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第02 讲 基本初等函数的导数、求导法则
课程标准
学习目标
1．熟记基本初等函数的导数公式，并能运用公
式求简单函数的导数．
2．掌握导数的运算法则，并能运用法则求复杂
函数的导数
3．掌握复合函数的求导法则，会求复合函数的
导数．
1．通过学习导数的四则运算法则，培养数学运
算素养．
2．借助复合函数的求导法则的学习，提升逻辑
推理、数学抽象素养．
知识点01 基本初等函数的导函数
1．导函数的概念
一般地，如果函数
在某定义内的每一个点
都可导，则称
可导。此时，对定义域内的
每一个值
，都对应一个确定的导数
。于是，在
的定义域内，
是一个函数，这个函数通
常称为
的导函数，记作
（或
，
），即
.
【解读】f′(x0)与f′(x)是不同的，f′(x)是函数y＝f(x)的导函数，而f′(x0)是f′(x)在x＝x0处的导数值．
2．几个常用函数的导数
原函数
导函数
其中
为常数
3．基本初等函数的导数公式
函数
导函数
函数
导函数
(c 是常数)
( 为实数)
特别地
特别地
【即学即练1】（24-25 高二上·全国·课后作业）设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据幂函数的求导法则即可求解.
【详解】
．
故选：D
知识点02 导数的运算法则
1．导数的四则运算法则
（1）加减法：
（2）乘法：
（3）除法：
2．公式推广与结构特征
（1）公式推广：函数和、差的导数可以推广到
个函数
设
，
，
…
，
在
处
可
导
，
则
（2）结构特征：乘法公式中间用“加号”，前导后不导＋前不导后导；除法公式分母平方，分子用“减
号”。
【即学即练2】
1.（23-24 高二下·河南洛阳·阶段练习）下列求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】
由导数的除法公式可得出A 错误，D 错误；由导数的加法公式可得出B 正确；由导数的乘法公式可得出C
正确/
【详解】
由导数的除法公式可得
，
由导数的加法公式可得
，
由导数的乘法公式可得
，
由导数的除法公式可得
，
所以A，D 错误；B，C 正确.
故选：BC．
2.（24-25 高三上·上海闵行·期中）函数
在
处的导数是 .
【答案】
【分析】利用求导公式以及求导法则，求得导函数，代入数值，可得答案.
【详解】由
，则
，当
时，
.
故答案为：.
知识点03 复合函数的导数
1．复合函数的概念
一般地，已知函数y＝f(u)与u＝g(x)，给定x 的任意一个值，就能确定u 的值，如果此时还能确定y 的
值，则y 可以看成x 的函数，此时称f(g(x))有意义，且称y＝h(x)＝f(g(x))为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函
数，其中u 称为中间变量．
2．复合函数的求导法则
一般地，对于由函数y＝f(u)与u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝
g(x)的导数间的关系为：y′x＝y′uu′x，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．
【解读】 求复合函数的导数的步骤
(1)适当选定中间变量，正确分清复合关系；
(2)分步求导；
(3)把中间变量代回原自变量的函数，整个过程可简记为“分解——求导——回代”
【即学即练3】（23-24 高二下·北京通州·期中）已知函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用复合函数求导法则计算即可.
【详解】由
可得
.
故选：B
题型01 基本初等函数的导数
【典例1】（24-25 高二下·北京通州·期中）下列求导运算结果错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据初等函数的导数公式逐项判定，可得答案.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 正确.
故选：A.
【变式1】（23-24 高三上·河北邯郸·阶段练习）下列求导运算中正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 正确.故选：D
【变式2】（24-25 高二上·全国·课后作业）设函数
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据求导公式和求导法则即可求解.
【详解】由
可得
．
故选：D
【变式3】（24-25 高三上·山东滨州·开学考试）(多选)下列结论正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】ACD
【分析】根据导数运算公式运算即可得解.
【详解】对于A，因为
是常数函数，所以
，故A 正确；
对于B，
，故B 错误；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，则
，故D 正确.
故选：ACD.
【变式4】（24-25 高二上·全国·课后作业）设函数
，对任意的正整数
，定义函数列
，
且
．已知
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】求导，可得
是以4 为周期的周期数列，即可求解.
【详解】由定义可得
，
，
，
，
因此
是以4 为周期的周期数列，故
．
故选：C
题型02 利用四则运算求导数
【典例2】（24-25 高三上·陕西咸阳·期中）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】ABC
【分析】利用基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则可得选项A，B，C 正确，选项D 错误.
