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1
第02 讲 指数函数的性质与图象
课程标准
学习目标
1.理解指数函数的概念与意义,掌握指数函
数的定义域、值域的求法;
2.能画出具体指数函数的图象,并能根据指
数函数的图象说明指数函数的性质;
3.掌握指数函数的性质并会应用,能利用指
数函数的单调性比较幂的大小。
1.通过理解指数函数的概念和意义,了解指数函数的实
际背景,掌握指数函数的性质与图象,发展数学抽象的核
心素养.
2.通过指数函数的实际应用,初步学会运用指数函数来
解决问题,提升数学建模的核心素养.
3.通过例题熟练掌握指数函数的图象、性质.进一步深
入理解指数函数的单调性及其应用,提升逻辑推理、数
学运算及数学抽象的核心素养.
知识点01 指数函数的概念
一般地,函数y = a x 称为指数函数,其中a 是常数,a>0 且a≠1。
【即学即练1】
2
1．下列函数中是指数函数的是 。(填序号)
①y=2×(√2)x;②y=2x-1;③y=(
π
2)
x
。
【答案】 ③
【详解】 ①中指数式(√2)x的系数不为1,故不是指数函数;②中y=2x-1=1
2×2x,指数式2x的系数不为1,故
不是指数函数;③是指数函数。
知识点02 指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图象
性
质
定义域
R
值域
(0,+∞)
过定点
(0,1),即当x=0 时,y=
1
单调性
在R 上是增函数
在R 上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
【即学即练2】
2．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则( )
A．a<0，b<0
B．a<0，b>0
C．0<a<1，b>1
D．0<a<1,0<b<1
【答案】C
【详解】函数y＝ax的图象是下降的，所以0<a<1；函数y＝bx的图象是上升的，所以b>1．
知识点03 比较指数幂的大小
比较幂的大小的常用方法：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断；
（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图象的变化规律来判断；
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，可先化为同底的两个幂，或者通过中间值来比较．
【即学即练3】
3.已知a=(
4
5)
2
3，b=(
2
3)
3
4，c =(
4
9)
3
5，则a，b，c 的大小关系是（ ）
3
A．a>b>c
B．b>a>c
C．a>c>b
D．c>a>b
【答案】A
【分析】根据幂函数、指数函数的单调性判定大小即可.
【详解】易知c =(
4
9)
3
5 =[(
2
3)
2]
3
5 =(
2
3)
6
5，
又y =(
2
3)
x
定义域上单调递减，3
4 <1< 6
5，所以b> 2
3 >c，
易知y = x
2
3 (x>0)单调递增，4
5 > 3
4 > 2
3，
则a=(
4
5)
2
3 >(
2
3)
2
3 >(
2
3)
3
4 =b，
综上a>b>c.
故选：A.
知识点04 简单指数不等式的解法
1、形如
的不等式，可借助
的单调性求解；
2、形如
的不等式，可将
化为
为底数的指数幂的形式，再借助
的单调性求解；
3、形如
的不等式，可借助两函数
，
的图象求解。
【即学即练4】
4.求不等式5
x
2−1<5
2 x +2的解集.
【答案】(−1,3).
【详解】因为函数y =5
x在R上单调递增，
所以x
2−1<2 x +2，即x
2−2 x−3<0，
(x−3)(x +1)<0，
解得−1< x<3，
所以不等式的解集为(−1,3).
题型01 指数函数的概念及应用
【典例1】若函数
是指数函数，则
的值为（ ）
A．2
B．3
C．
D．4
4
【答案】A
【分析】根据指数函数的概念可得
且
且
，解之可得
，进而求解.
【详解】
函数
是指数函数，
且
且
，解得
，
，
.
故选：A．
【变式1】下列各函数中，是指数函数的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数概念判定.
【详解】形如
的函数为指数函数.
故
是指数函数，其他选项函数都不是指数函数.
故选：D.
