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1
第01 讲 排列与组合
课程标准
学习目标
1．通过实例，总结出分类加法计数原理、
分步乘法计数原理，理解并掌握两个计数
原理，并会利用计数原理解决一些简单的
问题．
2．理解排列组合的概念、掌握排列数、组
合数公式，并能解决有关的实际问题.
1．通过对计数原理的学习，掌握两个计数原理的应
用，培养数学抽象等核心素养；
2．理解排列、组合的概念及公式的推导过程，掌握排
列、组合在实际问题中的应用.
知识点01 两个计数原理
1.分类加法计数原理
完成一件事，如果有n 类办法，且：第一类办法中有m1种不同的方法，第二类办法中有m2种不同的
方法……第n 类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法.
2.分步乘法计数原理
完成一件事，如果需要分成n 个步骤，且：做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方
法……做第n 步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法.
2
【即学即练】（多选）下列命题正确的是( )
A 从书架上任取数学书、语文书各1 本是分类问题．( )
B 分步乘法计数原理是指完成其中一步就完成了整件事情．( )
C 分类加法计数原理可用来求完成一件事有若干类方法这类问题．( )
D 从甲地经丙地到乙地是分步问题．( )
知识点02 排列与排列数
1.排列的定义
一般地，从n 个不同元素中取出m 个元素，并按照一定的顺序排一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元
素的一个排列。
2.排列数的定义
从n 个不同对象中取出m 个对象的所有排列的个数，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的排列数，用符
号
表示.
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1).
（1）排列数公式的阶乘表示
全排列数公式的阶乘表示:
=n!=n×(n-1)×(n-2)×…×3×2×1.
①规定:1!=1，0!=1，
=1.②排列数公式的阶乘表示:
.
（2）排列数的性质
①
=n
;②
=m
.
辨析： “排列”和“排列数”是两个不同的概念.排列是指“从n 个不同对象中，任取m 个对象，按照一定顺序
排成一列”，它不是一个数，而是具体的一个排列(也就是具体的一件事);排列数是指“从n 个不同的对象中
取出m 个对象的所有排列的个数”，它是一个数.
【即学即练】
1．（24-25 高二上·全国·课前预习）下列问题是排列问题的是（ ）
A．从8 名同学中选取2 名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法
B．会场中有30 个座位，任选3 个安排3 位客人入座，有多少种坐法
C．平面上有5 个点，任意三点不共线，这5 个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4 四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种
2.（24-25 高三·上海·课堂例题）由1、2、5、7、9 任取两个数作除法，可得到不同的商的个数为（ ）
A．20
B．25
C．30
D．21
知识点03 组合与组合数
1. 组合
一般地，从n 个不同对象中取出m(m≤n)个对象并成一组，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的一个组合．
2. 组合数
从n 个不同对象中取出m 个对象的所有组合的个数，称为从n 个不同对象中取出m 个对象的组合数，用符
3
号
表示．
（1）排列与组合的区别与联系
①共同点：两者都是从n 个不同对象中取出m(m≤n)个对象．
②不同点：排列与对象的顺序有关，组合与对象的顺序无关．
③只有两个组合中的对象完全相同，不论对象的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中对象不完
全相同时，才是不同的组合．
（2）组合与组合数的区别
一个组合是具体的一件事，它不是一个数；而组合数是指所有组合的个数，它是一个数．
3．组合数的性质
（1）
．
（2）
．
点睛：（1）计算
时，若m>
，通常不直接计算
，而是根据性质（1）改为计算
．
（2）要注意公式
的正用、逆用、变形．尤其是当m，n 都是具体自然数时的应用．正用
时是“合二为一”，即将
化为
；逆用则是将组合数
拆开；变形则为
．
【即学即练3】
1．（23-24 高二下·陕西西安·期中）下列选项中，属于组合问题的是（ ）
A．从六名学生中选三名学生参加数学、物理、化学竞赛，共有多少种选法
B．有十二名学生参加植树活动，要求三人一组，共有多少种分组方案
C．从3，5，7，9 中任选两个数做指数运算，可以得到多少个幂
