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微专题：函数的单调性
【考点梳理】
1. 函数的单调性
(1)增函数与减函数
增函数 减函数
一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I：如果∀x，x∈D，
1 2
当x f ( x )，那么就称函数f(x)
1 2 1 2 1 2 1 2
定义
间D上单调递增. 特别地，当函数f(x)在它的定义 在区间D上单调递减. 特别地，当函数f(x)在它
域上单调递增时，我们就称它是增函数 的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数
图象描
述
自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)函数的单调性与单调区间：如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一
区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.
2. 判断函数单调性的主要方法(结论)
(1)定义法
教材习题中给出了其常见的两种等价形式：
设x，x∈(a，b)，且x≠x，记Δx＝x－x，Δy＝f(x)－f(x)，那么
1 2 1 2 1 2 1 2
①＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；
＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
上式的几何意义：增(减)函数图象上任意两点(x，f(x))，(x，f(x))连线的斜率恒大于(或小于)零.
1 1 2 2
②(x－x)[f(x)－f(x)]＞0⇔f(x)在(a，b)内是增函数；(x－x)[f(x)－f(x)]＜0⇔f(x)在(a，b)内是减函数.
1 2 1 2 1 2 1 2
(2)性质法
①当常数c>0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相同；当常数c<0时，y＝c·f(x)与y＝f(x)的单调性相反，特别地，
函数y＝－f(x)与y＝f(x)的单调性相反.
②当y＝f(x)恒为正或恒为负时，y＝与y＝f(x)的单调性相反.
③若c为常数，则函数y＝f(x)与函数y＝f(x)＋c的单调性相同.
④若f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍是增(减)函数.
⑤若f(x)>0且g(x)>0，f(x)与g(x)都是增(减)函数，则f(x)·g(x)也是增(减函数)；若f(x)<0且g(x)<0，f(x)与g(x)都
是增(减)函数，则f(x)·g(x)是减(增)函数.
⑥奇(偶)函数在其对称区间上的单调性相同(相反).
(3)同增异减法
复合函数的单调性：如果y＝f(u)和u＝g(x)的单调性相同，那么y＝f(g(x))是增函数；如果y＝f(u)和u＝g(x)的
单调性相反，那么y＝f(g(x))是减函数. 在应用这一结论时，必须注意：函数u＝g(x)的值域必须是y＝f(u)的单调区
间的子集.
(4)导数法
对于函数y＝f(x)，如果在某个区间上f′(x)＞0，那么f(x)在该区间上单调递增；如果在某个区间上f′(x)＜0，那
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司么f(x)在该区间上单调递减.
(5)图象法.
【题型归纳】
题型一：求函数的单调区间
1．函数 的单调增区间是（ ）
A． B．
C． D．
2．若函数f（x）＝6lnx－x2＋x，则f（x）的单调递减区间为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知函数 若 ，则 的单调递增区间为（ ）
A． B．
C． D．
题型二：根据函数的单调性求参数值
4．“ ”是“函数 在区间 上单调递减”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．函数 （ 且 ）在 上是增函数，则 的取值范围是
（ ）
第 2 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B． C． D．
6．设 ，且 ，则“函数 在 上是增函数”是“函数 在 上是减函数”
的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
题型三：根据图像判断函数单调性
7．定义在区间 上的函数 的图象如图所示，则 的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 （ ）的图象如图所示，则它的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
9．根据下列函数图象，既是奇函数又是增函数的是（ ）
第 3 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司A． B．
C． D．
题型四：复合函数的单调性
10． 的单调增区间为（ ）
A． B． C． D．
11．函数 的单调递增区间是（ ）
A．（3，+∞） B．（－∞，3） C．（4，+∞） D．（－∞，2）
12．函数 的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．（0，1）
题型五：根据函数的单调性解不等式
13．定义在 上的奇函数 在 上单调递增，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
第 4 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司14．已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时， ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
15．定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为
（ ）
A． B． C． D．
题型六：比较函数值的大小关系
16．设函数 是定义在实数集上的奇函数，在区间 上是增函数，且 ，则有（ ）
A． B．
C． D．
17．已知定义域为R的函数满足 ，且在 单调递减，若 ， ，
，则（ ）
A． B． C． D．
18．已知 ， ， ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
题型七：根据解析式直接判断函数的单调性
19．下列函数中，定义域为 ，又是 上的增函数的是（ ）
A． B．
第 5 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司C． D．
20．下列函数中，既是偶函数又在区间 上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