【变式2】已知指数函数
图象过点
，则
等于（ ）
A．3
B．6
C．9
D．27
【答案】C
【分析】先求得
的解析式，进而求得
.
【详解】设
且
，
将
代入得
，
解得
，所以
，
所以
.
故选：C
【变式3】若函数
是指数函数，则有（ ）
A．
B．
C．
或
D．
，且
【答案】A
5
【分析】根据指数函数定义求参.
【详解】因为
是指数函数，
所以
，且
所以a=2.
故选：A.
【变式4】若函数
（
是自变量）是指数函数，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由指数函数的定义即可求解.
【详解】因为函数
（
是自变量）是指数函数，所以
，解得：
且
；
故选：C
题型02 指数型函数的定义域
【典例2】函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可.
【详解】函数
的定义域满足
，解得
且
．
则函数定义域为
，
故选：D
【变式1】设函数
，则函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出
的定义域后可求
的定义域，
【详解】因为
，所以
，故
，
6
故
的定义域为
，
令
，则
，故
的定义域为
.
故选：D.
【变式2】函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】函数的定义域满足
，解得答案.
【详解】函数
的定义域满足：
，解得
且
.
故答案为：
【变式3】函数
（
且
）的定义域为
，则
．
【答案】
/
【分析】根据函数的定义域列不等式，结合指数函数和对数运算等知识求得正确答案.
【详解】依题意，
，
当
时，
，与已知矛盾.
当
时，
，
函数
的定义域为
，
所以
，
，两边平方得
.
故答案为：
【变式4】求下列函数的定义域：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
7
(3)
【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解；
（2）利用指数函数性质结合分式的定义求解；
【详解】（1）由题意
，
，
，所以定义域为
；
（2）由题意
，即
，所以定义域为
；
（3）由题意
，即
，
，
，所以定义域为
．
题型03 指数型函数的值域
【典例3】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】令
，求出的范围，根据指数函数的单调性即可求解.
【详解】依题意，
令
，则
，
因为
单调递减，且
所以
，
所以
.
故选：A.
【变式1】函数
的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数
的单调性来得到值域.
【详解】因为
， 那么可知
，
而函数
在
上是增函数，故有：
，
所以:
，故C 项正确
故选：C.
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【变式2】函数
的定义域为
．则其值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由题意得
，结合指数函数单调性即可求解.
【详解】由题意
，所以
，
.
故选：C.
【变式3】函数
的值域是 ．
【答案】
【解析】
令
则
，
由于
在
单调递减,
单调递增，
所以
，故
的值域为
.
【变式4】已知函数
的值域为
，则a 的取值范围是 ．
【答案】
【解析】当
时，
，而函数
在
上单调递增，
又
是增函数，
因此函数
在
上单调递增，
，即函数
在
上的值域为
，
当
时，函数
的值域为
，而函数
的值域为
，
因此
，而当
时，
，
必有
，解得
，
所以a 的取值范围是
.
题型04 指数型函数的单调性
【典例4】函数
的单调递增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
9
【答案】C
【解析】函数
是实数集上的减函数，
因为二次函数
的开口向下，对称轴为
，
所以二次函数
在
时单调递增，在
时单调递减，
由复合函数的单调性，可得函数
的单调递增区间是
，故选：C
【变式1】函数
的单调递增区间为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，由复合函数的单调性，代入计算，即可得到结果.
【详解】令
，则
，
单调递减，
，
单调递增，且
在
上单调递增，
由复合函数的单调性可知，函数
的单调递增区间为
.
故选：B
【变式2】设函数
在区间
上单调递减，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可.
【详解】因为函数
在
上单调递增，而函数
在区间
上单调递减，
则有函数
在区间
上单调递减，
因此
，解得
，所以实数
的取值范围是
.
故选：D.
【变式3】已知指数函数
单调递减，则
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据指数函数的性质，列式求解.
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【详解】指数函数
单调递减，则
，得
，
所以实数
的取值范围是
.
故选：C
【变式4】若函数
在区间
上单调递增，则实数
的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由题意得：
在
上单调递增，根据二次函数的性质列不等式即可.
