文档文本内容
第02 讲 复数的几何意义
课程标准
学习目标
1．理解复数的几何意义；
2．掌握实轴、虚轴、模等概念，以及用向
量的模来表示复数的模的方法；
3．理解共轭复数的含义及性质.
1．理解可以用复平面内的点或以原点为起点的向量来
表示复数及它们之间的一一对应关系；
2．掌握实轴、虚轴、模等概念；
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法.
知识点01 复数的几何意义
1、复平面：建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面。
2、实轴与虚轴：在复平面内，
轴上的点对应的都是实数，因此
轴称为实轴；
轴上的点除了原点
外，对应的都是纯虚数，为了方便起见，
称轴为虚轴。
3、复数的几何意义——与点对应：每个复数，有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面
内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应。由此可知，复数集C 中一一对应的数与复平面内的点是一一
对应的，即复数
，这是复数的一种几何意义。
4、复数的几何意义——与向量对应：在平面直角坐标系中，每一个平面向量都可以用一个有序实数
对来表示，而有序实数对与复数是一一对应的.这样就可以用平面向量来表示复数.
【注意】实轴、虚轴上的点与复数的对应关系：实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都
表示纯虚数，原点对应的有序实数对为
，它所确定的复数是
，表示的是实数．
【即学即练1】 （24-25 高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数
对应的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出复数的实部、虚部可得答案.
【详解】在复平面内，复数
对应的点的坐标是
.
故选：B.
知识点02 共轭复数
1、共轭复数的定义：一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为
共轭复数；
2、共轭复数的代数表示：复数
的共轭复数用
表示，因此，当
时，有
.
3、互为共轭复数的几何意义：在复平面内，表示两个共轭复数的点关于实轴对称；反之，如果表示
两个复数的点在复平面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
特别地，实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点重合，且在实轴上。
【即学即练2】（23-24 高一下·河南郑州·期末）已知复数z 满足
，则复数z 的共轭复数为
.
【答案】
/
【分析】利用共轭复数的定义计算即可.
【详解】因为
，
所以
.
故答案为：
知识点03 复数的模
1、模的定义与表示：一般地，向量
的长度称为复数
的模（或绝对值）.复数
的模用
表示，因此
。当
时，
.
2、复数的模的几何意义
（1）复数
的模
就是复数
在复平面内对应的点
到坐标原点
的距离，这是复数的模的几何意义.
（2）复数
在复平面内对应的点为
，
表示一个大于0 的常数，则满足条件
的点
组成的
集合是以原点为圆心，
为半径的圆，
表示圆的内部，
表示圆的外部.
【即学即练3】（24-25 高一上·上海·课后作业）复数z 满足
，它的几何意义是 ．
【答案】复数z 表示的点到点
的距离为1
【分析】令
，则由
可得
，即
的几何意义为复数z 表示
的点到点
的距离为1.
【详解】令
，复数z 表示的点为
，
则
，
又复数z 满足
，
所以
，
则
表示点
到
的距离为1，
即复数z 表示的点到点
的距离为1.
题型01 复数的坐标表示
【典例1】（24-25 高一下·全国·课后作业）在复平面内，O 为原点，向量
对应的复数为
.若点A 关
于虚轴的对称点为点B，则向量
对应的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为复数
对应的点为
，
所以点A 关于虚轴的对称点为
，
所以
对应的复数为
.
故选：C
【变式1】（23-24 高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）
在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】D
【分析】根据复数的几何意义判断即可.
【详解】
在复平面内对应的点为
，位于第四象限.
故选：D
【变式2】（23-24 高二下·四川达州·期中）已知复数
，则复数
在复平面内所对应的点Z 位于第
（ ）象限
A．一
B．二
C．三
D．四
【答案】D
【分析】由复数的几何意义得复数对应的点的坐标，可求所在象限.
【详解】复数
在复平面内所对应的点
，位于第四象限.
故选：D.
【变式3】（（23-24 高一下·北京通州·期末）复平面内点
所对应复数的虚部为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由复数的几何意义即可得到点
对应的复数，从而得到结果.
【详解】复平面内点
所对应复数为
，其虚部为
.
故选：B
【变式4】（23-24 高一下·天津宝坻·阶段练习）已知复数
，复平面内对应点
的坐标为 .