【详解】A.
，选项A 正确.
B.
，选项B 正确.
C.
为常数，选项C 正确.
D.
，选项D 错误.
故选：ABC.
【变式1】（23-24 高二下·天津北辰·期中）下列函数的求导正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据求导运算法则判断各选项.
【详解】对于A 选项，
，故A 选项错误；
对于B 选项，
，故B 选项错误；
对于C 选项，
，故C 选项错误；
对于D 选项，
，D 正确.
故选：D.
【变式2】（24-25 高二下·江苏扬州·期中）下列导数运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据基本函数导数公式及运算法则判断即可.
【详解】对于A，
，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 错误；
对于D，
，故D 错误.
故选：B.
【变式3】（24-25 高二上·全国·课后作业）函数
的导函数
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】直接根据导数的定义即可求解.
【详解】由导函数的定义得
．
故选：D.
【变式4】（24-25 高三上·北京海淀·期中）已知
，则
（ ）
A．1
B．2
C．
D．
【答案】B
【分析】求出函数的导函数，计算得解.
【详解】因为
，
所以
，
所以
，
故选：B
【变式5】（23-24 高二下·福建龙岩·期中）若函数
，则
.
【答案】2023！
【分析】设
，则
，求出
可得答案.
【详解】设
，
则
，
，
.
故答案为：
题型03 求复合函数的导数
【典例3】（24-25 高三上·江苏镇江·开学考试）（多选）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】CD
【分析】利用初等函数的导数公式以及复合函数求导法则、导数的运算法则，可判断各选项的正误.
【详解】对于A 选项，
，A 错误；
对于B 选项，
，B 错误；
对于C 选项，
，C 正确；
对于D 选项，
，D 正确.
故选：CD.
【变式1】（24-25 高二下·广东佛山·阶段练习）下列求导运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】根据常见函数的导数及复合函数的导数判断即可.
【详解】对于A，常数的导数为0，故A 错误；
对于B，
，故B 正确；
对于C，
，故C 正确；
对于D，
，故D 错误.
故选：BC.
【变式2】（23-24 高二下·海南·期中）下列函数求导正确的是（ ）
A．若
，则
B．若
，则
C．若
，则
D．若
，则
【答案】AB
【分析】根据基本函数的求导公式即可求解BD，根据求导法则以及复合函数的求导法则即可求解AC.
【详解】对于A, 若
，则
,A 正确，
对于B，若
，则
，B 正确，
对于C，若
，则
，C 错误，
对于D，若
，则
，D 错误，
故选：AB
【变式3】（23-24 高二下·湖北武汉·期中）下列求导运算错误的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据导数公式及运算律计算判断即可.
【详解】对于A:
，A 选项正确；
对于B:
，B 选项错误；
对于C:
，C 选项正确；
对于D:
，D 选项正确.
故选：B.
题型04 求某点处的导数值
【典例4】（24-25 高三上·山西·期中）若函数
满足
，则
的值为（ ）
A．
B．2
C．3
D．4
【答案】C
【分析】求解导函数，再赋值
，解关于
的方程可得.
【详解】由
，得
，
则
，解得
，
故选：C.
【变式1】（24-25 高三上·陕西西安·阶段练习）已知函数
，
为
的导函数，则
的值为 .
【答案】
【分析】根据题意，求导可得
，代入计算，即可得到结果.
【详解】由
可得
，
则
.
故答案为：
【变式2】（24-25 高三上·安徽六安·阶段练习）已知函数
，则
的值为（ ）
A．1
B．
C．2
D．
【答案】D
【分析】借助导数公式计算即可得.
【详解】
，则
，解得
.
故选：D.
【变式3】（24-25 高三上·上海·阶段练习）设
，则
．
【答案】4
【分析】运用导数的运算法则求导，再代入数值即可.
【详解】
，
，
，
故答案为：4
【变式4】（24-25 高三上·上海·期中）已知函数
，则
.
【答案】
/
【分析】在等式
两边求导，再令
，即可得出
的值.
【详解】因为
，则
，
所以，
，故
.
故答案为：
.
【变式5】（24-25 高三上·上海·期中）若
，则
.
【答案】
【分析】根据题意，求导可得f
′ (x)，然后令
代入计算，即可得到结果.