【详解】由题意得：
在
上单调递增，
所以对称轴
，所以
.
故选：B.
题型05 指数函数的图象问题
【典例5】已知函数
的图象如图所示，则
的解析式可能为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】利用排除法，根据函数的定义域、符号性逐项分析判断.
【详解】由题意可知：
的定义域为
，
对于选项A：因为
的定义域为R，不合题意，故A 错误；
对于选项B：因为
，不合题意，故B 错误；
对于选项C：当x 趋近于
时，
趋近于0，不合题意，故C 错误；
故选：D.
【变式1】函数
图象的大致形状是（ ）
11
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】结合指数函数单调性以及特殊点即可判断.
【详解】由题意
，
所以当
时，
单调递增，且
，
当
时，
单调递减，且
，
且当
从左边趋于0 时，
趋于
，当
从右边趋于0 时，
趋于1.
故选：A.
【变式2】函数
的图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】首先分析题意，根据指数函数性质进行判断即可.
【详解】
，故
为偶函数，图象关于y 轴对称.观察可知函数
在
12
为增函数，增长方式上应与指数函数相似.
.故选：D.
【变式3】已知函数
的定义域为
，值域为
，则
的最大值为（ ）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可.
【详解】由题意得，
，
作出函数图象如图所示，
令
，解得
或
，
则当
，
时，
取得最大值，
此时
.
故选：B
【变式4】若函数
的图象如图所示，且
，则实数
，
的值可能为（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】C
【分析】依据函数的图象的单调性，先确定出
，在结合
，得到
，即可求解.
【详解】由函数
的图象，可得函数
为单调递增函数，所以
，
13
又由
，可得
，可得
，
结合选项，只有C 项适合.
故选：C.
【变式5】若函数
的图象经过第二、三、四象限，则一定有（ ）
A．
且
B．
且
C．
且
D．
且
【答案】C
【分析】观察到函数是一个指数型的函数，不妨作出其图象，从图象上看出其是一个减函数，并且是由某
个指数函数向下平移而得到的，故可得出结论．
【详解】解：如图所示，图象与
轴的交点在
轴的负半轴上（纵截距小于零），即
，且
，
，且
．
故选：
．
题型06 指数型函数过定点问题
【典例6】已知函数
的图象经过定点
，则
．
【答案】9
【解析】因为函数
的图象经过定点
，
则
，解得
，
可知
，所以
．
【变式1】已知函数
（
且
），则
必过的定点M 的坐标为 ．
【答案】
【解析】不论
（
且
）为何值，当
时，
，
所以函数
必过的定点
的坐标为
.
【变式2】函数
（
且
）无论
取何值，函数图象恒过一个定点，则定点坐标为
.
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【答案】
【分析】根据题意，令
，求得
和
，即可求解.
【详解】由函数
（
且
），
令
，解得
，则
，所以函数恒经过定点
.
故答案为：
.
【变式3】对于任意
且
，函数
的图象恒过定点
. 若
的图象也过点
，则
.
【答案】
【分析】由题意首先得
，然后代入
得
，由此即可得解.
【详解】因为函数
的图象恒过定点
，所以
，所以
，
所以
，
又
的图象也过点
，
所以
，又
，解得
，
所以
.
故答案为：
.
题型07 比较指数幂的大小
【典例7】已知
，
，
，则a，b，c 的大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】利用指数函数的图象性质比较大小即得.
【详解】依题意，结合指数函数图象以及单调性，知
，所以
.
故选：A
【变式1】已知
是实数，则“
”是“
”的（ ）
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A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由
可得
，然后结合不等式的性质和充分条件与必要条件的定义分析判断.
【详解】因为
在
上递增，且
，
所以
，所以
，
所以
，即
，
当
时，可能
，可能
，也可能
，
所以“
”是“
”的充分不必要条件.
故选：A
【变式2】若
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】由已知利用指数函数的单调性有
，再利用函数
和
的单调性比较三个数的大
小.
