文档文本内容
第14 讲 导数的概念与运算·综合测试
（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写
在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4. 适用地区：广东、江苏、浙江、山东、江西、河南、河北、安徽、福建、湖南、湖北.
一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1.若函数f ( x)在x0处可导，且lim ¿Δ x→0
f ( x0+2 Δ x)- f ( x0)
2 Δ x
=1¿，则f
'( x0)=（ ）
A. 1
B. -1
C. 2
D. 1
2
2.（2026·河北邯郸·一模）“曲线y =aln x - 2 x
a 在x =1处的切线的倾斜角为π
4 ”是“a=2”
的（ ）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
3.（2025·河北五个一·4 月联考）已知函数f ( x)={
2
x -2, x ≤2
log2( x -1), x>2，则f [f （5）]的值为（
）
A. 4
B. -2
C. - 4
D. 2
4.（2025·江西上进·3 月联考）已知函数f ( x)= x e
x -1+12的图象在x =t(t >0)处的切线过原点，
则t所在的区间是（ ）
A. (3,4)
B. (2,3)
C. (1,2)
D. (0,1)
5.（2026·江苏南通·一模）函数f ( x)= x
2,g( x)=2ln x +a的图象有公共点，则实数a的取值范
围为（ ）
A. [e ,+ ∞)
B. (1,+ ∞)
C. [1,+∞)
D. (-∞,-1]
6.（2025·郑州外国语·5 月调研）已知函数f ( x)=|ln x|图象的两条切线相互垂直，并分别
交y轴于A，B两点，则| AB|=（ ）
A. 2
B. e
C. 3
D. e+1
7.（2025·广东六校·5 月联考）已知过点A(a,0)可以作曲线y =( x -1)e
x的两条切线，则实
数a的取值范围是（ ）
A. (1,+ ∞)
B. (-∞,-e)∪(2,+∞)
C. (-∞,-2)∪(2,+ ∞)
D. (-∞,-3)∪(1,+ ∞)
8.已知实数x , y满足2 x
2-5 ln x - y =0，m∈R，则❑√x
2+ y
2-2mx +2my +2m
2的最小值为（
）
A. 9
2
B. 3 ❑√2
2
C.
❑√2
2
D. 1
2
二、选择题：本题共3 小题，每小题6 分，共18 分.在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错得0 分.
9.（2026·河北石家庄·一模）已知函数f ( x)=a x
3- 1
x ，a∈R，f （1）=- 3
4 ，则（ ）
A. a= 1
4
B. 函数f ( x)的零点为±2
C. 曲线y = f ( x)上任意一点处切线的倾斜角不小于π
3
D. 若x1< x2，且x1 x2≠0，则f ( x1)<f ( x2)
10.（2024·广东名校·5 月押题）若函数y = f ( x)的图象上至少存在两个不同的点P，Q，使
得曲线y = f ( x)在这两点处的切线垂直，则称函数y = f ( x)为“垂切函数”.下列函数中为
“垂切函数”的是（ ）
A. y = x
2
B. y =e
x
C. y = x ln x
D. y =sin x
11.（2026·广东东莞·二模）若直线y =kx +b与曲线y =e
x相交于不同两点A( x1, y1)，
B( x2, y2)，曲线y =e
x在A，B点处的切线交于点P( x0, y0)，设AP的斜率为k1，BP的斜率为
k2，则（ ）
A. b=0时，k >e
B. 2 x0= x1+ x2
C. 0< y0<e
x0
D. 1
k1
+ 1
k2
> 2
k
三、填空题：本题共3 小题，每小题5 分，共15 分.
12.已知可导函数f ( x)，g( x)定义域均为R，对任意x满足f ( x)+2 x
2 g(
1
2 x)= x -1，且
f （1）=1，求f
'（1）+ g
'(
1
2)=＿＿＿＿＿＿.
13.（2026·山东济宁·二模）曲线y =e
x+ x在(0,1)处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
14.（2026·河南周口·一模）已知曲线y = ln x +2与y = ln( x +1)的公切线为l，则l在y轴上的
截距为＿＿＿＿＿＿.
四、解答题：本题共5 小题，共77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.（13 分）（2026·江苏南通·一模）已知a>0且a≠1，函数f ( x)= loga x + 1
2 a x
2.
（1） 若a=e，求函数f ( x)在x =1处的切线方程；
（2） 若函数f ( x)有两个零点，求实数a的取值范围.
16.（15 分）（2026·安徽A10·4 月联考）已知函数f ( x)= ln x - a
2 x
2+ x，a∈R.
（1） 当a= 4时，过点(0,2e
2)作直线l与曲线y = f ( x)相切，求切点坐标；
（2） 若0<m<n，且f (m)-m= f (n)-n，求证：f
'(
m+n
2 )<1（其中f
'( x)为f ( x)的导数）.
（3） 若关于x的不等式f ( x)+ ln a≤ln 2恒成立，求实数a的取值构成的集合.
17.（15 分）（2024·江西吉安·5 月联考）已知函数f ( x)=e
x -1-ax -a(a∈R).
（1） 当a=2时，求曲线y = f ( x)在x =1处的切线方程；
（2） 若函数f ( x)有2 个零点，求a的取值范围.
18.（17 分）（2026·安徽马鞍山·二模）曲线f ( x)= x + ln x在点(1,1)处的切线为l.
（1） 求直线l的方程；
（2） 若直线l与曲线y = x
3-ax +1在y轴右侧只有一个公共点，求实数a的值.
19.（17 分）（2024·广东名校·5 月押题）已知函数f ( x)= ln x - x，g( x)=-e
- x.
（1） 曲线y = f ( x)与y = g( x)在x = x0处的切线分别是l1: y =θ( x)，l2，且l1∥l2，求l1的方程；
（2） 已知af ( x)+ g( x)+2a<0(a≠0).
（i） 求a的取值范围；
（ii） 设函数F( x)= f ( x +a)+ ax
g( x) + x +a( x>0)的最大值为M，比较M与（1）中的θ( x)的
大小.
