文档内容
【赢在中考·黄金8卷】备战2023年中考数学全真模拟卷（陕西专用）
黄金卷 4
（满分120分，考试用时120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．（2022·四川绵阳·统考中考真题）−√7的绝对值是（ ）
√7 √7
A．−√7 B．√7 C．− D．
7 7
【答案】B
【分析】根据绝对值的性质解答即可．
【详解】解：−√7的绝对值是√7．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了绝对值的性质，掌握绝对值的性质是解答本题的关键．
2．（2022·湖北黄石·统考中考真题）下面四幅图是我国一些博物馆的标志，其中既是轴对称图形又是中心
对称图形的是（ ）
A．温州博物馆 B．西藏博物馆 C．广东博物馆
D．湖北博物馆
【答案】A
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义解答即可．
【详解】解：A：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；
B：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
C：不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不合题意；D：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查中心对称图形和轴对称图形的概念，轴对称图形：在同一平面内，一个图形沿一条
直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一
点旋转180度，旋转后的图形和原图完全重合，那么这个图形就叫做中心图形．
3．（2022·宁夏·中考真题）下列运算正确的是（ ）
A．−2−2=0 B．√8−√2=√6 C．x3+x3=2x6 D．(−x3 ) 2=x6
【答案】D
【分析】直接利用有理数的减法、二次根式的减法、合并同类项及幂的乘方相关运算法则进行计算，并进
行一一判断即可得出答案．
【详解】A.−2−2=−4，故此选项不合题意；
B.√8−√2=√2，故此选项不合题意；
C.x3+x3=2x3，故此选项不合题意；
D.(−x3
)
2=x6，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了有理数的减法、二次根式的减法、合并同类项及幂的乘方运算，正确掌握相关运
算法则是解题关键．
4．（2022·湖北武汉·统考中考真题）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于E、F两点，∠BEF的
平分线交CD于点G，若∠EFG=52°，则∠EGF等于（ ）
A．26° B．64° C．52° D．128°
【答案】B
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义解答即可．
【详解】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFG=180°，
∴∠BEF=180°﹣52°=128°；
∵EG平分∠BEF，∴∠BEG=64°；
∴∠EGF=∠BEG=64°（内错角相等）．
故选：B．
【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，解答本题用到的知识点为：两直线平行，内错角相
等；角平分线分得相等的两角．
5．（2022·四川宜宾·统考中考真题）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5，BC=3，将△BCD沿BD折叠
到△BED位置，DE交AB于点F，则cos∠ADF的值为（ ）
8 7 15 8
A． B． C． D．
17 15 17 15
【答案】C
【分析】先根据矩形的性质和折叠的性质，利用“AAS”证明ΔAFD≌ΔEFB，得出AF=EF，DF=BF，
设AF=EF=x，则BF=5−x，根据勾股定理列出关于x的方程，解方程得出x的值，最后根据余弦函数
的定义求出结果即可．
【详解】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴CD=AB=5，AB=BC=3，∠A=∠C=90°，
根据折叠可知，BE=BC=3，DE=DE=5，∠E=∠C=90°，
∴在△AFD和△EFB中¿，
∴ΔAFD≌ΔEFB（AAS），
∴AF=EF，DF=BF，
设AF=EF=x，则BF=5−x，
在RtΔBEF中，BF2=EF2+BE2，
即(5−x) 2=x2+32，8 8 17
解得：x= ，则DF=BF=5− = ，
5 5 5
AD 3 15
cos∠ADF= = =
∴ DF 17 17，故C正确．
5
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的折叠问题，三角形全等的判定和性质，勾股定理，三角函数的定义，根据
题意证明ΔAFD≌ΔEFB，是解题的关键．
6．（2022·湖南娄底·统考中考真题）将直线y=2x+1向上平移2个单位，相当于（ ）
A．向左平移2个单位 B．向左平移1个单位
C．向右平移2个单位 D．向右平移1个单位
【答案】B
【分析】函数图象的平移规律：左加右减，上加下减，根据规律逐一分析即可得到答案．
【详解】解：将直线y=2x+1向上平移2个单位，可得函数解析式为：y=2x+3,
直线y=2x+1向左平移2个单位，可得y=2(x+2)+1=2x+5, 故A不符合题意；