【详解】若
，且
，
函数
在R 上为减函数，
，则
，
函数
在R 上为减函数，有
，
函数
在(0,+ ∞)上为增函数，
，
可得
.
故选：C.
【变式3】若
，
，
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】根据指数函数
的单调性知，
，
而
，故
，故选：D
【变式4】已知
，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
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【答案】A
【解析】因为
在
上单调递减，且
，
可得
，即
，
又因为
在
上单调递增，且
，可得
，
所以
.故选：A.
题型08 指数型函数不等式问题
【典例08】（23-24 高一上·天津·期末）若不等式
对任意的
恒成立，则实数
的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】化成同底数指数幂，然后参变分离，可知
的取值范围.
【详解】因为
，所以
，
，即
，
当
时，
有最小值
，
，
故选：A
【变式1】不等式
的解集为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据题意，利用指数函数的性质，转化为
或
，进而求得不等式的解集.
【详解】由不等式
等价于
，可得
，
所以
或
，解得
或
，
17
所以不等式
的解集为
．
故选：B.
【变式2】函数
的定义域为 ．
【答案】
【分析】根据根式的性质得到不等式，解二次不等式，得到定义域.
【详解】令
，解得
，故定义域为[0,2].
故答案为：[0,2]
【变式3】已知
，则
的取值范围 ．
【答案】
【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可.
【详解】原不等式等价于
,
因为指数函数
在R 上单调递增，
所以
,
解得
,
所以原不等式的解集为
.
故答案为：
【变式4】设
，若
，求实数x 的取值范围.
【答案】
【分析】利用指数函数的单调性得到关于
的不等式，解之即可得解.
【详解】因为指数函数
在
上单调递增，
又
，所以
，
整理得
，解得
或
，
可得实数
的范围为
.
题型09 指数型函数的奇偶性问题
【典例09】函数
是（ ）
A．奇函数
B．偶函数
C．非奇非偶函数
D．既奇又偶函数
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【答案】B
【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断.
【详解】解：函数
的定义域为R，
因为
，
所以函数
是偶函数，
故选：B.
【变式1】已知偶函数
和奇函数
的定义域均为
，且
，则（ ）
A．
B．
C．
的最小值为2
D．
是减函数
【答案】BC
【分析】根据函数的奇偶性构造方程求出函数解析式，据此判断AB，再由均值不等式及单调性判断CD.
【详解】由
，
得
，两式相加得
，
则
，
所以
，
，A 错误，B 正确．
因为
，所以
（当且仅当
时，等号成立），
因为
均是
上的增函数，
是
上的增函数，C 正确，D 错误．
故选：BC
【变式2】函数
为奇函数.
(1)求
的值;
(2)判断
的增减性，并证明.
【答案】(1)1
(2)增函数，证明见解析
【分析】（1）根据奇函数性质
解得
，并代入检验即可；
（2）根据函数单调性的定义结合指数函数性质分析证明即可.
【详解】（1）因为函数
的定义域为
，且为奇函数，
19
则
，解得
；
若
，则
，
可得
，
即
，可知
为奇函数；
综上所述：
.
（2）
是增函数，理由如下：
任取
，令
，
则
，
因为
，则
，可得
，
则
，即
，
所以
为定义在
上的增函数.
【变式3】已知函数
是定义在R 上的奇函数
．
(1)求
的解析式；
(2)求当
时，函数
的值域．
【答案】(1)
；
(2)
【分析】（1）利用奇函数定义及性质，列式计算求出a，b 作答.
（2）由（1）的结论，求出函数
的解析式，结合二次函数求出值域..
【详解】（1）由函数
是
上的奇函数，则有
，解得
，即
，
，
，
即
，
，解得
，经验证得
，
时，
是奇函数，
所以
.
（2）由（1）知，
，
20
当
时，
，因此当
时，
，当
时，
，
所以所求值域为
.