【详解】对函数y = f (x)求导得，
；
令
，得
，整理得
.
因此
，
，故
.
故答案为：
题型05 在某点的切线问题
【典例5】（24-25 高三上·海南省直辖县级单位·阶段练习）函数
在点
处的切线与两坐标轴
围成的封闭图形的面积为（ ）
A．
B．
C．
D．1
【答案】B
【分析】求导，根据导数的几何意义求切线方程，进而可得交点坐标和面积.
【详解】因为
，则
，可得
，
即切点坐标为
，切线斜率为2，
则切线方程为
，其与x 轴交点为
，
所以切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为
.
故选：B.
【变式1】（24-25 高三上·江苏盐城·阶段练习）曲线
在
处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程.
【详解】因为
，所以
，
所以曲线
在
处的切线的斜率为，
当
时，
，所以切点为
，
所以切线方程为
，即
.
故选：
.
【变式2】（2024·河南新乡·一模）函数
的图象在点
处的切线方程是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求出函数
的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】函数
，求导得
，则
，而
，
所以所求切线方程为
，即
.
故选：D
【变式3】（2024 高三·全国·专题练习）已知函数
，若曲线
在点
处的切线过坐标原点，则实数
的值为 ．
【答案】
【分析】首先对函数求导，然后表示出在点
的切线方程，最后根据切线过原点求出实数
.
【详解】因为
，所以
．
又
，
所以曲线
在点
处的切线方程为
,
又该切线过坐标原点，所以
，即
，
解得:
．
故答案为：
.
【变式4】（24-25 高三上·甘肃兰州·阶段练习）已知
，设函数
的图象在点
处
的切线为l，则l 与
轴交点的坐标为 ．
【答案】(0,1)
【分析】先根据导数的几何意义求出切线l 的方程，进而求解即可.
【详解】由
，
，
而
，则
，
所以切线l 的方程为
，
令
，得
，
即l 与
轴交点的坐标为
.
故答案为：
.
题型06 过某点的切线问题
【典例6】（24-25 高二上·江苏南京·阶段练习）过点
且与曲线
相切的切线斜率不可能为
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设切点
，结合导数的几何意义可得切线方程，根据切线过点
，可得
，进而确定
切线斜率.
【详解】由
，得
，设切点为
，则切线斜率
，
即切线方程为
，
又切线过点
，则
，整理可得
，
解得
或
或
，则切线斜率为
或
或
，
故选：D．
【变式1】（24-25 高二·阶段性训练）若过点
作曲线
的切线，则这样的切线共有（ ）
A．0 条
B．1 条
C．2 条
D．3 条
【答案】C
【分析】设切点为
，利用导数的几何意义及点斜式直线方程求出切线方程，根据过点
建立方
程，求得切点的个数即为切线的条数.
【详解】设切点为
，由
，所以
，得
，
所以切线方程为
，即
．
因为切线过点
，所以
，解得
或
，
所以过点
作曲线
的切线可以作2 条.
故选：C
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）过点
作曲线
的切线，则切点坐标为
.
【答案】
/
【分析】设出切点坐标，利用导数来求得正确答案.
【详解】由
，得
，
，化简得
，
，
则
，设切点为
，显然
不在曲线上，
则
，解得
，则切点坐标为
.
故答案为：
【变式3】（24-25 高三上·四川·期中）已知函数
的图象在点
处的切线过点
，则
．
【答案】5
【分析】根据导数的几何意义求在该点处的切线方程，代入即可求出
的值.
【详解】
，
，
．
的图象在点(1,f (1))处的切线方程为
．
因为该切线过点
，所以
，解得
．
故答案为：
【变式4】（24-25 高三·全国·专题练习）已知曲线
与过点
的直线相切，则的斜率为
．
【答案】
/
【分析】设切点为
，利用导数的几何意义，得到切线方程得
，结合条件得到
，即可求解.
【详解】设切点为
，因为
，则
，
则切线方程为
，
将点
代入，得
，
化简得
，即
，
令
，则
恒成立，
所以
在区间
上单调递增，又
时，
，
所以
的解为
，所以切线的斜率为
.
故答案为：
.
题型07 切线的平行垂直问题
【典例7】（24-25 高三上·安徽·阶段练习）已知曲线
，
在点
处的
切线与直线
垂直，则a 的值为（ ）
A．1
B．
C．3
D．
【答案】C
【分析】根据导数求出曲线在点
处的切线斜率，再根据两条互相垂直的直线斜率之积等于
算出
即可.