【答案】
【分析】根据复数的几何意义即可得答案.
【详解】复数
在复平面对应的点为
.
故答案为：
.
题型02 实轴、虚轴上点对应的复数
【典例2】（2024·湖南衡阳·模拟预测）已知复数
在复平面内对应的点在直线
上，则复数
在复平面对应的点在（ ）
A．实轴正半轴
B．实轴负半轴
C．虚轴正半轴
D．虚轴负半轴
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义，由复数
对应点代入直线方程可求得
，即可得出结果.
【详解】复数
在复平面内对应的点为
，
代入直线
，可得
，即
，
则
，在复平面内对应的点为
.
故选：C
【变式1】（24-25 高一下·北京通州·期末）已知
是复平面内表示复数
的点，若复数
是虚数，则点P（ ）
A．在虚轴上
B．不在虚轴上
C．在实轴上
D．不在实轴上
【答案】D
【分析】根据复数的分类和其几何意义即可得到答案.
【详解】由题意得
，则点P 不在实轴上，则C 错误，D 正确，
若
，则A 错误，若
，则其在虚轴上，则B 错误，
故选：D.
【变式2】（24-25 高一下·上海·课后作业）下列说法错误的是（ ）
A．实轴上的点对应的复数为实数
B．虚轴上的点对应的复数为纯虚数
C．表示实数的点都在实轴上
D．表示纯虚数的点都在虚轴上
【答案】B
【分析】由复平面和复数的概念逐项判断.
【详解】A.由复平面知：实轴上的点对应的复数为实数,故正确；
B.由复平面知：虚轴上的点除原点外，其余的点对应的复数为纯虚数，故错误；
C.由复数的概念知：表示实数的点都在实轴上，故正确；
D.由复数的概念知：表示纯虚数的点都在虚轴上，故正确；
故选：B
【变式3】在复平面内,复数
(i 为虚数单位)对应的点在实轴上,则实数m 的值为
A．
B．3
C．
或3
D．1
【答案】B
【解析】结合复数对应点在实轴上的条件以及对数的知识，求得
的值.
【详解】因为在复平面内,复数z 所对应的点在实轴上,所以
,解得
或
.又
,所
以
.
故选：B
【变式4】（24-25 高一下·全国·单元测试）若复数
在复平面内对应的点位于
虚轴上，则实数
的取值集合为 .
【答案】
【分析】根据复平面的概念以及复数的坐标表示列式可求出结果.
【详解】因为
为实数，且复数
在复平面内对应的点
位于虚轴上，
所以
，解得
或
.
故答案为：
.
题型03 根据复数对应点的特征求参数
【典例3】（2024·四川成都·模拟预测）在复平面内，复数
对应的点位于第二象限，则
实数a 的取值范围为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的几何意义得出对应不等式即可得结果.
【详解】复数
，其对应的点
在第二象限，
则
，解得
．
故选：A
【变式1】（23-24 高一下·云南曲靖·期中）复数
在复平面内对应的点在第二象限，则
实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义即可得解.
【详解】根据题意得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：A.
【变式2】（23-24 高一下·四川成都·期中）复平面内表示复数
的点位于
四象限时，实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义可得不等式，进而可得解.
【详解】由已知复平面内表示复数
的点位于四象限，
则
，即
，
即
，
故选：B.
【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知
，
，
，为虚数单位，若复数
在复平面内对应
的点位于第一或第三象限，则下列式子正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】复数的几何意义、不等式的性质可得
，即可求解.
【详解】由题意知，复数
的实部与虚部应同号，所以
，
即
，所以
．
故选：C．
【变式4】（2024·云南昆明·一模）复平面内表示复数
的点在直线
上，则
（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】A
【分析】首先得到复数
在复平面内对应的点的坐标，即可得到方程，解得即可.
【详解】复数
在复平面内对应的点为
，
依题意可得
，解得
.
故选：A
题型04 共轭复数
【典例4】（24-25 高二上·广西南宁·阶段练习）设
，则在复平面内
对应点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】A
【分析】由共轭复数，及复数几何意义可得答案.
【详解】因
，则
，其在复平面内对应的点为
，在第一象限.