直线y=2x+1向左平移1个单位，可得y=2(x+1)+1=2x+3, 故B符合题意；
直线y=2x+1向右平移2个单位，可得y=2(x−2)+1=2x−3, 故C不符合题意；
直线y=2x+1向右平移1个单位，可得y=2(x−1)+1=2x−1, 故D不符合题意；
故选B
【点睛】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解本题的关键．
7．（2022·辽宁营口·统考中考真题）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AC⊥BC,AC=4,∠ADC=30°，
则BC的长为（ ）
A．4√3 B．8 C．4√2 D．4
【答案】A
【分析】连接AB，根据AC⊥BC可得AB为⊙O的直径，又根据∠ADC=30°得到∠ABC=30°，故在
直角三角形中，利用特殊角的三角函数即可求出BC．【详解】解：连接AB，
∵AC⊥BC，
∴∠ACD=90°，
∴AB为⊙O的直径，
∵∠ADC=30°，
∴∠ABC=30°，
在Rt ΔABC中,
AC
=tan∠ABC，
BC
AC 4
BC= = =4√3
tan∠ABC √3 ．.
3
故选：A．
【点睛】本题主要考查圆周角定理，解三角形，解题的关键是掌握公式、定理。
8．（2022·山东青岛·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，
且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（ ）
A．b>0 B．c<0 C．a+b+c>0 D．3a+c=0
【答案】D
b
【分析】图象开口向下，得a<0， 对称轴为直线x=− =−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，
2a
根据对称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．
【详解】解：∵图象开口向下，
∴a<0，
b
∵对称轴为直线x=− =−1，
2a
∴b=2a，
∴b<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过(−3，0)，
∴图象经过点(1，0)，
当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；
∴c=-a-b，
∴c>0，故B不符合题意；
将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的
图象特征是解决问题的关键．
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分，本题要求把正确结果填在答题卡规定的横线上，不
需要解答过程）
9．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）计算：√12−2√3=__________．
【答案】0
【分析】先把√12化简为2√3，再作差，即可．
【详解】解：√12−2√3
=2√3−2√3
=0
故答案为：0．
【点睛】本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的基础知识是解题的关键．
10．（2022·四川遂宁·统考中考真题）如图，正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边
BH、GH上．若正方形BMGH的边长为6，则正六边形ABCDEF的边长为______．
【答案】4
【分析】连接BE，根据正六边形的特点可得BE//AF，根据含30度角的直角三角形的性质即可求解．
【详解】如图，连接BE，∵正六边形ABCDEF的顶点A、F分别在正方形BMGH的边BH、GH上
360
∵正六边形每个内角为180°− =120°，直线BE为对称轴
2
∴∠ABE+∠BAF=180°，AB=AF
∴AF//BE
则∠ABE=∠HAF=60° =∠FEB
则∠AFH=30°，
∵正方形BMGH的边长为6
∴BH=6，
AH 1
∵ =
AF 2
设AH=x，则AF=2x，
所以x+2x=6
解得x=2
∴BA=2x=4
故答案为：4
【点睛】本题考查了正多边形的性质，正方形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握以上知识是解
题的关键．
8
11．（2022·山东济宁·统考中考真题）如图，A是双曲线y= (x>0)上的一点，点C是OA的中点，过点C
x
作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是___________．
【答案】4【分析】根据点C是OA的中点，根据三角形中线的可得S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,进而可得
8
S△ABD = S△OBD,根据点B在双曲线y= (x>0)上，BD⊥ y轴，可得S△OBD=4，进而即可求解．
x
【详解】∵点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD, S△ACB = S△OCB,
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB,
∴S△ABD = S△OBD,
8
∵点B在双曲线y= (x>0)上，BD⊥ y轴，
x
1
∴S△OBD= ×8=4,
2
∴S△ABD =4,
答案为：4.