一、单选题
1．已知指数函数
在
上单调递增，则
的值为（ ）
A．3
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】令系数为，解出
的值，又函数在
上单调递增，可得答案．
【详解】
解得
，
又函数在
上单调递增，则
，
故选：B
2．
的值域是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据函数的单调性，即可求解函数的值域.
【详解】函数
单调递减，所以函数的最大值为
，
最小值为
，所以函数的值域为
.
故选：D
3．函数
的定义域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据指数函数的单调性及二次根式的意义可求得原函数的定义域.
21
【详解】对于函数
，有
，可得
，解得
，
因此，函数
的定义域为
.
故选：A.
4．已知
是偶函数，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．2
【答案】B
【分析】由
，列出方程，求出
的值，再检验定义域是否关于原点对称即可.
【详解】由
得：
，
解得，
.
当
时，
，定义域为
关于原点对称，
故
符合题意，
故选：B.
5．已知函数
，则函数
的增区间是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数单调性分析判断.
【详解】令
，可得
，
可知
在
内单调递减，在
内单调递增，
且
在定义域
内单调递增，
则
在
内单调递减，在
内单调递增，
所以函数
的单调递增区间是
.
故选：A.
6．函数
的图象大致为（ ）
22
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】由函数
的奇偶性及零点个数即可判断得解.
【详解】函数
的定义域为R，
，函数
是奇函数，图象关于原点对称，
BD 错误；
由
，得
，因此函数
有唯一零点，
的图象与x 轴仅只一个交点，C 错误，A 满足.
故选：A
7．已知
，那么
大小关系为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】由函数单调性，结合中间值比较大小.
【详解】
，故
.
故选：B
8．若函数
有最小值，则t 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】设
，将
转化为关于
的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可.
【详解】设
，则
，
，
有最小值.
当
时，二次函数
开口向下，无最小值；
当
时，
无最小值；
当
时，若
在
上有最小值，则对称轴
，解得
.
23
故选：A
二、多选题
9．已知指数函数
在
上的最大值与最小值之差为2，则实数
的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD
【分析】分
和
两种情况，根据题意列方程求解即可.
【详解】当
时，
单调递减，
所以，
，即
，解得
（负根已舍弃）；
当
时，
单调递增，
所以，
，即
，解得
（不符合条件的根已舍弃）.
综上，实数
的值为
或
.
故选：BD
10．已知函数
，则下列结论正确的有（ ）
A．
的图象关于坐标原点对称
B．
的图象关于
轴对称
C．
的最大值为1
D．
在定义域上单调递减
【答案】AD
【分析】根据函数的奇偶性可判断AB；分离常数求出值域可判断C；分离常数后判断单调性可判断D.
【详解】因为
，所以
为奇函数，图象关于坐标原点对称，故A 正确；
因为
，
，
，所以
不是偶函数，图象不关于
轴对称，故
不B 正确；
因为
，又
，所以
，所以
，
所以
，故C 不正确；
因为
，且
为增函数，所以
在定义域
上单调递减，故D 正
确.
故选：AD
24
11．已知函数
的图象过原点，且无限接近直线
但又不与该直线相交，则（ ）
A．
B．
C．
是偶函数
D．
在
上单调递增
【答案】AC
【分析】由已知结合指数函数的性质及函数图象的平移可求
，进而可求函数解析式，根据解析式分析
相关的性质.
【详解】函数
的图象过原点，则
，即
，
函数的图象无限接近直线
但又不与该直线相交，故
是图象的一条渐近线，
则
，
，A 选项正确，B 选项错误；
函数
，定义域为R，
，
是偶函数，C 选项正确；
时，
，所以
在
上单调递减，D 选项错误；
故选：AC
三、填空题
12．若函数
（
且
）经过的定点是P，则P 点的坐标是 ．
【答案】
【分析】根据
的图象过(0,1)点可得答案.
【详解】
的图象过(0,1)点，
图象由
的图象右移3 个单位、上移7 个单位得到，
故过定点
．
故答案为：
．
13．已知函数
在
上单调递减，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据二次函数、指数函数的单调性，结合复合函数单调性判断
的区间单调性，结合已知单调
区间求参数范围.