D．从1，2，3，4 中任取两个数作为点的坐标，可以得到多少个不同的点
2．（23-24 高二下·山东临沂·期中）
（ ）
A．24
B．26
C．30
D．32
3．（23-24 高二下·江苏徐州·期中）一个口袋内装有大小相同的5 个白球和2 个黑球，从中取3 个球，则不
同的取法种数是（ ）
A．
B．
C．
D．
题型01 分类加法计数原理的应用
【典例1】家住广州的小明同学准备周末去深圳旅游，从广州到深圳一天中动车组有30 个班次，特快列车
有20 个班次，汽车有40 个不同班次．则小明乘坐这些交通工具去深圳不同的方法有( )
4
A．240 种
B．180 种
C．120 种
D．90 种
【变式1】三角形的三边均为整数，且最长的边为11，则这样的三角形有( )
A．25 个
B．26 个
C．32 个
D．36 个
【变式2】在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数的个数是( )
A．18
B．36
C．72
D．48
题型02 分步乘法计数原理的应用
【典例2】有且仅有语文、数学、英语、物理4 科老师布置了作业，同一时刻3 名学生都在做作业，则这3
名学生做作业的可能情况有 种．
【变式1】某省新高考采用“
”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；
“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1 个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、
化学、生物4 个科目中选择2 个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ）
A．4 种
B．6 种
C．8 种
D．12 种
【变式2】已知某居民小区附近设有A，B，C，D4 个核酸检测点，居民可以选择任意一个点位去做核酸检
测，现该小区的3 位居民要去做核酸检测，则检测点的选择共有（ ）
A．64 种
B．81 种
C．7 种
D．12 种
【变式3】体育场南侧有4 个大门，北侧有3 个大门，某学生到该体育场练跑步，则他进出门的方案有（
）
A．14 种
B．7 种
C．24 种
D．49 种
【变式4】在2024 年某市运动会选手选拔赛上，8 名男运动员参加100 米决赛．其中甲、乙、丙三人必须
在1,2,3,4,5,6,7,8 八条跑道的奇数号跑道上，则安排这8 名运动员比赛的方式共有________种．
题型03 两个原理的综合应用
【典例3】（24-25 高二上·全国·课后作业）古代中国的太极八卦图是以同圆内的圆心为界，画出形状相同
的两个阴阳鱼，阳鱼的头部有个阴眼，阴鱼的头部有个阳眼，表示万物都在相互转化，互相渗透，阴中有
阳，阳中有阴，阴阳相合，相生相克，蕴含现代哲学中的矛盾对立统一规律．由八卦模型图可抽象得到正
八边形，从该正八边形的8 个顶点中任意取出4 个构成四边形，其中梯形的个数为 ．
5
【变式1】（23-24 高二下·广东中山·期末）用数字
，，
，，
，组成的有重复数字的三位数且是
偶数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·上海·开学考试）已知集合
，若
且互不相等，则
使得指数函数
，对数函数
，幂函数
中至少有两个函数在
上严格增函数的有序
数对
的个数是
【变式3】某校数学课外活动小组有高一学生10 人，高二学生8 人，高三学生7 人．
①选其中1 人为总负责人，有多少种不同的选法？
②每一年级各选1 名组长，有多少种不同的选法？
③推选出其中2 人去外校参观学习，要求这2 人来自不同年级，有多少种不同的选法？
题型04 排列及排列数公式
【典例4】（24-25 高三·上海·课堂例题）计算
的值是（ ）
A．1
B．0.6
C．0.8
D．1.2
【变式1】（23-24 高二下·山东菏泽·期中）
，
，则
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·四川南充·阶段练习）已知
，那么n＝（ ）
A．5
B．6
C．7
D．8
【变式3】（23-24 高二下·宁夏吴忠·期中）不等式
的解集是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】已知
，则x 等于（ ）
A．6
B．13
C．6 或13
D．12
题型05 组合及组合数公式
【典例5】（24-25 高三上·江苏苏州·开学考试）下列数中，与
不相等的是（ ）
6
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高二下·全国·课后作业）
（ ）
A．315
B．330
C．345
D．360
【变式2】（多选）（23-24 高二下·陕西西安·期末）已知
，
，且
，则（ ）
A．
B．
【变式3】（24-25 高三上·重庆·阶段练习）若
，则
的值为
【变式4】（24-25 高三上·河北承德·开学考试）若
，则
.
【变式5】（24-25 高二上·全国·课后作业）若
，则
.