21．下列四个函数在 是增函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【双基达标】
22．定义在 上的函数 的导函数为 ，满足： ， ，且当 时，
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
23．已知函数 的导函数为 ，对任意的实数 都有 ， ，则不等式
的解集是（ ）
A． B． C． D．
24．已知 ， ， ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
25．函数 是 上的增函数，点 ， 是其图象上的两点，则 的解集为（ ）
A． B． C． D．
26．已知幂函数 满足 ，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关
第 6 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司系是（ ）
A． B．
C． D．
27．下列函数中，是奇函数且在 上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
28．某学生离家去学校，由于怕迟到，所以一开始就跑步，等跑累了再走余下的路程．在下图中纵轴表示离学校
的距离，横轴表示出发后的时间，则下图中的四个图形中较符合该学生走法的是（ ）
A． B． C． D．
29． 是定义在R上的可导函数，且 对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
30．函数 在 的图像大致为
A． B． C． D．
第 7 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司【高分突破】
一、单选题
31．下列函数中，在 上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
32．已知定义在 上的奇函数 在 上单调递增，且 ，若实数x满足 ，则x的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
33．已知函数 满足 ，且对任意的 ，都有 ，
则满足不等式 的 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
34．已知f（x）是定义在R上的函数，其导函数为 ，且不等式 恒成立，则下列比较大小错误的
是（ ）
A． B． C． D．
35．已知定义在 上的函数 ，其导函数为 ，若 ，且当 时， ，
第 8 页
学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
36．若函数 在 上是减函数，则实数m的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
37．定义在R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
38．设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
39．已知函数 对于任意 、 ，总有 ，且当 时， ，若已知
，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
40．下列函数中是增函数的为（ ）
A． B． C． D．
41．设函数 在区间 上是减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
42．如果函数y=f（x）在区间I上是减函数，而函数 在区间I上是增函数，那么称函数y=f（x）是区间I
上“缓减函数”，区间I叫做“缓减区间”．可以证明函数 的单调增区间为 ，
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司；单调减区间为 ， ．若函数 是区间I上“缓减函数”，则下列区间
中为函数I的“缓减函数区间”的是（ ）
A．（﹣∞，2] B． C． D．
43．已知 是自然对数的底数，设 ，则（ ）
A． B． C． D．
44．若定义在R上的函数f(x)对任意两个不相等的实数a，b，总有 >0成立，则必有（ ）
A．f(x)在R上是增函数 B．f(x)在R上是减函数
C．函数f(x)先增后减 D．函数f(x)先减后增
45．函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
46．已知函数 为 上的偶函数，对任意 ， ，均有 成立，若
，则 的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
47．给定函数 （ ）
A． 的图像关于原点对称 B． 的值域是
C． 在区间 上是增函数 D． 有三个零点
48．已知函数 ，若对任意的 [t，t+1]，不等式 恒成立，则整数t的取值可以是
（ ）
A． B．1 C．3 D．5
49．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世
界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过 的最大整数，则 称为高斯函
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司数，例如： ， ．已知函数 ，则关于函数 的叙述中正确的是（ ）
A． 是偶函数 B． 是奇函数
C． 在 上是增函数 D． 的值域是
50．对任意两个实数 ，定义 若 ， ，下列关于函数
的说法正确的是（ ）
A．函数 是偶函数
B．方程 有三个解
C．函数 在区间 上单调递增
D．函数 有4个单调区间
三、填空题
51．已知偶函数 在 上是减函数，且 ，则 的解集__________
52．偶函数 的图象经过点 ，且当 时，不等式 恒成立，则使得 成立
的 的取值范围是___________.
53．若函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是______.
54．已知定义域为 的奇函数 ，则 的解集为_______．
55．函数 ，若 ，则实数 的范围是____________．
56．定义在 上的函数 满足 ，对任意的 ，恒有
，则关于x的不等式 的解集为________
四、解答题
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司57．已知函数 ，且 ．
（1）求m；
（2）判断并证明 的奇偶性；
（3）判断函数 在 ，上是单调递增还是单调递减？并证明．
58．已知 是定义在R上的奇函数，当时 时，
（1）求 解析式
（2）画出函数图像，并写出单调区间（无需证明）
59．已知函数 的定义域为 ，且对任意的正实数 、 都有 ，且当 时，
， ．
（1）求证： ；
（2）求 ；
（3）解不等式 ．
60．已知幂函数 （ ）的图像关于 轴对称，且 .
（1）求 的值及函数 的解析式；
（2）若 ，求实数 的取值范围.
61．设 是定义在 上的奇函数，且当 时， .