故选：A
【变式1】（23-24 高一下·江苏扬州·期中）已知复数
，
是
的共轭复数，则
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】D
【分析】根据共轭复数和复数虚部概念即可得解.
【详解】因为
，所以
，
所以
的虚部为1.
故选：D.
【变式2】（23-24 高一下·内蒙古赤峰·阶段练习）复数
，则
的共轭复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由共轭复数定义以及复数的虚部概念可直接得解.
【详解】由题
，所以
的共轭复数
的虚部为
.
故选：C.
【变式3】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知复数z 在复平面内对应的点为
，则（ ）
A．z 的虚部为
B．
C．
D．
的虚部为1
【答案】D
【分析】由题意可得复数
，然后逐个分析判断.
【详解】因为复数z 在复平面内对应的点为
，所以
.
对于A，复数z 的虚部为
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
的虚部为1，故D 正确.
故选：D.
【变式4】（24-25 高三上·浙江·期末）已知复数
是虚数单位
则（ ）
A．复平面内z 对应的点在第二象限
B．
C．z 的虚部是2
D．
【答案】B
【分析】由复数
与复平面的关系得到对应点的位置，共轭复数与复数的关系得到
，由的系数得到虚部
的值，由实部和虚部求得复数的模长，从而得解.
【详解】
对应的点为
，在第四象限，故A 错误；
，故B 正确；
z 的虚部是
，故CD 错误.
故选：B.
题型05 复数的模
【典例5】（23-24 高一下·天津宝坻·阶段练习）已知复数
的实部为-1，虚部为2，则
（ ）.
A．2
B．5
C．
D．4
【答案】C
【分析】根据复数的实部和虚部的定义，写出复数
，再利用复数的模长公式计算.
【详解】由题意，
，则
.
故选：C.
【变式1】（2025·河南南阳·模拟预测）已知复数
的虚部是实部的3 倍，则
（ ）
A．4
B．
C．3
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合复数的概念列式求出
，进而求出复数的模.
【详解】由复数
的虚部是实部的3 倍，得
，解得
，
所以
，
.
故选：B
【变式2】（24-25 高三上·河北沧州·阶段练习）若复数
，且
，
则
（ ）
A．2
B．
C．
D．1
【答案】C
【分析】根据复数相等可得
的值，计算
即可得到
.
【详解】根据复数相等可得
，解得
，
∴
，
，
∴
.
故选：C.
【变式3】（24-25 高三上·四川成都·期中）
（ ）
A．2
B．
C．5
D．
【答案】D
【分析】根据复数模长公式求出答案.
【详解】
.
故选：D
【变式4】（23-24 高一下·四川遂宁·阶段练习）复数
，下列说法不正确的是（ ）
A．
的实部为2
B．
的虚部为
C．
D．
【答案】B
【分析】根据复数的实部、虚部、共轭复数、模等知识确定正确答案
【详解】因为
，所以实部为2，虚部为3，
，
.
故选：B
题型06 与复数模有关的轨迹问题
【典例5】（24-25 高三上·江西赣州·开学考试）已知复数
满足
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用
表示以
为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到原点的距离可得答案.
【详解】因为在复平面内，
表示到点
距离为1 的所有复数对应的点，
即
表示以
为圆心，为半径的圆，
表示圆上的点到原点的距离，所以最短距离为
，
最长距离为
，
则
的取值范围是
.
故选：D.
【变式1】（23-24 高一下·江苏苏州·期中）已知复数
满足
，则
（是虚数单位）的最小
值为（ ）
A．
B．4
C．
D．6
【答案】B
【分析】根据复数模长的几何意义即可求得结果.
【详解】设
，则由
，
所以复数
在复平面内对应的点坐标在
为圆心，1 为半径的圆上，如下图所示：
而
，
即求复平面内点
到
距离的最小值，
由圆的几何性质可知当点
位于
与圆心
点连线交点时，取到最小值，
即
故选：B
【变式2】（23-24 高一下·江苏南京·期末）已知i 为虚数单位，复数z 满足
，则
的最大值为
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【答案】B
【分析】根据复数的几何意义，利用圆上点到定点距离的最值的求法得解.