题型06 涂色问题
【典例6】（23-24 高二下·江西赣州·期中）提供6 种不同颜色的颜料给图中A，B，C，D，E，F 六个
区域涂色，要求相邻区域不能涂相同颜色，则不同的涂色方法共有 种.
【变式1】（23-24 高三下·重庆·开学考试）用四种不同的颜色给如图所示的六块区域A，B，C，D，E，
F 涂色，要求相邻区域涂不同颜色，则涂色方法的总数是（ ）
A．120
B．72
C．48
D．24
【变式2】（2024·重庆·模拟预测）重庆位于中国西南部、长江上游地区，地跨青藏高原与长江中下游
平原的过渡地带．东邻湖北、湖南，南靠贵州，西接四川，北连陕西．现用4 种颜色标注6 个省份的地图
区域，相邻省份地图颜色不相同，则共有 种涂色方式．
7
【变式3】（2024 高二下·全国·专题练习）一个同心圆形花坛，分为两部分，中间小圆部分种植草坪和
绿色灌木，周围的圆环分为n（
，
）等份，种植红、黄、蓝三种颜色不同的花，要求相邻两部
分种植不同颜色的花．
（1）如图（1），圆环分成3 等份，分别为
，
，
，则有 种不同的种植方法；
（2）如图（2），圆环分成4 等份，分别为
，
，
，
，则有 种不同的种植方法．
题型07 数字排列问题
【典例7】（23-24 高三上·上海虹口·期中）在由数字1，2，3，4，5 组成的数字不重复的五位数中，
小于50000 的奇数有 个．
【变式1】（23-24 高二下·广东深圳·阶段练习）我们把各位数字之和为8 的四位数称为“八合数”(如2
024 是“八合数”)，则“八合数”共有（ ）个.
A．35
B．56
C．120
D．165
【变式2】（多选）用到这个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知0，1，2，3，4，5，6 共7 个数字．
(1)可以组成多少个没有重复数字的四位数？
(2)可以组成多少个没有重复数字的四位偶数？
(3)可以组成多少个没有重复数字且能被5 整除的四位数？（结果用数字作答）
题型08 相邻问题
【典例8】（24-25 高三上·福建泉州·阶段练习）七位渔民各驾驶一辆渔船依次进湖捕鱼，甲乙渔船要排在
､
一起出行，丙必须在最中间出行，则不同的排法有（ ）
8
A．96 种
B．120 种
C．192 种
D．240 种
【变式1】（23-24 高二下·青海·期末）10 人（含甲、乙、丙）随机站成一排，则甲、乙、丙3 人站在一起
的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（23-24 高二下·内蒙古·期末）有本不同的书，其中语文书
本，数学书
本，物理书本．若
将其随机摆放到书架的同一层上，则相同科目的书相邻的排法有（ ）
A．
种
B．
种
C．
种
D．
种
【变式3】（24-25 高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）用0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的六位数，要
求数字1 和4 相邻，则这样的六位数的个数为（ ）
A．192
B．240
C．360
D．720
【变式4】某校毕业典礼由6 个节目组成，节目甲必须排在前三位，且节目丙，丁必须排在一起，则该校
毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．120 种
B．156 种
C．188 种
D．240 种
题型09 不相邻问题
【典例9】（2024·四川成都·模拟预测）象棋作为一种古老的传统棋类益智游戏，具有深远的意义和价值．
它具有红黑两种阵营，将、车、马、炮、兵等均为象棋中的棋子，现将3 个红色的“将”“车”“马”棋
子与2 个黑色的“将”“车”棋子排成一列，则同色棋子不相邻的排列方式有（ ）
A．120 种
B．24 种
C．36 种
D．12 种
【变式1】四名男生和两名女生排一行进行合影，若要求男生甲与男生乙不相邻，且女生A 和女生B 相邻，
则不同排法的种数有（ ）
A．288 种
B．144 种
C．96 种
D．72 种
【变式2】（24-25 高二下·全国·课后作业）一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》
《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9 本书整齐地放
在同一层书架上，若四书，五经必须分别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列
种数为（ ）
A．5760
B．5660
C．5642
D．5472
【变式3】（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）小明将1，4，0，3，2，2 这六个数字的一种排
列设为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2 不相邻，且1 与4 相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．144
B．72
C．36
D．24
【变式4】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）随着杭州亚运会的举办，吉祥物“琮琮”、莲莲”、宸
宸”火遍全国.现有甲、乙、丙3 位运动员要与“琮琮”、莲莲”、宸宸”站成一排拍照留念，则这3 个吉