（Ⅰ）求函数 的解析式；
（Ⅱ）若对任意的 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
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学学科科网网（（北北京京））股股份份有有限限公公司司参考答案
1．C
【解析】
【分析】
分离常数，然后根据图像平移得到函数图像，继而求出单调增区间.
【详解】
的图象是由 的图象沿 轴向右平移 个单位，然后沿 轴向下平移 个单位得到， 如下图
的单调增区间是 ．
故选：C.
2．B
【解析】
【分析】
求导，解不等式 可得.
【详解】
f（x）定义域为 ，又 ，
令 ，∵x＞0，∴ ，
由 解得 或 ，
则 ，即 的单调减区间为 ．
故选：B．
3．D
【解析】
【分析】
先根据题目条件求出 的值，再根据二次函数的性质求出 的单调递增区间
【详解】
解：依题意， 解得a＝－1，故 ，可知 在 上单调递增
故选：D
第 13 页4．B
【解析】
【分析】
由函数 在区间 上单调递减可得 ，进而可判断为充分不必要条件.
【详解】
对于函数 ，
当 时， 在R上单调递减；当 时，若要使得 在 上单调递减，需满足 且 ，解
得 .
“故 ”是“函数 在区间 上单调递减”的充分不必要条件，
故选:B.
5．A
【解析】
【分析】
讨论 、 判断 单调性，结合已知单调区间求a的范围，再利用二次函数性质求 的取值范围.
【详解】
当 ，则 在定义域 上递减，不满足题设；
当 ，则 在定义域 上递增，又 在 上是增函数，
所以 ，可得 ，即 .
由 ，故 在 上递增，
所以 的取值范围是 .
故选：A
6．A
【解析】
【分析】
由 在 上是增函数，可得 ；由 在 上是减函数可得： ，即可得
答案.
【详解】
因为 在 上是增函数，
由复合函数的单调性可知 ,
由 在 上是减函数可得： ，所以 ，
又因为 ，
所以函数 在 上是增函数”是“函数 在 上是减函数”的“充分而不必要条
第 14 页件”.
故选：A.
7．B
【解析】
【分析】
根据函数图象直接确定单调递减区间即可.
【详解】
由题图知：在 上 的单调递减，在 上 的单调递增，
所以 的单调递减区间为 .
故选：B
8．A
【解析】
【分析】
利用给定图象直接写出单调递减区间作答.
【详解】
观察图象知，函数 在 上的图象从左到右是下降的，在 上的图象从左到右是上升的，
所以函数 （ ）的单调递减区间是 .
故选：A
9．A
【解析】
【分析】
根据奇函数的图象关于原点对称以及增函数的定义即可得出答案.
【详解】
对于A，是奇函数且递增，符合题意；
对于B、C、D，均为是非奇非偶函数，不合题意.
故选：A.
10．C
【解析】
【分析】
先求出函数的定义域，再换元令 ，则 ，求出 的单调区间，再利用复合函数单调性的求法
得结果
【详解】
由 ，得 或 ，则函数的定义域为 ，
令 ，则 ，
因为 在 上单调递减，在 上单调递增， 在定义域内为减函数，
所以 在 上递增，在 上递减，
所以 的单调增区间为 ，
第 15 页故选：C
11．D
【解析】
【分析】
这是一个内层函数是二次函数，外层函数是对数函数的复合函数，
其单调性由这两个函数的单调性共同决定，即“同增异减”.
【详解】
先考虑定义域： ，解得 或 ，
是开口向上的抛物线，对称轴为x=3，
在 上单调递增，在 上单调递减，
函数 是由 和 复合而成的，
是减函数，根据复合函数同增异减的原理，
当 时 是增函数，
故选：D.
12．A
【解析】
【分析】
复合函数的单调性，同增异减
【详解】
已知定义域为R.设 ， ，
∵ 在R上为减函数， 在 上为减函数，
∴ 在 上是增函数.
故选：A
13．C
【解析】
【分析】
根据题意可得 在 上单调递增，再根据函数为奇函数可得不等式 ，即为不等式
，再根据函数的单调性即可得解.
【详解】
解：因为奇函数 在 上单调递增，所以 在 上单调递增，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
故选：C.
第 16 页14．D
【解析】
【分析】
根据条件可得 在 上单调递增，然后结合其是偶函数可得答案.
【详解】
当 时， ，则 在 上单调递增，
又函数 是 上的偶函数，且 ，
所以，不等式 ，
解得 或
所以不等式 的解集为 ，
故选：D
15．D
【解析】
【分析】
利用函数为奇函数，将不等式转化为 ，再利用函数的单调性求解.
