文档文本内容
第01 讲 向量数量积的概念
课程标准
学习目标
1．掌握平面向量的夹角的概念；
2．掌握平面向量的数量积的定义、性质；
3．了解向量投影的概念以及投影向量的意
义.
1．理解平面向量数量积的含义，会计算两个向量的数
量积；体会平面向量数量积与向量投影数量之间的关
系；会计算两个向量的夹角。
2．通过本节的学习，加深同学们对数学基础性的理
解，加强数学学科与物理学科的学科融合，体会数学
的实用性。
知识点01 向量的夹角
1、如图,已知两个非零向量
,O 是平面上的任意一点,作
,则
叫做向量
与
的夹角，记作
.
显然,当
时,
与
同向;当
时,
与
反向.
2、如果
与
的夹角是
,我们说
与
垂直,记作
.
【即学即练1】（24-25 高一·上海·课堂例题）若
为等边三角形，求下列各角：
(1)
；
(2)
；
(3)
．
知识点02 向量数量积的定义
1、已知两个非零向量
与
,它们的夹角为
,我们把数量
叫做向量
与
的数量积(或内积),
记作
,则
2、规定:零向量与任一向量的数量积为0.
【即学即练2】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知
，
与
的夹角为
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
知识点03 向量的投影向量
1、如图（1）, 设
是两个非零向量，
，作如下的变换：过
的起点
和终点
，分别作
所在直线的垂线，垂足分别为
得到
，则称上述变换为向量
在向量
投影，
叫做向量
在向量
上的投影向量.
2、如图（2）,在平面内任取一点O,作
,过点
作直线
的垂线,垂足为
,则
就是向量
在向量
上的投影向量.
3、设与
方向相同的单位向量为
,
与
的夹角为
,对任意的
,都有
【即学即练3】（24-25 高一下·河北·期末）已知
是夹角为
的单位向量，则
在
方向上的投影向
量为（ ）
A．
B．
C．
D．
知识点04 向量数量积的性质
设向量
与
都是非零向量,它们的夹角为
,
是与
方向相同的单位向量,则
（1）
；（2）
；（3）
；
【注】当
与
同向时,
；当
与
反向时，
.
（4）
；（5）
或
【即学即练4】（多选）（24-25 高一下·全国·随堂练习）对于任意向量
，
，，下列命题中不正确的是
（ ）
A．若
，则
与
中至少有一个为
B．向量
与向量
夹角的范围是
C．若
，则
D．
题型01 向量数量积的相关概念
【典例1】（23-24 高一下·河南郑州·阶段练习）设
，
都是非零向量，下列四个条件中，能使
一定成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（24-25 高一上·全国·单元测试）若
均为非零向量，则
是
与
共线的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分又不必要条件
【变式2】（24-25 高一下·全国·单元测试）已知下列命题中：
（1）若
，且
，则
或
；
（2）若
，则
或
；
（3）若不平行的两个非零向量
，满足
，则
；
（4）若
与
平行，则
；
（5）
.
其中真命题的个数是（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（23-24 高一下·黑龙江佳木斯·期末）“平面向量
，
平行”是“平面向量
，
满足
”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【变式4】以下关于两个非零向量的数量积的叙述中，错误的是（ ）
A．两个向量同向共线，则他们的数量积是正的
B．两个向量反向共线，则他
们的数量积是负的
C．两个向量的数量积是负的，则他们夹角为钝角
D．两个向量的数量积是0，则
他们互相垂直
题型02 平面向量的夹角
【典例2】（23-24 高一下·吉林·期中）已知向量
，
的夹角为
，
，
且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式1】（2025 高二·全国·专题练习）已知
外接圆圆心为
，且
，则向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高一下·全国·课后作业）已知向量
在
上的投影的数量为
，
，则向量
与
的夹角
等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】（24-25 高一上·上海·课后作业）已知
，
，
，夹角
.
题型03 向量数量积的简单计算
【典例3】（24-25 高一·上海浦东新·期末）在边长为3 的等边三角形
中，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．-
【变式1】（24-25 高三上·北京房山·期中）已知向量
在正方形网格中的位置如图所示，若网格中每个
小正方形的边长均为1，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·湖南·阶段练习）已知
为单位圆
的内接正三角形，则
（ ）
A．
B．
C．1
D．
【变式3】（24-25 高二上·上海宝山·期末）若向量
满足
，且
的夹角为
，则
.
【变式4】（24-25 高一下·全国·课堂例题）已知
，
在
上的投影的数量为6，则
．
【变式5】（24-25 高一下·全国·课堂例题）在等腰直角三角形ABC 中，若
，
，则
的值等于 ．
题型04 求向量的投影向量
【典例4】（23-24 高一下·江苏·期末）已知平面向量
与
满足：
在
方向上的投影向量为
在
方
向上的投影向量为
，且
，则
（ ）
A．1
B．2
C．3
D．4
【变式1】（23-24 高一下·重庆·阶段练习）已知
，若
与
的夹角为
，则
在
上的投影向量
为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式2】（24-25 高三上·山东青岛·阶段练习）已知平面向量
满足
，且
，则
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式3】已知
，
，
，则向量
在
方向上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
【变式4】（24-25 高三上·宁夏石嘴山·阶段练习）在
中，
是
边上的一点，且满足
，
则
在
方向上的投影向量是 （用
表示）
【变式5】（24-25 高一下·全国·课后作业）在
中，已知
，求：
(1)
；
(2)
在
方向上的投影的数量；
(3)
在
方向上的投影的数量．
一、单选题
1．（23-24 高一下·北京·期中）在
中，“
”是“
为锐角三角形” 的（ ）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2．（23-24 高一下·辽宁辽阳·阶段练习）在正六边形
中，向量
与
的夹角为（ ）
A．
B．
C．
D．
3．（23-24 高一上·浙江宁波·期末）已知
，且满足
，则
在
上的投影向量为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．（23-24 高一下·河南漯河·期中）平面向量
是不共线的向量，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．（23-24 高一下·重庆·期中）在△ABC 中，
，
，
，则
（ ）
A．12
B．6
C．
D．
6．（23-24 高一下·广东佛山·期中）已知非零向量
满足
，且向量
在向量
上的投影向量是
，则向量
与
的夹角是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．（24-25 高一下·全国·课前预习）已知
，且关于
的方程
有实根，则
与
的夹角的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（24-25 高三上·北京昌平·期末）在
△
中，
，
为
的中点，
为线段
上的一
个动点，则
的最小值为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、多选题
9．（23-24 高一下·河北·期末）在正
中，
为
的中点，则（ ）
A．
B．
C．
D．
在
上的投影向量为
10．（24-25 高二上·河南许昌·开学考试）在
中，下列说法正确的是（ ）
A．与
共线的单位向量为
B．
C．若
，则
为钝角三角形
D．若
是等边三角形，则
，
的夹角为
11．（24-25 高三上·江苏泰州·阶段练习）已知
是边长为4 的正三角形，该三角形的内心为点
，下
列说法正确的是（ ）
A．
在
方向上的投影向量的模为2
B．
C．
D．若
为
外接圆上任意一点，则
三、填空题
12．（23-24 高一下·上海·期中）在正方形
中，向量
与向量
的夹角是 ．（用弧度制
表示）
13．（23-24 高一下·上海宝山·期中）已知向量
在向量
方向上的投影向量为
，且
，则
(结果用数值表示)
14．（24-25 高三上·内蒙古赤峰·期中）如图，在边长为
的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，且
，
则
= ．
四、解答题
15．（24-25 高一下·全国·课堂例题）已知等边
的边长为1，求：
(1)
；
(2)
；
(3)
.
