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1
第01 讲 实数指数幂及其运算
课程标准
学习目标
①有理指数幂含义及运算
②实数指数幂
1.理解有理数指数幂的含义,会用幂的运算法则进行有
关计算.
2.通过具体实例了解实数指数幂的意义.
3.通过本节的学习,体会“用有理数逼近无理数”的思
想,可利用计算器或计算机实际操作,感受“逼近”的过
程.
知识点01 n 次方根的定义及表示
(1)定义
给定大于1 的正整数n 和实数a，如果存在实数x，使得__x n ＝
a __，则__x__称为__a__的n 次方根．
(2)表示
①0 的任意正整数次方根均为__0__，记为__
__；
②正数a 的偶数次方根有__两__个，它们互为__相反__数，其中正的方根称为a 的n 次__算术__根，
记为__
__，负的方根记为__－
__；负数的偶数次方根在实数范围内不存在，即当a＜0 且n 为偶数
时，
没有意义；
2
③任意实数的奇数次方根都有且只有一个，记为__
__．而且正数的奇数次方根是一个__正__数，
负数的奇数次方根是一个__负__数．
【即学即练1】
1．若＋(a－4)0有意义，则a 的取值范围是( )
A．[2，＋∞)
B．[2，4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，4)∪(4，＋∞)
【答案】B
【解析】要使原式有意义，需满足解得2≤a<4 或a>4.
知识点02 根式的定义和性质
(1)定义
当
有意义时，
称为根式，n 称为__根指数__，a 称为__被开方数__．
(2)性质
①
＝__a__；
②当n 为奇数时，
＝__a__；当n 为偶数时，
＝__| a | __．
【即学即练2】
2．
（ ）
A．0
B．
C．1
D．2
【答案】D
【分析】根据指数幂运算计算即可.
【详解】
，故选：D.
知识点03 有理数指数幂
（1）如果m，n∈N*，n＞1，且是既约分数，那么当有意义时，规定：
＝__
__，a＝__
__．
（2）有理数指数幂的运算法则
asat＝__a s ＋ t __，(as)t＝__a st __，(ab)s＝__a s b s __．
【即学即练3】
3．（多选）下列表达式不正确的是（ ）
3
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】对于AB，根据指数幂的运算性质分析判断，对于CD，根据根式的运算性质分析判断.
【详解】对于A，
，所以A 正确，
对于B，
，所以B 正确，
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 错误．
故选：CD．
知识点04 实数指数幂的运算律
（1）aras＝__a r ＋ s __(a>0，r，s∈__R_).
（2）(ar)s＝__a rs __(a>0，r，s∈__R__).
（3）(ab)r＝__a r b r __(a>0，b>0，r∈__R__).
【即学即练4】
4．
的值是( )
A．3 B．3 C．9 D．81
【答案】B
【解析】()×()＝[()2]＝3.
题型01 根式的性质与运算
【典例1】下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用根式的运算性质即可判断出正误.
4
【详解】
，
，故A 错误；
，故B 错误；
∵
，∴当
为奇数时，
；当
为偶数时，
，故C 错误；
成立，故D 正确.
故选：D.
【变式1】（多选）下列说法中正确的是（ ）
A．16 的4 次方根是
B．
C．
D．
【答案】AD
【分析】利用根式的定义即可求解.
【详解】对于A，16 的4 次方根有两个，为
，故A 正确；
对于B，负数的3 次方根是一个负数，
，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
是非负数，所以
，故D 正确．
故选：AD.
【变式2】
.
【答案】1
【分析】由根式的运算性质求解即可.
【详解】
.
故答案为：1
【变式3】已知
，化简：
．
【答案】
【分析】根据根式运算法则计算出结果.
【详解】因为
，所以
.
故答案为：0
【变式4】求下列各根式的值：
(1)
(2)
（其中
）．
5
【答案】(1)
(2)
【分析】根据奇数次根式和偶次根式运算法则可得；
【详解】（1）
（2）
（其中
）．
题型02 根式与分数指数幂的互化
【典例2】（1）求值：
；
（2）求值：
；
（3） 化简：
.
【答案】（1）2；（2）
；（3）
【分析】将根式化为分数指数幂，根据分数指数幂的运算法则进行计算；
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
.
【变式1】化简
的结果是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据根式与分数指数幂之间的关系，结合指数幂运算求解.
【详解】因为
，
所以
.
故选：B.
【变式2】（多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】运用分数指数幂与根式转化公式，结合指数幂性质求解即可.
【详解】A 项错误，
,而
；
B 项正确，
；
C 项正确，
；
D 项正确，
.
故选：BCD.
【变式3】化简：
= .
【答案】1
【分析】根据指数幂的运算法则计算即可.
【详解】解:由题意可知
，
所以
.
故答案为：1
7
【变式4】（1）求值：
（2）用分数指数幂表示
【答案】
【分析】根据
次方根及分数指数幂运算即可.
【详解】（1）
；
（2）
.
故答案为：
题型03 指数幂的运算与化简
【典例3】计算：
．
【答案】
【分析】根据分数指数幂的运算法则计算即可得解.
【详解】原式
．
【变式1】．若
，
，则
的值是（ ）
A．0.9
B．1.08
C．2
D．4
【答案】B
【分析】根据题意结合指数幂运算求解.
【详解】因为
，
，所以
.
故选：B.
8
【变式2】已知
，则
（ ）
A．3
B．4
C．5
D．6
【答案】A
【分析】利用幂的运算，将已知等式进行变形，根据等式的性质可得
，即可求出
．
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
则
，即
，则
.
故选：A.
【变式3】（多选）下列运算不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】借助指数幂的运算逐项计算即可得.