【详解】
因为函数 为奇函数，
所以 ，又 ， ，
所以不等式 ，可化为 ，
即 ，
又因为 在 上单调递增，
所以 在R上单调递增，
所以 ，
解得 .
故选：D.
16．A
【解析】
【分析】
由奇偶性和单调性求解即可
【详解】
为奇函数，
∴ ，
又∵
∴ ， ， ，
第 17 页又∵ ，且函数在区间 上是增函数，
∴ ，
∴ ， ，
故选：A.
17．D
【解析】
【分析】
根据 得 为偶函数，再根据单调性判断即可.
【详解】
由定义域为R的函数 满足 得：
函数 是偶函数，
所以 ，
因为 ，又函数 在 单调递减
所以
即：
故选：D.
18．B
【解析】
【分析】
设 ， ，利用导数可求得 和 在 上的单调性，由单调
性得 ， ，由此可得 的大小关系.
【详解】
由题意知： ， ， ；
设 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
，即 ，又 ， ，即 ；
第 18 页设 ，则 ；
令 ，则 ，
当 时， ， 在 上单调递增，
当 时， ， ，
在 上单调递减， ，
即 ， ，即 ；
综上所述： .
故选：B.
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数值大小关系的比较问题，解题关键是将 变形后，转化为函数的不同函数值大小关
系比较问题，通过构造函数的方式，结合导数知识求得函数单调性，进而得到大小关系.
19．A
【解析】
【分析】
根据定义域为 ，在 上的单调递增逐项判断可得答案.
【详解】
对于A，定义域为 ， 时， 是单调递增函数， 是单调递增函数，由复合函数单调性的
定义可得函数 是 上的增函数，故A正确；
对于B，定义域为 ， 是 上的减函数，故错误；
对于C， 定义域为 ，故错误；
对于D，定义域为 ， 为开口向上对称轴为 的抛物线，
所以在 上单调递减，故错误.
故选：A.
20．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的奇偶性、单调性判断即可.
【详解】
第 19 页解：对于A： 为非奇非偶函数，故A错误；
对于B： 为偶函数，且在 上单调递减，故B错误；
对于C： 定义域为 ，故函数为非奇非偶函数，故C错误；
对于D： 定义域为 ，且 ，
故 为偶函数，又 ，所以 在 上单调递增，故D正确；
故选：D
21．D
【解析】
【分析】
根据各个函数的性质逐个判断即可
【详解】
对A， 二次函数开口向上，对称轴为 轴，在 是减函数，故A不对．
对B， 为一次函数， ，在 是减函数，故B不对．
对C， ，二次函数，开口向下，对称轴为 ，在 是增函数，故C不对．
对D， 为反比例类型， ，在 是增函数，故D对．
故选：D
22．A
【解析】
【分析】
由给定的不等式构造函数 对 求导，根据已知条件可判断 非得单调性，将所求解不等式转化
为 有关的不等式，利用单调性脱去 即可求解.
【详解】
令 ，则 可得
所以 是 上的奇函数，
，
当 时， ，所以 ，
是 上单调递增，
第 20 页所以 是 上单调递增，
因为 ，
由 可得 即 ，
由 是 上单调递增，可得 解得： ，
所以不等式 的解集为 ，
故选：A.
【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键点是：构造函数 ，根据已知条件判断 的奇偶性和单调性，利用单
调性解不等式 .
23．C
【解析】
【分析】
由已知条件构造函数 ，再根据 ，求 ，不等式转化为 ，结合函数的单
调性和奇偶性，解抽象不等式.
【详解】
解：由题意得 ，
则
，
由 ，解得： ，
故 ，
（2），
当 时， ， ， ，
在 上恒成立，
即 在 上单调递增，
又 ，故 为 上的偶函数，
其图象关于 轴对称， 在 上单调递减，
故 ，故 ，
故选：C．
24．C
【解析】
【分析】
第 21 页根据题意，构造函数 ，利用函数 单调性比较大小即可.
【详解】
令 ，所以
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
所以 ，即 .
故选：C
25．C
【解析】
去绝对值化为 ，由点 ， 是其图象上的两点，
，利用函数单调性，可得 ，即可求出结论；或根据函数单调性结合已知条件，得出
时， ，再将原不等式等价转化，即可求解.
【详解】
解法一：因为 是 上的增函数， ，
是其图象上的两点，所以函数 的草图如图所示.由图象得，
，即 .