【详解】
，则
，
则
，曲线
在点
处的切线与直线
垂直，
所以
，解得
.
故选：C
【变式1】（2024·四川宜宾·一模）设曲线
在
处的切线与直线
垂直，则
【答案】1
【分析】由直线
的斜率求出切线的斜率，导函数在切点处的值即为切线斜率，建立等式，求
得
的值.
【详解】直线
的斜率
，
∵切线与直线
垂直，∴切线的斜率
，
，当
时，
，∴
，
故答案为：1.
【变式2】（24-25 高三上·湖北宜昌·阶段练习）函数
在点(1,f (1))处的切线与直线
相互垂直，则实数
【答案】
【分析】根据导数的几何意义求得斜率，再根据直线垂直的斜率关系列方程，从而求得
的值.
【详解】
，
直线
的斜率为
，
由于
在点(1,f (1))处的切线与直线
相互垂直，
所以切线的斜率为
，即
.
故答案为：
【变式3】（23-24 高二下·甘肃白银·阶段练习）求曲线
与直线
垂直的切线的方程．
【答案】
或
【分析】求导，设切点为
，利用导数的几何意义可得
，解得
，进而可得切线方程．
【详解】
，则
，
设切点为
，则
，
由题意切线斜率
，则
，解得
，即
或
，
当切点为
时，切线方程为
，即
．
当切点为
时，切线方程为
，即
综上所述：切线方程为
或
题型08 公切线问题
【典例8】（24-25 高三上·辽宁大连·期中）直线
是曲线
和
的公切线，则
（ ）
A．
B．
C．
或
D．
【答案】C
【分析】先分别求出两条曲线的导数，设出切点坐标，根据公切线的斜率相等以及在切点处的函数值相等
列得方程组，即可求得结果.
【详解】对于
，设切点为
，求导得
，
则在该点处的斜率为
，
则切线方程为：
，即
，
对于
，设切点为
，求导得
，
则在该点处的斜率为
，
则切线方程为：
，即
，
因为
是公切线，
所以
，即
，
所以
，即
，所以
即
或
，解得
或
，
当
时，此时
，
，所以
当
时，此时
，
，所以
，
所以
或
，
故选：C.
【变式1】（24-25 高三上·江苏无锡·阶段练习）若斜率为1 的直线与曲线
和圆
都相
切，则实数
的值为（ ）
A．2
B．0 或
C．0 或2
D．
【答案】B
【分析】设直线与曲线
的切点为
，先根据导数的几何意义求出
在切点
处的切线方程，再根据直线与圆相切和圆心到直线的距离关系列式求解即可.
【详解】设直线与曲线
的切点为
，
由
，则
，
则
，即切点为
，所以直线为
，
又直线与圆
都相切，则有
，解得
或
．
故选：B
【变式2】（2024·陕西榆林·模拟预测）已知曲线
在点
处的切线与曲线
相切，
则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】求导，计算曲线
在点
处的切线方程，利用切线与曲线
相切可得结果.
【详解】解法1：由
得
，当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
由
得，
，
所以
，解得
，
故选：D.
解法2：由
得
，当
时，
，
所以曲线
在点
处的切线方程为：
，即
.
因为
，所以
，
令
，得
，
所以
与曲线
的切点为
，
由切点在切线
得
，解得
，
故选：D.
【变式3】（24-25 高三上·江苏·阶段练习）已知直线：
分别与曲线
，
都相切，则
的值为 ．
【答案】
【分析】先设直线与两曲线切点分别为(x1, y1)和(x2, y2)，再结合导数几何意义和切点既在切线上又在曲
线上即可依次列出关于切点和参量的方程组计算求解.
【详解】设直线与曲线
的切点为(x1, y1)，与曲线
的切点为(x2, y2)，
对
求导得
，所以
，即切点
，
所以
；
对
求导得
，
所以
或
（舍去），
所以
.
故答案为：
.
题型09 与切线有关的最值问题
【典例9】（24-25·四川高二·阶段训练）已知P 是曲线
（
）上的动点，点Q 在直线
上运动，则当
取最小值时，点P 的横坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】画出曲线
（
）和直线
的图象，将所求距离问题转化为两平行线距
离最小，从而结合两直线平行，利用导数的几何意义列方程即可求得切点的横坐标.