【点睛】本题考查了三角形中线的性质，反比例函数的k的几何意义，掌握反比例函数k的几何意义是解题
的关键．
12．（2022·辽宁鞍山·统考中考真题）如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，对角线AC与BD交
于点O，E为OB中点，F为AD中点，连接EF，则EF的长为_________．
√13
【答案】
2
1
【分析】由菱形的性质可得AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，由三角形中位线定理得FH＝
2
1
AO＝ ，FH∥AO，然后求出OE、OH，由勾股定理可求解．
2
【详解】解：如图，取OD的中点H，连接FH，∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴AB＝AD＝2，∠ABD＝30°，AC⊥BD，BO＝DO，
1
∴AO＝ AB＝1，BO＝√22−12=√3＝DO，
2
∵点H是OD的中点，点F是AD的中点，
1 1
∴FH＝ AO＝ ，FH∥AO，
2 2
∴FH⊥BD，
∵点E是BO的中点，点H是OD的中点，
√3 √3
∴OE＝ ，OH＝ ，
2 2
∴EH＝√3，
√ 1 √13
∴EF＝√EH2+FH2= 3+ = ，
4 2
√13
故答案为： ．
2
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
13．（2022·四川眉山·中考真题）如图，点P为矩形ABCD的对角线AC上一动点，点E为BC的中点，连
接PE，PB，若AB=4，BC=4√3，则PE+PB的最小值为________．
【答案】6
【分析】作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B'E交AC于点P，则PE+PB的最小值为B'E的长度；然后求出B'B和BE的长度，再利用勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，作点B关于AC的对称点B'，交AC于点F，连接B'E交AC于点P，则PE+PB的最小
值为B'E的长度；
∵AC是矩形的对角线，
∴AB=CD=4，∠ABC=90°，
在直角△ABC中，AB=4，BC=4√3，
AB 4 √3
∴tan∠ACB= = = ，
BC 4√3 3
∴∠ACB=30°，
由对称的性质，得B'B=2BF，B'B⊥AC，
1
∴BF= BC=2√3，
2
∴B'B=2BF=4√3
∵BE=EF=2√3，∠CBF=60°，
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=BF=B'F，
∴ΔBEB'是直角三角形，
∴B'E=√BB'2−BE2=√ (4√3) 2 −(2√3) 2=6，
∴PE+PB的最小值为6；
故答案为：6．
【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，特殊角的三
角函数值，解题的关键是熟练掌握所学的知识，正确的找到点P使得PE+PB有最小值．
三、解答题（本大题共13小题，满分81分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）14．（5分）（2022·广西河池·统考中考真题）计算：|−2√2|−3−1−√4×√2+(π−5) 0．
2
【答案】
3
【分析】根据化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂进行计算即可求解．
1
【详解】解：原式＝2√2− −2√2+1
3
2
=
3
【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握化简绝对值，负整数指数幂，二次根式的乘法，零次幂是解题
的关键．
15．（5分）（2022·山东济南·统考中考真题）解不等式组：¿，并写出它的所有整数解．
【答案】1≤x<3，整数解为1，2
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分确定出不等式组的解集，进而确定
出整数解即可．
【详解】解不等式①，得x<3，
解不等式②，得x≥1，
在同一条数轴上表示不等式①②的解集
原不等式组的解集是1≤x<3，
∴整数解为1，2．
【点睛】此题考查了一元一次不等式组的整数解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是
解本题的关键．
a2−b2
(
b2−2ab)
16．（5分）（2022·湖北十堰·统考中考真题）计算： ÷ a+ ．
a a
a+b
【答案】
a−b