祥物互不相邻的排队方法数为 .（用数字作答）
题型10 元素（位置）有限制的排列问题
【典例11】中国古代 的五经指《诗经》 《尚书》 《礼记》 《周易》 《春秋》，甲、乙、丙、丁、戊
9
5 名同学分别选取了其中一本书作为课外兴趣研读，且5 名同学选取的书均不相同．若甲选《诗经》，乙
不选《春秋》，则这5 名同学所有可能的选择方法有（ ）
A．18 种
B．24 种
C．36 种
D．54 种
【变式1】某台小型晚会由6 个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙必须排
在最后一位，该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（ ）
A．36 种
B．42 种
C．48 种
D．54 种
【变式2】4 人随机排成一排，甲不在排头且乙不在排尾的排法有多少种（ ）
A．14 种
B．16 种
C．10 种
D．13 种
【变式3】甲，乙，丙，丁，戊共5 名同学进行劳动技能比赛，决出第1 名到第5 名的名次.已知甲和乙都
不是第1 名，且乙不是最后1 名，则5 人的名次排列的所有可能情况共有（ ）
A．30 种
B．54 种
C．84 种
D．120 种
题型11 定序问题
【典例4】（23-24 高二下·云南昆明·期中）甲、乙、丙、丁、戊五名同学站一排，若甲在乙的左边，则不
同的站队方式共有 种.
【变式1】（23-24 高二下·福建福州·期中）
，
等6 人排成一列，则
在
的前面的排法种数是
种．（用数字作答）
【变式2】（23-24 高二下·安徽六安·期中）高三年级某班组织元旦晚会，共准备了甲、乙、丙、丁、戊五
个节目，出场时要求甲、乙、丙三个节目顺序为“甲、乙、丙”或“丙、乙、甲”（可以不相邻），则这
样的出场排序有 种（用数字作答）
【变式3】（23-24 高二下·西藏拉萨·期末）4 名男生和3 名女生站成一排.
(1)甲不在中间也不在两端的站法有多少种？
(2)男生甲和男生乙不相邻，女生甲和女生乙相邻，排在一起的站法有多少种？
(3)甲、乙、丙三人从左到右顺序一定的站法有多少种？
【变式4】（23-24 高二下·河北唐山·期中）某学习小组共6 人，其中男生3 名，女生3 名.
(1)将6 人排成一排，3 名男生从左到右的顺序一定（不一定相邻），不同排法有多少种？
(2)从6 人中选出4 人，女生甲和女生乙至少1 人在内的不同选法共有多少种？
题型12 分组分配问题
【典例13】（24-25 高三上·河北邯郸·开学考试）在第33 届夏季奥运会期间，中国中央电视台体育频道在
某比赛日安排甲、乙、丙、丁4 个人参加当天A，B，C 三个比赛场地的现场报道，且每个场地至少安排一
人，甲不在A 场地的不同安排方法数为（ ）
A．32
B．24
C．18
D．12
【变式1】（22-23 高三下·河北·阶段练习）6 名大学生分配到4 所学校实习，每名大学生只分配到一所学
校，每所学校至少分配1 名大学生，则不同的分配方案共有（ ）
A．65
B．1560
C．2640
D．4560
10
【变式2】（23-24 高二下·河北·阶段练习）暑期将至，甲乙丙等六名学生准备各自从
､
､
四个景点
中选一个景点去旅游.已知每个景点都有人选，且甲没有选景点
，则所有不同的选法种数为（ ）
A．540
B．720
C．1080
D．1170
【变式3】（24-25 高三上·贵州贵阳·阶段练习）为贯彻落实国家关于开展中小学研学旅行的文件精神，搭
建中学与高校交流的平台，拓展学生视野，今年某中学计划开展暑期“双高互动”之旅夏令营活动，学生
可自愿报名.其中有4 名教师和6 名学生报名，将报名的教师和学生分成2 个组，分别安排到两所高校，要
求每个组由2 名老师和3 名同学组成，则学生甲和学生乙不去同一所高校的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（多选）（24-25 高三上·吉林白城·阶段练习）现安排甲乙丙丁戊这
､
､
､
､
5 名同学参加志愿者服
务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，且每人只安排一个工作，则下列说法正确的是（
）
A．不同安排方案的种数为
B．若每项工作至少有1 人参加，则不同安排方案的种数为
C．若司机工作不安排，其余三项工作至少有1 人参加，则不同安排方案的种数为
D．若每项工作至少有1 人参加，甲不能从事司机工作，则不同安排方案的种数为
题型13 隔板法的应用
【典例14】（23-24 高二下·贵州遵义·期末）方程
的非负整数解个数为（ ）．
A．220
B．120
C．84
D．24
【变式1】（23-24 高三下·云南昆明·阶段练习）把分别写有1，2，3，4，5，6 的六张卡片全部分给甲、乙、
丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ）
A．60
B．36
C．30
D．12
【变式2】（22-23 高二下·北京·期末）个相同的篮球，分给甲、乙、丙三位同学（每人至少分得一个），
不同分法的总数为 ．
【变式3】（1）将个不同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（2）将个不同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（3）将个相同的小球放入个不同的盒子中，没有空盒子，共有多少种不同的放法?