解法二：因为 是 上的增函数， ，
是其图象上的两点，所以当 时， .
又已知 ，即 ，
所以 ，解得 .
故选：C
【点睛】
本题考查利用函数的单调性结合函数草图解不等式，属于基础题.
26．C
【解析】
第 22 页【分析】
由 可求得 ，得出 单调递增，根据单调性即可得出大小.
【详解】
由 可得 ，∴ ，
∴ ，即 .由此可知函数 在 上单调递增.
而由换底公式可得 ， ， ，
∵ ，∴ ，于是 ，
又∵ ，∴ ，故 ， ， 的大小关系是 .
故选：C.
【点睛】
关键点睛：本题考查利用函数单调性判断大小，解题的关键是判断出函数的单调性以及自变量的大小.
27．A
【解析】
【分析】
利用函数奇偶性的定义和单调性的定义逐个分析判断即可
【详解】
对于A，定义域为 ，因为 ，所以函数是奇函数，任取 ，且 ，
则 ，因为 ，且 ，所以 ，即 ，所以
在 上为增函数，所以A正确，
对于B，因为定义域为 ，所以函数 为非奇非偶函数，所以B错误，
对于C，因为定义域为 ，因为 ，所以 为偶函数，所以C错误，
对于D，因为定义域为 ，因为 ，所以函数 为非奇非偶函数，所以D
错误，
故选：A
28．B
【解析】
【分析】
根据一开始离学校最远，排除部分选项，再根据跑和走离学校的距离减少的较慢判断.
【详解】
首先一开始离学校最远，则CD错误；
开始是跑，所以在较短的时间内离学校的距离减少的较快，
第 23 页而后是走，所以离学校的距离减少的较慢，
故选：B
29．D
【解析】
【分析】
令 ，求出 ，即可得到函数的单调性，即可得解；
【详解】
解：令 ，则 ．
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 在R上单调递增，又因为 ，所以 ，
即 ，即 ，故D正确，
故选：D．
30．B
【解析】
【分析】
由分子、分母的奇偶性，易于确定函数为奇函数，由 的近似值即可得出结果．
【详解】
设 ，则 ，所以 是奇函数，图象关于原点成中心对称，排
除选项C．又 排除选项D； ，排除选项A，故选B．
【点睛】
本题通过判断函数的奇偶性，缩小考察范围，通过计算特殊函数值，最后做出选择．本题较易，注重了基础知识、
基本计算能力的考查．
31．D
【解析】
【分析】
根据函数单调性的性质可判断每个选项中函数在 的单调性.
【详解】
对于A，当 时， 单调递增，故A错误；
对于B， ，故 在 和 上单调递增，故B错误；
对于C， 在 上单调递增，故C错误；
第 24 页对于D， 在 上单调递减，故D正确
故选：D.
【点睛】
本题主要考查对函数单调性的判断，根据基本初等函数的复合函数单调性进行判断即可，属于基础题.
32．A
【解析】
【分析】
首先根据函数的奇偶性和单调性得到函数 在 上单调递增，且 ，从而得到 ，
， ， ， ， ， ， ，再分类讨论解不等式
即可.
【详解】
因为奇函数 在 上单调递增，定义域为 ， ，
所以函数 在 上单调递增，且 .
所以 ， ， ， ，
， ， ， .
因为 ，
当 时， ，即 或 ，
解得 .
当 时，符合题意.
当 时， ， 或 ，
解得 .
综上： 或 .
故选：A
33．A
【解析】
【分析】
可化为 ，构造函数 ，再结合奇偶性可知该函数在R上
单调递增，又将所求不等式变形，即可由单调性解该抽象不等式.
【详解】
第 25 页根据题意可知，
可转化为 ，
所以 在[0，+∞)上是增函数，又 ，
所以 为奇函数，所以 在R上为增函数，
因为 ， ，
所以 ，
所以 ，
解得 ，
即x的取值范围是 .
故选：A.
【关键点点睛】
本题的关键是将不等式 化为 ，从而构造函数 ，再根据
奇偶性和单调性解抽象不等式.
34．C
【解析】
【分析】
由已知条件可得 ，所以构造函数 ，求导后可得 ，从而可得g（x）在R上单
调递增，然后分析判断
【详解】
由已知 ，可得 ，
设 ，则 ，
∵ ，因此g（x）在R上单调递增，
所以 ， ，
即
所以 ，
所以ABD正确，C错误，
故选：C．
35．C
【解析】
【分析】
第 26 页令 ，可根据已知等式验证出 为偶函数，同时根据导数得到 的单调性；将所求不等式
转化为 ，根据单调性可得到 ，解不等式求得结果.