【详解】画出曲线
（
）和直线的
图象，如下图所示
若使得
取最小值，
则曲线
在点
处的切线与直线
平行，
对函数
求导得
，令
，可得
，
又
，解得
．
故选：C
【变式1】（24-25 高三上·辽宁·期中）若曲线
的一条切线为
，则
的最大值为（ ）
A．1
B．
C．
D．2
【答案】B
【分析】设切点
，由题意得
，从而构造函数
，利用导数求最值即可
得解.
【详解】设切点
，因为
，所以
，切线方程为
，
整理得
，所以
，
设
得
，
又因为
时，
时，
，
所以
在
上单调递增，在
上单调递减，
所以
.
故选：B.
【变式2】（2024 高三·全国·专题练习）点
分别是曲线
和直线
上任意一点，则
的最小值为 ．
【答案】
【分析】用待定系数法求出曲线与直线
平行的切线，求出两直线间的距离，即是本题中
的最小
值.
【详解】设直线
是曲线
的切线，切点为
，
则
，解得
，则
，
则
的最小值即为两平行线
与
间的距离，
即
．
故答案为：
.
【变式3】（24-25 高三·全国·专题练习）已知直线
与函数
，若直线
与直线、曲线y = f (x)分别交于点
，则当
取最小值时，
．
【答案】
【分析】注意到直线
与直线
相互垂直；把直线平行移动到与曲线y = f (x)相切，
最小，即可根据导数求解斜率得
，代入直线
即可求解.
【详解】易知直线
与直线垂直，
所以当与直线平行的直线
与曲线y = f (x)相切于点
时，
取最小值，
由
，得
，
设
，则
，解得
，
则
，所以
，
又切点
在直线
上，所以
，则
.
故答案为：
.
一、单选题
1．（2024 高三·全国·专题练习）函数
的导数为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】根据乘法的导数以及复合函数的导数等知识来求得正确答案.
【详解】因为
，
所以
.
故选：D
2．（24-25 高三上·广东广州·阶段练习）一质点A 沿直线运动，其位移
单位：
与时间
单位：
之间
的关系为
，则质点A 在
时的瞬时速度为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】根据题意，求出函数的导数，将
代入计算可得答案．
【详解】因为
，所以
时，
，
即质点A 在
时的瞬时速度为
.
故选：C
3．（24-25 高三上·甘肃天水·阶段练习）
，若
，则
等于（ ）
A．
B．1
C．
D．
【答案】B
【分析】求函数
的导函数，由条件列方程求
.
【详解】由题意可得：
，
若
，即
，
则
，解得
．
故选：B．
4．（24-25 高三上·广东·阶段练习）曲线
在x =0处的切线方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】先求导函数，再计算导函数值得出切线斜率，最后应用点斜式写出直线方程即可.
【详解】由
，得
，
当x =0时，
，
故曲线
在x =0处的切线方程为
，即
.
故选：D.
5．（24-25 高三上·广东东莞·阶段练习）曲线
在点
处的切线斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】利用导数的几何意义求切线斜率.
【详解】由
，则曲线在点
处的切线斜率为
.
故选：B
6．（2024·四川成都·二模）直线
与函数
和
的图象都相切，则
（ ）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】设直线
与函数
的切点为(x1, y1)，与函数
的切点为(x2, y2)，根据导数的
几何意义即切点的坐标，可求
的值.
【详解】设直线
与函数
的切点为(x1, y1)，则
.
设直线
与函数
的切点为(x2, y2)，则
.
由
；
由
，
；
由
.
由
，所以
.
故选：D
7．（24-25 高三上·山西·阶段练习）曲线
与
的公切线的斜率为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】根据导数的几何意义分别求f (x), g(x)的切线，结合题意列式求解即可.
【详解】因为
，则
，
设切点坐标为
，切线斜率为
，
可得切线方程为
，即
；
因为
，则
，
设切点坐标为
，切线斜率为
，
可得切线方程为
，即
；
由题意可得：
，解得
，
所以公切线的斜率为
.
故选：A.
8．（24-25 高三上·湖南·阶段练习）若函数
及其导函数
满足
，且
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【分析】由已知可得
，可得
，结合已知即可求解.
【详解】因为
，所以
，
所以
，因为
，
所以
，解得
，
所以
，令
，可得
，解得
.
故选：D.