【详解】因为复数z 满足
，
所以复数
对应的点
的轨迹为单位圆，圆心为原点，半径
，
圆心
到复数对应的点
的距离为，
所以
的最大值为
.
故选：B
【变式3】（23-24 高一下·广东深圳·期中）已知为虚数单位，若复数
满足
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用复数的模的几何意义作出图形，将求复数的模的最值转化为求两点之间距离的最值问题解决
即可.
【详解】
如图，由复数的模的几何意义可知，
满足
的点
的轨迹是以点
为圆心，半径分别为1 和2 的两个圆组成的圆环内的区
域（含内外圆弧）.
而
可理解为圆环区域内的点（含内外圆弧）到点
的距离
.
由点与圆的位置关系可知，当且仅当点
在线段
的延长线与大圆的交点处时，距离
取得最大，
为
，即
的最大值为
.
故选：A.
【变式4】（2024·辽宁·二模）已知i 是虚数单位，复数z 满足
，则
的最小值为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
【答案】B
【分析】利用复数的几何意义及圆中最值问题数形结合计算即可.
【详解】
的几何意义是复数z 对应的点Z 到点
的距离为1，
即点Z 在以点
为圆心，1 为半径的圆上，
的几何意义是点Z 到点
的距离．
如图所示，故
．
一、单选题
1．（23-24 高一下·山西太原·期中）在复平面内，复数
对应的点的坐标是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】求出复数的实部、虚部可得答案.
【详解】在复平面内，复数
对应的点的坐标是
.
故选：B.
2．（23-24 高一下·天津西青·期末）在复平面内，复数
，
对应的向量分别是
，其中O 是
原点，则向量
对应的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据所给的两个向量的代数形式，先求两个向量的差，求出
，得到向量的代数形式的表示式
即可.
【详解】
复数
与
对应的向量分别是
与
，
.
故选：A.
3．（24-25 高一下·全国·课后作业）在复平面内，O 为原点，向量
对应的复数为
.若点A 关于虚轴
的对称点为点B，则向量
对应的复数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可.
【详解】因为复数
对应的点为
，
所以点A 关于虚轴的对称点为
，
所以
对应的复数为
.
故选：C
4．（23-24 高一下·广西桂林·期末）复数
在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】由坐标判断象限即可.
【详解】复数
在复平面内对应的点的坐标为
，在第二象限.
故选：B
5．（23-24 高一下·北京大兴·期末）在复平面内，复数
对应的点的坐标为
，则复数z 的共轭复数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复数的几何意义可得
，即可由共轭复数的定义求解.
【详解】由题意可得
，故
，
故选：A
6．（23-24 高一下·陕西渭南·期末）已知复数
，则
（ ）
A．
B．7
C．5
D．25
【答案】C
【分析】利用复数的模的公式计算即可.
【详解】因为复数
，所以
.
故选：C.
7．（23-24 高一下·广东肇庆·期末）欧拉公式
（为自然对数的底，是虚数单位，
）
建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位．根据以上内容，可知
在
复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】B
【分析】由题意可得
，可得结论.
【详解】由欧拉公式
（为自然对数的底，是虚数单位，
），
可得
，
所以
在复平面内对应的点
位于第二象限.
故选：B.
8．（22-23 高一下·上海嘉定·期末）已知
，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复数模的几何意义求得正确答案.
【详解】由于
，所以
对应点在单位圆上，
表示单位圆上的点和点
的距离，
其最小值为
.
故选：D
二、多选题
9．（24-25 高一下·全国·课后作业）若
，则复数
在复平面内对应的点不可能在
（ ）
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
【答案】AB
【详解】因为
，所以
，
，
所以复数
在复平面内对应的点不可能在第一和第二象限，
故选：AB．
10．（24-25 高二上·浙江金华·期中）已知复数
，以下说法正确的是（ ）
A．z 的实部是3
B．
C．
D．
在复平面内对应的点在第一象限
【答案】ABC
【分析】根据复数实部的概念判断A 的真假；计算复数的模判断B 的真假；根据共轭复数的概念判断C 的
真假；根据复数的几何意义判断D 的真假.
【详解】对A：复数
的实部为3，故A 正确；
对B：因为
，故B 正确；
对C：根据共轭复数的概念，
，故C 正确；
对D：因为
在复平面内对应的点的坐标为
，位于第四象限，故D 错误.