【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果．
(a+b)(a−b) (a2+b2−2ab)
【详解】解：原式＝ ÷
a a(a+b)(a−b) a
= ×
a (a−b) 2
a+b
= ．
a−b
【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键．
17．（5分）（2022·陕西延安·统考二模）如图，已知△ABC，请用尺规作图法在BC上求作一点E，使得
点E到AB、AC的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）
【答案】见解析
【分析】由题意，结合角平分线的性质可知，作∠CAB的角平分线交BC于点E即可．
【详解】解：如图，点E为所作．
【点睛】本题考查尺规作图、角平分线的性质，熟练掌握角平分线的作图方法是解答本题的关键．
18．（5分）（2022·浙江丽水·统考中考真题）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点B与点D重合，点A
落在点P处，折痕为EF．
(1)求证：△PDE≌△CDF；
(2)若CD=4cm,EF=5cm，求BC的长．
【答案】(1)证明见解析16
(2) cm
3
【分析】（1）利用ASA证明即可；
（2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股
定理求得答案．
（1）
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°，
由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°，
∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC，
∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF,
∴∠PDE=∠CDF，
在△PDE和△CDF中，
¿,
∴△PDE≌△CDF（ASA）；
（2）
如图，过点E作EG⊥BC交于点G，
∵四边形ABCD是矩形,
∴AB=CD=EG=4cm，
又∵EF=5cm，∴GF=√EF2−EG2=3cm,
设AE=xcm，
∴EP=xcm，
由△PDE≌△CDF知，EP=CF=xcm，
∴DE=GC=GF+FC=3+x，在Rt△PED中，PE2+PD2=DE2,
即x2+42=(3+x) 2，
7
解得，x= ，
6
7 7 16
∴BC=BG+GC= +3+ = (cm）．
6 6 3
【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质
将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键．
19．（5分）（2022·广东·统考中考真题）《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．
若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少？
【答案】学生人数为7人，该书的单价为53元．
【分析】设学生人数为x人，然后根据题意可得8x−3=7x+4，进而问题可求解．
【详解】解：设学生人数为x人，由题意得：
8x−3=7x+4，
解得：x=7，
∴该书的单价为7×7+4=53（元），
答：学生人数为7人，该书的单价为53元．
【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的应用是解题的关键．
20．（5分）（2022·江苏南京·统考一模）即将举行的2022年杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、
“莲莲”：
将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同)背面朝上、洗匀．
(1)若从中任意抽取1张，抽得得卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率是 ．
(2)若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，求两次抽取的卡片图案相同的概率．
(请用树状图或列表的方法求解)1 1
【答案】（1） ；（2）
3 3
【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；
（2）根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出两次抽取的卡片图案相同的情况数，然后根据概率公