二、多选题
9．（24-25 高二上·浙江宁波·期中）下列选项正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
【答案】ABC
【分析】对于ABC，由基本初等函数的导数公式即可判断；对于D，由复合函数的求导法则即可求出函数
的导函数，从而得解.
【详解】对于A，
，则
，故A 正确；
对于B，
，则
，故B 正确；
对于C，
，则
，故C 正确；
对于D，
，则
，故D 错误.
故选：ABC.
10．（2024 高三·全国·专题练习）若直线
是函数
图象的一条切线，则函数
可以是
（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BCD
【分析】依次对各项函数求导，根据导数的几何意义，及已知切线的斜率判断是否存在导数值为
，即可
得答案.
【详解】直线
的斜率为
，
由
的导数为
，故A 错；
由
的导数为
，令
，解得
，故B 对；
由
的导数为
，而
有解，故C 对；
由
的导数为
，令
，解得
，故D 对．
故选：BCD
11．（2024·全国·模拟预测）设
，曲线
在点
处切线的斜率为
，与x 轴的交点为
，
与y 轴的交点为
，则（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】BC
【分析】应用导数的几何意义判断A,结合数列的基础运算判断B,C,D．
【详解】由于
，所以
，切线方程为
，从而
，
．
，A 错误；
，B 正确；
，C 正确；
，
，D 错误．
故选：BC.
三、填空题
12．（24-25 高三上·青海·期中）曲线
在点
处的切线方程为 .
【答案】
【分析】先求导，将
代入导函数求得斜率，写出切线方程即可.
【详解】由
，得
，当
时，
，
则曲线
在点
处的切线方程为
，即
.
故答案为：
.
13．（2024 高三·全国·专题练习）若函数
，则
.
【答案】
【分析】利用导数列方程，先求得
，进而求得
.
【详解】对
求导，得
，
所以
，解得
，
所以
，将
代入
，可得
.
故答案为：
14．（2024 高三·全国·专题练习）若曲线
有两条过坐标原点的切线，则a 的取值范围是 .
【答案】
【分析】设出切点
，利用导数的几何意义求出切线方程，代入原点坐标，根据关于
的方程有两不
等根由
可解.
【详解】
，
.
设切点为
，则
，切线斜率
，
切线方程为
.
切线过原点，
，
整理得
.
切线有两条，
，解得
或
，
的取值范围是
.
故答案为：
.
四、解答题
15．（24-25 高二下·四川凉山·期中）求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
（
为常数）；
(3)
．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据导数加法法则和复合函数求导即可；
（2）根据导数除法和导数减法法则即可；
（3）根据导数乘法法则即可.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
.
16．（24-25 高二下·广东汕头·阶段练习）求下列函数的导数：
(1)
；
(2)
；
(3)
；
(4)
；
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】（1）（2）（3）利用初等函数的导数公式和运算法则求导.
（4）利用复合函数求导法则求导.
【详解】（1）
；
（2）
；
（3）
；
（4）
.
17．（24-25 高二下·重庆永川·阶段练习）已知函数
.
(1)求
的导数
；
(2)求函数
的图象在
处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用基本初等函数的导数公式及求导法则直接计算即得；
（2）求出
，再利用导数的几何意义求出切线方程.
【详解】（1）因为函数
，
所以
；
（2）因为
，
所以函数
在
处的切线方程为
，即
.
18．（24-25 高二上·广西桂林·期中）已知函数
，且
.
(1)求
的解析式；
(2)求曲线
在
处的切线方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先求导数，根据
可求
，进而可得答案；
（2）先求导数得到切线斜率，再求出切点，利用点斜式可求切线方程.
【详解】（1）因为
，且
，所以
，解得
，所以函数的解析式为
.
（2）由（1）可知
，
；
又
，所以曲线
在
处的切线方程为
，即
.
19．（24-25 高二下·福建福州·阶段练习）已知函数
．
(1)求
的导数；
(2)求曲线
在点
处的切线方程，并求出切线与坐标轴所围三角形的面积．
【答案】(1)
，
(2)
；面积为
【分析】（1）利用导数的除法运算法则进行求解即可；
（2）先利用导数求出切线的斜率，然后用点斜式即可求解，求得截距，利用三角形面积公式可得答案.
【详解】（1）因为
，所以
，
（2）由（1）得，
，则所求切线的斜率为1，故所求切线方程为
．
当
时，
；当
时，
.故切线与坐标轴所围三角形的面积
.