25
【详解】令
，则在
上递减，在
上递增，而
在定义域上为增函数，
所以
在
上递减，在
上递增，
又
在
上单调递减，故
，则
.
故答案为：
14．已知函数
，若对于任意的
，总存在
，使得
成立，则实数m 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】若对意
，存在
，使得
成立，只需
，分别利用单调
性求出两个函数的最小值即得．
【详解】因为
，对
当
单调递减，当
单调递增，故
，
所以存在
使得
成立．
令
，
，
则存在
使得
成立，即
成立
所以
．
又因为
，所以
所以
．
故答案为：
四、解答题
15．求函数
的单调区间与值域.
【答案】单调减区间是
，单调增区间是
；值域是
【分析】单调性根据复合函数的单调性同增异减得出，值域根据换元法得出.
【详解】
函数
，
设
.
，
26
当
时，
，
，即
.
函数
在
上的值域是
.
又原函数是由
和
两个函数复合而成，
第一个函数是单调减函数，第二个函数在区间
上是单调增函数，在区间
上是单调减函数
函数
的单调减区间是
，单调增区间是
.
16．已知指数函数
（
且
）的图象过点
．
(1)求函数
的解析式；
(2)求函数
在
上的值域
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）将
代入即可求解
，
（2）利用换元法，结合指数函数以及二次函数的单调性即可求解.
【详解】（1）因为函数
（
且
）的图象过点
，则
，
解得
，因此，
．
（2）
，令
，因为
，则
，
令
，
当
时，函数
单调递减，此时，
，
当
时，函数
单调递增，此时，
，
故当
时，
，
又因为
，故
，
所以，函数
在
上的值域为
．
17．已知函数
．
27
(1)当
时，求
的值域；
(2)若
的最大值为9，求a 的值．
【答案】(1)
；
(2)
.
【分析】（1）根据二次函数、指数函数单调性求复合函数的值域；
（2）令
，由指数函数单调性得
，结合二次函数性质列方程求参数.
【详解】（1）由题设
，若
，则
，
在
上递减，在
上递增，则
，
在定义域上递增，则
，
所以
的值域为
.
（2）令
，则
，
又
在定义域上递增，而
的最大值为9，即
，
则
开口向下且对称轴为
，
，
所以
.
18．已知定义域为
的函数
是奇函数．
(1)求a，b 的值；
(2)求该函数的值域：
(3)若对于任意
，不等式
恒成立，求k 的范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据题意，结合
和
，列出方程，即可求解；
（2）由（1）得到
，得出
为递减函数，结合指数函数的性质，进而求得函数
的值域；
28
（3）根据题意，转化为
，得到
恒成立，结合二次函数的性质，即可求解.
【详解】（1）解：因为定义域为
的函数
是奇函数，
所以
，解得
，即
又由
，可得
，解得
，所以
，
经检验
，符合题意，所以
.
（2）解：由（1）知，
，可得函数
为单调递减函数，
又因为
，可得
，所以
，所以
，
所以函数
的值域为
.
（3）解：对于任意
，不等式
恒成立，
因为函数
为奇函数，可得
，
又因为函数
为单调递减函数，可得
，即
恒成立，
又由
，所以
，
所以实数
的取值范围为
.
19．已知函数
（
且
）在
上的最大值与最小值之和为20，记
．
(1)求a 的值及函数
的值域；
(2)证明：
为定值；并求
的值．
【答案】(1)
，
的值域为
(2)证明见解析；100
【分析】（1）根据指数函数的单调性即可根据最值求解
，理由分离常数即可结合不等式的性质求解
值域，
（2）代入即可根据指数幂的运算化简即可求解
，进而可求解.
【详解】（1）由题意有
，解得
或
（舍去），
则
，
29
∵
，∴
，
，
，
∴
，函数
的值域为
.
（2）
，
.