【详解】对A：
和
不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意，故A 错误；
对B：
，故B 错误；
对C：
，故C 正确；
对D：
，故D 错误.
故选：ABD.
【变式4】化简：
.
【答案】1
【分析】运用指数幂性质，结合平方差公式可解.
【详解】原式
.
故答案为：1．
【变式5】计算：
.
【答案】
【分析】根据指数幂的运即可求解.
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【详解】
,
故答案为：
题型03 条件求值问题
【典例4】已知
，求下列各式的值：
①
；
②
.
【答案】①7；②
【分析】利用平方关系求解.
【详解】①因为
，所以
，即
，所以
；
②因为
，又因为
，所以
【变式1】已知实数
满足
，则
的值为（ ）
A．14
B．16
C．12
D．18
【答案】A
【分析】由
，变形代值即可.
【详解】因为
，
所以
.
故选：A.
【变式2】已知
，那么
等于（ ）
A．
B．
C．
D．7
【答案】A
【分析】将所求式取平方，求出其值，再判断其值为正即可求得.
【详解】由
，
因
，故
，
即得，
.
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故选：A.
【变式3】已知
，则
的值为 .
【答案】1 或
【分析】根据题意，先求
，即可得解.
【详解】根据题意，
，
所以
，
则
或
.
故答案为：1 或
.
【变式4】已知
，求下列各式的值：
①
；
②
；
③
.
【答案】①
；②7；③
【详解】①因为
，所以
，
又
，所以
.
②因为
，所以
，所以
.
③因为
，且
，
所以
，所以
.
一、单选题
1．
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据指数运算，可得答案.
11
【详解】因为
，所以
，
，
所以
.
故选：B.
2．已知
，则“
”是“
”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】直接由必要条件、充分条件的定义以及分数指数幂的运算化简即可判断.
【详解】由题意
，即
，
而“
”是“
”的必要而不充分条件，所以“
”是“
”的必要而不充分条件.
故选：B.
3．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数幂的计算公式及根式与分数指数幂的互化计算即可.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：C.
4．化简
的结果为（ ）
A．5
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数幂的运算性质进行求解即可.
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【详解】
，故选：A
5．已知
且
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据根式运算性质，得到
，即可求解.
【详解】因为
，可得
，
又因为
，解得
.
故选：A.
6．若
，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用根式与分数指数幂的互化与运算法则即可得解.
【详解】因为
，则
，
所以
.
故选：C.
7．已知
，则
的值( )
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数的运算性质即可求得.
【详解】因为
，所以
.
故选：D.
8．已知
，则
的值是（ ）
A．
B．
C．24
D．
【答案】B
【分析】根据指数幂的运算求出
、
的值，再代入计算可得.
【详解】因为
，
，
13
所以
，
，
所以
.
故选：B
9．当
有意义时，化简
的结果是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据根式有意义求得
的范围，化简所求根式即可.
【详解】因为
有意义，所以
，则
，
则
，
故选：C.
10．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据式子结构，对所求式子平方后即可求解.
【详解】由
，可得
.
故选：B.
二、多选题
11．下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】利用根式的运算直接求解.
【详解】当n 为偶数时，
故A，C 选项中的式子不正确；
当n 为奇数时，
则
，
故B，D 选项中的式子正确.
故选：BD.
12．下列运算正确的是（ ）
A．
B．
14
C．
D．
【答案】BD
【分析】直接根据指数幂的运算法则依次计算即可.
【详解】对选项A：
，故
，错误；
对选项B：
，正确；
对选项C：
，错误；
对选项D：
，正确；
故选：BD
13．若实数
满足
，则（ ）
A．
且
B．
的最大值为
C．
的最小值为7
D．
【答案】ABD
【分析】对于AD，利用指数函数的性质即可判断；对于BC，利用指数的运算法则与基本不等式的性质即
可判断.
【详解】由
，可得
，所以
且
，故A 正确；
由
，可得
，即
，所以
，
当且仅当
，即
时，等号成立，所以
的最大值为
，故B 正确；
，
当且仅当
时，等号成立，
所以
的最小值为9，故C 错误；
因为
，则
，
15
所以
，故D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
14．计算
．
【答案】19678
【分析】根据指数幂的运算，即可求得答案.
【详解】
，
故答案为：19678
15．化简：
.
【答案】
【分析】根据指数幂的运算法则，直接计算即可得出结果.
【详解】
.
故答案为：
16．借助信息技术计算
的值，我们发现当
时
的底数越来越小，而指数越来越大，随着
越来越大，
会无限趋近于（
是自然对数
的底数）.根据以上知识判断，当
越来越大时，
会趋近于 .
【答案】
【分析】由
，结合题意可得，当
越来越大时，
会无限趋近于，
会无限趋近于
，即可得解.
【详解】
，
16
由
越来越大时，
会无限趋近于，
故
越来越大时，
会无限趋近于，则
会无限趋近
，
又
越来越大时
会无限趋近于
，故
会无限趋近于，
故
会无限趋近于
.
故答案为：
.
四、解答题
17．化简求值:
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将根式化为分数指数幂，再根据指数幂的运算法则得到答案；
（2）利用分数指数幂的运算法则得到答案.
【详解】（1）
；
（2）
=
18．计算．
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)3(2)2
17
【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则计算即可；
（2）先将根式转化为指数幂，利用指数的运算法则计算即可.
【详解】（1）
=
；
（2）
.
19．已知
，求下列各式的值：
(1)
；
(2)
．
【答案】(1)7(2)
【分析】（1）由完全平方公式以及分数指数幂的运算即可得解.
（2）由完全平方公式、立方和公式以及分数指数幂的运算即可得解.
【详解】（1）由题意
，所以
.
（2）由题意
，
所以
.