【详解】
令 ，则 ，
， ， ，
为定义在 上的偶函数；
当 时， ， 在 上单调递减，
又 为偶函数， 在 上单调递增.
由 得：
，即 ，
，解得： ，即不等式的解集为 .
故选： .
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性和单调性求解函数不等式的问题，涉及到构造函数、利用导数确定函数的单调性等知
识；解题关键是能够通过构造函数的方式将不等式转化为函数值的比较，再根据单调性转化为自变量之间的大小
关系.
36．A
【解析】
【分析】
结合二次函数的对称轴和单调性求得 的取值范围.
【详解】
函数 的对称轴为 ，由于 在 上是减函数，
所以 .
故选:A
37．C
【解析】
【分析】
结合函数的单调性与奇偶性解不等式即可.
【详解】
义在R上的偶函数 在 上单调递增，且 ，
所以 在 上单调递减，且 ，
第 27 页或 ，
故 或 ，
故选：C
38．A
【解析】
【分析】
根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，
再根据函数的单调性法则，即可解出．
【详解】
因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题．
39．A
【解析】
【分析】
设 ，分析出函数 为 上的增函数，将所求不等式变形为 ，可得出 ，
即可求得原不等式的解集.
【详解】
令 ，则 ，
对任意的 、 ，总有 ，则 ，
令 ，可得 ，可得 ，
令 时，则由 ，即 ，
当 时， ，即 ，
任取 、 且 ，则 ，即 ，即 ，
所以，函数 在 上为增函数，且有 ，
由 ，可得 ，即 ，
所以， ，所以， ，解得 .
第 28 页因此，不等式 的解集为 .
故选：A.
40．D
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项.
【详解】
对于A， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于B， 为 上的减函数，不合题意，舍.
对于C， 在 为减函数，不合题意，舍.
对于D， 为 上的增函数，符合题意，
故选：D.
41．B
【解析】
【分析】
根据二次函数的图象和性质即可求解.
【详解】
函数 的对称轴为 ，
又 函数在 上为减函数，
，即 ．
故选：B.
【点睛】
本题考查由函数的单调区间求参数的取值范围，涉及二次函数的性质，属基础题.
42．C
【解析】
【分析】
根据题意，分析函数 和 的单调区间，结合“缓减函数”的定义分析可得答案.
【详解】
由题意可知，对于 ，是二次函数，
其对称轴为 ，在区间 上为减函数，
对于 ，
在区间 和 上为减函数，
在 和 为增函数，
第 29 页若函数 是区间 上“缓减函数”，
则 在区间 上是减函数，
函数 在区间 上是增函数，
区间 为 或 ，
故选 .
【点睛】
本题主要考查二次函数，对号函数的单调性，同时考查学生对新题型的理解，考查学生的观察，分析能力.是中档
题.
43．A
【解析】
【分析】
首先设 ，利用导数判断函数的单调性，比较 的大小，设利用导数判断 ，放缩
，再设函数 ，利用导数判断单调性，得 ，再比较 的大小，即可得到结果.
【详解】
设 ， ，
当 时， ，函数单调递增，当 时， ，函数单调递减，
， 时， ，即 ，
设 ， ， 时， ，函数单调递减， 时， ，函数单调递增，所以当
时，函数取得最小值， ，即 恒成立，
即 ，
令 ， ， 时， ， 单调递减， 时， ， 单调
递增， 时，函数取得最小值 ，即 ，
得： ，那么 ，
即 ，即 ，
综上可知 .
故选：A
【点睛】
关键点点睛：本题考查构造函数，利用导数判断函数的单调，比较大小，本题的关键是：根据 ，放缩
第 30 页，从而构造函数 ，比较大小.
44．A
【解析】
【分析】
根据条件可得当ab时，f(a)>f(b)，从而可判断.
【详解】
由 >0知f(a)-f(b)与a-b同号，即当ab时，f(a)>f(b)，所以f(x)在R上是增函数.
故选：A.
45．D
【解析】
【分析】
先求出抛物线的对称轴 ，而抛物线的开口向下，且在区间 上单调递增，所以 ，
从而可求出 的取值范围
【详解】
解：函数 的图像的对称轴为 ，
因为函数 在区间 上单调递增，
所以 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：D
46．D
【解析】
【分析】
根据条件判断函数的单调性，然后利用单调性进行比较即可．
【详解】
解： 对任意 ， ，均有 成立，
此时函数在区间 为减函数，
是偶函数，
当 时， 为增函数，
， ， ，
因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，
第 31 页所以 ，
即 .
