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第02 讲 指数函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函
数的定义域、值域的求法;
2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指
数函数的图象说明指数函数的性质;
3.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指
数函数的单调性比较幂的大小。
1.通过理解指数函数的概念和意义,了解指数函数的实
际背景,掌握指数函数的性质与图象,发展数学抽象的核
心素养.
2.通过指数函数的实际应用,初步学会运用指数函数来
解决问题,提升数学建模的核心素养.
3.通过例题熟练掌握指数函数的图象、性质.进一步深
入理解指数函数的单调性及其应用,提升逻辑推理、数
学运算及数学抽象的核心素养.
知识点01 指数函数的概念
一般地,函数y = a x 称为指数函数,其中a 是常数,a>0 且a≠1。
【即学即练1】
2
1．下列函数中是指数函数的是 。(填序号)
①y=2×(√2)x;②y=2x-1;③y=(
π
2)
x
。
知识点02 指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
(0,1),即当x=0 时,y=
1
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【即学即练2】
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．0<a<1，b>1
D．0<a<1,0<b<1
知识点03 比较指数幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
【即学即练3】
3.已知a=(
4
5)
2
3，b=(
2
3)
3
4，c =(
4
9)
3
5，则a，b，c 的大小关系是（ ）
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>a>b
知识点04 简单指数不等式的解法
1、形如
的不等式，可借助
的单调性求解；
2、形如
的不等式，可将
化为
为底数的指数幂的形式，再借助
的单调性求解；
3
3、形如
的不等式，可借助两函数
，
的图象求解。
【即学即练4】
4.求不等式5
x
2−1<5
2 x +2的解集.
题型01 指数函数的概念及应用
【典例1】若函数
是指数函数，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】已知指数函数
图象过点
，则
等于（ ）
A．3
B．6
C．9
D．27
【变式3】若函数
是指数函数，则有（ ）
A．
B．
C．
或
D．
，且
【变式4】若函数
（
是自变量）是指数函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型02 指数型函数的定义域
4
【典例2】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的定义域为 ．
【变式3】函数
（
且
）的定义域为
，则
．
【变式4】求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
题型03 指数型函数的值域
【典例3】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的定义域为
．则其值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】函数
的值域是 ．
5
【变式4】已知函数
的值域为
，则a 的取值范围是 ．
题型04 指数型函数的单调性
【典例4】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】设函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知指数函数
单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型05 指数函数的图象问题
【典例5】已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【变式1】函数
图象的大致形状是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知函数
的定义域为
，值域为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【变式4】若函数
的图象如图所示，且
，则实数
，
的值可能为（ ）
7
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【变式5】若函数
的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
题型06 指数型函数过定点问题
【典例6】已知函数
的图象经过定点
，则
．
【变式1】已知函数
（
且
），则
必过的定点M 的坐标为 ．
【变式2】函数
（
且
）无论
取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为
.
【变式3】对于任意
且
，函数
的图象恒过定点
. 若
的图象也过点
，则
.
题型07 比较指数幂的大小
【典例7】已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】已知
是实数，则“
”是“
”的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8
【变式2】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型08 指数型函数不等式问题
【典例08】（23-24 高一上·天津·期末）若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】函数
的定义域为 ．
【变式3】已知
，则
的取值范围 ．
【变式4】设
，若
，求实数x 的取值范围.
题型09 指数型函数的奇偶性问题
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【典例09】函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
【变式1】已知偶函数
和奇函数
的定义域均为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为2
D．
是减函数
【变式2】函数
为奇函数.
(1)求
的值;
(2)判断
的增减性，并证明.
【变式3】已知函数
是定义在R 上的奇函数
．
(1)求
的解析式；
(2)求当
时，函数
的值域．
一、单选题
1．已知指数函数
在
上单调递增，则
的值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
2．
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
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4．已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
5．已知函数
，则函数
的增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
6．函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
7．已知
，那么
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．若函数
有最小值，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．已知指数函数
在
上的最大值与最小值之差为2，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
的图象关于坐标原点对称
B．
的图象关于
轴对称
C．
的最大值为1
D．
在定义域上单调递减
11．已知函数
的图象过原点，且无限接近直线
但又不与该直线相交，则（ ）
11
A．
B．
C．
是偶函数
D．
在
上单调递增
三、填空题
12．若函数
（
且
）经过的定点是P，则P 点的坐标是 ．
13．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围为 .
14．已知函数
，若对于任意的
，总存在
，使得
成立，则实数m 的取值范围为 ．
四、解答题
15．求函数
的单调区间与值域.
16．已知指数函数
（
且
）的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的值域
17．已知函数
．
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
的最大值为9，求a 的值．
18．已知定义域为
的函数
是奇函数．
(1)求a，b 的值；
(2)求该函数的值域：
(3)若对于任意
，不等式
恒成立，求k 的范围．
19．已知函数
（
且
）在
上的最大值与最小值之和为20，记
．
(1)求a 的值及函数
的值域；
(2)证明：
为定值；并求
的值．