式即可得出答案．
【详解】解：（1）∵有3张形状、大小、质地均相同的卡片，正面分别印有“宸宸”、“琮琮”、“莲
莲”，
1
∴从中随机抽取1张，抽得的卡片上的图案恰好为“莲莲”的概率为 ；
3
1
故答案为： ；
3
（2）把“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”分别用字母A、B、C表示，画树状图如下：
或列表为：
A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
由图(或表)可知：共有9种等可能的结果，其中抽到相同图案的有3种，
3 1
则两次抽取的卡片图案相同的概率是 = ．
9 3
【点睛】此题考查的是树状图法(或列表法)求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要
注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
21．（6分）（2022·内蒙古包头·模拟预测）两栋居民楼之间的距离CD=30米，楼AC和BD均为10层，每
层楼高3米．(1)当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，楼BD的影子刚好落在楼AC的底部；
(2)上午某时刻，太阳光线GB与水平面的夹角为30°，此刻楼BD的影子落在楼AC的第几层？(参考数据：
√3≈1.732)
【答案】(1)45°
(2)5
【分析】（1）根据锐角三角函数可求出tan∠BCD进而得出答案；
（2）延长GB交AC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，利用特殊锐角三角函数可求出影子距地面的
高度EB，进而用进一法求近似值即可．
【详解】（1）如图，连接BC，
由题意得，AC=BD=3×10=30（米），
BD
所以tan∠BCD= =1，
CD
所以∠BCD=45°，
即太阳光线与水平面的夹角为45°时，楼BD的影子刚好落在楼AC的底部；
（2）如图，延长GB交AC于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则EF=CD=30米，在Rt△BEF中，∠BEF=30°，EF=30，
∴BF=30×tan30°=10√3（米），
∴CE=DF=BD−BF=30−10√3≈30−17.32=12.68（米），
12.68÷3≈4.23≈5（层），
答：此刻楼BD的影子落在楼AC的第5层．
【点睛】本题考查解直角三角形，构造直角三角形是常用的方法，掌握直角三角形的边角关系是正确解答
的关键．
22．（7分）（2022·重庆·校考二模）为迎接第24届北京冬奥会，某校组织七、八年级学生开展了冬奥知
识竞赛（满分100分）．测试完成后，为了解该校学生的掌握情况，在七年级随机抽取了10名学生的测试
成绩，八年级随机抽取了20名学生的测试成绩，对数据进行整理分析，得到了下列信息：
a．七年级10名学生的测试成绩统计如下：60，70，70，80，80，85，90，90，90，100；
b．抽取八年级的20名学生的测试成绩扇形统计图如图1：（A组：500)个单位，向上平移n(n>0)个单位，若平移后的抛物线恰好经过点B与点C，
求m，n的值．
3
【答案】(1)y=x2−3x+2，对称轴为直线x=
2
1 5
(2)m= ，n=
2 4
【分析】（1）由题意可得点A、B、C的坐标，利用待定系数法求解二次函数的表达式即可解答；
（2）根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”得到平移后的抛物线的表达式，再根据二次函
数的性质以及B、C坐标求解即可．
【详解】（1）解：由题意，点A、B、C的坐标分别为(2,0)、(2,2)、(0,2)，将(2,0)、(0,2)代入y=x2+bx+c中，得¿，
解得¿，
∴二次函数的表达式为y=x2−3x+2，
−3 3
该抛物线的对称轴为直线x=− = ；
2 2
（2）解：y=x2−3x+2= ( x− 3) 2 − 1 ，
2 4
( 3) 2 1
则平移后的抛物线的表达式为y= x+m− − +n，
2 4
∵平移后的抛物线恰好经过点B与点C，BC∥x轴，
3 1
∴平移后的对称轴为直线x=1，则m= −1=
,
2 2
1
∴y=(x−1) 2− +n，
4
1 5
将(0,2)代入，得12− +n=2，解得：n= ．
4 4
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、二次函数图象的平移、坐标与
图形性质、正方形的性质等知识，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解答的关键．
