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第01 讲 复数的概念
课程标准
学习目标
1．通过方程的解，认识复数；
2．理解复数的代数表示及相关概念；
3．理解两个复数相等的含义。
1．了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过
程和方法，通过方程的解认识复数；
2．能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数
的实部、虚部
3．知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关
系。
知识点01 复数的概念
1、虚数单位：一般地，为了使得方程
有解，人们规定的平方等于
，即
，并称为虚数
单位.
2、复数的定义：一般地，当
与
都是实数时，称
为复数.
3、复数的表示：复数一般用小写字母
表示，即
，其中
称为
的实部，
称为
的
虚部，分别记作
，
.
4、复数集：所有复数组成的集合称为复数集，复数集通常用大写字母C 表示，因此
.
【注意】复数概念说明：
（1）复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b R)
∈
的形式，其中0＝0＋0i.
（2）复数的实部是a，虚部是实数b 而非bi.
（3）复数z＝a＋bi 只有在a，b R
∈
时才是复数的代数形式，否则不是代数形式．
【即学即练1】（2025 高二上·黑龙江·学业考试）在复数集中，为虚数单位，则
（ ）
A．
B．0
C．2
D．3
知识点02 复数的分类
1、复数的分类：任意一个复数都由它的实部与虚部唯一确定，虚部为0 的复数实际上是一个实数.特别地，
称虚部不为0 的复数为虚数，称实部为0 的虚数为纯虚数.这样，复数
可以分类如下：
2、复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
【即学即练2】（24-25 高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（ ）（其中：
自然数集，
整数集）
A．
B．
C．
D．
知识点03 复数相等
1、复数相等的概念：两个复数
与
，如果实部与虚部对应相等，那么我们就说这两个复数相等，记作
2、复数相等的充要条件：如果
都是实数，那么
。特别的，当
都是实数时，
的充要条件是
且
【注意】两个复数不一定能比大小
（1）根据复数相等的定义，知在
，
两式中，只要有一个不成立，那么
；
（2）若两个复数都全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则她们必须都是实数
（即虚部均为0）；
（3）若两个复数不全是实数，则不能比较大小。
【即学即练3】（24-25 高一下·河北·阶段练习）已知为虚数单位，
，若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 复数的基本概念
【典例1】（24-25 高二下·陕西咸阳·期中）设是虚数单位，若复数
的实部与虚部互为
相反数，则实数
（ ）
A．5
B．
C．3
D．
【变式1】（2024 高二下·湖南娄底·学业考试）已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．1
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·河北邢台·期中）复数
，则（ ）
A．
的实部为
B．
的虚部为
C．
的实部为
D．
的虚部为
【变式3】（24-25 高一下·陕西西安·期中）在复平面内，下列说法正确的是（ ）
A．
B．
C．若
，则
D．若复数
满足
，则
是实数
【变式4】（24-25 高一·全国·课后作业）已知复数
的实部与复数
的虚部相等，则实数a
等于（ ）
A．-3
B．3
C．-1
D．1
题型02 复数的分类
【典例2】（24-25 高一下·全国·随堂练习）若复数
为纯虚数，则实数
的值为
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式1】（23-24 高一下·河北唐山·期中）如果复数
是纯虚数，
，是虚数单
位，则（ ）
A．
B．
C．
或
D．
且
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）设
，则“
”是“复数
为纯虚数”的
（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式3】（23-24 高一下·上海·期末）“
”是“
是纯虚数”的（ ）条件
A．充分不必要
B．必要不充分
C．既不充分也不必要D．充要
【变式4】（23-24 高一下·四川凉山·期末）若复数
是实数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
题型03 复数相等及应用
【典例3】（24-25 高一·全国·课后作业）若
，是虚数单位，
，则
等于
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一下·广东江门·期末）实数
满足条件：
，（其中为i
虚数单位），则
（ ）
A．
B．2
C．3
D．
【变式2】（23-24 高一下·新疆·期中）已知
，则
．
【变式3】（23-24 高一下·福建龙岩·期末）若虚数i 是方程
的一个根，则
.
【变式4】（24-25 高一下·山西阳泉·期末）已知复数
，
且
，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型04 复数的综合问题
【典例4】（2025 高一全国专题训练）欧拉恒等式
（i 为虚部单位，为自然对数的底数）被称为
数学中最奇妙的公式，它是复分析中欧拉公式
的特例：当自变量
时，
，得
．根据欧拉公式，复数
的虚部为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知复数
，
，若
，则实数
.
【变式2】（23-24 高一下·全国·专题练习）已知
，
为
的一个内角．
若不论
为何值，总存在
使得是实数，求实数
的取值范围．
【变式3】已知复数
，其中
.
（1）若
且
，求的值；
（2）若
，求
.
1．（23-24 高一下·河北唐山·期末）已知复数
，则
的虚部为（ ）
A．
B．1
C．
D．3
2．（2024 高一·全国·专题练习）下列命题正确的个数是（ ）
①
；②若
，且
，则
；③若
，则
；④两个虚数不能比较
大小.
A．1
B．2
C．0
D．3
3．（24-25 高一下·重庆·阶段练习）若
为实数，
是纯虚数，则复数
为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（24-25 高一下·全国·随堂练习）若复数
为纯虚数，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．1
D．
5．（24-25 高一上·浙江湖州·阶段练习）复数
，则（ ）
A．
的实部为
B．
的虚部为
C．
的虚部为
D．
的虚部为1
6．（23-24 高一下·四川凉山·期末）若复数
是实数，则
（ ）
A．1
B．
C．
D．
7．（多选）（23-24 高一下·四川达州·期中）下列四种说法不正确的是（ ）
A．如果实数
，那么
是纯虚数．
B．实数是复数．
C．如果
，那么
是纯虚数．
D．任何数的偶数次幂都不小于零．
8．（24-25 高一下·全国·课后作业）已知复数
．
(1)若z 是实数，求实数m 的值；
(2)若z 是虚数，求实数m 的取值范围；
(3)若z 是纯虚数，求实数m 的值．