（4）将个相同的小球放入个不同的盒子中，盒子可空，共有多少种不同的放法?
（注：要写出算式，结果用数字表示）
【变式4】将10 个优秀指标分配给3 个班级：
(1)每班至少一个，则共有多少种分配方法？
(2)任意分配共有多少种分配方法？
(3)若班级为一、二、三班，名额数不少于班级数，则共有多少种分配方法？
11
一、单选题
1．（23-24 高二下·广东肇庆·阶段练习）
（ ）
A．24
B．60
C．48
D．72
2．（24-25 高三上·广东·开学考试）从2023 年伊始，各地旅游业爆火，少林寺是河南省旅游胜地．某大学
一个寝室6 位同学
慕名而来，游览结束后，在门前站一排合影留念，要求
相邻，
在
的左边，则不同的站法共有（ ）
A．480 种
B．240 种
C．120 种
D．60 种
3．（23-24 高三上·四川内江·阶段练习）从甲、乙等
名志愿者中随机选
名参加社区服务工作，则甲、乙
都入选的概率为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（21-22 高二下·江苏淮安·阶段练习）学校有个优秀学生名额，要求分配到高一、高二、高三，每个年
级至少个名额，则有（ ）种分配方案.
A．
B．
C．
D．
5．（24-25 高三上·重庆涪陵·开学考试）甲、乙、丙、丁、戊共5 名同学进行数学建模比赛，决出了第1 名
到第5 名的名次(无并列情况).甲、乙、丙去询问成绩.老师对甲说：“你不是最差的.”对乙说：“很遗憾，
你和甲都没有得到冠军.”对丙说：“你不是第2 名.”从这三个回答分析，5 名同学可能的名次排列情况种数
为（ ）
A．44
B．46
C．48
D．54
6．（23-24 高二下·广东·期中）某种产品的加上需要经过A，B，C，D，E，F，G 七道工序，要求A，B 两
道工序必须相邻，C，D 两道工序不能相邻，则不同的加工顺序有（ ）
A．960 种
B．836 种
C．816 种
D．720 种
7．（24-25 高三上·重庆·阶段练习）如图，无人机光影秀中，有架无人机排列成如图所示，每架无人机均
可以发出
种不同颜色的光，至号的无人机颜色必须相同，
、
号无人机颜色必须相同，号无人机
与其他无人机颜色均不相同，则这架无人机同时发光时，一共可以有（ ）种灯光组合.