26．（10分）（2022·湖北襄阳·统考二模）（1）特殊发现
如图1，正方形BEFG与正方形ABCD的顶点B重合，BE、BG分别在BC、BA边上，连接DF，则有：①
DF
= ；②直线DF与直线AG所夹的锐角等于 度；
AG
（2）理解运用
将图1中的正方形BEFG绕点B逆时针旋转，连接DF、AG，
①如图2，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
②如图3，若D、F、G三点在同一直线上，且过AB边的中点O，BE=4，直接写出 AB的长
（3）拓展延伸
如图3，点P是正方形ABCD的AB边上一动点（不与A、B重合），连接PC，沿PC将 PBC翻折到
△
DE
PEC的位置，连接DE并延长，与CP的延长线交于点F，连接AF， 若PA=3PB，则 的值是否是定
EF
△
值？请说明理由．【答案】（1）①√2；②45；（2）①（1）中的结论仍然成立，理由见解析；②4√5；（3）是定值，定
值为3
【分析】（1）连接BF，先证明点B、F、D在同一条直线上，再证明△ABD和△GBF是等腰直角三角形，
得到直线DF与直线AG所夹的锐角等于45°，BD＝√AB2+AD2=√2AB，BF＝√GF2+GB2=√2GB，进
DF
一步得到DF＝√2(BD−GB)=√2AG，即 = √2；
AG
DF BD
（2）①连接BF、BD，先证明△DBF∽△ABG，得到 = =√2，∠1=∠2，延长DF，交AB于点N，交
AG AB
AG于点M，进一步得到∠AMD=∠ABD=45°；②连接BD、BF，先证明△AOG≌△BOF，得到OG=OF=
1
BE=2，在Rt△BGO中，由勾股定理得到OB的长，进一步得到AB的长；
2
（3）作CQ⊥DF，连接BD、BE、BF，BE与CF交于点H，△BEF是等腰直角三角形，进一步证得
AF PA 3 3√2 3√2
△PBH∽△PAF，得到 = =3，进而AF=3BH= BE= EF，DE＝√2AF=√2× EF=3EF，
BH PB 2 2 2
结论得证．
【详解】解：（1）如图5，连接BF，
∵四边形ABCD和BEFG是正方形，∴DA⊥AB，DC⊥BC，DA＝DC，FG⊥BA，FE⊥BC，FG＝FE，
∴BD平分∠ABC，BF平分∠ABC，
∴点B、F、D在同一条直线上，
∵∠A＝90°，AB＝AD，∠BGF＝90°，BG＝FG，
∴△ABD和△GBF是等腰直角三角形，
∴∠ABD＝∠BDA＝∠GBF＝∠GFB＝45°，
∴直线DF与直线AG所夹的锐角等于45°，BD＝√AB2+AD2=√2AB，BF＝√GF2+GB2=√2GB，
∴BD－BF＝√2BD−√2GB，
∴DF＝√2(BD−GB)=√2AG，
DF
∴ = √2，
AG
故答案为：①√2，②45°
（2）①（1）中的结论仍然成立，理由如下：
连接BF、BD，如图6，
由ABCD和GBEF均为正方形可得：
BD=√2AB，BF=√2BG，∠ABD=∠GBF=45°，
∴在△DBF和△ABG中，
BD BF
= =√2，∠DBF=∠ABG，
AB BG
∴△DBF∽△ABG，
DF BD
∴ = =√2，∠1=∠2，
AG AB
延长DF，交AB于点N，交AG于点M，
在△AMN和△DBN中，∵∠1=∠2，∠ANM=∠BND，
∴∠AMD=∠ABD=45°，
② AB=4√5，
理由如下：连接BD、BF，如图7，
∵D、F、G在同一直线上，由①得∠AGD=45º，
∴∠AGD=∠GFB=45°，
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
在△AOG和△BOF中，
∠AGD=∠GFB，∠AOG=∠BOF，OA=OB，
∴△AOG≌△BOF，
1
∴OG=OF= BE=2，
2
在Rt△BGO中，OB2=BG2+OG2=16+4=20，
∴OB=2√5，
∴AB=4√5；
故答案为：4√5；
（3）是定值，定值为3，理由如下：
作CQ⊥DF，连接BD、BE、BF，BE与CF交于点H，如图8，由四边形ABCD是正方形和折叠可知：BC=EC=DC，EF=BF，∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，
∴∠2+∠3=45º，
又∵CQ⊥DF，
∴∠5=∠6=45°，
∴△BEF是等腰直角三角形，
由（2）①的结论可得：DE=√2AF ，
易知：△PBH∽△PAF，
AF PA
∴ = =3，
BH PB
3 3√2
∴AF=3BH= BE= EF，
2 2
3√2
∴DE=√2AF=√2× EF=3EF，
2
DE
∴ =3．
EF
【点睛】此题考查了正方形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角
形的判定和性质、轴对称的性质、图形的旋转等知识，添加适当的辅助线是解题的关键．
