
0）；反之，要满足f
'( x)>0，才能得出f ( x)在某个区间上单调递增.
· ②若f ( x)在某个区间上单调递减，则在该区间上有f
'( x)≤0恒成立（但不恒等于
0）；反之，要满足f
'( x)<0，才能得出f ( x)在某个区间上单调递减.
2.讨论单调区间问题
类型一:不含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分,尽可能因式分解;定义域需要注意是否是连续的
区间）;
（2）变号保留定号去（变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分.定号部分:
已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分）;
（3）求根作图得结论（如能直接求出导函数等于0 的根,并能做出导函数与x 轴位置
关系图,则导函数正负区间段已知,可直接得出结论）;
（4）未得结论断正负（若不能通过第三步直接得出结论,则先观察导函数整体的正
负）;
（5）正负未知看零点（若导函数正负难判断,则观察导函数零点）;
（6）一阶复杂求二阶（找到零点后仍难确定正负区间段,或一阶导函数无法观察出零
点,则求二阶导）;
求二阶导往往需要构造新函数,令一阶导函数或一阶导函数中变号部分为新函数,对新
函数再求导.
（7）借助二阶定区间（通过二阶导正负判断一阶导函数的单调性,进而判断一阶导函
数正负区间段）;
类型二:含参数单调性讨论
（1）求导化简定义域（化简应先通分,然后能因式分解要进行因式分解,定义域需要注
意是否是一个连续的区间）;
（2）变号保留定号去（变号部分:导函数中未知正负,需要单独讨论的部分. 定号部分:
已知恒正或恒负,无需单独讨论的部分）;
（3）恒正恒负先讨论（变号部分因为参数的取值恒正恒负）;然后再求有效根;
（4）根的分布来定参（此处需要从两方面考虑:根是否在定义域内和多根之间的大小
关系）;
（5）导数图像定区间;
【易错提醒】
· 使f
'( x)=0的离散点不影响函数的单调性，即当f
'( x)在某个区间内离散点处为零，在
其余点处均为正（或负）时，f ( x)在这个区间上仍旧是单调递增（或递减）的.例如，在
(-∞,+∞)上，f ( x)= x
3，当x =0时，f
'( x)=0；当x≠0时，f
'( x)>0，而显然f ( x)= x
3在
(-∞,+∞)上是单调递增函数.
· 若函数y = f ( x)在区间(a,b)上单调递增，则f
'( x)≥0（f
'( x)不恒为0），反之不成立.
因为f
'( x)≥0，即f
'( x)>0或f
'( x)=0，当f
'( x)>0时，函数y = f ( x)在区间(a,b)上单调递增.
当f
'( x)=0时，f ( x)在这个区间为常值函数；同理，若函数y = f ( x)在区间(a,b)上单调递减，
则f
'( x)≤0（f
'( x)不恒为0），反之不成立.这说明在一个区间上函数的导数大于零，是这
个函数在该区间上单调递增的充分不必要条件.于是有如下结论：
· f
'( x)>0⇒f ( x)单调递增；f ( x)单调递增 ⇒f
'( x)≥0.
· f
'( x)<0⇒f ( x)单调递减；f ( x)单调递减 ⇒f
'( x)≤0.
· 讨论函数的单调性时，必须先求函数的定义域，单调区间必须是定义域的子集.
· 若一个函数具有相同单调性的区间不只一个，则这些单调区间不能用“∪”或
“或”连接，而应用“和”或“，”隔开.