12
A．
B．
C．
D．
8．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）某物流公司需要安排四个区域的快递运送，公司现有甲、乙、丙
三位快递员可选派，要求每个区域只能有一个快递员负责，每位快递员至多负责两个区域，则不同的安排
方案共有（ ）
A．60 种
B．54 种
C．48 种
D．36 种
二、多选题
9．（23-24 高二下·江苏徐州·阶段练习）用0、1、2、3、4、5 组成没有重复数字的四位数，则下列说法正
确的是（ ）
A．可组成300 个不重复的四位数
B．可组成156 个不重复的四位偶数
C．可组成120 个能被5 整除的不重复四位数
D．若将组成的不重复的四位数按从小到大的顺序排列，则第85 个数字为2301
10．（24-25 高二下·全国·课后作业）学校要安排一场文艺晚会的11 个节目的演出顺序，第1 个节目和最后
1 个节目已确定，其余9 个节目中有4 个音乐节目，3 个舞蹈节目，2 个曲艺节目，则（ ）
A．若要求4 个音乐节目排在一起，则有
种不同的排法
B．若要求曲艺节目甲必须在曲艺节目乙的前边，则有
种不同的排法
C．若要求3 个舞蹈节目不能排在一起，则有
种不同的排法
D．若要求音乐节目、舞蹈节目、曲艺节目分别相邻演出，则有
种不同的排法
11．（22-23 高三下·重庆南岸·阶段练习）中国的五岳是指在中国境内的五座名山，坐落于东西南北中五个
方位，分别是东岳泰山、西岳华山、南岳衡山、北岳恒山、中岳嵩山．小明与其父母共3 人计划在假期出
游，每人选一个地方，则（ ）
A．3 人选择的地点均不同的方法总数为20
B．恰有2 人选一个地方的方法总数为60
C．恰有1 人选泰山的概率是
D．已知小明已选择去泰山的情况下，其父母至少有一人选择去泰山的概率为
13
三、填空题
12．（22-23 高二下·安徽阜阳·阶段练习）若
，则
= .
13．（24-25 高二下·全国·课后作业）现有10 人排队，其中要求甲、乙、丙、丁、戊五人的先后顺序固定，
则共有不同排法 种．
14．（24-25 高三上·云南昆明·阶段练习）如图是某城区的街道平面网格，它由24 个全等的小正方形构成，
每个小正方形的边界都是能通行的街道道路，而小正方形的内部都有楼房建筑（不能跨越通行）．小张家
居住在街道网格的M 处，她的工作单位在街道网格的N 处，每天早上她从家出发，沿着街道道路去单位上
班，若她要选择最短路径前往，则小张上班一共有 种走法；若小张某天早上从家出发前往单位上班，
途中要先到达街道P 处吃早餐，吃完早餐再前往单位，则她一共有 种最短路径的走法．
四、解答题
15．（24-25 高二下·全国·课后作业）一名同学有4 本不同的数学书，5 本不同的物理书，3 本不同的化学书，
准备分给甲、乙、丙三人，每人4 本，要求甲恰好分配到2 本数学书，则不同的分配方法共有多少种？
16．（23-24 高二下·江苏南京·阶段练习）为迎接端午节，某社区准备参加市里举行的龙舟比赛，计划从6
名男选手和5 名女选手中随机选出男、女选手各2 名参加此次比赛，并需要安排好龙舟上选手的座位顺序，
有如下方案：
(1)男选手小王必须参加，并且坐在第四个位置上；
(2)男选手小李和女选手小赵都要参加，并且座位不相邻；
(3)男选手小钱和男选手小周至少一人参加.
17．（24-25 高二下·全国·课后作业）从5 个男生和4 个女生中选出5 人去担任英语、数学、物理、化学、
生物的课代表．分别求出符合下列条件的安排方法种数：
(1)有女生但不少于男生；
(2)女生甲不担任物理课代表；
(3)女生乙入选且不担任生物课代表，男生甲若入选，只担任数学或物理课代表．
18．（24-25 高二下·全国·课后作业）结合排列组合，解决下列问题．
(1)将6 封不同的信放到7 个不同的信箱中，有多少种放法？
(2)将6 封不同的信放到5 个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(3)将6 封相同的信放到3 个不同的信箱中，每个信箱至少有一封信，有多少种放法？
(4)将4 封标有序号A，B，C，D 的信放到四个标有A，B，C，D 的信箱中，恰有一组序号相同，则有多少
种放法？
19．（24-25 高二下·全国·课后作业）现有名师生站成一排照相，其中老师
人，男学生
人，女学生
人，
在下列情况下，各有多少种不同的站法？
14
(1)老师站在最中间，
名女学生分别在老师的两边且相邻，
名男学生两边各
人；
(2)
名男学生互不相邻，男学生甲不能在两端；
(3)
名老师之间必要有男女学生各人．