故选：ABC
11．（24-25 高二上·甘肃白银·期末）已知虚数
满足
，则（ ）
A．
的实部为
B．
的虚部为
C．
D．
在复平面内对应的点在第三象限
【答案】ACD
【分析】根据共轭复数概念写出
，进而判断各项的正误.
【详解】由
，得
，
所以
的实部为
的虚部为
，
在复平面内对应的点
在第三象限，
故选：ACD
三、填空题
12．（24-25 高一下·四川攀枝花·期末）若复数
满足
，则
.
【答案】
【分析】根据复数模的计算公式计算可得.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
13．（23-24 高一下·全国·课堂例题）若复数
，满足
，则
的值为 .
【答案】
【分析】根据复数的模的概念得
，从而求
的值.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：
14．（14-25 高一·全国·课后作业）设复数
，则满足
的复数
在复平面内对应
的点
构成的平面图形的面积为 .
【答案】
【解析】首先利用复数的几何意义确定满足条件
的复数
在复平面内对应的点构成的平面几何
图形，然后根据图形形状求其面积.
【详解】在复平面内，
的几何意义为：
复数
对应的动点
到坐标原点的距离大于
，不大于4，
因此动点
构成的图形是由圆心为坐标原点，
半径分别为
和4 的两个同心圆构成的圆环（不包含半径为
的圆的边界），
故其面积为
.
故答案为:
.
【点睛】本题考查复数的几何意义，属于基础题.
四、解答题
15．（23-24 高一下·西藏拉萨·期中）已知复数
（i 为虚数单位），求适合下列条件的实
数m 的值或取值范围；
(1)z 为实数；
(2)z 为纯虚数；
(3)z 对应的点位于第四象限．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意结合复数的相关概念可得
，运算求解即可；
（2）根据题意结合复数的相关概念可得
，运算求解即可；
（3）根据题意结合复数的相关概念可得
，运算求解即可．
【详解】（1）若z 为实数，则
，解得
．
（2）若z 为纯虚数，则
，解得
．
（3）若z 对应的点位于第四象限，则
，解得
．
16．（23-24 高一下·四川成都·期中）如图所示，平行四边形
，顶点
分别表示
，
试求：
(1)对角线
所表示的复数；
(2)求
点对应的复数.
【答案】(1)
(2)
.
【分析】（1）先由向量运算得
，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义直接转
成复数减法运算即可得解.
（2）先由向量运算得
，再根据复数的向量表示以及复数加减法的几何意义将向量加法运算
转化成复数加法运算即可得解.
【详解】（1）因为
，
所以
所表示的复数为
.
（2）因为
，
所以
所表示的复数为
，
即
点对应的复数为
.
17．（2024 高一下·全国·专题练习）在复平面内，O 是原点，向量
对应的复数为
．
(1)如果点A 关于实轴的对称点为点B，求向量
对应的复数；
(2)如果（1）中的点B 关于虚轴的对称点为点C，求点C 对应的复数．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）（2）根据复数的几何表示和对称性求解即可.
【详解】（1）设向量
对应的复数为
，则点
的坐标为
．
由题意得
．若点A 与点
关于实轴对称，
则根据对称性可知，
，
．故
．
（2）设点
对应的复数为
，则点
的坐标为
，
由（1）得
．若点
与点
关于虚轴对称，
则根据对称性可知，
，
．故
．
18．（24-25 高一上·上海·课后作业）已知复数
与
．
(1)求
及
的值；
(2)设
，满足
的点Z 的集合是什么图形？
【答案】(1)
，
(2)是以原点O 为圆心，以1 和2 为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界
【分析】（1）利用求复数模的公式求解即可；
（2）利用复数的几何意义，确定出点的集合即可判断．
【详解】（1）
，
；
（2）由（1）知
，设
（x、
）．
因为不等式
的解集是以为圆心，1 为半径的圆上和该圆外部所有点组成的集合，
不等式
的解集是以O 为圆心，2 为半径的圆上和该圆内部所有点组成的集合，
所以满足条件
的点Z 的集合是以原点O 为圆心，以1 和2 为半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环
的边界，如图所示．