三、典题精练
考点一：导函数与原函数图象及性质的关系
考法1：根据原函数图象判断导函数图象或性质
例1.（2025·河北衡水·一模）（多选）已知函数f ( x)的部分图象如图所示，f
'( x)是f ( x)的
导函数，则下列结论正确的是
A. f
'（3）<0
B. f
'(-1)>0
C. f (-1)- f
'(-1)>0
D. f （3）-3 f
'（3）>0
考法2：根据导函数图象判断原函数图象或性质
例2.（多选）已知函数f ( x)的定义域为R且导函数为f
'( x)，如图是函数y = x f
'( x)的图像，
则下列说法正确的是
A. 函数f ( x)的增区间是(-2,0),(2,+ ∞)
B. 函数f ( x)的增区间是(-∞,-2),(2,+∞)
C. x =-2是函数的极小值点
D. x =2是函数的极小值点
考法3：结合图象与单调性解不等式
例3.（2026·湖南衡阳·适应）（多选）函数f ( x)=a x
3+b x
2+cx +d(a≠0)的图象如图所示，
设f
'( x)是函数f ( x)的导函数，则下列结论正确的是
A. f
'( x)>0的解集是(2,5)
B. 3a+2b+c =0
C. x =2时，f
'( x)取得最大值
D. f ( x)⋅f
'( x)>0的解集是(-∞,-1)∪(1,2)∪(3,5)
【考点一 方法总结】
· 原函数的增减性对应导数的正负，原函数图象的凹凸性（切线斜率的变化率）对
应导数的增减性.
· 处理含有x因式的导数图象（如x f
'( x)），需在x =0两侧分别讨论符号，从而还原
f
'( x)的真实正负区间.
· 解形如f ( x)f
'( x)>0的不等式，等价转化为图象在x轴上方且上升，或在x轴下方且
下降的区间.
· 遇到类似f ( x0)- x0 f
'( x0)的符号判断，常构造切线方程y - f ( x0)= f
'( x0)( x - x0)，通
过观察切线在坐标轴上的截距符号快速求解.
考点二：不含参函数的单调性分析与应用
考法4：求不含参函数的单调区间
例4.（2026·山东聊城·二模）函数f ( x)= e
x -1
x
- ln x的单调递减区间为＿＿＿＿＿＿.
考法5：利用单调性与构造函数求解不等式或极值
例5.（2026·福建泉州·一模）已知定义在R上的函数f ( x)的图象是一条连续不断的曲线，
且f (- x)+ f ( x)=0，若当x>0时，[ f ( x)+ f
'( x)]e
x>[ f ( x)- f
'( x)]e
- x，则（ ）
A. f (e)<f (-e)
B. xf ( x)≤0
C. f ( x)存在极值点
D. f ( x)有且只有一个零点
【考点二 方法总结】
求可导函数单调区间的一般步骤：
1. 确定函数f ( x)的定义域，严格遵循“定义域优先”原则.
2. 求导数f
'( x)，并令f
'( x)=0，求出它在定义域内的一切实数根.求导前尽
量将分式化简或通分提取恒正（或恒负）公因式，降低求导运算复杂度.
3. 把函数f ( x)的间断点（无定义点）的横坐标和f
'( x)=0的各实根按由小到
大的顺序排列，将定义域分成若干个小区间.
4. 确定f
'( x)在各小区间内的符号，从而判断函数f ( x)在各小区间内的增减
性.
· 遇到含有f ( x)与f
'( x)的不等式，优先考虑构造函数：出现f
'( x)+ f ( x)构造
F( x)=e
x f ( x)；出现f
'( x)- f ( x)构造F( x)= f ( x)
e
x .
· 结合函数的奇偶性，可将一侧的单调性推广到整个定义域，通过单调性将函数不
等式转化为自变量的不等式求解.
考点三：已知函数单调性求参数范围
考法6：根据函数在某区间单调求参数范围
例6.（2025·广东·五月测评）已知函数y = ln( x
2-2ax -3a
2)在区间[1,+∞)上单调递增，则
实数a的取值范围是（ ）
A. (-∞, 1
3 ]
B. (-∞,1)
C. (-1, 1
3 )
D. (-1,0)∪(0, 1
3 )
考法7：根据函数存在单调区间或不单调求参数范围
例7.（2025·江西上饶·二模）若函数h( x)= ln x - 1
2 a x
2-2 x在[1,4 ]上存在单调递增区间，则
实数a的取值范围为（ ）
A. [-1,+ ∞)
B. (-1,+∞)
C. (-∞,- 7
16 ]
D. (-∞,- 7
16 )
考法8：根据分段函数单调性求参数范围
例8.（2026·江西吉安·一模）已知函数f ( x)={
e
x -aln x , x ≥1,
- x
2+2ax , x<1 在定义域R上是增函数，则实
数a的取值范围为（ ）
A. [1,e ]
B. [1,+ ∞)
C. [1, e+1
2
]
D. [ e+1
2
,e ]
【考点三 方法总结】
· 复合函数的单调性遵循“同增异减”原则，对于对数型、偶次根式型复合函数，
必须附加内层函数在对应区间上满足定义域条件（如恒大于零）的限制.