故选：D．
47．AB
【解析】
【分析】
对于A：由函数 的定义域为R， ，可判断；
对于B：当 时， ，当 时， ，由 或 ，可判断；
对于C：由 在 单调递增可判断；
对于D：令 ，解方程可判断.
【详解】
解：对于A：因为函数 的定义域为R，且 ，所以函数 是奇函数，所
以 的图像关于原点对称，故A正确；
对于B：当 时， ，
当 时， ，又 或 ，所以 或 ，
综上得 的值域为 ，故B正确；
对于C：因为 在 单调递增，所以由B选项解析得， 在区间 上是减函数，故C不正确；
对于D：令 ，即 ，解得 ，故D不正确，
故选：AB.
48．CD
【解析】
【分析】
首先判断 在 上为增函数，将不等式转化为 ，即 对任意的 [t，t+1]恒成立，利用一
次函数的单调性，解不等式可得所求范围.
【详解】
，
当 时， ，在 递增，
当 时， ，在 上递增，
第 32 页且 ， 为连续函数，
所以 在 上为增函数，且 ，
由对任意的 [t，t+1]，不等式 恒成立，
即 ，
即 ，所以 对任意的 [t，t+1]恒成立，
由 在[t，t+1]上递增，
可得 的最大值为 ，
即 ，解得 .
故选：CD
【点睛】
关键点点睛：本题考查了函数的单调性的判断以及应用，解不等式以及不等式恒成立问题的解法，解题的关键是
将不等式转化为 对任意的 [t，t+1]恒成立，考查了转化思想和运算求解能力.
49．BC
【解析】
计算 得出 判断选项A不正确；用函数的奇偶性定义，可证 是奇函数，选
项B正确；通过分离常数结合复合函数的单调性，可得出 在R上是增函数，判断选项C正确；由 的范围，
利用不等式的关系，可求出 ，选项D不正确，即可求得结果.
【详解】
根据题意知， .
∵ ，
，
，
∴函数 既不是奇函数也不是偶函数，A错误；
，
∴ 是奇函数，B正确；
在R上是增函数，由复合函数的单调性知 在R上是增函数，C正确；
， ， ，
第 33 页， ，D错误.
故选：BC.
【点睛】
关键点睛：本题是一道以数学文化为背景，判断函数性质的习题，属于中档题型，本题的关键是理解函数
，然后才会对函数 变形，并作出判断.
50．ABD
【解析】
【分析】
结合题意作出函数 的图象，进而数形结合求解即可.
【详解】
解：根据函数 与 ，，画出函数 的图象，如图．
由图象可知，函数 关于y轴对称，所以A项正确；
函数 的图象与x轴有三个交点，所以方程 有三个解，所以B项正确；
函数 在 上单调递增，在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减，所以C项错
误，D项正确．
故选：ABD
51．
【解析】
【分析】
分 和 两种情况讨论x的范围，根据函数的单调性可得到答案.
【详解】
因为 是偶函数，且 ，所以 ，
又 在 上是减函数，所以 在 上是增函数，
①当 时，由 得 ，又由于 在 上为减函数，且 ，所以 ，得 ；
②当 时，由 得 ，又 ， 在 上是增函数，所以 ，所以 .
综上，原不等式的解集为： .
第 34 页故答案为： .
【点睛】
方法点睛：本题主要考查函数相关性质，利用函数性质解不等式，运用函数的奇偶性与单调性的关系是进行区间
转换的一种有效手段.奇函数在对称区间上的单调性相同，且 .偶函数在对称区间上的单调性相反，
且 ..
52．
【解析】
【分析】
根据函数单调性的定义，结合偶函数的性质进行求解即可.
【详解】
因为当 时，不等式 恒成立，所以有 ，即
，所以函数 在 上单调递增，
因为函数 的图象经过点 ，所以 ，
因此由 ，可得 ，函数 是偶函数，且在在 上单调递增，所以由
，
故答案为：
53．
【解析】
利用函数的单调性分别求得函数 在区间 、 ，结合已知条件可得出关于实数 的不等式组，进而可
求得实数 的取值范围.
【详解】
当 时， ；
当 时，此时函数 单调递增，此时 .
由于函数 在区间 上的值域为 ，所以 .
，
令 ，则函数 在 上单调递增，且 ，
所以，不等式 的解为 .
第 35 页解不等式组 得 .
所以实数 的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】
本题考查利用分段函数的值域求参数的取值范围，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
54．
【解析】
【分析】
根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性.
等价于 ，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，
结合定义域求得解集.
【详解】
由题知， ，
所以 恒成立，即 ．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，
所以 ，解得 ，
因此 ， ，
由 单调递增， 单调递增，
易知函数 单调递增，
故 等价于
等价于
即 ，解得 ．
故答案为：
55．
【解析】
【分析】
根据解析式可判断 是定义在 上的奇函数且在 上单调递增，转化不等式即可求解.
【详解】
第 36 页， ，
是定义在 上的奇函数，且显然在 上单调递增，
由 可得 ，
，解得 .
故答案为： .
56．
【解析】
【分析】
设 ，由已知不等式得函数 是增函数，即得 是增函数，又由函数表达式得函数
为奇函数，不等式转化为 的函数不等式，利用奇偶性变形，再由单调性可解．
【详解】
设 ，
因为对任意的 ，恒有 ，
所以函数 在 上为增函数，则 在 上为增函数，
又 ，而 ，所以 ，
所以 为奇函数，综上， 为奇函数，且在 上为增函数，
所以不等式 等价于 ，
即 ，亦即 ，
可得 ，解得 ．
故答案为： ．
57．（1） ；（2）奇函数，证明见解析；（3）单调递增函数，证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，将 代入函数解析式，求解即可；
（2）利用奇函数的定义判断并证明即可；
（3）利用函数单调性的定义判断并证明即可．
【详解】
（1）根据题意，函数 ，且 ，
则 ，解得 ；
（2）由（1）可知 ，其定义域为 ，关于原点对称，
第 37 页又由 ，
所以 是奇函数；
（3） 在 上是单调递增函数．
证明如下：
设 ，则 ，
因为 ，
所以 ， ，则 ，即 ，
所以 在 上是单调递增函数．
58．（1） ；（2）图见详解，单调区间为：单调递增区间为： ， ，单调递减
区间为： ， .
【解析】
【分析】
（1）根据奇函数的性质，当 时， ，当 时， ，即可得解；
（2）根据二次函数的图像与性质，直接画图像，并求出单调性.
【详解】
（1）当 时， ，
当 时， ， ，
所以 ，
（2） 的图像为：
单调递增区间为： ， ，
单调递减区间为： ， .
第 38 页59．（1）证明见解析；（2） ；（3） ．
【解析】
【分析】
（1）令 ， ，由此可求出答案；
（2）令 ，可求得 ，再令 ， ，可求得 ；
（3）先求出函数 在 上的单调性，根据条件将原不等式化为 ，结合单调性即可求出答
案．
【详解】
解：（1）令 ， ，则 ，
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴ ；
（3）设 、 且 ，于是 ，
∴ ，
∴ 在 上为增函数，
又∵ ，
∴ ，解得 ，
∴原不等式的解集为 ．
60．（1） ；（2） .
【解析】
（1）由 ，得到函数在区间 为单调递增函数，即 求解.
（2）根据函数 图象关于 轴对称，且在区间 为单调递增函数，将不等式 ，转化
为 求解.
【详解】
（1）由题意，函数 （ ）的图像关于 轴对称，且 ，
所以在区间 为单调递增函数，
第 39 页所以 ，解得 ，
由 ， 。
又函数 的图像关于 轴对称，
所以 为偶数，
所以 ，
所以 .
（2）因为函数 图象关于 轴对称，且在区间 为单调递增函数，
所以不等式 ，等价于 ，
解得 或 ，
所以实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查幂函数的图象和性质以及函数奇偶性和单调性的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
61．（Ⅰ） （Ⅱ）
【解析】
【分析】
（Ⅰ）先由函数奇偶性得 ；再设 ，则 ，根据已知函数解析式，结合奇函数的性质，即可求出
结果；
（Ⅱ）先由题意，将不等式化为 ，再由函数单调性，得到 ，推出 ，求出
，即可得出结果.
【详解】
（Ⅰ）由题意知， .
设 ，则 ，故 ，
又因为 是奇函数，故 ，
所以 .
（Ⅱ）由 ，不等式 ，等价于 ，
因为 ，所以其在 上是增函数，
∴ ，即 ，
∵ ，∴当 时， ，
第 40 页得 ，故实数 的取值范围是 .
【点睛】
本题主要考查由函数奇偶性求函数解析式，由不等式恒成立求参数范围，熟记函数奇偶性与单调性的概念即可，
属于常考题型.
第 41 页第 42 页