· “存在单调递增（减）区间”等价于“f
'( x)>0（或<0）在给定区间上有解”，常
采用分离参数法，转化为a<g( x)max或a>g( x)min的形式求最值.
· 处理分段函数的全局单调性，不仅要求每一段各自满足单调性条件，还必须保证
分界点处的函数值满足单调性的衔接要求.
考点四：含参函数的单调性讨论
考法9：一次或二次函数型导数的单调性讨论
例9.设函数f ( x)=[a x
2-(4 a+1)x + 4 a+3]e
x. 求f ( x)的单调区间.
考法10：超越函数（指数/对数型）的单调性讨论
例10.（2026·山东德州·一模）已知函数f ( x)= e
2 x
2 -ae
x+ x. 讨论f ( x)的极值点个数.
考法11：利用分段分析法讨论函数单调性
例11.设函数f ( x)= x +1
e
x +a x
2，其中a∈R. 讨论f ( x)的单调性.
考法12：含参单调性讨论与不等式恒成立/零点综合
例12.（2026·广东深圳·一模）已知函数f ( x)= ln x -a ❑√x +1+ 4.
（1） 当a= ❑√3时，求f ( x)的单调区间；
（2） 若f ( x)有两个零点.
（i） 求a的取值范围；
（ii） 证明：f ( x)<
2
❑√a
2+1-1.
【考点四 方法总结】
· 求导化简定义域，通分并尽可能因式分解.变号保留定号去，已知恒正或恒负的因
式无需单独讨论.若一阶导函数正负难判断，可求二阶导，通过二阶导的正负判断一阶导
函数的单调性.
· 导数分子为二次函数时，按二次项系数的正负、判别式Δ的符号、两根大小关系及
根与定义域边界的大小关系展开全面分类讨论.
· 处理含有指数函数的超越方程，利用换元法t =e
x（注意t >0）将其转化为一元二次
方程根的分布问题.
· 导函数由两个可能变号的因式相乘构成时，需对参数进行分类讨论，比较这两个
零点的大小关系，利用穿根法确定导数符号.
· 在含参单调性综合题中，若极值点x0无法显式解出，利用“隐零点”代换，由
f
'( x0)=0得到参数与x0的关系式，代入极值表达式消去参数，转化为单变量函数求最值.
四、高考真题
1.（2024·全国一卷）已知函数为f ( x)={
- x
2-2ax -a, x<0
e
x+ ln( x +1), x ≥0，在R上单调递增，则a取值的范
围是（ ）
A. (-∞,0]
B. [-1,0]
C. [-1,1]
D. [0,+∞)
2.（2024·全国一卷）（多选）设函数f ( x)=( x -1)
2( x - 4)，则（ ）
A. x =3是f ( x)的极小值点
B. 当0< x<1时，f ( x)<f ( x
2)
C. 当1< x<2时，- 4<f (2 x -1)<0
D. 当-1< x<0时，f (2- x)>f ( x)
3.（2026·全国一卷）已知函数f ( x)= x +2
e
x+a的最大值为1，则a=（ ）
A. 1
2
B. 1
C. 3
2
D. 2
4.（2024·全国一卷）已知函数f ( x)= ln
x
2- x +ax +b( x -1)
3.
（1）若b=0，且f
'( x)≥0，求a的最小值；
（2）证明：曲线y = f ( x)是中心对称图形；
（3）若f ( x)>-2当且仅当1< x<2，求b的取值范围.
5.（2025·全国一卷）
（1）设函数f ( x)=5cos x -cos5 x，求f ( x)在[0, π
4 ]的最大值；
（2）给定θ∈(0,π )，设a为实数，证明：存在y ∈[a-θ ,a+θ ]，使得cos y ≤cosθ；
（3）若存在φ使得对任意x，都有5cos x -cos(5 x +φ)≤b，求b的最小值.
